第二节　平面体的截交线

一、截交线与断面

当平面与平面立体相交时，平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形称为断面。如图3-5所示，平面P称为截平面，交线Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ称为截交线，围成的三角形称为断面。

截交线有如下性质。

①截交线是由直线段围成封闭的平面图形，它的位置取决于平面体的形状以及所截切的位置。

②截交线是截平面与立体表面的共有线，是截平面与棱面的交线，故求作截交线，可归结为求截平面和立体表面的交线。

二、截交线的投影与截交体的投影

要正确画出截交线的投影，要分别求出截交线多边形各顶点的投影，并连接成多边形。以三棱锥的截交线画法为例，如图3-6所示。

分析与作图：

图中三棱锥截交体是由一个水平面和一个正垂面截交切割得到。

在主视图中，两截平面具有积聚性。因此作图时，先求出水平面和侧棱SA的交点D的水平投影d，过d作de // ab，交sb于e，过e作ef // bc，过d作dk // ac，则折线kdef是水平面截三棱锥所得截交线的水平投影。其中，K、F两点是水平面截交线与正垂面截交线的两端点。水平面截交线的侧面投影具有积聚性，为一条水平直线。正垂面切割得到的截交线为GK、GF两条，由于点K、F的三面投影已经求出，因此只需要求出G的三面投影；又由于G在棱线SC上，由正面投影g'可求出水平投影g和侧面投影g″。分别连接gk、gf、g″f″、g″k″即得到截交线的投影。

在作图中应注意，水平截平面和正垂截平面的交线KF是一条正垂线，其正面投影k'f'积聚为一点，其水平投影kf与侧面投影k″f″的长度应相等。最后，应注意重影点的可见性判断。

例3-3　已知四棱柱ABCD（为了简明起见，这里每条棱线用一个字母标记）被正垂面PV所截，求作截切四棱柱的三面投影图，如图3-7所示。

分析与作图：由图3-7所示的V面投影可知，由于PV平面是正垂面，所以截交线的V面投影与PV重合，并与棱柱的上底面和四个侧棱面相交，所以截交线是一个五边形。五个顶点是截平面与四棱柱的A、B、D三条棱线以及上底面的BC、CD两条边的交点。

具体作图方法如图3-7所示。

①根据已知四棱柱的正面投影和水平投影，作出其侧面投影。

②求交点，线段ⅠⅡ是PV平面与顶面ABCD的交线，是一条正垂线，它的正面投影1'、2'由PV与b'c'和d'c'相交得出，积聚为一个点，由此作出其水平投影12及侧面投影1″2″；Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ三点是P平面与四棱柱的D、A、B三条棱线的交点，它们的正面投影为PV与d'、a'、b'之交点，水平投影与a、b、d重合。由此，即可确定它们的侧面投影。

③连点，根据水平投影，把位于立体同一表面上的两交点的同面投影依次连接，即得截交线的各投影。

④判断可见性，因侧面投影AB、AD棱面可见，1″2″、2″3″、1″5″为四棱柱侧面投影的轮廓线，故截交线的侧面投影均可见。

⑤整理完成投影图，将参与相交的各棱线的投影画至交点，画全不参与相交的棱线、底面的投影，并区分可见性。