宇宙体系
·The System of the World·
——牛顿
草创时期的皇家学会
在哲学的最早期，不少古人认为，恒星静止于世界的最高部分；在恒星以下，行星绕太阳运行；地球作为行星之一，每年绕太阳运行一周，同时还绕其自身的轴自转；而太阳位于宇宙的中心，它燃烧的热温暖整个世界。
这正是菲洛劳斯、萨莫斯的阿里斯塔克、成年的柏拉图，以及整个毕达哥拉斯学派在很久以前所教导我们的哲学；更早的时候，阿那克西曼德也是这样说的；古罗马贤明的君主努玛·彭皮留斯为了供奉维斯太（Vesta）神[6]，建造了圆形庙宇，并下令在其中央燃起永不熄灭的火焰，以象征以太阳为中心的世界图像。
早先古埃及人观察过天空。这种哲学很可能就是由他们传播到其他民族的，因为与他们邻近而且更致力于研究哲学而不是自然的古希腊人，正是由此发展出他们最初也是最完备的哲学学说的；在供奉维斯太女神的仪式中也能追溯到古埃及人的精神；这正是他们以宗教祭祀和象征文学的形式表达他们的神秘信念，即他们的哲学的方式，这种哲学高于一般的思维方式。
无可否认的是，在此前后，阿那克西哥拉、德谟克利特等人提出地球居于世界的中心，星辰绕居中不动的地球向西运行，有些较快，另一些则较慢。
然而，这两种观点都认为天体的运动是完全自由、不受阻力的。坚硬球壳的设想产生较晚，是由欧多克索斯（Edoxus）、卡里普斯（Calippus）和亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）提出的；到这时古代哲学已开始衰落，让位于新近盛行的希腊人的想象。
但最为重要的是，彗星现象完全无法为实体轨道观念所容忍。迦勒底人（Chaldeans），当时最饱学的天文学家们，认为彗星（前此古时的彗星被当作天体）属于一种特殊的行星，它们沿偏心轨道运动，每当运动一周并落入其轨道较低部分时，即能显现而为人们所看到。
当实体轨道假设盛行之际，一个不可避免的结论是，彗星应当位于低于月球的空间中，因而，当后来的天文学家观测到彗星处于先前更高的古时位置时，就必须把累赘的实体轨道从天体空间中清除出去。
在此以后，我们对古代人以什么方式解释行星被维系于自由空间中的有限范围内，不断偏离属于其自身的直线路径，而沿曲线轨道作规则环绕运动这样的问题，实在是一无所知；可能用已被采纳的实体轨道解决这一困难也有令人满意之处。
后来自诩能解决这一问题的哲学家，或是诉诸于某种涡旋的作用，如开普勒和笛卡儿；或是提出某种其他的冲力或吸引力的原理，如波莱里、胡克，以及我们英国的一些学者；因为根据运动规律，这些现象肯定是由某种力或其他作用引起的。
不过，我们的目的仅在于由现象探寻这种力的量和特性[7]，并用我们在某些简单情形中发现的原理，以数学方法推测涉及更复杂情形的现象，因为把每一种特殊情形都诉诸于直接而实时的观测是件无穷无尽的事，也是不可能的。
我们曾以数学的方式说过，要回避与此力的特性或性质有关的所有问题，它们不是通过决定采取某种假设就能理解的，因此用一个普适的名称——向心力来称呼它，表明它是指向某个中心的力；而由于它与位于该中心的特殊物体有关，又称之为绕日的、绕地球的、绕木星的；对于与其他中心物体有关的力，也作相似称呼。
如果考虑一下抛体的运动，就易于理解是向心力使行星维系于某些轨道上[8]；因为被抛出的石头在其自身重力的作用下偏离直线路径，而这本应是单独受抛出作用所遵循的，并在空气中掠过一段曲线；它沿此弯曲路径最终落到地面；被抛出的速度越大，落地以前飞行得越远。因而我们可以设想，抛出速度这样增大，使得物体落地前相应掠过长为1，2，5，10，100，1000英里的弧，直至最后越过地球的限制，进入不再接触地球的空间。
令AFB表示地球表面，C为其中心，VD, VE, VF为物体应掠过的曲线，如果自高山之巅沿水平方向先后以增大的速度抛物的话[9]；因为天体运动在空间中只受到极小的阻碍或完全不受阻碍，保持着单纯的形式。我们可以设地球周围没有空气，或至少可以设空气阻力极小或没有阻力；出于相同理由，以最小速度被抛出并沿最短弧VD运动的物体，以及以较大速度被抛出并沿较大弧VE运动的物体，在抛出速度增大时，将飞行得越来越远，达到F和G；而如果再继续增大速度，则它最后将完全脱离地球表面，回到先前被抛出的山上。
由于在这种运动中，由伸向地球中心的半径所掠过的面积（由《原理》第一编命题1）正比于掠过该面积所用的时间，当物体回到该山峰时，其速度不小于原先的抛出速度；因而，由相同的定律知，它以相同的速度一次又一次地掠过相同的曲线。
如果我们现在设想沿水平方向自更高的高度抛出物体，如5，10，100，1000英里，或更高，或干脆自若干个地球半径处抛出，则根据速度的不同，以及在不同高度处引力的不同，这些物体将掠过不同的与地球共心的圆弧或偏心圆，像行星在其轨道上运动那样在天空中环绕。
由于沿斜向抛出物体，即沿除竖直方向以外的任意方向抛出时，物体自抛出直线方向上连续偏折而落向地面，正是它受地球吸引的证据，其可靠性不亚于物体由静止自由落向地面；因而，在自由空间中运动的物体偏离直线路径，并由此连续落向任一处所，正是存在着某种力自一切方面把这些物体拉向该处所的确凿证据。
而且，由于假设引力的存在，必定导致地球附近的所有物体都会下落，它们或是由于自由落下而直接落向地球，或是由于被斜向抛出而连续偏离直线方向落向地球；因而，由存在着指向任意中心的力的假设，将同样必然导致所有物体在这种力的作用下或是直接落向该中心，或至少是连续偏离直线方向，如果它们原先是沿该直线作斜向运动的话。
至于如何由已知运动推导出这种力，或由已知力求解这种运动，已在《原理》的前两编中给出过。
如果设地球是静止的，恒星在自由空间中作24小时的环绕，则使这些恒星维系于其轨道的力当然不是指向地球，而是指向这些轨道的中心，即指向若干平行圆环的中心，恒星则每天沿这些圆环落向赤道的一侧，另一些则由此升起；由恒星伸向轨道中心的半径所掠过的面积，严格正比于运行时间。这样，因为周期时间是相等的（由《原理》第一编命题4推论3），向心力正比于各轨道的半径，恒星则沿同一轨道连续运行。类似的结果也可以从行星作周日运动[10]的假设推出。
如果说这些力不应指向它们实际上赖以存在的物体，而应指向地球轴上无数个想象的点，这样的假设太别扭了，但如果说这些力严格地正比于到这个轴的距离而增大则更加别扭；因为这实际上是说它们会增加到极大，或干脆说增大到无限，而自然事物的力一般都是在远离它们得以产生处减小的。然而，更荒谬的是，同一颗恒星所掠过的面积既不正比于时间，它的环绕也就不沿同一轨道进行；因为当恒星远离两极附近时，面积与轨道都增大；而面积的增大表明力并不指向地轴。这一困难（见《原理》第一编命题2推论1）是由恒星的视二重运动所引起的：一是绕地轴的周日运动；另一是绕黄道轴缓慢运动。对它的解释需要诉诸于复杂而变化的多种力的合成，很难在某种物理理论中加以协调。
因此，我认为向心力实际上指向太阳、地球以及其他行星的星体。
月球环绕我们的地球，其伸向地球中心的半径[11]所掠过的面积近似正比于掠过这些面积的时间，正如其速度与其视直径相关一样明显，因为当它的直径较小时（因而其距离较大）运动较慢，而直径较大时运动较快。
木卫星绕木星的环绕更规则些[12]；因为就我们的感官可知觉的程度上而言，它们以均匀速度绕木星作共心圆运动。
土卫星绕土星的运动[13]也近似为圆并且是匀速的，迄今止尚未观测到有偏心干扰。
金星与水星绕太阳运行，这可以由它们的类月相变化来证明[14]；当它们呈满月状时，总是位于其轨道上相对于地球而言比太阳较远的一侧；当它们呈半亏状时，位于斜向太阳一侧；当呈新月状时，则位于地球与太阳之间，有时还掠过太阳表面，这时正好位于地球与太阳之间的连线上。
金星的运动几乎是均匀的，它的轨道近似为圆且与太阳共心。
但水星运动稍有偏心，它明显地先趋近太阳，随后又远离之；而且总是在靠近太阳时运动较快，因而其伸向太阳的半径掠过的面积仍正比于时间。
最后，地球绕太阳运动，或太阳绕地球运动，二者之间的半径掠过的面积严格正比于时间，这可以由太阳的视直径与其视运动的比较加以证明。
这些都是天文学实验。由此，通过《原理》第一编命题1，2，3及其推论，可得出结论，向心力实际上（或是精确的，或是没有明显误差的）指向地球、木星、土星和太阳的中心。对于水星、金星、火星等较小行星，尚需更多实验，但由类比可知结论必定是一致的。
第一编命题4推论6指出这些力反比于到每个行星中心距离的平方减小；因为木卫星周期时间相互间的比[15]正比于它们到该行星中的距离的3/2次幂。
很久以前即已在这些卫星上观测到这一比值；弗拉姆斯蒂德先生（John Flamsteed，1646—1719）经常利用千分仪和卫星食亏测量它们到木星的距离，他曾写信告诉我，该比值的精确性满足我们感官的一切要求。他也告诉我，用千分仪测出的轨道大小，并换算为木星到地球或到太阳的平均半径，较之运动时间，列表如下：
由此容易看出距离的3/2次幂关系。例如：
略去在观测中无法可靠测定的不大的分数。
在发明千分仪以前，测得的相同距离换算成木星半径为：
发明千分仪后测得：
这四颗卫星的周期时间，根据弗拉姆斯蒂德的观测，分别为1d18h28min36s，3d13h17min54s，7d3h59min36s，16d18h5min13s。
①“d”“h”“min”“s”分别为“天”“小时”“分”“秒”的符号。
由此求得的距离为5.578，8.878，14.168，24.968，与观测值精确吻合。
卡西尼证实土星卫星的同样比值[16]也与我们的理论一致。但要获得关于这些卫星的可靠的精确的理论，尚需长期观测。
在太阳的卫星中，根据最优秀的天文学家确定的轨道尺寸，水星和金星的同一比值极为精确。
火星绕太阳运行可由其相面变化和视直径的比值证明[17]；因为它在与太阳的交会点附近呈满相，在方照点呈凸状，因而它肯定是绕太阳运行的。
由于它在与太阳的对点时直径5倍大于位于交会点时，且其到地球的距离反比于其视直径，因而它在对点时的距离5倍小于位于交会点时；但在这两种情形中它到太阳的距离与它位于方照点呈凸状时的距离近似相等。又由于它在几乎相等的距离上绕太阳运行，但相对于地球表现出极不相同的距离，因而它伸向太阳的半径掠过的面积近似于均匀，而伸向地球的半径则时而较快，时而停止，时而逆行。
高于火星轨道的木星，也类似地环绕太阳，其运动近似均匀，由此我推出它的距离与面积也是均匀的。
弗拉姆斯蒂德先生在通信中向我保证，迄今为止所有受到详尽观测的内层卫星其食亏都与他的理论良好吻合，误差从未超过2min时间；对于外层卫星则误差稍大；除一例外，误差很少超过3倍时间；内层卫星除一例的误差的确很大外，都与他的计算相一致，精度不亚于月球运动与通用星表的吻合；而他只是根据吕莫先生发现并导出的光均差对平均运动加以校正求得这些食亏时间的。那么，设理论与上述外层卫星的运动误差小于2′，取周期时间16d18h5min13s：2min，则一个圆周360°：1′48″也同此值，那么弗拉姆斯蒂德先生计算的误差换算为卫星轨道，将也小于1′48″，即由木星中心看去，卫星的经度可以小于1′48″误差的精度加以确定。而当卫星位于中间阴影中时，该经度与木星的日心经度相同；所以，弗拉姆斯蒂德先生所遵循的假设，即哥白尼体系，经开普勒改进，（就木星运动而言）以及他本人的校正，在经度测算方面误差小于1′48″；而由这种经度，配合以历来易于测量的地心经度，即可求出木星到太阳的距离；因而，其结果必定与假设完全相同。由于在日心经度中产生的1′48″误差几乎看不出来，完全可以忽略，它也许来自于某颗迄未发现的卫星的偏心运动；但由于经度与距离都能正确确定，必然导致木星由其伸向太阳的半径，在这种情况下所掠过的面积正比于假设所需，即正比于时间。
根据惠更斯先生（Christiaan Haygens，1629—1695）和哈雷博士（Edmond Halley，1656—1742）的观测，由土卫星也可以推出土星的相同结论；虽然这一结论尚需长期观测加以检验，并作足够精确的推算。
因为，如果从太阳上看木星，它绝不会显现出驻留或逆行，如同有时在地球所见的那样，而总是近似匀速地顺行[18]。而由其视地心运动的极大不等性，可推出（由第一编命题3推论4），使木星偏离其直线路径沿轨道环绕的力并非指向地球的中心。火星与土星也很好地符合这一结论。因此，应该为这些力另外寻求一个中心（由第一编命题2和3以及后者的推论），绕此中心半径所掠过的面积应当是均匀的；那就是太阳，我们已就火星和土星的情形作过近似的证明，而木星则有足够的精度。有人会提出异议，说太阳与行星都在平行方向上受到某种其他力的同等推动；但这样的力（由运动定律推论6）不会改变行星间的相互位置，也不产生明显的效应：我们的职责仅在于找出明显效应的原因。所以，让我们把每一种这样的力当作想象和臆测加以忽略，它们无补于对天体现象的解释；而余下的使木星受到推动的全部的力（由第一编命题3推论1）则指向太阳中心。
无论是像第谷那样把地球置于宇宙中心，还是像哥白尼那样把太阳置于宇宙中心，各行星到太阳的距离都是相同的。我们业已就木星的情形证明这两种距离确实相等。
开普勒与波里奥曾精心测定各行星到太阳的距离，因此他们列出的星表与天象吻合最好。在所有的行星中，木星与火星、土星与地球，以及金星与水星，其距离的立方比等于周期的平方比；所以（由第一编命题4推论6），太阳周围贯穿整个行星区域的向心力反比于到太阳距离的平方减小。为检验这一比例，我们需使用平均距离，或轨道的横向半径（由第一编命题15），并略去小数。因为它们可能是在测定轨道时由看不见的观测误差引入的，或可能是由我们将在以后解释的原因所引起的。这样，我们将总是看到上述比例精确成立；因为土星、木星、火星、地球、金星和水星到太阳的距离，是由天文学家的观测得到的，根据开普勒的计算，其数值为951000，5196500，152350，100000，72400，38806；根据波里奥的计算，其数值为954198，522520，152350，100000，72398，38585；而由周期时间求出的值为953806，520116，152399，100000，72333，38710。开普勒与波里奥求得的距离与由周期时间求得的介于他们之间的值，在差别最大时也很难为视觉所区分。
我这样推出地球周围的力类似地反比于距离的平方减小：
月球到地球的平均距离，换算为地球半径，据托勒密、开普勒的《星历表》，波里奥、赫维留和里奇奥利的测算为59；弗拉姆斯蒂德的值
；第谷的值
；凡德林为60；哥白尼为60
；基尔舍尔
[19]。
但是，第谷，以及所有沿用他的折射星表的人，都取太阳和月光的折射大于恒星光的折射（这与光的本性完全冲突），在地平方向上约大4′或5′，从而使月球的地平视差增大相同的分数；即，使整个视差增大约1/12或1/15。纠正这一误差后，该距离变为60或61个地球半径，与其他人确定的值近似相等。
然后，让我们设月球的距离为60个地球半径，其相对于恒星的周期时间为27d7h43min，与天文学家测定的值相同。而（由第一编命题4推论6）在假设静止的地球表面上空气中转动的物体，在一个与位于月球处的向心力的比反比于到地球中心距离的平方，即反比于3600:1的向心力的作用下，将（排除空气阻力）在1h24min27s时间内完成环绕。
设地球周长123249600巴黎尺[20]，与后来在法国测定的值相同[21]，则同一物体在丧失其圆运动后，在与先前相同的向心力作用下一秒时间内下落的距离
巴黎尺。
这一结果是在第一编命题34中导出的，它与我们对地球附近的物体的观测相一致。因为根据单摆实验，以及有关的计算，惠更斯证明在地表附近所有受这种向心力作用的物体（不论其性质如何），在一秒钟内下落的距离都
巴黎尺。
如果设地球运动，地球与月球（由运动定律推论4以及第一编命题57）将绕它们的公共重心转动。而月球（由第一编命题60）将以同一周期27d7h43min，在同一反比于距离平方减小的地心力作用下，沿一个轨道运动，其半径与前者轨道的半径，即与60个地球半径的比，等于地球与月球两者的和，与该和与地球的立方比；即，如果设月球（鉴于其视直径
）约为地球的1/42，则等
，或约等于128:127。所以轨道半径，即月球与地球中心间的距离，在此情形下
个地球半径，几乎与哥白尼测定的值相同，这是第谷测定的值所无法推翻的；所以，该力的减小量的平方比值与该距离吻合很好。在此，我略去了太阳作用引起的轨道增量，因其量甚微；但如果减去这个量，实际距离将剩
个地球半径。
这种力的减量的比例还可以进一步[22]通过行星的偏心率和它们回归点的缓慢运动加以证明；因为（由第一编命题45的推论）任何其他比例都不能使太阳周围的行星在每次环绕中到达最近点后又升离到距太阳最远点，并使这些距离的变化保持不变。对平方比值的很小误差都会使回归点运动在每次环绕中变得显著，而多次环绕则使回归点产生巨大偏移。
但是在经过无数次环绕后，我们今天仍很难察觉诸行星绕日轨道的这种运动。某些天文学家坚信不存在这样的运动；其他人则认为它不大于由下述原因所轻易地产生的运动，这种原因对于眼下的问题是无关紧要的。
我们甚至可以忽略月球的回归点运动[23]，它远大于绕太阳的行星，每次环绕达3°之多；这种运动证明地球周围的力其减小不小于平方反比比例，但却远大于距离的立方反比；因为，如果平方关系逐渐演变为立方关系，则回归点运动将变为无限；所以，极小的变动都会引起月球回归点的极大运动。这种缓慢运动是太阳周围的力引起的，我们将在后面作出解释。排除此原因，月球的回归点或远日点将保持固定，地球周围的力随到地球距离的不同而作平方递减的关系将精确成立。
既有了这个比例关系，我们就可以来比较各行星所受力的大小[24]。
在木星到地球的平均距离上，其最外面的卫星到木星中心的最大距离（根据弗拉姆斯蒂德先生的观测）为8′13″；因而该卫星到木星中心的距离比木星到太阳中心的平均距离等于124:52012，但比金星到太阳中心的平均距离为124:7234；它们的周期时间
，由此（根据第一编命题4推论2），用时间的平方除以距离，即可得出使该卫星被引向木星的力比使金星被引向太阳的力等于443:143；如果按距离比124:7234的平方反比减小卫星所受到的力，则可知木星周围的力在金星到太阳的距离上比使金星受到吸引的太阳力，等
或等于1:1100；所以，在相同距离处，太阳力1100倍大于木星力。
由土星卫星的周期时间15d22h，以及它到土星的最大距离，当该行星处于其与我们之间的平均距离上时，3′20″。通过类似的计算，可知该卫星到土星中心的距离比金星到太阳的距离等于
；因此太阳的绝对力2360倍大于土星的绝对力。
由金星、木星和其他行星的正规日心运动和非正规地心运动，显而易见的（由第一编命题3推论4）是地球的力比之太阳力极为微弱。
里奇奥利和凡德林都曾试图由望远镜观测到的月球半圆推算太阳视差，他们一致认为其值不超过半分。
开普勒根据第谷和他本人的观测，未曾发现火星的视差，甚至在位于对日点时其视差应略大于太阳视差时也是如此。
弗拉姆斯蒂德也试图在火星位于近地点时用千分仪观测同一视差，它从未超过25″；因此得出太阳视差至多为10″。
由此可推算出月球到地球的距离比之地球到太阳的距离不大于29:10000；而比之金星到太阳的距离不大于29:7234。
由这些距离，辅之以周期时间，运用上述方法，易推算出绝对太阳力至少229400倍大于地球的绝对力。
虽然我们由里奇奥利和凡德林的观测只能肯定太阳的视差小于0.5′，但由此能断定太阳的绝对力大于地球绝对力8500倍。
我运用类似的计算得到了一个各行星的力与星体大小的类似关系；在解释这一类似之前，必须确定各行星在其到地球的平均距离上的视直径。
弗拉姆斯蒂德先生[25]运用千分仪测得木星直径为40″或41″；土星环直径为50″；太阳直径约32′13″。
根据惠更斯先生和哈雷博士的观测，土星直径比其环直径为4:9；伽列特给出的值为4:10；而胡克（用60英尺长的望远镜）为5:12。取中间值，5:12，土星星体直径约为21″。
上述种种都是视尺寸；但是，因为光的不相等偏折，望远镜中所有的光点都有扩散，致使在物镜焦点处形成一个宽约为物镜口径1/50的圆形空间。
诚然，光的边缘处如此模糊以至很难辨认，但在靠近中间时，光强较大，足以看到，它形成一个小亮圈，其宽度随亮点的亮度而变，但一般约为总宽度的1/3，1/4或1/5。
令ABD表示整个光圈；PQ为较亮较清晰的小圆；C为二者的中心；CA, CB为大圆的半径，在C处形成直角；ACBE为这两个半径构成的正方形；AB为该正方形的对角线；EGH为以C为中心、以CA, CB为渐近线的双曲线；PG为由任意点P作向直线BC的垂线，与双曲线相交于G，与直线AB, AE相交于K和F：则在任意点P的光强，根据我的计算，将正比于FG，因为在中心为无限大，而靠近边缘时极小。在小圆PQ内的总光量比其外的总光量等于四边形CAKP比三角形PKB，我们所要知道的，是在划定小圆PQ的地方，光强FG开始弱于视觉所需。
M.皮卡德用了3英尺长的望远镜观测位于191382英尺远的直径为3英尺的火焰，发现其宽度为8″，实际上只应有3″14″；而用望远镜观测到的亮恒星直径为5″或6″，且光斑较亮；但星光较弱时，其宽度变大。类似地，赫维留通过减小望远镜口径，的确消去很大一部分边缘光，使恒星光斑更为清晰可辨，虽然光斑变小了，但直径仍达5″或6″。而惠更斯先生只是用微弱烟尘罩住目镜，却有效地消去了发散光，恒星仅显现为亮点，无法测量其宽度。还是惠更斯先生，根据挡住行星光的物体的宽度，估算出行星直径要大于其他人用千分仪测得的值；因为发散光原先在行星光强较大时无法看到，当行星被遮掩时，却向周围扩散很远。最后，正是出于这一理由，当行星投映在太阳光盘上时，由于失去了发散光，显得极小。赫维留、伽列特和哈雷博士认为水星似乎不超过12″或15″；克赖伯特里先生认为金星仅1′13″；霍罗克斯认为仅1′12″；虽然根据赫维留和惠更斯在太阳光盘以外的测定，它至少应为1′24″。这样，在1684年日食以前和以后几天，月球的视直径，在巴黎天文台测得为31′30″，而在日食时似乎不超过30′或30′05″；所以，当行星位于太阳以外时应将其直径减小几秒，而在太阳内时应增大几秒。不过千分仪的测量误差似乎较通常为小。所以，弗拉姆斯蒂德先生利用卫星食亏测得的阴影直径发现，木星半径比其到最远的卫星的最大距离为1:24.903。所以，由于该距离为8′13″，木星直径应
；消去发散光，由千分仪测得的直径40″或41″应减
；土星直径21″也应作类似校正，估计为20″或更小些。不过（如果我没有错的话）太阳直径，由于它的亮度极大，应减小更多些，估计约为32′或32′6″。
大小差别如此之大的物体，都近似地正比于它们的力，这并非没有什么神秘[26]。
可能较远的行星由于缺乏热而没有我们地球所富有的金属物质和多种矿物；至于金星和水星星体，由于受太阳热暴晒较多，也应更加焦灼，更加密实。
因为根据燃烧玻璃实验，热随光强而增加；光强反比于到太阳的距离而增大；因此水星受太阳热7倍于我们在夏季的太阳热。但这种热会使水沸腾；也会使重流体如水银和矾油慢慢地蒸发，我曾用温度计做过实验；所以在水星上不可能有流体，而只有沉重且能耐高热的物质，它们的密度极大。
如果上帝曾将不同的物体放置在到太阳的不同距离上，为什么不使较密的物体占据较近的位置，使每个物体都达到适宜于它的条件和结构的热度呢？本着这一考虑，所有行星相互间的重量比等于它们的力之比是再好不过的了。
不过，要是能精确测定行星的直径，我也将为之而高兴；如果在很远的距离上点燃一盏灯，使它的光透过一个小圆孔，并使小孔与灯光都这样减小，使得通过望远镜看去它的像与行星一样，并可以用同样的方法加以测定，则可以做到这件事：这样小孔直径比它到物镜的距离将等于行星的真实直径比它到我们的距离。灯光的减弱可通过间隔以布块或涂烟玻璃来实现。
我们曾论及观测到的力与被吸引物体之间的另一种类似关系[27]。因为作用于行星的向心力反比于距离平方减小，而周期时间却正比于距离的3/2次幂增大。显然，向心力的作用，进而周期时间对于到太阳距离相等的相等行星而言是相等的；而对于距离相等的不等行星，向心力的总作用应正比于行星星体；因为如果该作用不正比于被推动物体，它们即不能在相等时间内把这些物体由其轨道切线上同等地拉回：如果太阳力不是按各自的重量同等地作用于木星及其所有卫星之上，则木星卫星也绝不会作如此规则的运动。由第一编命题65推论1和2知，同样情形也适用于土星与其卫星，以及我们地球与月球的关系。所以，在相等的距离上，向心力按各星体的大小，或按各星体物质的量的多少同等地作用于所有行星之上。出于相同理由，该力也必定同等地作用于所有构成行星的大小相同的微粒之上；因为，如果该力对某种微粒的作用大于其他，其比例正比于物质的量，则它将不仅正比于物质的量，而且还将类似地正比于某种物质的多寡而对整个行星的作用产生大小之别。
地球上有许多种这样的物体，我曾十分仔细地检验过这种类似关系[28]。
如果地球力的作用正比于被移动物体，则（由第二运动定律）可以在相等时间内使它们以相等速度运动，且使所有下落物体在相等时间内掠过相等距离，并使所有以相等细绳悬挂起来的物体都作等时摆动。如果该力的作用较大，则时间变短；如果较小，则时间较长。
但很久以前人们就已发现，所有物体（允许忽略空气的微小阻力）都在相同时间内下落掠过相同距离；而且，借助于摆，时间的相等性以极大精度得到确认。
我曾用金、银、铅、玻璃、沙、食盐、木块、水，以及小麦做过实验。我制作了两只相等的木箱，在一只中装满木块，在另一只的摆动中心处悬以相等重量（尽我所能）的金。两只箱子都以11英尺长的细绳悬挂起来，制成重量与形状完全相同的两只摆，它们受到的空气阻力也一样，且将二者并列放置，我对它们幅度相同的共同前后摆动作了长时间观察。所以（由第二编命题24推论1和2），金的物质的量比木的物质的量等于所有施加于金的运动力的作用比所有施加于木的运动力的作用，即等于其一的重量比另一个的重量。
通过这些实验，在重量相等的物体中，可以发现小于总重量1/1000的物质差别。
由于在相等距离上向心力对被吸引物体的作用正比于这些物体物质的量，理所当然地也要求它正比于吸引物体物质的量。
因为所有的作用都是相互的，而且（由第三运动定律及其附注）使物体相互趋近，因而在双方物体必定是相等的。的确，我们可以把一个物体看作是吸引的，而另一个是被吸引的；但这种区分与其说是自然的，不如说是数学的。吸引作用实际上存在于每个物体与另一个之间，因而二者同属一类。
因此，在双方都存在吸引力。太阳吸引木星和其他行星；木星吸引其卫星；而由相同理由，卫星相互间以及对木星都有作用，所有行星相互间也都有作用。
虽然可以把两个行星的相互作用区分为二，使每一个吸引另一个，但由于这些作用存在于二者之间，它们并不产生两次，而是在二者之间产生一次作用。两个物体可以通过其间的绳索收缩而相互吸引。有两次作用的原因，即两个物体的位置，以及只要认为两个物体受到作用就有双重作用；但在两个物体之间，仅仅有一次。不是一次作用使太阳吸引木星，另一次使木星对太阳吸引，而是太阳与木星的相互吸引使二者相互趋近，其作用只有一次。太阳对木星的吸引作用，使得木星与太阳企图相互趋近（根据第三运动定律）；而木星对太阳的吸引作用，也类似地使木星与太阳企图相互趋近。但太阳并没有受双重作用而被吸引向木星，木星也没有受双重吸引而趋近太阳；中间只有一次作用，它使二者相互趋近。
铁就是这样吸引磁石[29]，磁石也这样吸引铁；因为所有靠近磁石的铁都吸引其他的铁。但磁石与铁之间的作用只有一个，哲学家也认为只有一个。的确，铁对磁石的作用正是磁石本身与铁之间的作用，它使二者企图相互趋近。这显然是事实；因为如果移开磁石，铁的全部力几乎都消失了。
由此看来，我们应把两个行星间存在的单一作用视为双方的共同本性使然；这作用驻留于二者的不变关系中，如果它正比于其一物质的量，则也应正比于另一个物质的量。
也许有人会诘难说，根据这一哲学[30]，所有物体都应相互吸引，但这违背地面物体实验的事实。我的回答是：地面物体实验不能说明问题，因为均匀球体的吸引作用在其表面附近（由第一编命题72）正比于其直径。因此，直径1英尺的球体，其性质与地球相似，对其表面附近小物体的吸引力，2×107倍小于地球对其表面附近小物体的吸引力；而如此之小的力不能产生可察觉的效应。如果两个这样的球体相距仅1/4英寸，则它们甚至在没有阻力的空间中，在少于一个月的时间内也不会因相互间的吸引力而合并到一起；较小的球并到一起的速度更慢，即正比于它们的直径。而且，即使整座大山也不足以产生任何明显的效应。一座3英里高、6英里宽的半球形山峰，其吸引力将不足以使单摆移出其垂直位置二分；唯有像行星那样大的物体，这些力才是可感知到的，除非我们对小物体采取下述方法。
令ABCD（运动定律附注插图）表示地球球体，它被任意平面AC分为两部分ACB和ACD。ACB部分以其全部重量挤压ACD部分；如果ACD部分不以相等的反向压力对抗，则它无法承受这一压力并保持不动。所以，两个部分相互间以其重量压迫对方，即，根据第三运动定律，相互间同等地吸引；如果把它们分离后再加以释放，则它们将以反比于球体的速度相互趋近。所有这些都可以通过磁石试验得到验证，其被吸引部分并不推动吸引部分，而只是停靠在一起。
现在，设ACB表示地球表面上某个小物体；则，因为该微粒与地球其余部分ACD间的相互吸引是相等的，但微粒向着地球的吸引（或其重量）正比于微粒的物质的量（我们已在单摆实验中证明过），则地球向着微粒的吸引也将类似地正比于微粒的物质的量；所以，所有地球物体的吸引力都正比于各自的物质的量。
因此，正比于所有形式的地球物体的力[31]，不随形式而变化，它必定可以在一切种类的物体中找到，天体的以及地球的物体，这力都正比于其物质的量，因为所有的物体并没有本质的区别，只是状态和形式不同而已。天体更证明了这一点。我们曾证明过太阳力对所有行星（设距离相同）的作用正比于行星的物质的量；木星力对木卫星的作用也遵从同样规律。这一规律还适用于所有行星对某一行星的吸引，其前提是（由第一编命题69）它们的吸引力正比于各自物质的量。