第二节　矩阵的运算

一、矩阵的相等

定义2-2-1　设A=（aij）m×n，B=（bij）m×n，如果A与B对应位置的元素相等，称矩阵A与矩阵B相等.即A=B当且仅当aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）.

【例2-2-1】　设矩阵

且A=B，求a，b，c，d.

解：根据定义2-2-1，由A=B，即

则a=-2，b=1，c=3，d=-5.

二、矩阵的加法

定义2-2-2　两个m行n列的矩阵A=（aij）m×n、B=（bij）m×n对应位置的元素相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B.即

A+B=（aij）m×n+（bij）m×n=（aij+bij）m×n

【例2-2-2】　现有两种物资（单位：吨）从三个产地运往四个销地，其调运方案分别为矩阵A和B，即

求从各产地运往各销地的两种物资的总运量.

解：两种物资总运量

由矩阵的加法和负矩阵的概念可以定义矩阵的减法：

A-B=A+（-B）=（aij）m×n+（-bij）m×n=（aij-bij）m×n

由于矩阵的加法归结于它们元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证矩阵加法满足以下运算律：

（1）交换律：A+B=B+A.

（2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）.

（3）A+O=O+A=A.

（4）A+（-A）=O.

三、数与矩阵的乘法

定义2-2-3　以数k乘以矩阵A=（aij）m×n的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作kA.

kA=k（aij）m×n=（kaij）m×n

矩阵的数乘满足的运算律：设A、B都是m×n矩阵，k、l是数，则

（1）k（A+B）=kA+kB

（2）（k+l）A=kA+lA

（3）（kl）A=k（lA）

（4）l·A=A

【例2-2-3】　设三个产地与四个销地之间的里程（单位：千米）为矩阵A，

若已知货物的每吨每千米的运费为1.5元，求各个产地与各个销地之间每吨货物的运费.

解：设各个产地与各个销地之间每吨货物的运费记为矩阵B，则

【例2-2-4】　已知，且A+2X=B，求X.

【例2-2-5】　设A=（aij）m×n为三阶矩阵，若已知｜A｜=-2，求‖A｜·A｜.

四、矩阵的乘法

定义2-2-4　设矩阵A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，且

，称m×n阶矩阵C=（cij）m×n为矩阵A与矩阵B的积，记为C=AB.即

由定义可知，矩阵A与矩阵B的积C中的第i行第j列的元素是矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积之和.只有当左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等时才可乘.AB常读作A左乘B或B右乘A.

【例2-2-6】　若，，求AB.

，显然AB≠BA.

【例2-2-7】　若，，求AB与BA.

由【例2-2-6】可知，矩阵的乘法不满足交换律，因此矩阵相乘要注意顺序.由【例2-2-7】的BA=O可知，两个非零的矩阵相乘结果可能是零矩阵.如果两个矩阵A与B相乘有AB=BA，称矩阵A与矩阵B是可交换的.

【例2-2-8】　若，，，求AC、BC.

即AC=BC，但A≠B.可见矩阵的乘法不满足消去律.

【例2-2-9】　把线性方程组表示为矩阵乘法.

为该方程组的系数矩阵.

令，，则该方程组可以用矩阵的乘法表示成：

或简记为

AX=b

矩阵的乘法满足以下运算律（设下列矩阵都可以进行有关的运算）：

（1）乘法结合律（AB）C=A（BC）；

（2）数乘结合律k（AB）=（kA）B=A（kB）；

（3）乘法分配律C（A+B）=CA+CB；

　　　　　　　（A+B）C=AC+BC；

（4）AE=EA.

五、矩阵的转置

定义2-2-5　将m×n矩阵A的行与列互换，得到的n×m矩阵称为A的转置矩阵，记为AT或A'.

即如果，则.

【例2-2-10】　设矩阵

写出它们的转置矩阵，并求ATA、AAT及BTB.

转置矩阵有下列性质：

（1）（AT）T=A；

（2）（A+B）T=AT+BT；

（3）（kA）T=kAT（其中k是常数）；

（4）（AB）T=BTAT.

【例2-2-11】　A是对称矩阵，B是反对称矩阵，证明：

（1）A2是对称矩阵；

（2）AB-BA是对称矩阵.

证：（1）因为A是对称矩阵，则AT=A，所以

（A2）T=（AA）T=ATAT=AA=A2；

即A2是对称矩阵.

（2）因为A是对称矩阵，B是反对称矩阵，则AT=A，BT=-B，所以

（AB-BA）T=（AB）T-（BA）T=-BA+AB=AB-BA

即AB-BA是对称矩阵.

六、方阵的幂

定义2-2-6　对于方阵A及正整数k，称为方阵A的k次幂.

当k=0时，规定A0=E.

方阵的幂有如下性质：设A是方阵，k1、k2是自然数，则

（1）

（2）

【例2-2-12】　设矩阵，求Ak，其中k为正整数.

解：当k=2时，.

设k=m时，，则当k=m+1时，

由数学归纳法可知，.

七、方阵的行列式

定义2-2-7　设A是n阶方阵，将A的元素保持原有位置不变所构成的n阶行列式

称为n阶方阵A的行列式，记作｜A｜或detA.

n阶方阵A的行列式有以下性质：

（1）｜AT｜=｜A｜；

（2）｜kA｜=kn｜A｜；

（3）｜AB｜=｜A‖B｜.

【例2-2-13】　设矩阵，，求｜2A｜，｜AB｜.