2.1　几何图形的作图

2.1.1　直线段的等分

任意等分直线段的方法如图2-1所示（如将线段AB四等分）。

作图步骤:

① 过线段的端点A（或B）做任一直线AC;

② 在直线AC上，以任意长度为单位截取4个等分点，得1、2、3、4;

③ 连点B、4;

④ 过AC上各等分点作B4的平行线与AB相交，其交点即为所求的等分点。

2.1.2　作直线的垂线

2.1.2.1　作直线的垂直平分线

作线段AB的垂直平分线，如图2-2所示。

作图步骤:

① 分别以线段的端点A，B为圆心，取R>AB/2为半径，作两圆弧相交于M、N;

② 连接M、N，MN即为所求的垂直平分线。

2.1.2.2　过直线外一点作垂线

过直线AB外一点M作直线AB的垂线，如图2-3所示。

方法1，如图2-3（a）所示。

作图步骤:

① 过点M作任意直线与已知直线AB相交于点C;

② 以MC的中点O为圆心，OC为半径作圆，与AB相交于点N;

③ 连接M、N，MN即为所求的垂线。

方法2，如图2-3（b）所示。

作图步骤:

① 以点M为圆心，任意长为半径作弧，与AB相交于点C、D;

② 作CD的垂直平分线NM，即为所求的垂线。

2.1.2.3　过直线内一点作垂线

过直线AB上已知点M作该直线的垂线，如图2-4所示。

方法1，如图2-4（a）所示。

作图步骤:

① 以直线外任意一点O为圆心，OM为半径作圆，与直线相交于点C;

② 连接O、C并延长，与圆相交于N;

③ 连接M、N，MN即为所求的垂线。

方法2，如图2-4（b）所示。

作图步骤:

① 以点M为圆心，取任意长为半径作半圆，与AB相交于点C和D;

② 作CD的垂直平分线MN，即为所求垂线。

2.1.3　作直线的平行线

2.1.3.1　按已知距离作平行线

已知距离S，作直线平行于AB，且与AB距离为S，如图2-5所示。

作图步骤:

① 在直线AB上取任意两点M、N，过M和N分别作AB垂线（作法如图2-4）;

② 在两垂线上分别截取长度MT1=NT2=S;

③ 连接T1、T2，T1T2即为所求直线。

2.1.3.2　过直线外一点作平行线

过直线外任意一点C，作AB的平行线CD，如图2-6所示。

作图步骤:

① 在直线AB上任取一点M，以M为圆心，MC为半径作弧R1，与AB交于点N;

② 以点C为圆心，MC为半径作弧R2，与AB交于点M;

③ 以M为圆心，NC为半径作弧R，与弧R2交于点D;

④ 连接C、D，CD即为所求直线。

2.1.4　圆及圆弧的作图

2.1.4.1　过不在同一直线上的三点作圆

已知A、B、C三点，作过此三点的圆，如图2-7所示。

作图步骤:

① 分别连接A、B和B、C;

② 分别作AB、BC两线段的垂直平分线，交于一点O，即为所求圆圆心，且OA=OB=OC;　

③ 以O为圆心，OA（或OB或OC）为半径作圆，此圆即为所求。

2.1.4.2　作已知圆弧的圆心

已知圆弧，求其圆心O，如图2-8所示。

作图步骤:

① 在上任作两条弦AB和BC;

② 作AB、BC两弦的垂直平分线，其交点O即为所求的圆心。

2.1.4.3　作圆周展开长度（近似作图）

已知圆，求作展开长度L，如图2-9所示。

作图步骤:

① 在圆上取点A及M，并使OA⊥OM;

② 作MNOA，并使MN=3d（d为圆的直径）;

③ 以A为圆心，AO为半径作弧交圆于点B;

④ 过B作MN的平行线，与OM的延长线相交于点K;

⑤ KN长度即为该圆周的近似展开长度L。

2.1.4.4　按已知圆周的展开长度作其半径（近似作图）

已知圆周的展开长度L，用作图法求圆的半径R，如图2-10所示。

作图步骤:

① 取AB=L，并在AB上作点C，使AC=AB;

② 作AD⊥AB;

③ 作∠BAD的角平分线AF;

④ 以C为圆心，CB为半径作弧，交AF于点K;

⑤ 作KEAB，AE长度即为所求圆的半径R。

2.1.4.5　作已知圆弧的展开长度（近似作图）

已知圆弧，O为其圆心，作其展开长度，如图2-11所示。

作图步骤:

① 作已知圆弧所对应的弦AB;

② 在AB线上的反向延长线上取AC=AB;

③ 以C为圆心，CB为半径作弧;

④ 过点A作OA的垂线与弧相交于E，AE长度即为圆弧的近似展开长度。

2.1.4.6　已知圆弧的展开长度及半径作圆弧（近似作图）

已知圆弧的展开长度L及半径R，求作圆弧，如图2-12所示。

作图步骤:

① 以任一点O为圆心，R为半径，作弧;

② 过点A作OA的垂线AC使其长度等于展开长度L;

③ 在AC上取点D，使AD=AC;

④ 以D为圆心，DC为半径作弧，交于点B，弧即为所求。

2.1.4.7　圆弧的等分

已知圆弧，用作图法将四等分，如图2-13所示。

作图步骤:

① 先作出圆弧的展开长度线AC（参考图2-11）;

② 四等分线段AC;

③ 画出各段等分展开长度所对应的弧长（参考图2-12）。

2.1.5　直线与圆弧连接

2.1.5.1　过圆上一点作圆的切线

已知圆上一点A，过点A作该圆的切线，如图2-14所示。

作图步骤:

① 连接圆心O和切点A;

② 作OA的垂直平分线;

③ 在垂直平分线上任取一点O1（不在OA上），以O1为圆心、O1A为半径作半圆，交OO1的延长线于点B;

④ 连A、B两点，AB即为所求的切线。

2.1.5.2　过圆外一点作圆的切线

已知圆外一点A，过点A作该圆的切线，如图2-15所示。

作图步骤:

① 作点A与圆心O的连线;

② 以OA的中点O1为圆心，OO1为半径作弧，与已知圆相交于点C1、C2;

③ 分别连接点A、C1和点A、C2，AC1和AC2即为所求切线。

2.1.5.3　作两圆的公切线

（1）已知圆O1和圆O2，求作同侧公切线

如图2-16所示，作图步骤:

① 以O2为圆心，R2-R1为半径作辅助圆;

② 过O1作辅助圆的切线O1C;

③ 连接O2C并延长，使与圆O2交于C2;

④ 作O1C1O2C2，连接C1、C2，C1C2即为所求的公切线。

（2）已知圆O1和圆O2，求作异侧公切线

如图2-17所示，作图步骤:

① 以O1O2为直径作辅助圆;

② 以O2为圆心，R2+R1为半径作弧，与辅助圆相交于点K;

③ 连O2K与圆O2相交于C2;

④ 作O1C1O2C2，连接C1、C2，C1C2即为所求的公切线。

2.1.5.4　圆弧连接两已知直线

用半径为R的圆弧连接两已知直线AB和CD，如图2-18所示。

作图步骤:

① 分别作与两已知直线AB、CD相距为R的平行线L1，L2，相交于点O，点O即半径为R的连接弧的圆心;

② 过点O分别作AB及CD垂线，垂足为K1和K2，即为切点;

③ 以O为圆心，R为半径，自点K1至K2画圆弧，即为所求圆弧。

2.1.5.5　圆弧连接已知直线和圆弧

用半径为R的圆弧连接已知直线AB和圆弧（半径R1），如图2-19所示。

作图步骤:

① 作与已知直线AB相距为R的平行线MN，以已知圆弧（半径R1）的圆心O1为圆心，R1+R（外切时）或∣R1-R∣（内切时）为半径画弧，与L交于点O，点O即半径为R的连接弧的圆心;

② 以点O为圆心，作AB的垂线，垂足为K2;再作两圆心连线OO1（外切时）或两圆心连线OO1的延长线（内切时），与已知圆弧（半径R1）相交于点K1，则K1、K2即为切点;

③ 以O为圆心，R为半径，自点K1至K2画圆弧，即为所求圆弧。

2.1.6　圆弧与圆弧连接

2.1.6.1　圆弧与两已知圆相切

（1）作半径为R的圆弧，与两已知圆O1、O2内切

如图2-20所示，作图步骤:

① 分别以点O1、O2为圆心，以R-R1和R-R2为半径作圆弧，两弧相交于O，点O即为所求圆弧的圆心;

② 连线OO1和OO2，分别与两已知圆相交于T1，T2，即为切点。

（2）作半径为R的圆弧，与已知圆O1、O2外切

如图2-21所示，作图步骤:

① 分别以点O1、O2为圆心，以R+R1和R+R2为半径作圆弧，两弧相交于点O，点O即为所求圆弧的圆心;

② 连线OO1和OO2，分别与两已知圆相交于T1，T2，点T1，T2即为切点。

（3）作半径为R圆弧，与已知圆O1内切，与已知圆O2外切

如图2-22所示，作图步骤:

① 以O1为圆心，R-R1为半径作弧，以O2为圆心，R+R2为半径作弧，两弧交点O即为所求圆弧的圆心;

② 连线OO1和OO2，分别与两已知圆相交于T1，T2，即为切点。

2.1.6.2　作圆与三同径已知圆相切

已知圆O1、O2、O3，半径R相等，求作圆O与三圆相切，如图2-23所示。

作图步骤:

① 作三已知圆的圆心连线O1O2、O2O3、O3O1;

② 作O1O2、O2O3、O3O1中任意两直线的垂直平分线;

③ 两条垂直平分线的交点O即为公切圆的圆心，内公切圆半径为OO1-R，外公切圆半径为OO1+R。

2.1.6.3　作圆与三异径已知圆相切

已知圆O1、O2、O3，半径不等，求作圆O与三圆外切，如图2-24所示。

作图步骤:

① 圆O1、O2、O3半径分别为R1、R2、R3，以点O2、O3为圆心，R2-R1和R3-R1为半径，分别作两个辅助圆;

② 作两辅助圆的同侧外公切线，切点为T2，T3;

③ T2T3与O2O3相交于点A;

④ 过O1、T2，T3三点作辅助圆S，与AO1相交于点B;

⑤ 作O1B中垂线，并在中垂线上任取一点X，以点X为圆心，XB为半径作圆，交圆O3于点E、F，连接E、F并延长，交AO1于点C;

⑥ 过点C作直线与O3辅助圆相切于D;

⑦ 过B、D、O1三点作辅助圆，圆心即为点O;

⑧ 以O为圆心，OD+R1为半径作圆，即为所求。

2.1.6.4　圆弧连接综合作图

（1）过圆外一点作弧与已知圆相切于定点

过圆外一点A作弧与已知圆相切于点B，如图2-25所示。

作图步骤:

① 作A、B连线的垂直平分线;

② 连接点O、B并延长，与AB的垂直平分线相交于点O1，点O1即所求相切圆弧的圆心，半径R=O1B=O1A。

（2）过圆外两点作弧与已知圆相切

过圆外两点A和B作圆弧与已知圆相切，如图2-26所示。

作图步骤:

① 连接A、B，在AB的垂直平分线上任取一点S，以点S为圆心（点S不在AB上），以SA=SB为半径作弧，与已知圆O相交于点M和点N;

② 连接点M、N，MN与AB相交于点C;

③ 过点C作已知圆O的切线，切点为T1和T2;

④ 作直线OT1和OT2，与AB的垂直平分线相交于O1和O2;O1、O2即为所求圆弧圆心的两个解，半径分别为O1T1及O2T2。

（3）作圆弧与已知直线及已知圆相切

作半径为R的圆弧与已知直线l及已知圆O1外切，如图2-27所示。

作图步骤:

① 以点O1为圆心，R1+R为半径作辅助圆;

② 作直线l1l，其距离为半径R;

③ l1与辅助圆交于点A和点B，点A和点B即为所求相切圆弧的圆心。

（4）过两已知点作圆与已知直线相切

过A、B两点作圆与已知线l相切，如图2-28所示。

作图步骤:

① 连接点A、B，作AB的中垂线l';

② 在线l'上任取一点C（不在AB上），以点C为圆心，CA=CB为半径作圆;

③ AB延长线与l相交于点G，过点G作直线与辅助圆相切于T;

④ 以G为圆心，GT为半径作弧，交l于点D;

⑤ 过点D作l的垂线，交l'于点O，点O即为所求圆的圆心。

（5）过已知点作圆与两相交直线相切

过点A作圆与相交两直线l1、l2相切，如图2-29所示。

作图步骤:

① 作两相交直线l1及l2的角平分线l';

② 作点A关于l'的对称点A';

③ 在l'上取一点C，以点C为圆心、CA=CA'为半径作辅助圆;

④ 连接点A、A'并延长，交l2于点K，过点K作辅助圆的切线KT，切点为T;

⑤ 以点K为圆心，KT为半径作弧，交l2于点D;

⑥ 过点D作l2的垂线，交l'于O。点O及为所求圆的圆心。

（6）过已知点作圆与已知直线及圆相切

过已知点A作圆与直线l及圆O相切，如图2-30所示。

作图步骤:

① 过圆心O作l的垂线，垂足为P，OP与圆O相交于点B、C;

② 过点A、B、P作辅助圆S，与CA相交于点A';

③ 延长CA交l于点K，过点K作辅助圆S的切线，切点为T;

④ 以点K为圆心，KT为半径作弧，交l于点D;

⑤ 过点D作l的垂线与线段AA'的中垂线相交于点O'，点O'即为所求圆心。

（7）作圆与已知圆及两相交直线相切

作圆与两相交直线l1、l2和圆O都相切，如图2-31所示。

作图步骤:

① 作直线m1、m2分别平行已知直线l1、l2，其距离为已知圆O的半径R;

② 作l1及l2的角平分线l3;

③ 过圆心O作l3的垂线，与m1相交于点A;

④ 在l3上任取一点C，以C为圆心，CO为半径作辅助圆;

⑤ 过点A作直线与辅助圆相切于T;

⑥ 以点A为圆心，AT为半径作弧，交m1于点D;

⑦ 作线段OD的垂直平分线，交l3于点O'，O'即为所求圆心。

2.1.7　角

2.1.7.1　角等分线

已知∠AOB=θ，作角等分线OE，如图2-32所示。

作图步骤:

① 以顶点O为圆心，取任意半径R作弧，与角的两边相交于点C、D;

② 分别以点C、D为圆心，R为半径作弧，两弧相交于点E;

③ 连接OE，即为∠AOB的等分线。

2.1.7.2　作30°角及60°角

作∠AOC=30°，∠BOC=60°，如图2-33所示。

作图步骤:

① 过O点作直角;

② 以点O为圆心，取任意半径R作弧，与直角的两边相交于点A、B;

③ 以点B为圆心，R为半径作弧，与弧交于点C，则∠AOC=30°，∠BOC=60°。（或者30°角也可以用等分60°角的方法作图，如图∠COD=∠BOD=30°。）

2.1.7.3　作15°角、45°角及75°角

作∠BOC=15°，∠AOE=45°，∠COA=75°，如图2-34所示。

作图步骤:

① 将直角AOB分为∠BOD=30°和∠AOD=60°;

② 等分30°角为∠BOC=∠COD=15°;

③ 截取=，得∠AOE=45°;

④ ∠COA=75°。

2.1.8　正多边形

2.1.8.1　正三角形

（1）已知边长L，作正三角形

如图2-35（a）所示，作图步骤:

① 作直线AB等于边长L;

② 分别以点A、B为圆心，边长L为半径，作两弧相交于点C;

③ △ABC即为所求。

（2）作已知圆的内接正三角形，圆半径为R

如图2-35（b）所示，作图步骤:

① 以圆的直径端点C为圆心，R为半径作弧，与圆相交于点A、B;

② 连接A、B、C三点即为所求的正三角形。

2.1.8.2　正四边形

（1）已知边长L，作正四边形

如图2-36（a）所示，作图步骤:

① 作直线AB等于边长L;

② 过点A作垂线，并以点A为圆心、边长L为半径作弧，与垂线相交于点D;

③ 分别以D、B为圆心，L为半径作两弧相交于C，四边形ABCD即为所求。

（2）作已知圆的内接正四边形

如图2-36（b）所示，作图步骤:

作四个象限角的角平分线与圆周相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD即为所求。

2.1.8.3　正五边形

（1）已知边长L，作正五边形

如图2-37（a）所示，作图步骤:

① 作直线AB等于边长L;

② 分别以点A、B为圆心，线段AB长为半径作弧，交点为N;

③ 连接N和AB中点M，在MN延长线上取D点，使ND=AB;

④ 以点D为圆心，AB为半径作弧，交前两段弧于点C、E，连接A、B、C、D、E，ABCDE即为所求。

（2）作已知圆的内接正五边形，近似作图

如图2-37（b）所示，作图步骤:

① 在已知圆中取半径ON的中点F;

② 以点F为圆心，FA为半径作弧与OM交于点G;

③ 以点A为圆心，AG为半径作弧与圆相交于点B、E，AB即为正五边形的近似边长;

④ 分别以点B、E为圆心，AB长为半径作弧，交圆于C、D，依次连接A、B、C、D、E，得正五边形。

2.1.8.4　正六边形

作已知圆的内接正六边形，如图2-38所示。

作图步骤:

以已知圆的直径两端点A，D为圆心，以OA、OD为半径作弧，与圆相交于点B、F、C、E四点，ABCDEF即为所求正六边形。

2.1.8.5　正n边形

作已知圆O的内接正n边形，近似作图，如图2-39所示。

作图步骤:

① 将铅垂直径分为n等份（图中n=7）;

② 以点A为圆心，以AK（圆O的直径）为半径画弧，与水平直径延长线相交于点M，N;

③ 由点M和N分别与偶数（或奇数）点连线，并与圆O相交于点G、F、E、B、C、D;

④ 连接点A、B、C、D、E、F、G得正七边形。

除上述方法，还可利用边长与直径的关系作圆的内接正多边形，如表2-1所示。

2.此表计算公式为:L=dsin。

2.1.9　斜度及锥度

（1）斜度

如图2-40所示，作图步骤:

① 作OD⊥OA;

② 在OD线上取OB为一个单位长度;

③ 在OA线上取OE为n个单位长度，直线BE的斜度即为1∶n，凡与BE线平行的直线，其斜度均为1∶n。

（2）锥度

如图2-41所示，作图步骤:

① 以OA为轴线，过点O作OA的垂线;

② 在垂线上量取BB'为一个单位长度，使OB=OB'=BB';

③ 在OA上取OE为n个单位长度，以BB'为底圆直径、OE为高的圆锥的锥度即为1∶n，凡与BE、B'E平行并对称于轴OA的两直线，均为锥度1∶n的圆锥素线。