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第一章　阻尼与振动

1.1　阻尼

阻尼是反映振动系统运动过程中能量耗散特征的参数，是系统耗损能量的能力，是材料或结构在承受周期应变时以热量方式消耗机械能的本领。阻尼在振动系统中最直观的表现就是能有效地将振动幅值逐渐减小，起到抑制振动、降低噪声，以及避免系统因振动而产生结构疲劳损坏失效等作用。例如，对于桥梁来说，在外载荷（车辆快速通过、风激励）作用下，如果没有合适的阻尼控制，会使桥梁横向振动幅度变化很大，甚至摧毁桥梁；高层建筑受风激励后，产生低频振动，通过设置阻尼器耗损振动能量，保证高层建筑安全；洗衣机、超声波清洗机等设备，进行阻尼控制，大幅降低噪声；航天飞行器在飞行过程中会受到各种激励的作用，为了提高精密设备的可靠性，利用阻尼技术进行减振降噪控制。

导致能量损耗的因素很多：材料内部晶格的排列会使应力和应变产生一个相位差，从而导致交变应力下能量的损耗；结构各个部位的连接处的摩擦力也会导致能量的损耗；结构外部的黏性介质（气体或液体）同样会导致能量的损耗。此外，结构的边界约束条件也会导致能量的损耗。

从工程应用的角度来说，阻尼是指一种工程结构如何将广义振动的能量转换成可以耗损的能量，从而抑制振动、冲击、噪声。阻尼应用包括两个方面：一是由工程材料、工程结构及与其相耦合的流体介质因固有性质所产生的能耗或阻尼；二是经过设计，构成新的或扩大的耗能结构，用以产生或增大阻尼。例如，在各种车辆的门设计中应用阻尼，有效控制关门时产生的振动。

通常按照振动阻尼产生机理的物理现象进行分类，阻尼可分为黏弹性阻尼、结构阻尼、流体阻尼、其他阻尼，如图1.1所示。

图1.1　阻尼的分类

为了便于把握住阻尼的主要性质，根据阻尼作用的主要形式，提出了各种阻尼模型。到目前为止，对于每种阻尼模型，还存在提出阻尼模型描述得仍不够全面准确，原因在于：阻尼力不像惯性力和弹性力，对应于相应的状态变量（加速度和位移）。

在这些阻尼模型中具有共同特征：阻尼矩阵被表示为质量、刚度矩阵、振型和频率的函数。这样做的意义在于：阻尼可以表示为几个变量的函数，从而使阻尼具有明显的物理意义，更重要的是，通过试验数据可以识别模型中的几个待定系数，从而确定整体结构的阻尼矩阵。

从上述分析可知，阻尼的性质不同，所服从的规律也不一致，相应的模型也有差异。因此，表示各种阻尼规律的数学表达式比较复杂，不便于进行分析，需要对阻尼简化模型进行研究，用能量等价的原则来简化阻尼模型是一种有效的方法。常用的方法是将阻尼在振动一个周期内所耗散的能量折算为当量黏性阻尼。

1.1.1　黏弹性阻尼

1865年，Kelvin在预测一些简单系统的自由振动衰减现象后，提出固体材料中存在内阻尼。为了描述这种内阻尼，借用了黏滞性模型，提出固体材料的内阻尼与黏滞流体中的黏滞阻尼相似，与变形速度有关。1892年，Vougt发展并完成了此理论，形成黏弹性阻尼模型。

黏弹性阻尼是振动系统所受力的大小与运动速度成正比而方向相反的阻力引起的能量损耗。黏弹性阻尼发生在材料内振动而产生形变的过程中。物体振动时，部分振动能量损耗在材料内部的黏性内摩擦作用上，并被转换为热能。采用线性阻尼的模型使得分析振动系统特性大为简化。

在振动系统中,黏弹性阻尼是阻尼元件（或阻尼器）对于外力作用的响应,表现为阻尼元件端点的一定的移动速度。图1.2（a）为阻尼器示意图。它所受到的外力（或者其产生的阻尼力），是振动速度的函数，即

　　（1.1）

图1.2　阻尼器示意图

采用线性阻尼模型时，是的线性函数，如图1.2（b）所示。

式（1.1）变为

　　（1.2）

式中，c称为阻尼系数，其量纲为MT ^-¹，通常取单位为N·s/m、N·s/cm、N·s/mm。阻尼系数c是使阻尼器产生单位速度所需施加的力。

振动系统振动时阻尼力所耗散的功为

　　（1.3）

其他形式的阻尼，可用一个周期内所消耗的功来确定当量黏弹性阻尼系数，把它等效成为黏弹性阻尼。

1.1.2　结构阻尼

结构阻尼简单的理解就是结构本身的、内部的阻尼，是引起能量损耗的原因，主要有以下几个方面：①由于材料的内摩擦作用而使机械能逐渐转化为热能消失在周围的介质中, 这是能量耗散的主要原因；②周围介质对振动的阻尼；③节点、支座连接间的摩擦阻力, 主要是由构件之间或构件与支座间的相对运动所产生的；④通过支座基础散失一部分能量。

1927年，Kimball和Lovell通过对18种不同的固体材料进行实验测试，认为在弹性极限范围内，以往假定的黏弹性液体阻尼力的数学模型不适用于描述固体材料的内阻尼。固体材料中阻尼力独立于应变速度，与应变幅值相关。实验测试中发现：每单位体积耗散的能量等于，即，其中为应力幅值，q为比例因子，并称为摩擦常数。

Becker和Fopple等人对大量金属合金材料进行实验观察，得出结论：结构在做简谐振动时，结构阻尼力主要是振幅的函数，与频率无关。1940年，T.Theodorsen和I.E.Garrick在分析飞机颤动问题时，根据Becker等人的实验结论，提出做简谐振动的结构，其阻尼力与速度同相，大小与恢复力成正比。这一模型被广泛用于航空领域。后来，又被人们引入到一般工程结构分析中。由于此模型最初是针对实验所用结构的阻尼提出来的，故此阻尼模型被称为结构阻尼模型。

结构材料实际上不是完全弹性的，在振动过程中也就是处在加载、卸载过程中。每一个振动周期引起一次滞后回线，结构阻尼即由此产生。大量实验指出，对于大多数结构金属（如钢和铝）。结构阻尼在一个周期内所消耗的能量与振幅的平方成正比，而且在很大一个频率范围内与频率无关。

根据能量等价原则，得出当量黏弹性阻尼系数为

　　（1.4）

式中，q为比例因子；ω为振动频率。

1.1.3　流体阻尼

工程实际中，各种结构往往和流体介质接触，如桥梁结构与河水相接触、流体机械与油液相接触、薄壁结构与空气相接触等。大部分流体具有黏滞性，在运动过程中会耗损能量。如图1.3所示，流体在管道中流动，如果流体不具有黏滞性，那么流体在管道中按同等速度运动，如图1.3（a）所示；否则，管内各处流体的流动速度是不等的，大多数情况下，管道轴线截面流体速度呈抛物面形，如图1.3（b）所示。

图1.3　流体在管道中流动

当物体以较大的速度在黏性较小的流体（如空气、液体）中运动时，如图1.3（b）所示，流体内部的速度梯度、流体和管壁的相对速度均会因流体黏滞性产生能耗及阻尼作用，这就是由流体介质所产生的阻尼。流体阻尼力始终与运动速度方向相反，而其大小与速度的平方成正比

　　（1.5）

式中，γ为常数；的方向与速度相反；sgn为符号函数，定义为。

流体阻尼力F_n在一个振动周期内所耗散的能量为

　　（1.6）

式中，ω为振动频率；X为位移幅值。

根据能量等价原则：一个振动周期内由于流体阻尼力F_n所耗散的能量ΔE_c等于当量的黏弹性阻尼所耗散的能量ΔE。

而

　　（1.7）

即式（1.6）与式（1.7）相等，可得到流体阻尼的当量黏弹性阻尼系数为

　　（1.8）

1.1.4　其他阻尼

1.1.4.1　迟滞阻尼

在研究阻尼过程中，当采用黏弹性阻尼模型时，结构系统每周期消耗的能量随着系统运动频率的增加而线性增加。结果与实验事实不一致。为了解释实验事实，一些学者建议采用频率相关阻尼或迟滞阻尼假设：材料应力向量和应变向量之间存在相位差，从而在一个运动周期中有能耗发生。按照这种假设，阻尼力可以表示为

　　（1.9）

式中，h为材料迟滞阻尼常数；ω为振动频率；h/ω看作一个与频率相关的阻尼因子，总内力为

　　（1.10）

式中，k为弹簧刚度，从式（1.10）可以得到稳态简谐振动中，相应的阻尼力的幅值与ω无关，而总内力在力-位移平面上构成的一个斜偏椭圆形滞后回线的面积也不再与ω有关，如图1.4所示。从材料力学的材料加载、卸载曲线可以看出，对一种材料加载到超过弹性极限，然后卸载，并继续往反方向加载，再卸载。一个循环过程中，应力应变曲线会形成一个滞后回线。滞后回线所包的阴影面积表示了材料在一个循环单位体积释放的能量。这部分能量将变成热能散失掉。

图1.4　材料加载、卸载应力应变曲线

1.1.4.2　库仑阻尼

在实际的振动系统中，除上述提到的阻尼外，还有其他能量损耗，如轴承内或零件接合处的摩擦作用，如图1.5所示。库仑阻尼又称干摩擦阻尼，节点、支座连接间的摩擦阻尼是由构件与支座间的相对运动所产生的。质量m与摩擦系数为μ的表面间产生库仑摩擦力F_c=μmg，F_c始终与运动速度的方向相反，而大小保持为常值，即

　　（1.11）

图1.5　库仑阻尼示意图

sgn符号函数中，当时，库仑阻尼力是不定的，它取决于外力的大小，而方向与之相反。

在一个振动周期中振动系统由于库仑阻尼力而耗散的能量为

　　（1.12）

根据能量等价原则，式（1.7）与式（1.12）相等，可以得到库仑阻尼的当量黏弹性阻尼系数为

　　（1.13）

1.1.4.3　比例及非比例阻尼

比例阻尼模型的出现完全是为了数学计算的方便。在求解多自由度系统运动方程时，由于质量和刚度矩阵均具有带权正交性，故质量和刚度矩阵都可以对角化。但是，阻尼矩阵一般情况下都不具有这种正交性。因此，它不能对角化。在这种情况下，多自由度振动系统运动方程不能解耦成单自由度振动系统运动方程求解。为了使阻尼矩阵也可以解耦，Rayleigh首先提出了比例阻尼模型。Rayleigh阻尼理论认为，阻尼矩阵C可以表示为质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合。

　　（1.14）