1.4　克莱姆法则

含有n个未知数x1，x2，…，xn的n个线性方程的方程组

　　 （1） 　　

与二、三元线性方程组相似，它的解可用n阶行列式表示，即有

克莱姆法则：如果线性方程组（1）的系数行列式不等于零，即

那么，方程组（1）有唯一解

其中，Dj是用b1，b2，…，bn代替D中第j列元素所得到的n阶行列式，即

　　 （2） 　　

证明　用D中第j列元素的代数余子式依次乘以方程组（1）的n个方程，再把它们相加得

由代数余子式的性质得

Dxj=Dj　（j=1，2，…，n）　　（3）

当D≠0时，方程组（1）有唯一解，即

　　 （4） 　　

由于方程组（3）是由方程组（1）经过乘以常数和相加两种运算而得，故方程组（1）的解一定是方程组（3）的解。下面验证方程组（3）的解也是方程组（1）的解。

考虑n+1阶加边行列式

这个行列式有两行元素相同，因而它为0.把它按第一行展开，由于第一行元素aij的代数余子式是

因此　0=biD-ai1D1-ai2D2-…-ainDn

从而知式（4）是方程组（1）的唯一解.

例15　解线性方程组

解　因为系数行列式

所以方程组有唯一解.又

　　 于是得 　　

克莱姆法则也可叙述为如下定理：

定理4　如果线性方程组（1）的系数行列式D≠0，则线性方程组（1）一定有唯一解.

定理4'　如果线性方程组（1）无解或有两个以上不同的解，则它的系数行列式必为零.

当线性方程组（1）的右端的常数项b1，b2，…，bn全为零时，得（1）对应的齐次线性方程组

　　 （5） 　　

显然x1=x2=…=xn=0一定是（5）的解，这个解叫做齐次线性方程组（5）的零解.

如果一组不全为零的数是（5）的解，则它叫做齐次线性方程组（5）的非零解.齐次线性方程组（5）一定有零解，但不一定有非零解.

把定理1应用于齐次线性方程组（5），可得

定理5　如果齐次线性方程组（5）的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组（5）只有零解.

定理5'　如果齐次线性方程组（5）有非零解，则它的系数行列式必为零.

例16　设齐次线性方程组

有非零解，求λ的值.

解　由定理5'可知，此齐次方程组的系数行列式必为零.而

由D=0，得λ=2.

例17　设方程组，试问a，b，c满足什么条件时，方程组有唯一解，并求唯一解.

解　由定理1知方程组有唯一解，则系数行列式D不为零，而

同理，，.所以当D≠0，即a，b，c互不相同时，方程组有唯一解