1.1.1　集合的概念

1.集合的概念

在初中数学中，我们已经接触过“集合”一词.

在初中代数学习数的分类时，就用到“正数的集合”“负数的集合”等.此外，对于一元一次不等式

2x+3>5

所有大于1的实数都是它的解.我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集.

在初中几何里学习圆时，说圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.一般地，几何图形都可以看成是点的集合.

一般地，某些指定的对象集中在一起就成为一个集合，简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如，“我院足球队的队员”组成一个集合，每一个队员都是这个集合的元素；又如，“大于3的整数”组成一个集合，每个大于3的整数都是这个集合的一个元素.

通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示集合，小写拉丁字母a，b，c，…表示元素.

2.集合分类

把含有有限个元素的集合叫做有限集.例如，所有大于2且小于10的奇数组成的集合；含有无限个元素的集合叫做无限集.例如，所有大于5的偶数组成的集合；不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，例如，方程x2+1=0的所有实数解组成的集合.

例1　下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？

（1）由26个英文字母组成的集合；

（2）由小于8的正整数组成的集合；

（3）由大于10的奇数组成的集合；

（4）由平方等于-1的实数组成的集合.

分析　判断集合是有限集、无限集、空集的关键是看集合中元素的个数.

解　（1）因为集合的元素分别为A，B，C，…26个英文字母，所以这个集合为有限集；

（2）因为集合的元素分别为1，2，3，4，5，6，7，共有7个元素，所以这个集合为有限集；

（3）因为集合的元素分别为11，13，15，17，…有无数多个元素，所以这个集合为无限集；

（4）因为集合中没有元素，所以这个集合是空集.

练一练

指出下列集合中哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？

（1）由小于5的自然数组成的集合；

（2）由大于11且小于100的整数组成的集合；

（3）由等边三角形组成的集合；

（4）由a，b，c，d，e，f，g组成的集合；

（5）由0组成的集合.

3.集合中元素的特性

根据上述多个例子我们看到：

（1）对于给定的集合，它的元素是确定的.也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.例如，由我院足球队的队员组成的集合，它的元素是确定的.

（2）对于给定的集合，它的元素是互不相同的，每个元素不能重复出现.例如，由平方等于4的数组成的集合，它的元素只有两个，分别是2和-2.

（3）对于给定的集合中的元素之间没有顺序关系，即集合中的元素相互交换顺序所得的集合与原来的集合是同一个集合.例如，由1，2，3组成的集合与由2，1，3组成的集合是同一个集合.

综上所述，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性.

例2　下列各题中所指的对象是否能组成集合？并说明理由.

（1）大于3且小于11的偶数；

（2）我国的小河流；

（3）中国的直辖市；

（4）学校里的高个子学生；

（5）非常大的数.

分析　根据集合中元素具有确定性的特点，判断指定的对象能不能构成集合，关键是能否找到一个明确的标准.

解　（1）（3）都能组成集合，因为每个对象都是确定的.

（2）（4）（5）都不能组成集合，因为没有确切的标准用来判断一条河流的“大小”；在“高个子”与“不是高个子”之间，没有规定身高界限；数目大小的程度也没有明确的标准.

练一练

（1）举出两个能构成集合的实例，再举出两个不能构成集合的实例.

（2）下列各组对象是否能够成集合？

①著名的数学家；

②方程x2-4=0的实数根；

③质量好的洗衣机；

④一次函数y=4x+1图像上的所有点；

⑤数轴上1～5之间所有的点；

⑥所有整数.

4.常用数集

（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

（2）全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N+（或N*）；

（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R.

如果上述数集中的元素仅限于正数，就在集合记号的右下角标以“+”号；若数集中的元素仅限于负数，就在集合记号的右下角标以“-”号.例如，Q+表示正有理数集，Z-表示负整数集.