上篇 教材与教学

问题1 如何理解和设计数学活动？

【观点与案例】

《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志．这些观点的阐述使数学活动经验受到前所未有的关注，表明了“数学活动经验”的地位和价值．那么，如何让学生在“做”和“思考”的过程中积淀数学活动经验？笔者在理论学习与实践研究的过程中发现，尽管专家们对“数学活动经验”的内涵研究存在一些差异，但都一致地认为“数学活动是数学活动经验的源泉，是数学活动经验的主要来源，是获得数学活动经验的重要途径”.

一、什么是“数学活动”

关于“数学活动”，至今还没有一个明确的定义．有研究认为(潘洪建，2013),“数学活动”是指在数学教学过程中，以学生学习兴趣和内在需要为基础，以主动探索、变革、改造对象为特征，以实现学生主体能力综合发展为目的的过程．也有研究认为(邓友祥，2009),“数学活动”是指师生之间、生生之间交往互动与共同发展，具有一定结构和数学特点的思维活动．也有研究认为(屠桂芳，2012),“数学活动”是以数学思想为指导、用数学的方法解决问题从而感悟数学知识、形成数学能力的实践活动．我们通过实践研究认为，“数学活动”不是数学教学活动的简称，也不单指有些教师臆想的“数学活动就是数学操作活动”．本书中所指的“数学活动”是学生在教师的主导下，从问题(或问题情境)出发进行探索所经历的学习活动．数学活动的过程可以用如下的框图(图1)表示：

二、数学活动的设计

史宁中教授认为，教学不仅要教给学生知识，更要帮助学生形成智慧．知识的主要载体是书本，智慧则形成于经验的过程中，形成于经历的活动中．因此，我们只有在日常教学中，一以贯之地设计数学活动，才能潜移默化地增长学生的智慧．笔者认为，要设计一个完整的数学活动，就是要设计数学活动的内容、形式及其过程．一般地，问题(问题情境)构成了数学活动的内容，它是数学活动的载体，学生活动是数学活动的核心，数学活动的过程设计是数学活动有效的保障．分别阐述如下：

1．活动内容设计

数学活动的内容主要以活动素材引发的问题(或者问题情境)呈现．怎样设计数学活动的问题？数学课程标准修订组核心成员黄翔教授指出，好的数学活动应该满足以下几个条件：该活动是每一个学生都能进行的，能为学生提供良好的学习环境和问题情境；该活动能为学生获得更多的活动经验提供广阔的探索空间；该活动能充分体现数学的本质；该活动能使学生积极参与，充分交流．这里实际上对数学活动的问题设计提出了要求．在具体的教学实践中，我们摸索出了问题设计的三个关键要素，即“本质、简单、开放”．这三个要素是一个数学问题在不同侧面的反映，也是问题设计的策略．问题“本质”，能让学生在参与活动的过程中获得对数学知识的本质认识和深刻理解．问题“简单”，学生就有了参与活动的兴趣和欲望．问题“开放”，才能让不同的学生体现问题解决的水平，也才能让学生在合作交流中获得共同成长．举例如下：

【案例1】《等腰三角形》的概念学习问题设计

问题：周长为11，且各边长均为整数的三角形有哪些？

【设计说明】怎样导出“有两边相等的三角形是等腰三角形”？本课摈弃了“从实物模型中抽象出等腰三角形”来导出等腰三角形概念的方法，而是设计了一个开放的问题，让学生寻求符合条件的三角形；由于问题比较简单，所有学生都能积极参与，找到4个如图2~图5所示的三角形，然后让学生对4个三角形进行分类导出等腰三角形的概念，突出对等腰三角形概念的本质认识，体现了从小学到中学认识三角形的不同要求．在这里之所以选择周长为“11”的三角形，是因为它是符合分类要求的周长最小的三角形．同时图2、图4、图5三个不同视角放置的等腰三角形为等腰三角形相关概念的辨析提供了较好的变式训练．

【案例2】《平行四边形不稳定性》问题设计

问题：如图6，每个小正方形的边长为1，请以AB为一边，画出一组邻边和为11的平行四边形．(要求平行四边形的顶点在正方形格点上)．这样的平行四边形可以画多少个？一个平行四边形的四条边长确定时，它的形状确定了吗？生活中有哪些实例？

【设计说明】我们知道，三角形的不稳定性是指“三角形的三条边长大小确定时，它的形状就完全被确定”，而平行四边形的不稳定性的内涵是“平行四边形的四条边长大小确定时，它的形状并没有完全确定”．学生平常虽见惯“伸缩门、遮阳篷、衣架”，但并不知道它们都是运用了平行四边形不稳定性原理，当老师以“告知”的方式让学生看现象时，其实学生并不理解平行四边形不稳定性的本质内涵．该问题先让学生画出四条边长确定的平行四边形，再让学生思考“一个平行四边形的四条边长确定时，它的形状确定了吗？生活中有哪些实例？”学生在经历画图的过程中发现“四条边长确定的平行四边形不止一个”这样的事实(学生可以在网格中画出如图7~图10的平行四边形，再发现这样的四边形有无数个)，从而领悟到平行四边形具有不稳定性．

在数学活动的问题设计时，我们首先应当考虑学生现有的知识基础、认知结构、思维水平，并使得内容具有一定的探索性和新异性，激发学生的好奇心和探索动力，刺激学生产生有意义的思考，更好地感受数学知识的价值，增强学生应用数学知识解决问题的意识．

2．活动形式设计

问题是为知识系统和认知结构的建构准备的素材和创设的情境，数学活动是建构的操作过程，建构的过程必须是探索、发现和创造的过程(王瑞霖等，2012)，因此，学生必须主体自觉的、有目标的、真正开动脑筋地参与活动，而不是那种相对无意识的、习惯性的、自动化的程序性操作运算．从形式上看，数学活动可以分为数学思维活动和数学实践活动，但数学思维活动和实践活动应该是相辅相成的，数学实践活动离不开数学思维活动的参与，而数学思维活动可以出现数学实践活动的辅助．在进行数学活动的设计时，我们可以考虑有实践活动的辅助，但更应考虑思维活动的引导．

【案例3】探索“一次项系数k相同的一次函数图象的位置关系”

请你在同一个平面直角坐标系中画出一次函数y=2x, y=2x+4的图象，并观察图象，你发现这两个图形有什么位置关系？为什么？

【设计说明】围绕探究问题“一次项系数k相同的一次函数图象的位置关系”，这里设计的活动形式是“画图 → 观察→ 猜想 → 验证 → 证明”．让学生通过画图并通过观察发现“当一次函数的一次项系数k相同时，两条直线互相平行”，但并没有止于画图，而是进一步让学生自主思考、合作交流，运用演绎推理证明“k相同，两条直线互相平行”．事实上，如图11，易知点A、B的坐标分别是A(-2,0), B(0,4)，在直线y=2x上取纵坐标为4的点C，由点C向x轴画垂线，垂足为D，则 △AOB≌△OD C(SAS)得∠BA O=∠CO D，从而有AB∥CD．然后再进一步引导学生证明一般形式的y=kx, y=kx+b具有平行关系．在这个数学活动中，既有实践活动(画图、观察)，又有思维活动(猜想、验证、证明)，让学生经历数学活动，体验“合情推理用来发现结论，演绎推理用来证明结论”.

【案例4】探索折叠规律

观察长方形纸片的折叠过程(从图12~图15动态演示)，折出了什么图形？你能叙述折叠的过程吗？

【设计说明】本教学片断先让学生观看纸片折叠的动态演示过程看折出什么图形(通过“眼看”获得折叠问题的“形象”)，再叙述折叠过程(通过“口说”获得折叠问题的“表象”)，老师从学生的叙述过程中整理出折叠问题的两个基本动作(点对点折叠、线对线折叠)，然后让学生亲自动手折一折(通过“手做”获得折叠问题的“具象”)，最后通过思考、整理发现折叠问题中折痕的特征(点对点得到的折痕是两点连线的中垂线，线对线得到的折痕是两线的平行线或夹角平分线)，最后要求学生根据折叠动作要求画出折痕(通过思考“抽象”出折痕)．以上就是一个完整的折叠问题“抽象”过程．

数学活动形式多样，它取决于具体的内容，要根据具体的内容设计相匹配的活动形式．一般地，我们遵循让学生经历从归纳推理到演绎推理的过程设计，使学生有足够的时间和空间经历观察、分类、比较、分析、综合、抽象、概括、猜想、实验、推理、计算、论证、应用、合作交流等数学活动的过程，使各种不同的活动形式和决定着它们的诸多条件相互促进，从而使学生实现自身认识、思维、个性的形成和发展．

3．活动过程设计

数学活动过程设计指的是数学活动的动态教学过程的设计．动态的过程如：思考的过程、探究的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程以及师生交流归纳与提炼的过程．在进行动态过程的设计时，教师要善于预见课堂教学中可能出现的情形，并运用即时评价主导课堂，进一步引导、启发学生思考，发挥学生的主体性，帮助学生从数学活动的过程中提炼数学活动经验，并逐步将经验条理化．

【案例5】求与反比例函数图象有关的图形面积问题教学

问题：请你借用反比例函数的图象画出面积为6的图形．

活动过程预设：学生先自行画图，估计能够画出如图16~ 图19所示的图形．

但是学生可能是凭记忆画出这些面积都是6的图形，这些图形在学生头脑中是零乱的、无序的．老师在课前进行数学活动过程预设时，要充分考虑学生可能出现的情形，然后通过引导帮助学生将零乱的结果进行有序梳理，启发学生思考，让思维变得更加开放．我们不妨设计如下的过程：

师：从图16到图17，我们发现改动点A的位置，就能得到不同形状的矩形．那么，如果不改动双曲线中点A的位置，你能得到与图16的矩形面积相等的图形吗？

生1：我把图16的矩形进行等积变形得到如图20的平行四边形．

生2：我把图16的矩形进行等积变形得到如图21的平行四边形．

生3：我把图17的正方形的一部分绕点A旋转得到如图22的不规则四边形．

师：非常好！只要我们画出了合适的矩形，那么通过等积变形就可以得到各种各样的图形！还能画出其他的面积为6的图形吗？

生：(思考，会作讨论)

师：图19给我一点启发，不仅可以借助双曲线图象上的一个点．.．画出各种面积为6的图形，还可以借助双曲线图象上的两个点．.．画出面积为6的图形！

(给学生思考时间，鼓励学生画出如图23~ 图26所示的图形)

师：能说说你们是怎么想到的吗？

生4：如图23，我想到利用同一分支上的两个点画图，两块图形的面积之和为6.

生5：如图24，我想到把图19进行等积变形．

师：图23利用图象上的两个点画图，其实还可以是3个点、4个点(如图26)，当我们改变点的位置，将点描画在不同的分支上就得到了图24，图25用了两个反比例函数的图象画出面积为6的图形！现在，请大家继续展开想象，画出面积为6的图形！

(学生画图、展示如图27~ 图30结果)

师：刚才，我们借助反比例函数的图象画出若干面积为6的图形，大家能总结一下画图的方法吗？(大约过了1分钟)

生6：可以利用一个反比例函数一个分支上的一个点画图；

生7：可以利用一个反比例函数一个分支上的多个点画图；

生8：可以利用一个反比例函数两个分支上的点画图，而且分支的位置可以在不同的象限；

生9：如图31，可以利用多个反比例函数画图．

【设计说明】本教学片断围绕问题“借助反比例函数的图象画面积为6的图形”进行探究，学生围绕问题的解决构造了许多图形．也正是在构造的过程中找到了图形构造的“序”：从点的个数的改变到点的位置的改变，从点的位置的改变到双曲线分支位置的变化，从双曲线分支位置的变化到双曲线条数的改变，这一系列的问题探究都是随着事态的发展自然迸发的，把原本多个孤立的求图形面积问题自然地按一定的思维序列串起来，让学生在探究的过程中学会有条理地思考和解决问题．这样的教学过程使学生经历了图形的构造过程，能容易地理解图形的结构，达到“既见树木又见森林”的目的，潜移默化地渗透了化归、数形结合等数学思想方法．(潘小梅，2012)

设计数学活动的动态教学过程，要充分考虑怎样将学生的数学活动经验“条理化”．因为经验条理化的过程其实就是学生理解、内省、领悟与实践的过程，学生也在活动经验条理化的过程中逐步形成思维方式，进一步纳入自身的认知结构．

三、数学活动的组织

组织数学活动的目的是让学生经历数学活动，在活动中获得个性体验，积累解决问题的方法和策略，获得数学活动经验．

1．给学生足够的时间和空间，让学生获得体验

在组织数学活动时，教师既要放手让学生充分参与数学活动，舍得花时间让学生参与讨论、交流，让学生有足够的时间找到解决问题的突破口，互相交流问题解决的思路，找到问题解决的不同策略，自我反省问题解决障碍的根源，同时也应在设计时尽早估计到学生可能遇到的问题，及时为学生解决．教师放手让学生参与活动，但是学生在进行数学活动时，教师并不是一个“闲人”，而是要时刻观察学生在活动过程中的思考、困惑，根据课前预设收集学生的想法和解决问题的思路，根据学生活动的表面分析造成困惑的原因，为后续的师生交流做好充分的准备或者调整教学，使活动的过程成为提高教师自身和学生素质的互动过程．

2．发挥教师在数学活动中的主导作用

学生经历了数学活动所获得的体验很可能是浅层的、粗糙的、模糊的、无法用言语表达的．它需要通过教师的帮助和自己的反思，再将这些经验进行提炼，得到深刻的、精致的、清晰的，有些也可以和别人分享的经验，逐步获得过程性经验和结果性经验．因此，数学活动的教学组织就是要挖掘学生在数学活动中的思考和个性体验，让数学思维从狭窄变得发散，使问题解决从无序走向有序，进一步将“体验”上升为“经验”，形成思想方法，增长智慧．

3．合理评价学生在数学活动过程中的表现

教师应该不断深入了解学生真实的思维活动，合理评价学生在数学活动过程中的表现．当教师鼓励学生探索交流时，学生之间才有民主，才能互相尊重与众不同的思路和独到见解，吸纳与众不同的观点采取有效的教学对策，促使学生的数学思维不断上层次．当教师及时地肯定和鼓励学生时，学生才有勇气发表自己的见解，学生才乐意互相质疑，互相听取别人的意见，并乐于修正自己的意见，激发学生内在的情感和思维发展的潜力，使得学生已有的知识和能力足以解决所面临的问题，营造一个真诚、和谐、自由的环境．

【思考与讨论】

1．如何设计“数学活动”？请你自选一个教学片断进行设计．

2．如何让学生在数学活动中积累数学活动经验？请互相交流具体措施和做法．