§2.1　命题与联结词

2.1.1　命题的概念

数理逻辑研究的中心问题是推理，而推理就必然包含前提和结论，前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句就成为推理的基本要素.在数理逻辑中，将能够判断真假的陈述句称为命题.因此命题就成为推理的基本单位.

定义2-1　能够判断真假的陈述句称为命题.命题的判断结果称为命题的“真值”.“真值”取值为“真”的命题称为真命题，“真值”取值为“假”的命题称为假命题.常用T（True）或1表示真，用F（False）或0表示假.

从上述的定义可知，判定一个句子是否为命题要分为两步：一是判定是否为陈述句，二是判定能否判定真假，二者缺一不可.

例2-1　判断下列句子是否为命题.

（1）北京是中国的首都.

（2）请勿吸烟！

（3）雪是黑的.

（4）猪八戒是猪吗？

（5）x+y=5.

（6）我正在说谎.

（7）如果温度为0℃以下，则水会结成冰.

（8）3能被2整除.

（9）火星上有生命.

（10）张三是个胖子.

解　在上述的10个句子中，（2）、（4）不是陈述句；（5）、（6）、（10）虽然是陈述句，但（5）没有确定的真值，当x=2，y=3时，x+y=5正确，当x=4，y=3时，x+y=5不正确，其真值随x，y取值的不同而改变，（6）是悖论（即由真能推出假，由假也能推出真），（10）中的“胖子”是一个模糊的概念，不能判断真假，因而（2）、（4）、（5）、（6）、（10）均不是命题.（1）、（3）、（7）、（8）、（9）都是命题，其中（9）虽然现在无法判断真假，但随着科技的进步是可以判定真假的.

根据命题的结构形式，命题分为原子命题和复合命题.

定义2-2　不能被分解为更简单的陈述语句的命题称为原子命题（也称为简单命题）.

定义2-3　由两个或两个以上原子命题组合而成的命题称为复合命题.

例如，例2-1中的命题“雪是黑的”为原子命题，而命题“如果温度为0℃以下，则水会结成冰”是复合命题，是由“温度为0℃以下”与“水会结成冰”两个原子命题组成的.

定义2-4　表示原子命题的符号称为命题标识符.命题标识符依据表示命题的情况，分为命题常元和命题变元.一个有确定真值的命题的标识符称为命题常元（或命题常项）；没有指定具体内容的命题标识符称为命题变元（或命题变项）.本书中用小写字母a，b，c，…，p，q，r，…（可带下标）等表示命题.将表示命题的符号放在该命题的前面，称为命题的符号化.例如：

p：2是素数.

q：雪是黑的.

此时，p是真命题，q是假命题.

注　命题变元不是命题，只有当命题取一个确定的值时才是命题.例如，对于原子命题p：x=3来说，命题变元的真值情况不确定，因而命题变元不是命题，只有给命题变元p一个具体的命题取代时，p有了确定的真值，p才成为命题.