1.5　完全数与p-完全数

完全数是数学家们研究最多也是最热的一类整数，其中是否存在奇完全数还是尚无答案、留有悬念的问题。

本节在探索完全数的基础上，引入因数比的概念，进一步引申与探索因数比为大于1的正整数p的p-完全数。

1.5.1　完全数

若正整数n的所有小于n的正因数之和若等于n本身，则称数n为完全数，又称完美数。例如，6的小于6的正因数为1，2，3，而6＝1＋2＋3，则6是一个完全数。

试探求指定区间[x，y]内的完全数。

1. 设计要点

对指定区间[x，y]中的每一个整数a实施枚举判别。根据完全数的定义，为了判别整数a是不是完全数，用试商判别法找出a的所有小于a的因数k。

注意到1是任何整数的因数，先把因数1定下来，即因数和s赋初值1。

注意到整数a若为非平方数，它的大于1小于a的因数成对出现，其中较小的因数要小于a的平方根sqrt（a）。因此，在作赋值b＝sqrt（a）之后，因数k的循环可设置从2到b来完成，大大减少k循环次数，缩减程序的运行时间。

若整数a恰为整数b的平方，此时b为a的一个因数而不是一对，注意到因数b加了两次，应把多加一次的b从s中减去。

结束循环后，如果a＝s，整数a即为完全数。特别指出，若整数a为完全数又是奇数，即找到了“奇完全数”，这是一个令人鼓舞的发现，作特别说明。

为了检验找到的完全数并输出其各个因数，对找到的完全数a实施2~a/2的逐个检验是否为因数，输出该因数并求和s0。如果a＝s0，即应用另因数分解法通过验证无误，则输出“（已通过验证。）”。

2. 程序设计

3. 程序运行示例与说明

程序对区间内的所有整数实施分解检验，没有发现奇完全数。至今为止，寻找到的完全数都是偶完全数。

本程序应用两种不同的方法分解因数求和验证，并输出找到的完全数的各个因数，这是程序的特色。

是否存在奇完全数，目前既不能证明，也不能否定，还有待数学家进一步的研究探讨。

1.5.2　p-完全数

设正整数a的小于其本身的因数之和为s，定义比值

p（a）＝s/a

为整数a的因数比。

事实上，完全数是因数比为1的整数。例如，p（6）＝1，6为完全数。

若整数的因数比为某一大于1的整数p，则称该整数为p-完全数。

例如，p（120）＝2，则120为2-完全数；p（32 760）＝3，则32 760为3-完全数。

试搜索指定区间[x，y]中的完全数与p-完全数。若区间中没有完全数与p-完全数，探求并输出区间中哪一整数的因数比最接近某一正整数。

1. 设计要点

为扩大整数的范围，相关变量设置为double型。

为了求整数a的真因数和s，设置k（2~sqrt（a））循环枚举，如果k是a的因数，则a/k也是a的因数，通过迭代s＝s＋k＋a/k；求取a的因数和s。

同样，如果a＝b∗b，显然k＝b，a/k＝b，此时k＝a/k。而因数b只有一个，所以此时必须从和s中减去一个b，这样避免重复计算的处理是必要的。

设置min存储因数比与正整数差值的最小值。通过计算s，t＝s/a及与正整数d的最小差距c＝t-d（c≥0）：若c＝0，此时的因数比t为正整数，通过数组p，q存储a及其因数比；若c＞0，说明其因数比t非正整数，则通过与min比较，记录其因数和s1与因数比t1，求取因数比最接近的正整数d1。

2. 程序设计

3. 程序运行示例与说明

在区间[100，40 000]中搜索到p＝1，2，3的p-完全数各两个。

在区间[10 000，20 000]中没有p-完全数，则输出其因数比最接近的整数16 384。

程序还可探求到因数比为4的4-完全数，如下所示。

     请输入区间x,y:518666803000,518666804000
       p(518666803200)=4

是否存在5-完全数或6-完全数？笔者猜想存在p-完全数的整数p是无限的，只是当p＞4时的p-完全数会更加庞大，其探求过程也更为复杂。