第一节　二阶、三阶行列式

一、二阶行列式

一般的二元线性方程组形式如

　　 （1-1-1） 　　

其中，x1、x2为未知量，其余均为常数.

用加减消元法解这个方程组，能够得到解的规范化公式.

方程一两边同时乘以a22，方程二两边同乘a12，得

方程一减去方程二得

（a11a22-a12a21）x1=b1a22-a12b2

同理可得　　（a11a22-a12a21）x2=a11b2-b1a21

当a11a22-a12a21≠0时，方程组有唯一解：

　　 （1-1-2） 　　

为了便于记忆方程组的解，引进如下记号，令其表示a11a22-a12a21，即，称此记号为二阶行列式.

其中a11、a12、a21、a22称为这个二阶行列式的元素，横排为行，竖排为列.二阶行列式有两行、两列.元素aij中的i是行标，表示该元素位于第i行.j是列标，表示该元素在第j列.如a21位于第二行、第一列.二阶行列式左上角到右下角的对角线称为主对角线，右上角到左下角的对角线称为次对角线.

计算二阶行列式用对角线法则：主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积.

这种计算也叫做行列式的展开.

根据定义，式（1-1-2）中的分子、分母可以分别记为：

因此可以把二元线性方程组的解式（1-1-2）记为

　　 （1-1-3） 　　

其中，D称为该方程组的系数行列式，这里D≠0.

【例1-1-1】　解二元线性方程组

解：，所以方程组有唯一解.

于是方程组的解为：

二、三阶行列式

对于三元线性方程组

　　 （1-1-4） 　　

解的一般形式更为复杂，因此需要引进类似的记号加以简化.

用来表示代数和

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32

称

aij（i，j=1，2，3）为三阶行列式的元素；aij为第i行第j列上的元素.

三阶行列式为六项的代数和，每一项为取自不同行、不同列的三个元素的乘积.

三阶行列式的计算（展开）用对角线法则

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32

对角线法则只适用于二、三阶行列式的计算.

对于三元线性方程组（1-1-4），当系数行列式时，如果记

则方程组有唯一解

　　 （1-1-5） 　　

【例1-1-2】　计算三阶行列式

解：根据对角线法则，有

D=1×0×6+2×5×（-1）+3×4×0-3×0×（-1）-1×5×0-2×4×6

　=-10-48=-58

【例1-1-3】　a，b满足什么条件时有？

【例1-1-4】　解三元线性方程组

因此，方程组有唯一解