2.1.1　导数的定义

1.变化率问题举例

（1）变速直线运动的瞬时速度

设一物体沿一条直线做变速运动，其运动规律为

s=s（t），

其中，t是时间，s是位移，求物体在时刻t0的瞬时速度.

对于匀速直线运动来说，有速度公式：

首先考虑该物体从时刻t0变化到t=t0+Δt时间间隔内的平均速度为

同理可得物体从t0+Δt变化到t0平均速度也为 .

发现当时间t在t0时刻的改变量Δt变化时，平均速度也随之变化，所以平均速度不能精确反应这一时间段[t0，t0+Δt]或[t0+Δt，t0]内每一点的瞬时速度，但平均速度可以近似表示其每一点的瞬时速度，且随着时间的改变量的绝对值Δt变小，近似程度越来越高，根据极限概念及思想，会自然地推得：

如果当Δt→0时，平均速度的极限存在，就把这个极限值叫作物体在时刻t0时的瞬时速度，简称速度，记作v（t0），即

（2）曲线y=f（x）的切线斜率

我们首先介绍切线的定义.

定义1　设点M0是曲线上的一个定点，另一点M1是曲线上的一个动点，作割线M0M1，当动点M1沿曲线无限趋向于定点M0时，如果割线M0M1的极限位置M0T存在，则称直线M0T为曲线在点M0处的切线.

如图2-1所示，设曲线的函数为y=f（x），求曲线在点M0（x0，y0）处的切线斜率.

在曲线上取与点M0（x0，y0）邻近的另一点M1（x0+Δx，y0+Δy），作曲线的割线M0M1，则割线M0M1的斜率为

其中，β是割线M0M1的倾斜角.当点M1沿曲线无限趋向于定点M0时，即Δx→0时，如果此时上式的极限存在，就把这个极限值定义为切线M0T的斜率，即

这时 ，其中，α是切线M0T的倾斜角.

综上，发现无论是求物体在时刻t0的瞬时速度还是求曲线y=f（x）在点M0（x0，y0）处的切线斜率，不考虑其具体的物理与几何意义，就其问题的本质和解决方法来说是相同的，那就是要研究函数的增量与自变量的增量的比值的极限.下面将这个共性总结归纳出来，形成导数的概念.

2.导数的定义

定义2　设函数y=f（x）在点x0的某邻域U（x0，δ）内有定义，当自变量在点x0处有改变量Δx（x0+Δx仍在上述邻域内）时，相应函数的改变量为

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

如果当Δx→0时，比值 的极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称此极限值为函数y=f（x）在点x0的导数，记作

导数的定义公式为

如果上述极限不存在，则称函数y=f（x）在点x0处不可导.

在导数的定义中，改变量的比值反映了函数在相应区间上的平均变化率，而导数值f'（x0）描述了函数在点x0的瞬时变化率，绝对值|f'（x0）|越大，函数y=f（x）在点x0的变化越快、越剧烈.

发现：（1）类似于左、右极限，同样有左导数、右导数，它们分别为：

（2）如果在某个区间I内任取一点x0，都会有唯一确定的导数值与之相对应，则形成以x为自变量，以导数为函数值的新函数，称为导函数，记作f'（x），y'， ，则

（3）如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内每一点都可导，则称函数y=f（x）在开区间（a，b）内可导.如果函数y=f（x）在开区间（a，b）内可导，且在左端点x=a存在右导数，在右端点x=b存在左导数，则称函数y=f（x）在闭区间[a，b]上可导.

定理1　函数y=f（x）在点x0处可导的充分必要条件是左导数、右导数都存在且相等，即

f'（x0）=A⇔f'-（x0）=f'+（x0）=A.

定理1常用于判断分段函数在分界点处是否可导.

3.求导数举例

求导数f'（x0）、导函数f'（x）在方法上是相同的，在不发生混淆的情况下，导函数也简称为导数，根据定义可分为三步求：算改变量、算比值、取极限，在实际运用中可合三步为一步.

例1　（1）求函数y=x2在点x0=1和任意点x处的导数；

（2）求常函数y=C（C为常数）的导数.

例2　求函数y=sinx的导数及它在处的导数.

解　计算改变量

求极限

所以

同理可证（cosx）'=-sinx.

例3　求函数f（x）=logax（a>0，且a≠1）的导函数.

解　计算改变量

所以

特别地

例4　证明幂函数y=xα当α=n∈Z+时的导数公式（xn）'=nxn-1.

证明　因为

Δy=xn-an=（x-a）（xn-1+xn-2a+xn-3a2+…+an-1），

所以

一般地，（xn）'=nxn-1.后面还能推得（xα）'=αxα-1.

例如，（x6）'=6x5，

发现：求导公式（sinx）'=cosx；　（cosx）'=-sinx；　（C）'=0；

；　 ；　（xn）'=nxn-1.