吴文俊——从拓扑学到数学机械化

◎ 胡作玄

（中国科学院数学与系统科学研究院）

吴文俊是少数几位有国际声誉和重大影响的中国数学家之一，不过在国内，他似乎一直默默无闻。2001年2月，国内首届“国家最高科技奖”颁发给吴文俊和袁隆平时，袁隆平和他的杂交水稻早已名满天下，而记者在争相报道吴文俊时，却发现原始材料少得可怜。其实，吴文俊获大奖，这已经不是第一次，而是第八次了。国际、国内的大奖只是向公众和媒体传达了一个信息，吴文俊的工作很重要，但是，判断吴文俊的工作有多重要，还是要看行家的评判。吴文俊获得第一个大奖是1956年中国颁发的首届国家自然科学奖一等奖。当时获一等奖的只有三人，华罗庚、钱学森、吴文俊。华、钱的大名在当时已经屡屡见诸报端，他们获奖的确在意料之中，可是吴文俊的名字有多少人知道呢？而且他获奖的工作“示性类与示嵌点的研究”对于大多数数学家来说，至今也还是说不清道不明，更不用说一般平民百姓了。吴文俊在国内虽然名气不大，但在当时国际数学界，尤其是领头人物当中，却非常知名。美国著名数学家、国际数学联盟第一届主席斯通（M.Stone，1903—1989）在1961年的文章中讲到新中国的数学时，写下这样一段话：“虽然从整体上讲，中国人的贡献在数学界影响不是很大，但少数大陆中国人被公认为天才而有成就的数学家，他们最近的贡献被高度评价。作为例子可以举出，吴文俊引进的新拓扑不变量，以及华罗庚对许多复变函数论的研究。”[9]真是英雄所见略同，恰巧是斯通举的两位在五年前获得数学方面两个一等奖。

历史是无情的，科学上只有那些推动历史前进的贡献才是顶尖的、站得住脚的。达到这种水平的贡献也必然受到大科学家的关注。从1954年到1970年，每届都有拓扑学家获得菲尔兹奖，而获奖的大数学家托姆（R.Thom）、米尔诺（J.Milnor）、阿蒂亚（M.Atiyah）、斯梅尔（S.Smale）等人都在他们的主要论文中引用过吴文俊的工作。获得首届沃尔夫奖的盖尔范德（I.Gelfand）在1956年吴去苏联时，就主动关注吴的工作，其他东欧国家也都知道吴工作的分量。说到底，吴文俊拓扑学的工作在当时已经毫不含糊地是国际领先的，而不是我们现在常常讲的要在几年内赶超国际水平。吴文俊这方面的工作已成世界数学宝库中的经典，他1950年的论文到2001年还有人在引用！

如果说，拓扑学说到底是西方人的独创，吴文俊只是大大发展它，那么吴文俊的数学机械化则完全是他从研究中国数学史而产生的思想，是中国人自己的独创，走上一条与西方迥然不同的道路。这条道路显示出吴文俊特立独行的风格，它成果累累，也得到许多客观的西方数学家的承认，正因为如此，吴文俊荣获了厄布朗（J.Herbrand）奖，而这个奖本来是奖给数理逻辑方面的杰出研究的。

一、坎坷的数学之路

吴文俊走上数学之路并不是一帆风顺的。幸运的是，他受到家庭有益的影响。吴出生在一个知识分子家庭，父亲吴福同出生在19世纪末，当时正逢甲午战败，各界人士都积极思考如何救亡图存、振兴中国的问题。百日维新虽然失败，西学东渐之势已势不可挡，上海处于门户开放之地，得风气之先，新学堂纷纷上马。交通大学的前身——南洋公学就是在1896年成立的，一开始还设有小学部、中学部，吴文俊的父亲就是在这里接受新式教育，特别是打下英语的基础，当时上海是科学的中心，也是出版业的集中之地，吴福同从高中毕业以后，就在一家医药书籍出版社从事编译工作，而且，有时还兼报刊的编辑工作。在当时，这种职业要求有较高的工作能力和业务水平，有时要比老板挣得还多。正是由于吴文俊的父亲有稳定的工作和收入，尽管不太富裕，但生活总是有保障，衣食无缺。吴先生回忆起来说，他受到父亲很大的影响。正是由于生活有基本保障，他才能在家庭的支持下去搞一些自己感兴趣的东西，而不必为生活担忧。他的父亲也鼓励他努力学习，积极进取。家庭条件也对他起着潜移默化的作用。父亲的大量藏书使他从小就养成阅读的习惯，小学时，已经读过许多历史和文学作品，在小学的时候，已经喜欢看《儒林外史》和《官场现形记》，这对他不喜欢“学而优则仕”以及官场作风有一定影响。他也读过《胡适文存》之类的书，表明那时已经有一定的思想水平。

相对而言，吴文俊的小学和初中教育比较一般，按部就班。数学是一种在少年时代就显示出兴趣和才能的课程，但是，吴文俊在小学和初中期间，并没有显出对数学的偏爱。很长时间，他只是对物理感兴趣。按照他自己的选择，他也许选择物理而不是数学。少年时期他只是读那些自己感兴趣的书，他的基础应该说，是高中打下的。

高中时期对青年人的成长至关重要，对吴文俊也不例外。他说，在高中阶段，他打下了数学的基础，同样，英文也是这个时期才达到自由运用的境地。

在初中，吴文俊学习数学并不困难，但还谈不上主动，而在高中，学习数学已经变成一件十分有趣、十分主动的事，这时成绩优秀自不在话下，他学的东西远远超出课内所要求的，而这才是真正意义上的学数学。

事情来自高中一位几何老师，是位福建人，也许是因为口音或是因为教学无法，很不受学生欢迎。不知什么原因，他看上吴文俊，就要求他把课外书上的习题做一遍。这些远远超出课堂要求，但是却吸引吴文俊冥思苦想。平面几何要求学生有非凡的创造力，它需要奇思妙想，也许正是这个把学生分成两种，多数人应付，而少数学生越解题越有兴趣，一发而不可收。吴文俊就属于后者，越难越吊起胃口，非解出不可。这往往是走向数学的第一步，通过巧招解出一道难题的喜悦是一般人体会不到的，它同时也推动人向更高峰攀登。

不过，他的兴趣始终在物理方面。一个偶然的因素才使他走向数学。在吴文俊高中毕业那年，学校提出要设立三个奖学金，资助三名尖子生上大学，但是由学校指定大学及系科去报考。学校指定吴文俊报考交通大学数学系。当时学费昂贵，没有奖学金，普通家庭一般负担不起，因此，吴文俊就这样走上学数学的道路。

交通大学是我国著名的高等学府，尤其以工科著名。吴文俊于1936年入学，正是交通大学解放前最辉煌的时期。这一年在学人数达到创纪录的710人。但是，1937年紧随着卢沟桥事变之后，日寇入侵并占领上海，交通大学迁往内地，留下来的迁往租界上课，学习生活很不稳定，有时三、四年级在一起上课。

长期以来，大学数学课没有什么变化。一年级是同物理系、化学系学生一起上，主要是微积分，除此之外，还要学国文、英文、中国通史，也要学普通物理、普通化学，还要一起做实验课，这对不喜欢动手的吴文俊是个难关，免不了要出差错。使他比较受益的是德语，大学的学习使他打下阅读德语书的基础，这对他后来的发展很有好处。到了二年级，有些老师讲课照本宣科，让学生不知所云。教材也偏重计算而少理论，吴文俊越发感到索然无味，甚至产生辍学的想法。

本来已经对数学感到厌倦的吴文俊，在大学三年级，听了武崇林所讲的实变函数论的课，对数学特别是实变函数论产生莫大的兴趣，这成为他的数学生涯的一大转机。

如果说，大学一、二年级的数学学的都是19世纪中期以前的经典数学，那么现代数学则是从20世纪初由几位法国数学家建立的实变函数论开始。实变函数论的基础是勒贝格（H.Lebesgue）等人建立的测度论，而测度论的基础是康托尔（G.Cantor）只手建立的无穷集合论。所谓现代数学可以说很大程度是建立在这个集合论的基础之上的。正是集合论—测度论—实变函数论指向现代数学的康庄大道。而19世纪中之前的经典数学是无法到达这种境界的。

“师傅领进门，修行在个人”。如果吴文俊只是按部就班的听课，作习题，那是根本无法打下现代数学基础的。吴文俊的方法可以说是完全靠自学。

吴文俊一旦对这个方向产生兴趣之后，就在课下废寝忘食地攻读经典著作。当时，求知欲旺盛，吸收力强，很快就打下坚实的基础。在有了实变函数论的基础之上，很快进入康托尔的集合论，进而钻研点集拓扑。20世纪初正是点集拓扑学的黄金时代，出版一系列经典名著，最著名的有德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）的《集论大纲》，至今这还是一本经典，后来的发展都来源于此。此外还有德国数学家舍恩夫利斯（A.H.Schanflies）的著作以及英国数学家杨格（W.H.Young）的《集合论》。这些书吴文俊都精心钻研过。

有了这些基础后，吴文俊更扩大战果，一直打到点集拓扑的前沿。在这方面，波兰成了这个领域的领头羊。20世纪第一次世界大战和第二次世界大战之间的短暂时期，波兰的数学突飞猛进，产生出许多国际水平的大数学家，在数理逻辑、点集拓扑、泛函分析、测度论、概率论、调和分析等领域做出决定性的贡献。这些学科的基础大都是点集拓扑。为此，波兰人创办一所国际性的数学杂志《数学基础》，专门登载上述领域的原创论文。这些论文可以说代表这个领域的最高水平。吴文俊正是通过一篇一篇阅读这些论文而到达当时数学前沿，而这通过大学教育是根本无法达到的。

1940年暑期，吴文俊从交大数学系毕业。在那时，数学系毕业基本上没有什么出路，只有教中学。而且又是日本占领时期，对于绝大多数中国人来说，是一个十分艰苦的黑暗时期，对于吴文俊尤其如此，大学毕业正好是美好的青春时期，大学最后两年也确定了自己的生活方向和道路。但是在国家沦亡、山河破碎的现实面前，个人的理想真可谓微不足道。实际生活的困难首先让人想到的就是养家糊口，而要找到一个挣钱的差使并不容易。经过朋友介绍，他到一家中学——育英中学教书。在教中学的职位上，他深深感到中学老师生活的清贫和艰辛。他们一周要上20几节课，收入十分微薄，为了保住饭碗，工作非常认真负责。在这方面，吴文俊也不例外。但是吴文俊还有更大的问题，他较为害羞，不擅长讲课，因此他教的课时不足，这样，他就必须兼做教务员，那是十分繁琐的事务性工作，而且要从早到晚盯在那里坐班。这对一位要成为数学家的人来说，不啻是时间与生命的巨大浪费。江泽涵先生曾谈过，大学毕业后，干两年中学教员，那就什么都拣不回来了，而这样的事，吴文俊整整干了五年。

二、大转折（1945—1947）

1945年8月15日，日本宣布无条件投降。饱经劫难的中国人民，终于结束了这个最野蛮、最凶残的帝国主义长达14年之久的欺辱和蹂躏，迎来了最后的胜利。世界的历史发生了重大的转折。

原来在沦陷区交通大学的教职员工成立上海临时大学，恢复正常的教学秩序。这时，吴文俊开始走上大学的讲堂，开始了一生至关重要的转折。

1945年到1947年是吴文俊迈上新台阶的第二个两年黄金年。第一个两年黄金期是大学三、四年级，他由极为普通的大学数学课程通过自修达到当时数学的前沿，但是，5年的停滞对于任何未来数学家来说，都可以说是致命的。幸好，命运之神再一次向他招手，短短两年时间，他完成了三次转折，这三次转折为他铺下数学家的成功之路。

第一次转折是由中学走向大学，这时，他的授课负担一下子减少一大半，开始有足够的时间继续数学研究了。同时，大学的环境与中学完全不同，他又有可能接触最新的资料，而且，他也结识了当时一些国内的最好数学家。他的朋友赵孟养以及其他数学家也给他新的消息，当时正招考中法留学交换生，他考上了，这成为他的第二个转折。也是通过赵孟养和其他人的帮忙，他进入中央研究院数学研究所，受教于陈省身，这成为他的第三大转折。经过这三次转折，他已经稳稳地踏上数学研究的道路了。

对吴文俊事业影响最大的是陈省身。陈省身于1946年4月回到上海，但并没有直接到北平就任清华大学教授，而是留在上海筹备中央研究院数学研究所，这对中国数学发展至关重要，而对吴文俊来说，这的确是千载难逢的大好机会。

吴文俊经过赵孟养介绍，同他的朋友钱圣友一起去见陈省身，当时，他有点担忧，他亲戚给他打气，说陈先生是学者，只考虑学术，不考虑其他，不妨放胆直言。于是他同陈先生见面时，就直率提出想去数学所工作。当时，陈省身不置可否，但送他出门时，却说，你的事我放在心上。果然，陈省身慧眼识英才，不久就通知他去上班。这一决定使吴文俊走上数学研究的道路。

当时数学所筹备处规模很小，在岳阳路几个单位中，只占据一座楼的第二层，最大的一间供会议与报告之用，次大的一间是图书室，吴文俊的工作地点就在图书室内，其他人分居其他各室。吴文俊很喜欢学习，他总是在图书室阅览书刊。有一次，陈省身来图书馆，就同他说，你该还债了，意思是，不要只看书，要想问题写文章了。吴文俊的确也是爱思考、富于创见的人，但他的基础，主要还是点集拓扑方面的。一次他把自己这方面的成果给陈省身看时，陈省身立即指出，你的方向不对。正是陈省身这句话扭转了他的研究方向，真正走上代数拓扑学的康庄大道。

在当时，代数拓扑学虽然已有50年历史，却方兴未艾。正是战后十年，由于包括陈省身和吴文俊等人在内的努力，这个当时的“灰姑娘”才变成雍容华贵的数学“女王”。刚刚从普林斯顿回国的陈省身敏锐地感到代数拓扑学是未来数学发展的领头羊，而且必将成为影响其他学科的主流学科，因此迅速地决定把这门学科普及到中华大地上。1946年下半年，陈省身每周讲12小时拓扑学，为年轻学子打下基础，听讲的年轻人，不少就成为著名的拓扑学家，特别是吴文俊、陈国才、杨忠道、王宪钟、张素诚、廖山涛等几位。

一旦方向找准，吴文俊以他非凡的智力很快就取得突出的进步。“初生牛犊不怕虎”，吴文俊这时研究的问题是示性类理论的基础，惠特尼（H.Whitney）的乘积公式。这个公式是惠特尼在1940年提出来的，惠特尼是美国数学家，是微分流形理论、示性类理论、奇点理论的奠基者，1981年荣获显赫的沃尔夫（Wolf）数学奖。1935年到1936年，瑞士数学家斯蒂菲尔（E.Stiefel）和惠特尼独立从不同途径提出了示性类，由此开创了示性类理论，它们的示性类也由他们的名字命名，称为斯蒂菲尔-惠特尼示性类。惠特尼乘积公式是一个最基本的公式，但是惠特尼只能证明最低维的情形，他在1941年说，一般公式的证明极为困难。刚刚入门的吴文俊，凭着非凡的胆识及创造，毅然去攻这个难题。当然，道路不会是一帆风顺的。1947年春天，陈省身到北平清华大学去教课，曹锡华和吴文俊同行，他们同住在清华的一间宿舍里，吴文俊每天攻关到深夜，睡觉时觉得证明出来，早晨一觉醒来，就发现错误，于是继续攻关，如此反复多次，最终获得成功。这时离他到数学所还不到一年。这充分显示了吴文俊的实力，吴文俊的这篇著作已成经典，在现在示性论理论中，它成为公理，是整个理论的基石。

在北平待了两三个月，他得到考取中法交换生的消息，这样他赶回上海，准备去法国。他在大学时，已经自学法文，能够流利地阅读法文数学文献。但是听、说又是另一回事。当时他也参加几次法语口语班，但是没有坚持下去。到了法国，日常生活吴能勉强应付，至于数学讨论班，他大致听得懂，没问题，这多少也有点天才。他同数学家私下交流时，大都用英语，沟通没有困难，因此在语言方面问题不大。

1947年暑期，考取中法交换生的40名学生到南京集训。其间法国文化参赞手头已有陈省身的推荐信以及H.嘉当（H.Cartan）准备接受吴文俊的资料，自然把他派到当时嘉当任教授的斯特拉斯堡。这位文化参赞多少有些糊涂，于是他一股脑地把四位学数学的学生以及一位理论物理的金星南都派往斯特拉斯堡。其余的大都去巴黎。

暑假以后，吴文俊就不去数学所筹备处上班。他这一年的经历的确初步打下研究数学，特别是代数拓扑学的基础。正是因为有这至关重要的一年，他才能到法国更上一层楼，与国际接轨，走到数学的前沿。

三、法国四年（1947—1951）

吴文俊到法国原是跟H.嘉当，这是由陈省身的推荐，嘉当回信表示接受，于是，吴文俊来到斯特拉斯堡。但当吴到斯特拉斯堡时，嘉当已去巴黎任高等师范学校教授，因此，他就换一位导师，C.埃瑞斯曼（C.Ehresmann）。埃瑞斯曼也是布尔巴基学派成员，他的博士导师是H.嘉当的父亲，E.嘉当，是当代数学大师，微分几何学的领袖人物。埃瑞斯曼的博士论文主要研究格拉斯曼流形的同调群，而它则是后来示性类研究的基础。埃瑞斯曼有不少原创性的思想，例如纤维丛、近复结构、导网（jet）叶形等，对整个数学至关重要，对吴后来的工作也有一定影响。

吴文俊到了法国，一开始对当时布尔巴基式的抽象很不习惯，也十分不理解，有些不适应。经过埃瑞斯曼等人的指点，吴文俊很快就知道，他所习惯的具体对象与他们所讲的抽象结构是如何对应起来的，很快搞清楚抽象名词背后的具体内容，这道关一破，吴文俊就像过去一样，很快就取得了跳跃式的进步。到了1948年，他已经取得一个又一个的成果了。按照当时的习惯，学生一般难得见到导师，每当有一些成果之后，他才向导师汇报，如果结果很好，导师就会建议他送到《法国科学院周报》（Compten Rendus）上发表。有一次，吴文俊把他做好的一些工作告诉埃瑞斯曼，埃瑞斯曼说，很好，你可以写成文，送到《法国科学院周报》上发表。然后，吴文俊说，我还得到了一个小结果，是关于近复结构的，出乎吴文俊意料的是，他这个自以为不太重要的结果，得到了埃瑞斯曼的称赞，并说这个结果极为重要，要他马上写出来先行发表。吴先生后来回忆起这事，评论道，这才是导师应该起的作用，分清主要的问题和次要的问题。实际上，流形上是否存在复结构是当时大家关注的中心问题。而复结构存在的必要条件是近复结构的存在。近复结构的存在是一个拓扑问题，正好是吴文俊研究的突破所在。通过示性类，吴文俊证明，4维实流形存在近复结构的条件，特别他证明S4n不存在近复结构。这个问题的解决在当时已经引起注意，英国的顶尖拓扑学家J.H.C. 怀特海（Whitehead）写信来了解情况。特别是当时拓扑学界的大权威霍普夫（H.Hopf）知道吴文俊得到若干个惊人结果之后，以为靠不住，于是对埃瑞斯曼“兴师问罪”，以为这是吹牛。不久，霍普夫亲自来到斯特拉斯堡，见到了吴文俊，两人就坐在大学校园的石桌旁，谈起来，到了最后，霍普夫完全信服吴的证明是正确的。他十分高兴，邀请吴文俊到他所在的苏黎世理工大学访问。

1949年初，吴文俊已经得到足够多的结果，埃瑞斯曼提出，可以把它们集中在一起，写成博士论文，于是吴文俊用了不到半年时间，把它们整理成博士论文，于1949年7月答辩，获得法国国家博士学位。但由于导师希望修改之后再出版，因此，出版一再拖延，以至当校样寄来时，吴文俊已在回国的船上。这样吴文俊的博士论文迟到1952年由厄尔曼（Hermann）出版社出版，没有想到，在这三年期间，无论是纤维丛—示性类理论，还是代数拓扑的其他方面都获得了飞跃发展。吴的博士论文没有发挥应有的更大影响，但是，吴文俊的结果已通过其他渠道，传播到世界主要的数学中心。

1947年秋天，吴文俊应H.嘉当的邀请，到巴黎法国国家科学研究中心（CNRS）做研究工作，先任助理研究员后升至副研究员。

在巴黎期间，他在示性类方面又上了一个新台阶。简单说，主要是得出著名的吴文俊公式，这个公式完整地解决斯蒂菲尔-惠特尼示性类的理论问题，其中一个结果是证明该示性类的拓扑不变性。现在公认这个结果为托姆所证，但是，吴文俊最先证明最主要的情形W2的拓扑不变性。这是1949年底得出来的。他的手稿没有发表，他就把结果告诉托姆，托姆很快就得出一般结果，即所有斯替费尔-惠特尼示性类均为拓扑不变量，于是，吴文俊进一步得出该示性类的明显公式，即微分流形M的示性类表示成具体公式其中只包含M的上同调环以及斯廷洛德（N.Steenrod）平方运算。这就是著名的吴文俊公式。由于上同调环和上同调整运算都是同伦不变的，因此斯蒂菲尔-惠特尼示性类也是同伦不变的，从而自然是拓扑不变的。更重要的是，1956年道尔德（A.Dold）等证明，施蒂菲尔-惠特尼示性类的所有关系都由吴文俊公式导出，吴文俊公式自然处于核心地位。

吴文俊回国之前，在各个数学中心传扬着这位年轻人的工作。有人说，这是数学、特别是拓扑学的一次地震。而引发这次地震的是在法国工作的四位年轻数学家，他们依次是这样排序的：塞尔（J.P.Serre）、托姆、吴文俊、A.保莱尔（A.Borel）。塞尔是菲尔兹奖也是沃尔夫奖的获得者，托姆是菲尔兹奖的获得者，A.保莱尔后来是普林斯顿高等研究院的教授，他们都是公认国际一流的大数学家。由此可知吴文俊在当时国际数学界的知名度。1951年，普林斯顿大学的聘书寄到巴黎，这时吴文俊已经在回国的船上了。

四、数学研究所（1952—1958）

吴文俊回国后，先在北大教了一年书，后来参加思想改造运动，到了1952年底，才到了1952年7月成立的数学研究所，开始自己独立的拓扑学研究。

吴文俊在1953年到1957年研究拓扑学可以说是他第二个五年拓扑年。与第一个五年拓扑年不同，他完完全全是独立进行自己的研究工作的。前一个五年，他或多或少受到其他数学家的影响，陈省身、埃瑞斯曼、H.嘉当，而且，幸运的是，这些影响都是积极的、正面的。他与同龄人的交流对彼此也有好处。而现在，他几乎是一个人独自闯关。他还很年轻，30岁出头，可是他得完完全全地独立工作，像一位成熟的数学家那样开拓自己的方向。这时，他不指望任何人的指点与帮助，也没人能指点他，因为他已经站在前沿，前面的路需要自己去摸索。在这种情况下，许多人可以躺在过去的成就上，或者在原有的基础上小改小革，做点小的改进，也能应付下去。但吴文俊不这样，他要与时俱进，开拓新方向，探讨新问题，而且，更为突出的是，他不随大流，甚至说有点反潮流。

当时的拓扑学正好处于黄金时代，20世纪50年代短短10年产生一系列大突破，当时国际数学大奖，只有四年一度的菲尔兹奖，单是这10年的拓扑学就造就了5个获奖者。拓扑学成为大热门。许多结果与吴文俊的成果有关。

但是，身处中国大陆，所能交流的只有苏联、东欧等社会主义国家，而在50年代，由于法国学派和美国年轻一代的努力，这些国家的拓扑学已大大落后了。吴文俊只能自力更生，走出自己的路。他看到当时所知道大多数拓扑不变量，如同调群、上同调、平方运算、同伦群等等都是同伦不变量，那么有没有非同伦不变的拓扑不变量呢？这是一个全新的课题。在塞尔等人在同伦论取得大突破，大家都拼命跟着享用由此获得的大批成果时，谁会钻这个冷门呢？恰巧是吴文俊真的这么干了。

一到数学所，吴文俊就确定自己的战略方向。1952年，他去数学所作了一次报告，对当时的拓扑学做了一次全面分析。在报告中，他针对同伦性问题提出了拓扑性问题。代数拓扑学发展早期，许多著名的重要问题大都是拓扑性的，但由于拓扑学中出现的主要工具，例如欧拉示性数、贝蒂（Betti）数、挠系数、同调群、上同调环、基本群、同伦群等等都是同伦性的，具体说是同伦不变量，当然也是拓扑不变量，但这些工具对拓扑性问题往往无能为力，因而从20世纪30年代以来，拓扑学的发展转而集中于同伦性问题，特别由于塞尔等人的突破，许多原来不能计算的同伦不变量，现在也可以计算了，更使同伦性问题成为当时拓扑学发展的主流。在这个问题上，吴文俊明显地表现出他的不随大流的“反潮流”的独创精神。

吴文俊在报告中重新提出拓扑性问题，而且他创立一般方法系统引入非同伦不变的拓扑不变量，特别是n重约化积，有了新工具之后，他用它去研究各种拓扑性问题。当然，一切都要经过试验，试验中也有问题不能用这种办法解决，但是，在嵌入问题上却取得辉煌的成功，从而系统地建立了示嵌类理论。在嵌入问题取得成功之后，他又用来解决浸入问题和同痕问题。

1957年，吴文俊把他的理论整理成书，在数学所油印成册。其后由于“大跃进”工作停顿，1964年将此书修订后，总结于《多胞形在欧氏空间中的嵌入，浸入及同痕》一书，1965年由科学出版社出版，上两本均为英文，中译本《可剖形在欧氏空间中的实现问题》一直到“文化大革命”结束时才问世，但是其中主要结果在1958年前均已做出。

在数学所5年间，吴文俊另一项工作是关于庞特里亚金示性类的拓扑不变性问题。吴文俊在系统完成斯蒂菲尔-惠特尼示性类的工作之后，自然考虑庞特里亚金示性类的同样问题。但庞特里亚金示性类问题要难得多，许多问题至今还没有解决。吴文俊研究时，只有庞特里亚金的一个简报（1942）及一篇论文（1947）。庞特里亚金的主要论文是俄文的，他在法国就是靠字典一个字一个字查看明白的。吴文俊在做博士论文时，首先系统地建立庞特里亚金示性类的理论，并确定庞特里亚金示性类与陈省身示性类之间的重要关系。庞特里亚金原来用的同调，吴首先把它改造成上同调，并对其里腔分解作了一系列简化。值得一提的是庞特里亚金示性类的名称也是吴文俊首先提出的，这些基础工作后来得到世界公认。

吴文俊回国后，希望能证明某些庞特里亚金示性类的拓扑不变性，但是，当时工具不多。他首先用自己的拓扑不变量证明模3类的拓扑不变性，后来又用新的上同调运算证明模4的拓扑不变性，其后又推出某些庞特里亚金的模p组合的拓扑不变性。

1958年，吴文俊应邀来到阔别6年半的法国。当时他的博士导师埃瑞斯曼已去巴黎任教，于是自然成为接待吴文俊的东道主。在巴黎，他报告了他在国内独立创立的示嵌类的工作，受到普遍的关注。他做了一系列的讲演，听讲者中有瑞士数学家海富里热（A.Haefliger），后来他做了嵌入方面出色的工作，就是受了吴文俊的影响。

埃瑞斯曼听过吴文俊的工作后十分惊喜，说“没想到你做出来如此出色的工作”。当然，他们不了解，在与世界隔绝的新中国，也能出现像吴文俊那样的不亚于法国同行的独创性结果。这时，吴文俊的工作真正处于国际领先的地位，许多人跟着他的步伐前进。

五、从“大跃进”到“文化大革命”（1958—1976）

当吴文俊从法国回国时，国内形势已经大变样。全国一片“大跃进”的形势，理论工作完全停摆，除了修水库、大炼钢铁、除四害、打麻雀之外，数学工作完全要理论联系实际。二年之后，理论研究再度“复辟”。三年后，开始了“四清”及“文化大革命”。近20年，也就是吴文俊，仍然在许多新领域有所创造，特别是对策论、奇点理论、拓扑学、布线理论以及代数几何学等还进行大量数学工作。而最重要的是，在“文化大革命”后期，他完成自己研究方向的巨大改变，通过中国数学史走向数学机械化。

1958年吴文俊首先改行学运筹学，学新东西难不倒他。运筹学中只有线性规划在国内有所发展，但还有其他几个分支尚待开发，吴文俊先是学习排队论，学过一段时间以后，又改学对策论。在对策论方面，他花了两年多时间。吴文俊是在中国首先引进对策论，并首先做这方面研究的人。

对策论又称博弈论，公认为由大数学家冯·诺伊曼奠定基础。对策论或为一门独立学科的标志是冯·诺伊曼和奥地利经济学家摩根斯坦（O.Morgenstein）合著《对策论与经济行为》，在1944年出版。从书名来看，对策论与数理经济学密切相关，显示，这种经济学是资产阶级经济学，在当时的中国是讳莫如深的。而对策论如果脱掉经济学的干系，却是一门由数学家建立的数学分支，在运筹学蓬勃发展的50年代被纳入运筹学这个大家庭中，借着运筹学的庇护，进入“理论联系实际”的数学领域。

对策论有一个基本定理，二人对策的极大极小定理。这个定理是对策论的基石，冯·诺伊曼在1928年首先给出一个完整的证明，其后他又给出另外三个证明。而第二个证明是用拓扑学中熟知的布劳威尔（Brouwer）不动点定理。而这正好是吴文俊理解对策论的切入点，也是他研究的出发点。与此相反，排队论则完全是另外一套新概念，和他没有任何共同语言。

找到了共同点，吴文俊很快就上了路。1959年初，他的第一篇对策论论文《关于博弈理论基本定理的一个注记》发表，这是中国第一项对策论的研究工作。

同时，他还写了一篇普及性文章“博弈论杂谈：（一）二人博弈”，深入浅出地介绍了基本定理的证明。在这篇文章中，第一次明确提出“田忌赛马”的故事。这篇1959年的论文，也第一次道出中国古代思想中的对策论思想。当时，他对中国数学史可以说还一无所知，可是，他已经在西文数学文献的海洋中分析出其核心的思想以及中国古代的先进思想。这也说明他后来对中国数学史研究并非出于偶然。这篇文章之后，本应有（二）、（三），但是遗憾的是，后面的文章从未发表。

吴文俊善于抓住一门学科的主要问题，这不能不让人佩服，吴文俊对于这门过路的课题，虽然认为自己的工作微不足道，可是还是抓住了发展的主题，留下了自己的痕迹。原来冯·诺伊曼主要讨论的是合作对策，而其后对策论的一大突破则是纳什（J.Nash）的非合作对策。现在纳什已经变得家喻户晓，甚至上了电影的人物。可是在50年代，纳什的工作并没有多少人跟着做，纳什本人也转向纯数学的研究，并在吴文俊走向这个领域时精神失常。但吴文俊认出其重要性，他写了两篇非合作对策的论文，第一篇在1961年发表，后来一篇写后给他的学生江嘉禾看，江指出有些小错，于是两人合作发表。吴文俊对于活动区域受限制的情况下，利用角谷不动点定理的推广，推广了纳什定理。在一般情况下，均衡点未必存在，吴文俊等还引进“本性均衡点”的概念，它具有更好的性质，即没有本性均衡点的对策，多多少少是例外的情形。

纳什这位数学家的杰出思想，经过数学家与经济学家的通力合作，在60年代到70年代成为与经济现实密切联系的工具。到80年代，对策论早已跳出运筹学的范围投入经济学的怀抱，成为经济学的一门主课。大部分对策论工作是在经济系做的。

在冯·诺伊曼和摩根斯坦的奠基性著作《对策论和经济行为》发表50周年，诺贝尔经济学奖发给纳什和其他两位经济学家，奖励他们在非合作对策方面的奠基性工作，这再次肯定离异很久的经济学和对策论再度联姻。对策论成为经济学大家族的正式成员。

正是由于纳什不可思议地再度辉煌，沿着纳什路线稍做改进的吴文俊等的工作也受到关注并被引用。

六、中国数学史（1974—2017）

“文化大革命”对于科学家和中国科学事业是一场灾难，对吴文俊也不例外。但是，吴文俊与常人不同之处在于，他能够突破逆境，变坏事为好事，化腐朽为神奇。55岁对于一位数学家来说，一般已经过了最好的时期，的确可以躺在过去的成绩上享清福了。吴文俊再次不同于常人，他开始了第二次长征：从中国数学史过渡到数学机械化，而这与他前期的研究可以说毫无共同之处。

“文化大革命”发展到1974年已经8年了。林彪事件之后，数学所的业务工作稍有恢复。就在这当口，“四人帮”掀起一波“批林批孔”运动。在运动中，由于“批孔”的关系，对于历史要进行盘点，这使得吴文俊开始对于数学史进行探讨。他发现以西方为主的数学思想成为主导数学及数学史研究的中心，而对中国古代数学完全视而不见、置之不顾。这使他很气愤，从此开始对中国数学史进行正本清源式的清理，结果做出一系列的重大发现，而且进一步概括中国数学的与西方完全不同的特点。这一下子扭转中国数学史研究的方向，给数学史以很大的冲击。1986年，吴文俊被邀请在国际数学家大会上做45分钟的报告，集中反映了他12年研究的结果。时至今日，他对中国数学史仍在进一步深入研究。

七、数学机械化（1976—2017）

1976年10月“四人帮”的破灭标志着“文化大革命”的结束，中国迎来科学的春天。吴文俊这时可以全心全意投入科研，毫无后顾之忧了。正好这时，他开始一整套新计划——数学机械化。

吴文俊的数学机械化思想不是一时心血来潮，而是长期思考导致的战略转变。他认清计算机出现对人类工作和生活的巨大促进，更认识到计算机对于未来脑力劳动机械化的潜在影响。要知道，当时还没有微机，微软也刚刚建立，没人想到十年之后、二十年之后的变化。吴文俊想得更远，他不仅看到体力劳动的机械化，更高瞻远瞩地看到脑力劳动的机械化。而数学正是最纯粹的脑力劳动。脑力劳动的机械化当然从数学做起，数学的两大任务是证明定理及计算，数值计算不成问题。问题是如何把证明化为符号计算并且由计算机实现，这就是数学机械化中心思想。

大部分数学定理是不能机械化的，但是这不是全部，吴文俊必须做出一个示范，从简单但并非平凡不足道的问题入手，他从平面几何开始，在1976年底取得成功。

不可否认，在1976年底，1977年初，科研环境稍有改善，但人们的思想则远未解放。长期以来，西方数学在数学领域占主流地方形成一种思想定式，对于“标新立异”之作持怀疑态度。不可否认也有一些人“妄自菲薄”，而吴文俊早就知道，站在国际前沿的数学家什么样，他在这个圈子里待过，在国内工作时也做出国际领先水平的贡献，尤其是中国数学史告诉他在16世纪之前，中国数学优于西方。尽管有种种议论，也有一些数学家是支持他的，例如数理逻辑家胡世华和调和分析专家程民德等，尤其是关肇直，对他更是全力支持。关肇直在1979年末成立系统科学研究所，就声称吴文俊愿意搞什么就可以搞什么，不幸，关肇直于1982年11月去世。这样，在很长一段时间中，吴几乎是孤军奋战。1984年他取得系统的成就，并得到国外的广泛注意。大约同时，他开始招收研究生，这样影响一点一点扩大。研究机械化的成员只是系统所一个小研究室——基础室的一小部分。

这一次又是重复拓扑学情形。从1979年起，吴文俊几乎年年出国，他的数学机械化许多成果已经享誉国际，这引起许多科学家的注意，特别是程民德先生等都及时地把吴的工作在国际上的反响反映给领导，另一方面，日本搞的第五代计算机虽然吹得沸沸扬扬，最后以失败告终。这是由于他们在理论上及实际上没有稳固的基础，与此相较，吴文俊的数学机械化，理论上是可靠的，方法是可行的，这恰巧是人工智能方面最为重要的。这样，吴方法也受到国内外研究人工智能方面人士的注意。在这种情况下，从科委、科学院这一级开始对吴文俊的数学机械化研究进行有效的支持，其标志就是1990年8月数学机械化研究中心正式成立。这样20世纪90年代成为吴文俊研究兴旺发达的十年。

比起拓扑学来，吴文俊的数学机械化思想更具有革命性。它包含丰富的内容，这里只能概括一下要点：

（1）解决问题的普遍框架。首先，将任何问题化为数学问题，其次，将数学问题化为代数问题，最后，将代数问题化为求解代数方程组的问题。当然，这个普遍框架每一步不一定行得通，但一旦行得通，问题就化为求解代数方程组的问题。

（2）求解代数方程组是数学上极为困难的问题。在理论上属于代数几何学。但是，西方数学难以建立有效算法来真正去解这个方程组。而吴文俊方法恰巧能有效地做到这一点。

（3）由于理论的可靠性及方法的可行性，产生许多重大的应用，理论上自动推理，例如由开普勒定律推出牛顿万有引力定理，在实用上，解决力学、物理、化学、机器人、连杆设计等一系列问题。

在1999年5月庆祝吴文俊80寿诞之际，张恭庆发言指出，吴文俊是中国数学界的一面旗帜。这句话准确地概括吴文俊学识、工作、人品及思想各个方面。本文只是对他在学术上的影响略陈一、二。更详细内容参看—以及中一些论文。吴文俊的著作目录参见。关于数学机械化的最新综述，参看。

参考文献

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（此文发表于《自然辩证法通讯》2003年第1期）