7.6　微分法在几何上的应用

在第2章中我们学习了平面曲线切线的定义与切线方程的求法，这一节将讨论空间曲线的切线方程及曲面的切平面方程的求法.

7.6.1　空间曲线的切线与法平面

1.切线、切向量、法平面的概念

与平面曲线类似，空间曲线的切线有如下定义：

设在空间曲线Γ上有一个定点M，在其邻近处取Γ上另一点M′，并做割线MM′.令M′沿Γ趋近M，如果割线无限接近于直线MT，称割线MM′的极限位置MT是曲线Γ在点M的切线，如图7-18所示.

切线的方向向量称为曲线在点M处的切向量，记为τ.

过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.

2.空间曲线的切线、法平面方程

下面就曲线方程的三种不同形式进行讨论.

情形1（参数方程）

设空间曲线Γ的方程为，ψ（t），φ（t），ω（t）均可导，且导数不全为零，求对应t0的点M0（x0，y0，z0）处的切线方程与法平面方程.

为求得该点处的切线，在Γ上任取与M0（x0，y0，z0）邻近的t=t0+Δt对应的另一点M（x0+Δx，y0+Δy，z0+Δz），则割线M0M的方程是

由切线的定义，当M→M0时，割线方向向量的极限为切向量，此时，Δt→0，因此，曲线在点M0（x0，y0，z0）处的切向量为

即　　τ=（φ′（t0），ψ′（t0），ω′（t0））.

所以，曲线在点M0（x0，y0，z0）处的切线方程为

法平面方程为

φ′（t0）（x-x0）+ψ′（t0）（y-y0）+ω′（t0）（z-z0）=0.

【例1】　求曲线Γ：x=t，y=t2，z=t3在t=1对应点处的切线方程和法平面方程.

解　当t=1时，x=1，y=1，z=1.

又　　x′=1，　y′=2t，　z′=3t2.

代入得切向量　τ=（x′（1），y′（1），z′（1））=（1，2，3）.

因此，切线方程为

法平面方程为

（x-1）+2（y-1）+3（z-1）=0，

即　　x+2y+3z-6=0.

【例2】　求曲线Γ：x=t-sint，y=1-cost，在点处的切线方程和法平面方程.

解　点对应于.

情形2

设空间曲线Γ方程为：，φ（x），ψ（x）均可导，则Γ的参数方程为

从而，曲线Γ在M（x0，y0，z0）处的切线方程为

法平面方程为

（x-x0）+φ′（x0）（y-y0）+ψ′（x0）（z-z0）=0.

情形3（一般式方程）

设空间曲线Γ的方程为：，设M0（x0，y0，z0）是曲线Γ上一定点，且F（x，y，z），G（x，y，z）在M0的某邻域内都存在一阶连续的偏导数，且，求点M0（x0，y0，z0）处的切线方程与法平面方程.

由隐函数存在定理知，方程组可确定一元函数组，且

由情形2得，曲线Γ在点M0（x0，y0，z0）的切向量为τ=（1，y′（x0），z′（x0）），于是曲线Γ在点M0（x0，y0，z0）的切线方程为

曲线Γ在点M0（x0，y0，z0）处的切向量为

法平面方程为

【例3】　求曲线在点（1，1，3）处的切线方程及法平面方程.

解　令　　F（x，y，z）=x2+z2-10，　G（x，y，z）=y2+z2-10.

则　　Fx=2x，　Fy=0，　Fz=2z，　Gx=0，　Gy=2y，　Gz=2z.

故所求的切线方程为

法平面方程为

3（x-1）+3（y-1）+（-1）·（z-3）=0，

3x+3y-z=3.

7.6.2　曲面的切平面与法线

1.切平面法线的概念

设有曲面Σ：F（x，y，z）=0（见图7-19），M（x0，y0，z0）为Σ上的一点，函数F（x，y，z）在点M的偏导数连续且不全为零，则在曲面Σ上的任意一条过点M的光滑曲线在点M的切线都在同一个平面π上，这个平面称为曲面Σ在点M的切平面.称曲面在点M处切平面的法向量为曲面在点M处的法向量.过M点垂直于切平面的直线，称为曲面Σ在点M的法线.

2.切平面法线方程的求法

下面就曲面方程的两种不同形式进行讨论.

（1）设曲面方程为

Σ：F（x，y，z）=0，

点M0（x0，y0，z0）为Σ上任取的一点，函数F（x，y，z）在M0处的偏导数连续且不全为零，下面求曲面Σ在点M0的切平面方程.

分析　只需求曲面的法向量，在曲面Σ上任意作一条过M0的曲线

其中，x（t），y（t），z（t）在点M0对应的t0处可导，且导数不同时为零.因Γ⊂Σ，所以可以将Γ的方程代入曲面方程，即

F（x（t），y（t），z（t））=0.

由F（x，y，z）在点M0处的偏导数连续及x（t），y（t），z（t）在t0处可导，得

令，而τ=（x′（t0），y′（t0），z′（t0））是曲线Γ在M0处的切向量，上式化为　　n·τ=0.

这说明曲面Σ上的任意一条过点M0的光滑曲线在点M0的切线均与非零定向量n正交，由切平面的定义，n为曲面Σ在M0的法向量，过M0以n为法向量的平面为所求的切平面.因此，法向量为

切平面方程为

法线方程为

（2）设曲面Σ的方程为

z=f（x，y）.

点M0（x0，y0，f（x0，y0））为Σ上任取的一点，若函数f（x，y）在点（x0，y0）处的偏导数连续，下面求曲面Σ在点M0处的切平面方程.

令F（x，y，z）=f（x，y）-z或G（x，y，z）=z-f（x，y），则曲面Σ在M0（x0，y0，z0）处的法向量为或.因此，切平面方程为

法线方程为

【例4】　求曲面z-ez+2xy=3在点（1，2，0）处的切平面方程及法线方程.

解　令　　F（x，y，z）=z-ez+2xy-3.

则点（1，2，0）处的法向量为

因此，切平面方程为

4（x-1）+2（y-2）+0·（z-0）=0，

即　　2x+y-4=0.

法线方程为

【例5】　求圆锥面在点（3，4，5）处的切平面方程及法线方程.

解　令，　则法向量为

切平面方程为

3（x-3）+4（y-4）-5（z-5）=0，

即　　3x+4y-5z=0.

法线方程为

【例6】　在曲面上求一点，使得该点的切平面与平面2x+y+z=0平行，并求出该点的切平面方程.

解　设曲面上的切点为（x0，y0，z0），则法向量为

依题意，切平面平行于已知平面，因此有

即所求切点为

（-1，-2，1）.

切平面方程为

2（x+1）+（y+2）+（z-1）=0，

即　　2x+y+z+3=0.

7.6.3　全微分的几何意义

设函数z=f（x，y）在P0（x0，y0）处可微，则曲面z=f（x，y）在点M0（x0，y0，z0）处的切平面方程为

注意到：等式左边为切平面上点的竖坐标z的增量，等式右边恰为z=f（x，y）在点（x0，y0）的全微分dz，因此函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）处的全微分dz，等于曲面z=f（x，y）在点M0（x0，y0，z0）处的切平面在点P0（x0，y0）处的竖坐标的增量.

可见，全微分的几何意义与一元函数微分的几何意义类似.

最后，介绍一下平面曲线的切向量与法向量.

设平面曲线L的方程为，ψ（t）均可导，且导数不全为零），则对应于t0的点（x0，y0）处的切向量为τ=（φ′（t0），ψ′（t0）），法向量为n=（-ψ′（t0），φ′（t0））.

设平面曲线L的方程为F（x，y）=0（F（x，y）可微），则点P0（x0，y0）处的法向量为，切向量为.特别地，设平面曲线L的方程为y=f（x）（f（x）可导），则点（x0，f（x0））处的法向量为n=（-f′（x0），1），切向量为τ=（1，f′（x0））.

习题7-6

1.求下列曲线在给定点处的切线方程和法平面方程：

2.求下列曲面在给定点处的切平面方程和法线方程：

（1）x2+y2+z2=14在点（1，2，3）处；

（2）x2-xy-8x+z+5=0在点（2，-3，1）处；

3.求出曲线上一点，使在该点的切线平行于已知平面x+2y+z=4.

4.在曲面z=xy上求一点，使该点的法线垂直于平面x+3y+z=-9，并求出法线方程.

5.求数λ，使得平面3x+λy-3z+16=0与椭球面3x2+y2+z2=16相切.

6.求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的切平面方程.

7.试证：曲面在任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a.

*8.由曲线绕x轴旋转一周得到的旋转曲面在点（-1，-2，-3）处的切平面与x0y面的夹角的余弦值.