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2.6.1 微分的概念
定义 设函数y=f(x)在点x0处可导,任给自变量x在x0处有改变量Δx,当Δx有微小改变量时,把f'(x0)Δx称为函数y=f(x)在点x0处的微分,记作,即
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此时称函数y=f(x)在点x0处可微.
例1 如图2-4所示,一块正方形金属薄片受温度变化影响,其边长由x0变化到x0+Δx时,
(1)求此薄片的面积在边长x0处的微分;
(2)求此薄片的面积的改变量;
(3)求此薄片的面积在边长x0处的微分与改变量相差多少.
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图 2-4
解 此薄片的面积函数为S=x2.
(1)由微分的定义,得在边长x0处的微分
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(2)边长由x0变化到x0+Δx时,此薄片的面积的改变量为
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(3)薄片的面积在边长x0处的微分与改变量相差
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在例1中,如果x0=3,Δx=0.01,ΔS=0.0601,,它们相差0.0001.
一般地,随着Δx的绝对值越来越小,即当Δx→0时,Δy与dy之间是什么关系?它们相差多少?对此有下面的定理:
定理1 若函数y=f(x)在点x0处可微,则当f'(x0)≠0,且Δx→0时,Δy与dy是等价无穷小,即Δy~dy.
证明 因为函数y=f(x)在点x0处可微,则
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且函数y=f(x)在点x0处连续、可导,于是Δx→0时,Δy→0, ,即它们都是无穷小.
又因为f'(x0)≠0,所以
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则Δx→0时,Δy与dy是等价无穷小,即Δy~dy.
定理2 若函数y=f(x)在点x0处可微,则当Δx→0时,Δy-dy=ο(Δx).
证明 因为函数在点x0处可微,所以函数y=f(x)在点x0处可导,则
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根据具有极限函数与无穷小的关系,推得
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Δy=f'(x0)Δx+α(Δx)Δx.
移项,得Δy-f'(x0)Δx=α(Δx)Δx,
且 α(Δx)Δx=ο(Δx).
将 代入上式,得
Δy-dy=ο(Δx).
发现:(1)因为当Δx→0时,Δy与dy是等价无穷小且Δy-dy=ο(Δx),所以Δy≈dy.
(2)当y=x时,由函数微分定义,得dy=dx=(x)'·Δx=1·Δx=Δx,则称自变量x的改变量Δx称为自变量的微分,记作dx,于是
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若函数y=f(x)在某区间内每一点都可微,则称函数y=f(x)在此区间内可微,且dy=f'(x)dx.因为dx≠0,因此,所以,函数的导数是函数的微分与自变量微分的商,简称微商.