第五节　克莱姆法则

在二、三元线性方程组求解的过程中，引进了二、三阶行列式，当系数行列式D≠0时，二、三元线性方程组的解可表示为，那么对n元线性方程组有同样的结论.现在解决了计算较高阶的行列式的问题，就可以用n阶行列式解线性方程组了.

一、克莱姆法则

含有n个方程的n元线性方程组的一般形式为：

　　 （1-5-1） 　　

由它的系数构成的行列式

称为该方程组的系数行列式.

定理1-5-1　（克莱姆法则）线性方程组（1-5-1）当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解.

　　 （1-5-2） 　　

是将系数行列式中第j列元素对应地换为常数项列后得到的行列式.

证　以行列式D的第j（j=1，2，…n）列的代数余子式A1j，A2j，…，Anj分别乘方程组（1-5-1）的第一、第二、…、第n个方程，然后相加，得

　　　　　　　（a11A1j+a21A2j+…+an1Anj）x1+…+（a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj）xj+…+（a1nA1j+a2nA2j+…+annAnj）xn

　　　　　　　=b1A1j+b2A2j+…+bnAnj

由式（1-4-1）和式（1-4-2），xj的系数等于D，xs（s≠j）的系数等于零。等号右端等于D中第j列元素乘以常数b1，b2，…，bn项替换后的行列式Dj，即

Djxj=D　　（j=1，2，…n）　　（1-5-3）

如果方程组（1-5-1）有解，则其解必满足方程组（1-5-3），而当D≠0时，方程组（1-5-3）只有形如式（1-5-2）的解

另一方面，将式（1-5-2）带入方程组（1-5-1），容易验证它满足方程组（1-5-1），因此式（1-5-2）是方程组（1-5-1）的解。

综上所述，当方程组（1-5-1）的系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解

【例1-5-1】　解线性方程组

注意　克莱姆法则的应用条件是方程的个数与未知量个数相同，且系数行列式不等于零.

二、n元齐次线性方程组

方程组（1-5-1）中，如果常数项bi=0（i=1，2，…，n），即

　　 （1-5-4） 　　

称为n元齐次线性方程组.显然xj=0（j=1，2，…，n）是它的解，称为零解（当然解）.该齐次线性方程组也可能有非零解.

定理1-5-2　如果齐次线性方程组（1-5-4）的系数行列式D≠0，则它仅有零解.

证　因为D≠0，根据克莱姆法则，该齐次线性方程组有唯一解

又由于行列式Dj（j=1，2，…，n）中有一列的元素全为零，所以Dj=0（j=1，2，…，n），所以齐次线性方程组仅有零解.

由于逆否命题成立，所以如果该齐次方程组有非零解，则它的系数行列式D=0.后面还可以证明：如果D=0，则该齐次方程组有非零解.

【例1-5-2】　判定齐次线性方程组是否仅有零解.

所以方程组仅有零解.

【例1-5-3】　如果下列齐次线性方程组有非零解，k应取何值？

如果该齐次线性方程组有非零解，则D=0，即k=1.