第一节　随机事件

一、随机试验与随机事件

1.随机现象

客观世界中存在着两类现象，一类是确定性现象，另一类是随机现象.

例如，“任意三角形的内角和是多少度”；“从装有10个白球的袋中摸出一个球是什么颜色”，很显然我们用不着去度量内角再计算其和，就能断定任意三角形的内角和必然是180°；同样在从袋中摸球之前，就可以断定所摸到的球是白色.这类在给定条件下，某一结果一定会出现的现象，称为确定性现象.

但是，“随意投掷一枚硬币，落地时哪一面朝上”；“在冰上骑自行车是否会滑倒”；“袋中有两个白球，四个黑球，三个红球，随意摸出一个会是什么颜色”.这三个问题的答案不是唯一确定的，硬币落地时可能是“正面”（有币值的一面）向上，也可能是“反面”（无币值的一面）向上；在冰上骑车可能会滑倒，也可能不会滑倒；从袋中摸一个球，摸到的球可能是白色，可能是黑色，也可能是红色.这类在一定条件下，有多种可能的结果且无法预知哪一个结果将会出现的现象叫做随机现象.

对于随机现象进行一次或少数几次观察，其可能结果中出现哪一个是具有偶然性的；但是大量观察时，会发现所出现的结果具有一定的规律性.这是随机现象的两个显著特点.我们把依据大量观察得到的规律性称为统计规律性.本章的主要任务就是要发现并研究蕴含在随机现象里的规律性中的数量关系.

2.随机试验

由于随机现象的结果事先不能预知，初看似乎没有任何规律.然而，人们发现同一随机现象大量重复出现时，其每种可能的结果出现的频率具有稳定性，从而表明，随机现象也有其固有的规律性.要研究随机现象，找出随机现象的内在规律，就离不开大量的、重复性的随机试验，一次试验如果满足下列条件：

①可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；

②可观察性：试验的所有可能的结果是已知的，并且不止一个；

③不确定性：每次试验出现这些可能结果中的一个，但在一次试验前，不能肯定出现哪一个结果.

这样的试验叫做一次随机试验（简称试验），记为E.随机试验是研究随机现象的手段，如上面例子中“掷一枚硬币，观察正反面出现的情况”；“观察在冰上骑自行车可否滑倒”；从一个有白色球、黑色球、红色球的袋中摸一个观察其颜色都是随机试验.

下面再举几个随机试验的例子：“为了解潮汐现象，每天同一时间测量同一河段的水位高低”；“为掌握假期的客运量，对每天乘车的人数进行统计”；“为了解男女婴儿出生比例，对某医院出生的婴儿性别进行观察”.这些试验都具备随机试验的三个特征.

历史上，研究随机现象统计规律性最著名的实验是抛掷硬币的试验.表1-1-1是历史上抛掷硬币试验的记录.

试验表明，虽然每次抛掷硬币事先无法准确预知出现正面还是反面，但大量重复试验时，发现出现正面和反面的次数大致相等，即各占总试验次数的比例大致为0.5，且随着试验次数的增加，这一比例更加稳定地趋于0.5.这说明虽然随机现象在少数几次试验或观察中其结果没有什么规律性，但通过长期的观察或大量重复的试验可以看出，试验的结果是有规律可循的，这种规律是随机实验的结果自身所具有的特征.

3.样本空间

尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的，但其试验的全部可能结果是在试验前就明确的；或者虽不能确切知道试验的全部可能结果，但可知道它不超过某个范围.

一般地，把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点，称所有样本点的全体为该试验的样本空间，记为S（或Ω）.

例如：①将一枚硬币抛掷两次，观察正面H、反面T出现的情况，则其样本点有四个，即正正、正反、反正和反反，样本空间S={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}.

②将一枚硬币抛掷两次，观察正面出现的次数，则样本空间S={0，1，2}.

③在一批灯泡中任意抽取一个测试其使用寿命，则样本点有无穷多个，且不可数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，样本空间S={t：t≥0}.

④观察某交换台在一天内收到的呼唤次数，其样本点有可数无穷多个，样本空间可简记为S={0，1，2，3，…}.

⑤调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出，结果可以用（x，y）表示，x，y分别是烟、酒年支出的元数，这时，样本空间由坐标平面第一象限内一定区域内一切点构成.另外，也可以按某种标准把支出分为高、中、低三档，这时，样本点有（高，高），（高，中），…，（低，低）等9种，样本空间就由这9个样本点构成.

由以上例子可见，样本空间的元素是由试验目的所确定的.

4.随机事件

在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，往往还关心试验的结果是否具备某一指定的可观察的特征.在概率论中，把具有某一可观察特征的随机试验的结果称为事件.事件可分为以下三类.

（1）随机事件

指在试验中可能发生也可能不发生的事件.随机事件通常用字母A、B、C等表示.

例如，掷一颗质地均匀的骰子，它一共可以有六种不同的结果，即分别掷到的点数是1，2，3，4，5和6，我们用相应的数字代表每一个结果，并将这六个结果组成的集合即概率空间记为Ω：

Ω={1，2，3，4，5，6}

那么，在此例里Ω中有六个基本点，“而掷到奇数点”就是掷到1，3，5点，我们可用Ω的子集{1，3，5}来代表，记为“掷到奇数点”={1，3，5}.类似地，“掷到偶数点”={2，4，6}，“掷到2点”={2}，“掷到6点”={6}，“掷到大于3的点”={4，5，6}.所有这些都是掷一颗质地均匀的骰子这个随机试验出现的各种事件，通常我们称每一个这种事件为一个随机事件（简称事件），用大写的英文字母A、B、C等表示.

（2）必然事件

指在每次试验中都必然发生的事件.通常用S（或Ω）表示.样本空间Ω作为它自己的一个子集是一个特殊的事件，无论试验结果是什么，它总是一定会发生的，所以，我们又称样本空间Ω为必然事件.例如，在上述试验中，“点数小于7”是一个必然事件.

（3）不可能事件

指在任何一次试验中都不可能发生的事件.用空集符号Ø表示.因为无论出现什么试验结果，它都不会在空集中，即不可能事件一定不会发生.例如，在上述试验中，“点数大于8”是一个不可能事件.

显然，必然事件和不可能事件都是确定性事件，今后为研究问题方便，把必然事件和不可能事件都当成特殊的随机事件，并将随机事件简称为事件.

【例1-1-1】　从标有号码1，2，3，…，10的10套题签中抽取一套进行考试（题签用后放回），每次抽得题签的标号可能是1，2，3，…，10中的某一个数，即

试验：从装有标号为1至10的试题签中抽取一个题签.

可能结果：抽到标号1至10号的某一套题签.

于是，“抽得4号题签”为一个随机事件，“抽得标号小于3的题签”也是一个随机事件.

样本空间：Ω={1，2，3，…，10}.

【例1-1-2】　在适宜的条件下，播种代号分别为a、b的两粒玉米种子，观察出苗情况，则可能结果为：“a、b都出苗”——记为A1，“a出b不出”——记为A2，“a不出b出”——记为A3，“a、b都不出”——记为A4，共四种情况，即

试验：观察记录两粒种子的出苗情况.

可能结果：A1，A2，A3，A4.

样本空间：Ω={A1，A2，A3，A4}

此例中至少有一粒出苗={A1，A2，A3}，仅有一粒出苗={A2，A3}，没有一粒出苗={A4}等均为随机事件.

5.事件的集合表示

样本空间S是随机试验的所有可能结果（样本点）的集合，每一个样本点是该集合的一个元素.一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的，所以，一个事件是对应于S中具有相应特征的样本点所构成的集合，它是S的一个子集合.于是，任何一个事件都可以用S的某个子集来表示.

例如，在掷一颗质地均匀的骰子的试验中，A=“掷到奇数点”就可以用A={1，3，5}来表示.

一般地，在一个随机试验得到结果后，如果事件A（A是Ω的子集）中包含这个结果，我们就称在这次随机试验中事件A发生了，否则事件A没有发生.

从数学的角度看，与试验有关的每一件“事情”均可描述成样本空间Ω的一个子集，反之亦然.在一次试验中，倘若我们得到一个结果a∈Ω，那么，如果a∈A，则我们就称事件A发生了，否则就说事件A没有发生.

我们称仅含一个样本点的事件为基本事件；含有两个或两个以上样本点的事件为复合事件.

二、随机事件的关系与运算

1.随机事件的关系

同一试验的不同事件之间往往存在着一定的联系，在实际问题中，随机事件又往往有简单和复杂之分.在研究随机事件发生的规律性时，需要了解事件间的关系，以及事件的合成与分解的数学结构.为此，对事件之间的各种关系及运算有必要作明确规定.

由于随机事件是基本空间的子集，下面就按照集合论中集合的关系和运算给出事件的关系和运算的含义.

（1）包含关系　如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，记作A⊂B，或称事件B包含事件A，记作B⊃A，即A中的基本事件都在B中.

（2）相等关系　如果事件A和事件B互相包含，即A⊂B，B⊂A则称A与B相等，记作A=B，即A与B中的基本事件完全相同.

在例1-1-1中，A=“抽到标号为3的题签”，B=“抽到标号小于5的题签”，C=“抽到标号不超过4的题签”，则A⊂B，B=C.

（3）和事件　“事件A与事件B至少有一个发生”的事件称为事件A与事件B的和事件（又叫并事件），记作A+B（或A∪B）.它是由属于A或B的所有基本事件构成的.在某次试验中事件A∪B发生，则意味着在该次试验中事件A与事件B至少有一个发生.显然A⊂A∪B，B⊂A∪B.

在例1-1-1中，设A=“抽到标号不超过3的题签”，B=“抽到标号超过2不超过5的题签”，则

A∪B=“抽到标号不超过5的题签”

和事件可以推广到更多的事件，即

表示“事件A1，A2，…，An中至少有一个发生”这一事件.

在例1-1-1中，设Ak=“抽到k号题签”，（k=1，2，…，10，）则A1∪A2∪A3∪A4表示“抽到号数不超过4的题签”.

（4）积事件　“事件A与事件B同时发生”的事件称为事件A与事件B的积事件（又叫交事件），记作AB（或A∩B）.它是由既属于A又属于B的所有基本事件组成的.在某次试验中事件A∩B发生则意味着在该次试验中事件A与B同时发生.

在例1-1-2中，设A=“至少有一粒种子出苗”，B=“至多有一粒种子出苗”，则

A∩B=“恰有一粒种子出苗”

积事件也可以推广到更多的事件上去，即

表示“事件A1，A2，…，An同时发生”.

（5）互斥事件　在一次试验中，不能同时发生的两个事件A与B称为互斥事件（或叫互不相容事件）.事件A与B互斥，说明A与B没有相同的基本事件，即A∩B=Ø，这也是两个事件A与B互斥的充要条件.

例如，在例1-1-2中，设A=“没有一粒种子出苗”，B=“恰有一粒种子出苗”，则A与B是互不相容的两个事件.

如果对A1，A2，…，An，有AiAj=Ø（i≠j），则称事件A1，A2，…，An两两互不相容.

（6）差事件　“事件A发生而事件B不发生”的事件为A与B的差事件，记作A-B.它是由属于A但不属于B的基本事件构成的.

例如，在例1-1-1中，A=“抽到标号为3的题签”，B=“抽到标号小于5，大于2的题签”，则B-A=“抽到标号为4的题签”.

（7）对立事件　在一次试验中的两个事件A与B，若A∪B=Ω，且A∩B=Ø，则称A与B为相互对立的事件（又叫互逆事件）.A的对立事件记作，也就是说，包含了样本空间Ω中不属于A的全部基本事件.若A=“A发生”，则“A不发生”.显然=Ω，，，.

注：两个互为对立的事件一定是互斥事件，反之，互斥事件不一定是对立事件，而且，互斥的概念适用于多个事件，但是对立概念只适用于两个事件.

（8）完备事件组　设A1，A2，…，An，…，是有限或可数个事件，若其满足：

①Ai∩Aj=Ø，i≠j，i，j=1，2，…，；

②

则称A1，A2，…，An，…，是一个完备事件组，也称A1，A2，…，An，…，是样本空间Ω的一个划分.

从上面的讨论可以看出，事件之间的各种关系、运算与集合论中集合之间的相应关系、运算是一致的.因此，事件之间的关系和运算可以用直观示意图表示，如图1-1-1.

（9）事件运算的性质

①A⊂A∪B，B⊂A∪B；A∩B⊂A，A∩B⊂B；

②A∩（A∪B）=A，B∩（A∪B）=B；

③A∪A=A，A∩A=A；

④若B⊃A，则AB=A，A∪B=B.

2.事件的运算规律

①交换律　A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.

②结合律　（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）.

③分配律　（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）.

④摩根律　，.

可推广到多个事件：

【例1-1-3】　甲、乙、丙三人各射击1次靶，设A=“甲击中靶”，B=“乙击中靶”，C=“丙击中靶”.试用A、B、C的运算表示下列事件：①“甲未中”；②“甲中乙未中”；③三人中只有丙未中；④三人中恰有一人中；⑤三人中至少一人中；⑥三人中至少一人未中；⑦三人中恰有两人中；⑧三人中至少两人中；⑨三人均未中；⑩三人均中；三人中至多一人中；三人中至多两人中.

解：①“甲未中”：

②“甲中乙未中”：

③三人中只有丙未中：

④三人中恰有一人中：

⑤三人中至少一人中：A+B+C

⑥三人中至少一人未中：

⑦三人中恰有两人中：

⑧三人中至少两人中：AB+BC+AC

⑨三人均未中：

⑩三人均中：ABC

三人中至多一人中：

三人中至多两人中：