附录1 帕斯卡和费马
骰子问题
帕斯卡写给费马的第一封信已经遗失，但可以肯定的是，骰子问题就是在这封信中提出来的。
费马在回信中指出，帕斯卡犯了一个错误：
假设我需要用一枚骰子在8轮投掷中得到某个点数才算赢。下注后，如果我们一致同意我放弃第一轮投掷机会，那么根据我的理论，作为对我放弃第一轮投掷机会的补偿，我拿走全部赌注的1/6才算公平合理。
之后，如果我们一致同意我放弃第二轮投掷机会，那么我拿走剩余赌注的1/6，也就是全部赌注的5/36，才算公平合理。
之后，如果我们一致同意我放弃第三轮投掷机会，那么作为对我的补偿，我拿走剩余赌注的1/6，也就是全部赌注的25/216，才算公平合理。
之后，如果我们一致同意我放弃第4轮投掷机会，那么我拿走剩余赌注的1/6，也就是全部赌注的125/1 296，才算公平合理。你认为，如果玩家完成了前面三轮的投掷，这就是第4轮投掷机会的价值。我认同你的观点。
下面是你在信中举出的最后一个例子，我完整地引述如下条件：我需要在8轮投掷中得到6点。我已经投掷了三次，但都没有成功。这时候，我的对手建议我放弃第4轮投掷机会，并且为公平起见，我可以拿走全部赌注的125/1 296。你认为这样做是合理的。
但是，根据我的理论，这是不公平的。因为在这种情况下，手持骰子的玩家在前三轮投掷中一无所获，总赌注分文未少。如果他同意放弃第4轮投掷机会，作为补偿，他应该拿走全部赌注的1/6。如果他第4次投掷仍没有成功，那么在双方一致同意他放弃第5轮投掷机会的情况下，他依然应该分得全部赌注的1/6。既然赌注总额一直没有变化，那么无论从理论上看，还是根据常识，每次投掷机会都应该具有相同的价值。
很明显，这里的核心问题是期望值。如果放弃某一轮的投掷机会并拿走一部分赌注，不会改变赌局的期望值，这种做法就是公平的。
费马清楚地看到，任意一轮赌局的分析结果都是一样的。假设某轮投掷结束后，还剩下n+1轮投掷机会，此时的赌注价值为1。那么，选择参与赌局并在此轮获胜的期望值是1/6，而此轮失败但最终仍有可能获胜的期望值是
。拿走1/6的赌注后，用剩余赌注继续赌局的期望值是：到手的现金（数额为1/6），再加上最终获胜的概率
与剩余赌注（数额为5/6）的乘积。费马的分析立刻得到了帕斯卡的认同。
点数问题
帕斯卡讨论的另一个问题也很有趣。他以一个赌局为例，两个玩家各押注32枚金币，率先赢得三点的玩家获胜。
我们假设第一个玩家得到两点，另一个玩家得到一点。在接下来的一轮赌局中，如果第一个玩家获胜，他就会赢得全部赌注，即64枚金币。如果第二个玩家获胜，他们的点数之比就是2∶2，此时终止赌局的话，他们各自拿回自己的赌注（32枚金币）就可以了。
费马先生，请考虑下面这种情况。如果第一个玩家获胜，64枚金币就会归他一人所有。如果他输了，则可以得到32枚金币。此时他们终止赌局的话，第一个玩家就会说：“我肯定可以得到32枚金币，因为即使我输了，我也会得到这么多金币。至于另外32枚金币，也许会归我所有，也许会归你所有，风险均等。因此，我们可以平分这32枚金币。但是，另外32枚金币肯定归我所有。”这样一来，他将得到48枚金币，而另一名玩家则得到16枚金币。
这不仅是在计算期望值，还以任何人都无法辩驳的方式证明了这种分配方案的公平性。你确定拥有的部分，就归你所有；对不确定的部分，在概率相等时则双方平分。这是对修道士帕乔利的疑问的明确解答。
接着，帕斯卡表明这个推理过程还可以迭代：
现在，我们假设第一个玩家得到两点，另一个玩家一无所获。接下来，他们将争夺第三轮的胜利。如果第一个玩家获胜，那么他将赢得所有赌注，即64枚金币。如果第二个玩家获胜，赌局就会回到前文讨论过的情况，即第一个玩家有两点，第二个玩家有一点。
我们已经证明，在这种情况下，48枚金币将归那个赢得两点的玩家所有。此时，他们终止赌局的话，这个玩家就会说：“如果我赢了，我将获得64枚金币。如果我输了，我也会理所当然地得到48枚金币。因此，先将确定归我所有的48枚金币给我，因为即使我输了，这些金币也是我的；然后我们再平分剩余的16枚金币，因为我们得到这些金币的概率均等。”也就是说，他将得到56（48+8）枚金币。
现在，我们假设第一个玩家得到一点，第二个玩家一无所获。瞧，费马先生，如果他们开始第二轮，就会出现两种可能的结果。如果第一个玩家获胜，他就会拥有两点，而对手仍然一无所获。根据前文讨论的结果，他将得到56枚金币。如果第一个玩家输了，他们的点数之比就是1∶1，他将得到32枚金币。因此，这名玩家肯定会说：“如果此时终止赌局，就先从56枚金币中把我肯定会得到的那32枚金币给我，然后我们再平分剩下的金币。从56枚金币中拿走32枚，还剩24枚。我们平分之后，各得12枚。12枚加上之前的32枚，我应该得到44枚金币。”
这是公平分配的一个递归过程。接着，帕斯卡又分析了点数要求较高的赌局，并给出了这个问题的一般解。