第34章 丢番图方程

古代有许多著作，是因为他们找全了资料。丢番图的算术就是这样的情形。

毕达哥拉斯学派喜欢思考几何问题，丢番图的都是代数问题。比如，花一定的钱买不同的各种价钱的东西，总共有几种买法。能不能有效的把所有可以的买法全部都计算出来？

丢翻图对路人甲说：“东方有一个问题，1公鸡值1钱，1母鸡值3钱，3小鸡值1钱。有一百钱可以怎么买这些鸡？分数肯定是不行的，很多东西不能分成几半，所有东西上必须是整数。肯定不能是分数。”丢番图是一个不喜欢分数的人，认为用分数解方程不能解决所有问题。

路人甲陷入思考，脑子有点转不过来。皱眉说：“我不会算呀！这个怎么算？”

丢翻图说：“东方的算术书里已经有了答案，公鸡、母鸡和小鸡的比例有4:18:78，又有8:11:81，又有12:4:84这三种答案。”

路人甲说：“你也是看答案知道的。你有简单的方法计算这些吗？”

丢翻图说：“我只有笨办法去试，没有简单快速的办法。如果有，那可是伟大的发现。”

路人甲说：“会有聪明的后人发现吗？”

丢翻图说：“估计不会。因为没有简单方法，所以这才是这个问题的魅力。”

路人甲说：“没错，但是如果一个式子的解都是小数或者分数，你不会去用吗？”

丢翻图说：“我喜欢整数，不喜欢分数和小数。一个式子，我只关注有没有整数解，如果没有整数解，就相当于无解。因为很多事情必须要用整数来表达。我喜欢去寻找各种各样的公式。然后就去寻找这些公式的整数解。”

路人甲说：“你具体是怎么做的？”

丢翻图说：“写出一个不定方程，计算所有整数解。先看看何时有解，看看有解的时候决定解的个数，然后求出所有的解。”

丢番图的出生日期不可靠，但他的墓碑上有很经典的一道数学题目：

“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过了十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。”

这是一个一次方程，答案是84岁。

费马有一天看到这个书，开启自己的数学生涯。费马大定理问题由此开始。

可是究其一生丢番图的发现也没有让自己的不定方程能解的更快，其中办法只有穷举法或者是穷举法的各种延伸。

都约两千年后的1900年，希尔伯特提出丢番图问题的可解答性为他的23个问题中的第10题。1970年，一个数理逻辑的结果马蒂雅谢维奇定理（Matiyasevich's theorem）说明：一般来说，丢番图问题都是不可解的。更精确的说法是，不可能存在一个算法能够判定任何丢番图方程式是否有解，甚至，在任何相容于皮亚诺算数的系统当中，都能具体构造出一个丢番图方程，使得没有任何办法可以判断它是否有解。

到了后来的贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理和费马最后定理等都是丢番图的问题。都无法用简单的办法可以解出。