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第1章光及光的干涉

1.1 光及光的特性

1.1.1 光学简史

光是一种重要的自然现象，由于其与人类生活和社会实践的密切联系，光学是一门很早就发展起来的学科。在此简短地概述光学的历史发展，以人类对于光本性的观念探讨为主线，从这一段漫长的发展历程中理出四条主要线索：初始时期(反射光学和折射光学)，波动论与微粒论之争，光的电磁理论和光的量子理论。

1．初始时期

光学的起源可以追溯到远古。最早的光学仪器是镜子，之后出现了用于点火和放大的透镜。古希腊哲学家已经熟悉光的直进、光的反射定律和光的折射现象，这引起他们对光的本性的深思，发展了几种关于光本性的理论。

之后黑暗的中世纪开始了，欧洲在很长一段时间几乎没有什么科学进步，学术中心转移到了阿拉伯世界，光学处于休眠中，在此期间阿尔哈增(Alhazen)精密地表述了光的反射定律。

13世纪后半叶，培根(R.Bacon)有了用透镜来改善视觉的想法，甚至暗示过把透镜组合起来构成望远镜的可能性。15世纪达·芬奇(Da Vinci)描述了成像暗箱(camera obscura)。17世纪初，望远镜和显微镜得以发明。

1611年，开普勒(J.Kepler)发表了著作《折光学》，他发现了全内反射，得出了折射定律的小角度近似，发展了一种对薄透镜系统的一级光学的处理方法。1621年，莱顿大学教授斯涅耳(W.Snell)在实验上发现了折射定律，之后笛卡尔(R.Descartes)用正弦函数的形式将折射定律表述出来，这是光学中的重要事件之一，一举打开了近代光学应用的大门。笛卡尔系统地陈述了关于光的本性的见解，认为光在本质上是一种压力，在一种完全弹性的、充满一切空间的媒质(以太)中传递。1657年，费马(P.Fermat)提出了著名的最小时间原理，即光永远选择这样一条路，以使它在最短时间内抵达目的地，他由此出发推导了反射和折射定律。

这段时期是光学的初始阶段，在这样一个漫长的历史时期内，人类的光学知识仅限于一些现象和简单规律的描述，对于光本性的认真探讨是从17世纪开始的。

2．波动说与微粒说之争

17世纪，光的衍射现象——几何影区里的光，和光的干涉现象——薄膜产生的彩色干涉图样，为人所发现。胡克(R.Hooke)提出，光是媒质中一种迅速的振动，它以极大的速度传播，并且在均匀媒质中每个振动都将产生一个圆球，这个圆球将稳恒地向外扩大。这是波动说的发端，胡克以此来解释薄膜产生的彩色干涉条纹，并试图用这些概念来解释折射现象和颜色。

1666年牛顿(I.Newton)发现了棱镜的色散现象，白光分解成各种独立的颜色，他确定每一种颜色各由一个折射率来标志，颜色的基本性质搞清楚了。但是，波动理论在光的直进和偏振方面遇到的困难使牛顿趋向于光的微粒理论，认为光是以微小粒子的形式从发光物体传播出来的，按照惯性定律沿直线飞行。这直接说明了光的直线传播定律，并且反射定律和折射定律也能在光的微粒模型的基础上加以解释。然而，微粒说在解释光的折射定律时，得出了光在水中的速度大于在空气中的错误结论，不过当时的科学技术条件不能通过实验测定来鉴别。

虽然微粒理论解释了光通过自由空间的传播，并且能用来预言反射定律和折射定律的正确形式，但是在试验中观察到的干涉、衍射、偏振等现象，是无法用描述光的经典的微粒模型来解释的，在光的波动模型的基础上才能令人满意地解释这些现象。

在牛顿发展微粒说的同时，惠更斯(C.Huygens)对波动理论大加改进扩充，认为光是在一种特殊弹性媒质(以太)中传播的机械波，并且提出一个原理，光扰动所落到的“以太”的每一点，可以看作是一个新扰动的中心，各向外发射一个球面波，这些次级波的包络面决定以后任何时刻的波阵面。借助这个原理，惠更斯成功地推导出反射定律和折射定律。惠更斯还能够说明双折射现象，并且在研究这个问题的过程中发现了光的偏振，但并未能给出解释。但是，牛顿的至高无上的权威使得当时的人们对微粒理论深信不疑，他对波动理论的摒弃使得这一理论停滞不前近一个世纪。

直到19世纪初叶，一些决定性的发现导致人们普遍接受波动理论。19世纪初，杨氏(T.Young)做了一个著名的干涉实验——杨氏双缝干涉，据此提出干涉原理并对薄膜彩色和牛顿环的成因做出解释，但由于其见解大部分是定性表达，所以没有获得普遍承认。在1816年前后，菲涅尔(A.J.Fresnel)综合了惠更斯的波动描述和干涉原理两个概念，将波的传播看成是相继激发出的一系列球面次级子波相互叠加干涉而成。菲涅尔对其理论进行了数学的论证，令人信服地解释了衍射现象，计算了各种障碍物和小孔产生的衍射图样，并且满意地解释了均匀各向同性媒质中光的直进。菲涅尔和阿喇果(D.F.Arago)实验研究了偏振对干涉的作用，于1816年发现偏振方向相互垂直的两束光从不干涉，杨氏由此提出了光波是横波的假设。在此基础上，菲涅尔发展了弹性以太理论，用以太振动模型推导出了反射光和透射光的振幅和偏振所服从的规律。菲涅尔的工作为光的波动论奠定了牢固的基础。

1850年傅科(L.Foucault)实验测量了空气和水中的光速。微粒说要求光密媒质中的光速比较大，而波动说要求光密媒质中的光速比较小。实验测量了空气和水中的光速，结果判定波动说获胜，这再次给微粒说一个沉重的打击，波动理论为人们所普遍接受，取得了牢固的地位。

惠更斯、菲涅尔的波动理论的弱点在于带有机械论的色彩，把光现象看成某种机械运动过程，认为光是一种弹性波，这就必须臆想一种特殊的弹性介质“以太”充满空间。为了不与观测事实抵触，必须赋予以太极其矛盾的属性：密度极小且弹性模量极大。这不仅在实验上无法证实，在理论上也显得荒唐，所以需要摆脱弹性以太的概念。至此，虽然许多光学问题获得了解决，但是光学的基础还停留在不能令人满意的状态。

3．光的电磁理论

在19世纪，电学和磁学也得到了发展。1820年，奥斯特(Oersted)发现了电流的磁效应。不久，安培(Ampere)发现了两根通电的平行导线互相吸引。大约在1831年，法拉第(M.Faraday)通过实验成功地证明了变化的磁场能够感生出电动势，电磁学的研究随着法拉第电磁感应定律的发现达到最高峰。19世纪中叶，麦克斯韦(J.C.Maxwell)推广了安培定律，指出变化的电场也能够感生出磁场，并且天才地总结了所有已知的电磁学的经验知识，得到一组简洁、优美而对称的数学方程，即麦克斯韦方程组。他从这个方程组导出了波动方程，指出电磁场能够作为一个横波在以太中传播，并且其传播速度能够从纯电磁学测量的结果计算出来。后来有人完成了这些测量，麦克斯韦根据测量的数据计算出电磁波在空气中的速度，他发现这个值非常接近于斐索(Fizeau)在1849年测得的光速值。这启发了麦克斯韦，提出了光的电磁理论，认为光是一种电磁现象，是以波的形式传播的电磁扰动，在光波中存在着变化的电场和磁场，变化的磁场产生变化的电场，变化的电场又产生变化的磁场，使得电磁波在空间中传播。1888年，赫兹(H.H ertz)成功地进行了产生和探测电磁波的实验，证实了麦克斯韦的电磁理论。

光的波动说是基于一种无所不在的媒质即以太的存在以作为支承这个波的媒质，这要求以太具有一些相当奇怪的物理性质，它必须相当稀薄，但又有着非常强的恢复力。而之后的实验表明不可能观察到地球相对于以太的运动的任何效应，以太绝对静止的假设失败了。1905年，爱因斯坦建立狭义相对论，否定了以太假说，革除了以太概念。一直以来，人们对一切自然现象的认识都带有机械论的局限性，认为电磁波是充满空间的弹性介质以太中的波动现象，该弹性介质构成电磁波传播的特殊参考系。以太绝对静止被实验否定的事实和相对性原理的建立使物理学家放弃寻求用机械模型解释电磁波，接受电磁波能通过自由空间传播的观念，电磁波是作为物质的电磁场本身的运动形式，本身成了一种实体。

至此人们对电磁场的认识产生了一个飞跃，而光学建立在了电磁理论的宏伟结构之上。19世纪末的物理学家们普遍认为，人们已经最终地理解了光究竟是什么。

4．光的量子理论

光的电磁理论能够解释一切和光的传播有关的现象(就其主要特征而言)，然而不能说明光的发射过程和吸收过程。在这些过程中，物质和光波场相互作用的精细面貌被显现出来。支配这些过程的规律是近代物理学探讨的目标。

这段历史是从发现光谱中的某些规律开始的。19世纪初，夫琅禾费(J.Fraunhofer)发现了太阳光谱中的暗线，之后的实验和分析将这些暗线归属于吸收线。这个发现是光谱分析的开端，光谱分析一直到现在仍是物理学研究的重要课题。每种原子都有它独有的一组特征的光谱线，这关乎光如何在原子中产生或消灭的问题，涉及原子本身的结构。

1900年，为了解决黑体辐射理论的矛盾，普朗克(M.Planck)提出了量子假说，认为各种频率的电磁波，只能像微粒似的以一定最小份额的能量发生，该份额即量子ε=hυ，与频率υ成正比，其中h叫作普朗克常数，它的出现是近代物理学区别于经典物理学的标志。普朗克始发了科学思潮中另一场大革命——量子理论。

1905年，爱因斯坦(A.Einstein)根据普朗克理论，使光的微粒理论在一种新形势下复活起来，即提出著名的光子理论。按照光子理论，假设普朗克的能量量子作为实在的光粒子存在，这种光粒子叫作“光子”，其能量仅依赖于光的频率，由此他成功地解释了光电效应，即如果光的频率高于某一临界值，被光照射的金属表面会有电子逸出，而且逸出电子能量与光的强度无关，但与光频率有关。爱因斯坦还指出，光子除了具有能量外，还应该具有动量，这一结论为1923年康普顿(Compton)的实验所证实，这个实验称为康普顿效应。

1913年，玻尔(N.Bohr)把量子理论应用到原子结构，提出了氢原子的一个初步的量子理论，成功地解释了氢原子发射光谱的波长。这个理论以令人难以置信的精密和美丽描述了最微小的细节。之后，在一大批杰出的物理学家的共同努力下，量子力学成为一个得到很好验证的理论体系，依靠量子力学，人们对原子和分子的构造获得了重要的认识。而场与物质相互作用的详细理论，需要把量子力学方法的领域加以扩大(场量子化)。对于电磁辐射场，这项工作首先是由狄拉克(P.Dirac)做出的，这些研究形成了量子光学的基础。

光是微粒还是波动？这个古老的争论再次摆在我们面前。有些实验只有在辐射的微粒性的基础上才能加以解释，必须承认波动理论和微粒理论两者同时有效。“粒子”和“波动”都是经典物理的概念，在宏观世界里是明显地互相排斥的，在微观世界里却必须合并在一起。近代的科学实践证明，光是十分复杂的课题。对于其本性的问题，只能用它所表现出来的性质和规律来回答：光在某些方面的行为表现出粒子的性质，在另一些方面的行为表现出波动的性质。光的微粒性同波动性通过近代量子理论统一起来，这就是所谓的“波粒二象性”。

以上我们回顾了人类对于光之本性的见解的发展历程，至此，光学现象背后的物理原理大体上系统形成了。光学这一研究光的传播和它与物质相互作用问题的学科，不仅是物理学中一门重要的基础学科，也是一门应用性很强的学科。

从20世纪40年代开始，光学在概念、方法和应用方面取得了一系列重大的突破和进展。1948年全息术的发明，1955年作为光学系统像质评价标准的光学传递函数概念的建立，1960年激光器的诞生，是现代光学发展中有重要意义的三件大事。而现代光学最重大的进展之一是引入了傅里叶(Fourier)变换的概念，建立了傅里叶光学理论和光学信息处理技术。这些进展在研究方法和装置仪器方面极大地丰富了光学的内容。

几乎可以用于测量任何变量的光学技术和器件得以发明和应用，并持续快速地发展着，其中光的干涉目前仍是精密测量中难以替代的手段。

1.1.2 光的电磁理论

光学是研究光的传播以及它和物质相互作用问题的学科。光学由于量子理论的发现经历了一场彻底的革命，深深地影响了关于光的本性的见解，但是它并没有使早先的理论和技术失去作用，只不过揭示了它们的能力限度，并确定了它们的有效范围。

量子力学的基本信念之一就是，光和物质都显示出同样的波粒二象性，把一个粒子同一个波动方程联系起来。光的波粒二象性可以如此理解：光以波的形式在空间中传播，然而在辐射和吸收过程中仍可以显示出粒子的行为，电磁辐射能量的产生和消失是以量子或光子为单位的，而不是像经典波动那样连续地发生。光子的量子性之所以常常完全表现不出来，是因为光子是玻色子，不像大多数其他粒子受泡利不相容原理的限制，可存在大量相同运动状态的光子，集体行为表现为连续的经典场。因此对于大部分光学现象，若不涉及光的发射和吸收等与物质相互作用的微观机制，光的量子力学特征是模糊的，在其表现中占主导地位的是它的波动性，可以认为光是一个经典的电磁波。

研究光与物质相互作用的问题，通常是在分子或原子尺度上研究的，需用量子理论。而研究光的传播规律是波动光学的主要内容，它将光作为经典的电磁波处理，应用麦克斯韦方程组可完全地描写电磁波，原则上讲，求解麦克斯韦方程组即可解释一切和光传播有关的现象(就它们的主要特征而言)。但是，一般来说，求解麦克斯韦方程组是困难的，只是对某些简单系统可以得到严格解，因此需要采取某些近似和简化。如忽略电磁波的矢量性质，将光作为标量波来处理，标量理论在大部分情况都能够给出非常精确的结果；而当光的波长可视为无限短，从而波动效应不明显时，可将光的能量看成是沿着一根根光线传播的，遵从直进、反射、折射等定律，这便是几何光学，是波动光学的短波近似行为。

本节将简要阐述波动光学的基础——经典电磁理论，也是本书的理论基础。

1．麦克斯韦方程

电磁场是物质存在的一种形态，有着特定的运动规律和物质属性，它和其他带电物质以一定的形式发生相互作用。

英国物理学家麦克斯韦总结了电磁现象的实验规律，概括为电磁场的普遍规律，建立了宏观电磁场的完整方程组：

其中：E为电场强度，D为电位移矢量，H为磁场强度，B为磁感应强度，J 为电流密度，ρ为电荷密度。电荷密度ρ和电流密度J 通过电流连续性方程相联系：

式(1-2)可由电荷守恒原理得到。

麦克斯韦方程组(1-1)第1式是法拉第电磁感应定律的数学表示，表明一个随时间变化的磁场感生出电场；第2式是安培环路定律，表明不仅电流激发磁场，随时间变化的电场也激发磁场；第3式是电场的高斯定律的数学表示，表明电荷激发电场；第4式是磁场的高斯定律，表明磁场是无源场，不存在“磁荷”。在方程组中，电场和磁场以明显的对称性出现，不论电场怎样影响磁场，磁场反过来也将影响电场，变化着的电场和磁场互相激发，成为统一的整体，数学上的对称性意味着大量的物理上的对称性。

麦克斯韦方程组描述了电荷、电流和电磁场的关系，要能从给定的电流和电荷分布唯一地确定出场矢量，还必须补充关系式，描写物质在电磁场影响下的性质，称为物质方程，或本构关系。原则上物质的电磁性质可以在麦克斯韦方程组基础上结合物质微观结构的模型用量子力学推导出来，但是这种推算很大程度上依赖于人们对于物质微观结构和动力学机制的认识，目前还不能做到完全精确。下面依据介质电磁性质的实验定律唯象地给出物质方程。

在真空中，D、E和B、H之间满足简单的线性关系：

其中ε0和μ0分别称为真空介电常数和真空磁导率，是基本的物理常数。对于各向同性且线性的电磁介质，有

其中：ε表示介质介电常数，μ表示磁导系数。在导电物质中还有欧姆定律：

其中，σ为电导率。

在结构比较复杂的介质中，这种简单的关系不再成立，介电常数和磁导率通常需要用张量表示，这种介质称为各向异性介质；在强场作用下许多介质呈现非线性现象，这种介质称为非线性介质。

麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。但是，在不同介质的分界面上，由于一般出现面电荷电流分布，使电磁场发生不连续性变化，应用积分形式的麦克斯韦方程可导出在介质分界面两侧的场与界面上电荷、电流的关系，称为电磁场边界方程：

其中：为介质分界面的单位法线，方向由介质2指向介质1; α、σ分别表示电流、电荷的面密度。边界条件表示界面两侧的场与界面上电荷电流的制约关系，实质上是边界上的场方程。

麦克斯韦方程反映一般情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部运动的规律。在电荷和电流为零的区域，电场和磁场通过本身的相互激发而运动传播形成电磁波。电磁场的相互激发是它存在和运动的主要因素，而电荷和电流则以一定形式作用于电磁场。

麦克斯韦方程不仅揭示了电磁场的运动规律，更揭示了电磁场可以独立于电荷之外存在，体现了电磁场的物质属性。所有电磁场的传播问题，均可归结到在给定的初始条件和边界条件下麦克斯韦旋度方程组的求解问题。

2．电磁场的能量和能流

电磁场是一种物质，具有内部运动，电磁运动和其他物质运动形式之间能够相互转化，这种普遍性的反映是各种运动形式有共同的运动量度——能量。

电磁场的能量是按一定方式分布于场内的，而且由于场在运动着，场能量不是固定地分布于空间中，而是随着场的运动而在空间中传播。因此需要两个物理量来描述电磁场的能量：

1)场的能量密度ω，它是场内单位体积的能量，是空间位置x和时间t的函数，ω=ω(x, t);

2)场的能流密度S，它描述能量在场内的传播。S在数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。

场和电荷相互作用时，能量就在场和电荷间转移，在转移过程中总能量是守恒的。通过电磁场与带电物体相互作用过程中电磁场能量和带电物体运动的机械能相互转化，求出电磁场的能量表达式：

能流密度S也称为坡印廷(Poynting)矢量，是电磁波传播问题的一个重要物理量。

下面分两种情形讨论所得结果：

1)真空中电荷分布情形。该情况下相互作用的物质是电磁场和自由电荷，能量在两者间转移。在真空中有

D=ε0E, B=μ0H

因此，有

2)介质内的电磁能量和能流。该情况下相互作用的系统包括三个方面：电磁场、自由电荷和介质。场对自由电荷所做的功转化为电荷的动能或者焦耳热；场对介质中束缚电荷所做的功转化为极化能和磁化能而储存于介质中，也可能部分为介质所损耗。当外场变化时，极化能和磁化能也发生变化，将极化能和磁化能归入场能中一起考虑，称为介质中的总电磁能量。根据式(1-8)，介质中的场能量的改变量为

在线性介质情形，D=εE, B=μ H，式(1-10)可以积分得场能量密度表达式为

电磁波传播过程中，能量是在场中传输的。在光频段，电场和磁场的变化极其迅速，变化频率在1015Hz的数量级，所以能流密度S也是迅变的，人眼和任何其他接收器都不可能接收到S的瞬时值，而只能接收S的平均值。通常所说的光的强度(简称光强)，即光的平均能流密度，由<S>确定，以I表示。

对于线性、均匀、各向同性介质中的电磁波，E⊥H，且，坡印廷矢量的瞬时值为

对于时谐场，平均值，其中E0为振幅，故光强为

可见，光强同电场振幅的平方成正比。在同一种媒质里只关心光强的相对分布时，式(1-13)中的比例系数不重要，人们往往把光的(相对)强度就写成振幅的平方：

但在比较不同媒质中的光强时，则应注意到，比例系数中还有一个与媒质有关的量。在光学问题中，电场和磁场的重要性并不相同，光学中通常把电场E称为光场，在讨论光的场振动性质时，可以只考虑电场E。

3．无源波动方程和时谐电磁波

迅变情况下，电磁场耦合在一起，互相支持，以波动的形式存在，变化着的电场和磁场相互激发，形成在空间中传播的电磁波。

在自由空间中，即没有电荷电流分布的空间或均匀的绝缘介质中，电磁场的基本运动规律是齐次的麦克斯韦方程组：

结合物质的本构关系，假设介质为线性各向同性均匀介质，有

D=εE, B=μH

取式(1-15)的第一式的旋度并利用第二式得

用矢量分析公式及▽·E=0得

▽×(▽×E)=▽(▽·E)-▽2E=-▽2E

代入式(1-16)得电场E的偏微分方程：

同样，可得磁场B的偏微分方程：

式(1-17)和式(1-18)称为波动方程，其解包括各种形式的电磁波，电场和磁场的传播是以波动的形式进行的，其传播速度为

特别是在真空中，一切电磁波都以速度

传播，速度c是最基本的物理常量之一。

研究介质中的电磁波传播问题时，必须给出D和E 的关系以及B 和H 的关系。当以一定角频率ω作正弦振荡的电磁波入射于介质内时，介质内的束缚电荷受电场作用，亦以相同频率作正弦振动，在线性介质中有关系

由介质的微观理论可知，对不同频率的电磁波，即使是同一种介质，它的电容率和磁导率也不同，即ε和μ是ω的函数，这种ε和μ随频率改变的现象称为介质的色散。由于色散，对一般非正弦变化的电场E(t)，关系式D(t)=εE(t)不再成立，从而在介质内，不能够推出E和B的一般波动方程。下面讨论电磁场矢量以一定频率作正弦振荡的电磁波，即时谐电磁波(单色波)在介质中的传播，这是具有特殊的重要意义的，因为根据傅里叶(Fourier)分析方法，任意复杂变化的场可用不同频率的时谐波叠加来合成。

对于时谐电磁场，设角频率为ω，电磁场可以写成复数形式

对于一定频率下，线性均匀介质中时谐情形下的麦克斯韦方程组为

注意在时谐情形下，方程组(1-23)中只有第一、三式是独立的，其他两式可由以上两式导出。

时谐情形下式(1-17)化为

式(1-24)称为亥姆霍兹(Helmholtz)方程，是一定频率下电磁波的基本方程，其解E(x)代表电磁波场强在空间中的分布情况，每一种可能的形式称为一种波模。

注意，式(1-24)只有加上条件▽·E=0后才代表电磁波的解。解出E之后，磁场B可由方程组(1-23)第一式求出。概括起来，在一定频率下，麦克斯韦方程组化为以下方程

任意时谐电磁波的波函数均满足方程(1-26)。

4．无界空间中的电磁波

在无限大均匀绝缘介质或自由空间(无源)中，时谐电磁场满足方程(1-26)。按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可以有各种不同的形式，如平面波、球面波和柱面波解，它们分别是亥姆霍兹方程(1-26)在不同对称性下的解。

首先讨论一种最基本的解——平面波。平面波是指电场或磁场在与传播方向正交的平面上各点具有相同值的波。设电磁波沿x轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有相同的值，即E和B 仅与x、t有关，而与y、z无关。这种电磁波称为平面电磁波，其波阵面为与x轴正交的平面。在这种情况下亥姆霍兹方程化为一维常微分方程

它的一个解是

故时谐平面波场强的表示式为

由条件▽·E=0 得i ke x ·E=0，因此，只要E 0 与x轴垂直，式(1-29)就代表一种可能的模式。式中E 0 代表电场的振幅，ei(k x-ωt)代表波动的相位因子。

式(1-29)表示一个沿x轴方向传播的单色平面波，在线性均匀的绝缘介质内其相速度为

真空中的电磁波的传播速度为，因此，线性均匀绝缘介质中单色波的相速度为

式中：μr和εr分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，为介质的折射率。由于它们是频率的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度和折射率，这就是介质的色散现象。

在一般坐标系下平面电磁波的表示式是

式中：k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为。k称为波矢量，其量值称为波数。垂直于矢量k的任意平面是等相面，因而式(1-32)表示沿矢量k方向传播的平面波。沿电磁波传播方向相距为Δx=2π/k的两点有相位差2π，因此2π/k是电磁波的波长λ，即

取(1-32)的散度

▽·E=ik·E=0

因此

式(1-34)表示电场波动是横波，E可在垂直于k 的任意方向上振荡。E的取向称为电磁波的偏振方向。可选与k垂直的任意两个互相正交的方向作为E 的两个独立偏振方向。因此，对每一波矢量k，存在两个独立的偏振波。

而平面电磁波的磁场由方程(1-26)第三式求出：

其中，为传播方向的单位矢量。可见，磁场波动也是横波。E、B和k 是三个相互正交的矢量。

概括平面电磁波的特性如下：

(1)电磁波为横波，E、B均与传播方向垂直；

(2)E和B 互相垂直，E×B沿波矢k方向；

(3)E和B 同相，振幅比为v。

平面电磁波沿传播方向各点上的电场和磁场瞬时值如图1-1所示，随着时间推移，整个波形沿传播方向以速度v移动。

图1-1 沿x轴传播的平面电磁波

直角坐标系特别适合于描写平面波，然而在不同的物理情况下，采用一些其他的坐标系可以更好地利用所存在的对称性。

考虑在真空中或各向同性均匀介质中的一个理想点光源，它发出的光波沿径向流出，由于各向同性的对称性，它所产生的波阵面也是同心的球面，这种等相面是球面的光波称为球面波。

光场是矢量场，求球面波的矢量表达式较为复杂，所以一般常常忽略场的矢量性质，而把光波场的每一个直角分量孤立地看作标量场，满足标量波动方程，用标量场的理论来讨论问题。这虽然是一种近似，但对于大部分光学问题来说，所得到的结果是相当精确的。

下面求出球面波的标量表达式。标量时谐场满足方程

对于球坐标系，拉普拉斯算符为

由球面波空间上的球对称性，其解与θ和ϕ无关。因此E=E(r)，此时拉普拉斯算子简化为，则方程(1-36)可以写为

乘上r，得到

解得时谐球面波场为

式中若取负号代表一个从原点沿径向向外行进的球面波，若取正号代表向原点会聚的球面波。可见，球面波的振幅不再是常量，随距离r成反比衰减；球面波的等相面是r为常量的球面。

5．电磁波在电介质表面的反射和折射

光入射到不同媒质的分界面上，从微观尺度上，媒质由原子和分子组成，而原子和分子由原子核和电子组成，当光波的电磁场入射到介质上时，会引起场和媒质中带电粒子的相互作用。可以如此设想，一个原子系统对入射的辐射进行散射，散射出来的子光波叠加，这取决于散射体原子的空间分布。这种原子论的描写在观念上是相当令人满意的，但是从分析角度看这是相当复杂的，因此采用宏观的方法，用介质的介电常数和磁导率来描述介质的电磁性质。

之前给出了电磁场矢量在通过突变面时所必须满足的关系式，这个突变面是媒质的物理性质突变的地方。光入射到介质界面上的问题属于边值问题，由波动的物理量在边界上的行为确定，对于电磁波，可以通过应用麦克斯韦方程组和相应的电磁场边界条件来求解。一般情况下电磁场的边值关系为

式中α、σ分别表示电流、电荷的面密度。这组边值关系是麦克斯韦方程组的积分形式应用到边界上的推论。在绝缘介质界面上，σ=0, α=0。在一定频率情形下，式(1-41)不是完全独立的，由第一、二式可以导出其他两式，因此在讨论单色时谐电磁波时，介质界面上的边值关系只需考虑以下两式：

下面来研究一个单色平面波入射到两个各向同性均匀媒质的界面上时的传播情况。无限大均匀各向同性介质中单色的平面电磁波是横波，E、H互相垂直且均与传播方向k垂直，即E⊥H且E×H∥k，并且有E、H同相，其振幅满足。

当一个平面波入射到光学性质不同的两个媒质的界面上时，将发生反射和折射现象，分为两个波：透射波和反射波。透射波进入第二媒质内，反射波回到第一媒质中。这两个波的存在可从边界条件上加以论证，如果不假定透射和反射两个波，边界条件就不能得到满足。下面假定透射波和反射波也是平面波，推导它们的传播方向和振幅的表达式。

设介质1和介质2的分界面为无穷大平面，平面电磁波从介质1入射于界面上，设入射波、反射波和折射波三列平面波的表示式分别为

在以上三式中，我们将可能出现的初相位差吸收到振幅内了。将这些波的表达式代入边界条件中，等式中都有三项，对应于介质1的一侧为入射波与反射波的叠加，对应于介质2的一侧为折射波，三项的指数因子分别为

exp[i(k1 xx+k1 yy-ω1 t)]，

exp[i(k＇1 xx+k＇1 yy-ω＇1 t)]，

exp[i(k2 xx+k2 yy-ω2 t)]

这里选取坐标使介质分界面为z=0的平面。要想边界条件对任何x、y、t都满足，只有三个指数因子在此平面上完全相等，即

上面第三式表明，反射波、折射波的频率与入射波相同。为了方便，选取x轴在入射面内，从而k1y=0，由上面第二式，k＇1y=k2y=0，即反射波矢、折射波矢和入射波矢在同一平面(入射面)内。以θ1、θ＇1和θ2分别代表入射角、反射角和折射角，则

且有，代入上式可得

这就是熟知的反射定律和折射定律，之前曾给出介质折射率，除铁磁质外，一般介质都有μr≈1，因此通常可以认为就是介质的折射率。

下面应用边界条件求入射、反射和折射波的振幅关系。对于电矢量垂直于入射面和平行于入射面的平面波，其反射光和折射光的振幅和相位关系并不相同，所以有必要对这两种情况分别予以讨论。入射平面波的电矢量可以在垂直于传播方向的平面内取任意方向，但总可以分解为垂直于入射面和平行于入射面的分量，也就是说，可以把入射光分解为电矢量垂直于入射面和平行于入射面的s波和p 波，如图1-2所示，然后分别予以讨论。

图1-2 电磁波在介质分界面上的折反射

(1)s波入射

当入射平面波是电矢量垂直于入射面的s波时，电矢量和磁矢量的正向如图1-2(a)所示。根据边界条件

已知有，取μ=μ0，则式(1-50)可写为

由式(1-49)和(1-51)，并利用折射定律得

(2)p波入射

当入射平面波是电矢量平行于入射面的p波时，电矢量和磁矢量的正向如图1-2(b)所示。根据边界条件

式(1-55)可用电场表示为

式(1-56)与式(1-54)联立，并利用折射定律可得

式(1-52)、(1-53)、(1-57)、(1-58)称为菲涅尔公式，表示反射波、折射波与入射波场强的比值。菲涅尔公式表明，反射、折射光的p分量只与入射光里的p 分量有关，s分量只与s分量有关。也就是说，在反射和折射的过程中，两个分量的振动是相互独立的，垂直于入射面偏振的波与平行于入射面偏振的波的反射和折射行为不同。如果入射光为自然光(即两种偏振光的等量混合)，经过反射和折射后，由于两个偏振分量的反射波和折射波强度不同，因而反射波和折射波均变为部分偏振光。

在特殊情形下，电矢量平行于入射面的分量没有反射波，即当光波以该角入射时，反射光变为垂直于入射面偏振的完全偏振光，这是光学中的布儒斯特(Brewster)定律，该角称为布儒斯特角。

菲涅尔公式同时也给出入射波、反射波和折射波的相位关系。在s波入射的情形，反射波电场与入射波电场反相，这种现象称为反射过程中的半波损失。

1.1.3 偏振

光的偏振现象清楚地显示光的横波性，即它的振动方向与传播方向垂直，这一点和光的电磁理论是完全一致的，从而这也是光的电磁理论的一个有力的证明。

历史上，早在光的电磁理论建立以前，马吕斯(E.L.Malus)于1809年在实验中发现了光的偏振现象。当时认为传播光波的媒质是充满整个宇宙空间的“以太”，由于并未观察到它对天体运行的影响，因此假设“以太”是极其稀薄的气状物质，然而偏振现象的发现打破了这种假设，光的横波性要求“以太”应该是一种能产生切向应力的弹性媒质，从而使光扰动传播的以太模型面临着极大的困难。直到光的电磁理论建立以后，光的横波性才得到圆满的说明。电磁理论预言，在自由空间传播的光波是一种横波，光波中横向振动着的物理量是电场矢量和磁场矢量，这已为大量实验事实所证明。鉴于在光和物质的相互作用过程中主要是光波中的电矢量起作用，所以以电矢量作为光波中振动矢量的代表，称之为光场。

1．光的偏振态

光的横波性只表明电矢量与光的传播方向垂直，在与传播方向垂直的二维空间里电矢量还可能有各式各样的振动状态，称为光的偏振态或偏振结构。实际中常见的光的偏振态可分为线偏振光、圆偏振光、椭圆偏振光、自然光和部分偏振光。下面我们将对其做简单介绍。

上节中讨论过，对于自由空间中的单色平面波，电矢量E在垂直于传播方向即波矢k 的平面内，因而电矢量E存在两个自由度，选取垂直于波矢k的平面内两个正交方向来讨论光的偏振态。假设光的传播方向沿z轴正向，选取垂直于波矢k的平面内两个正交方向分别为x轴和y 轴。考虑单色平面波存在着两个正交方向上的光扰动，则

式中和是沿x轴和y 轴的单位基矢，δ是两个方向光扰动的相对相位差，E0x和E0y分别为振幅，k为光波的波数，ω为光波的角频率。

(1)线偏振光

在传播过程中，光场矢量的大小可以随时间改变，但其振动方向是不变的，这种光称为线偏振光。线偏振光中光场矢量的振动方向与传播方向构成的平面，叫作振动面。

如果δ为0，称两个光扰动为同相，在此情况下，式(1-59)化为

可见该光波的振幅是固定的，为，它是线偏振光。

如果δ为π，称两个光扰动为反相，在此情况下，式(1-59)化为

显然，该光波也是一个线偏振光。由式(1-60)和式(1-61)有，这是直线方程。Ex和Ey的变化范围分别限制在±E0x和±E0y之间，电矢量端点的轨迹是以Ex=±E0x和Ey=±E0y为界的矩形的对角线。δ=0时取正号，轨迹是一、三象限的对角线，δ=π时取负号，轨迹是二、四象限的对角线，如图1-3所示。在这两种情况下，合成的偏振态仍是线偏振的，其振幅为

图1-3 线偏振光

振动方向由式(1-63)决定

可见，当两个正交方向上的光扰动的相对相位差为0或者π时，该波为线偏振光。反过来，任何一个线偏振光可分解为两个正交的分量，它们的相对相位差为0或者π。

(2)圆偏振光

如果在一束光的传播过程中，在垂直于传播方向的平面内运动的特点是其光场矢量的大小不变，方向以角速度ω(即光波的角频率)绕传播轴匀速旋转，换句话说，光场矢量的端点描绘的轨迹为一圆，这种光称为圆偏振光。

当两个正交方向上的光扰动的振幅相等，相位差时，合成运动是一个旋转矢量，合成光波为

式中E0=E0x=E0y。显然有，这是一个圆方程，其内切于以Ex=±E0, Ey=±E0为界的正方形，如图1-4所示。对于圆偏振光，其电矢量E的振幅为一个常数，而方向随时间改变，当光波前进一个波长之后，电矢量E旋转一整周。

图1-4 圆偏振光

当观察者面对着传播过来的光波的方向观察，即令光波迎面而来，观察空间中每一点的电矢量E的运动：若取，各点电矢量E均以圆频率ω做逆时针转动，这样的光波称之为左旋偏振光；若取，各点电矢量E均以圆频率ω做顺时针转动，这样的光波称之为右旋偏振光。

圆偏振光可看成是两个相互垂直的相位相差为的等振幅线偏振光的合成；反过来，圆偏振光可沿任意一对相互垂直的方向分解成振幅相等的两个线偏振光。

(3)椭圆偏振光

就数学描述来说，线偏振光和圆偏振光都可以看成是椭圆偏振光的特殊情况。对于椭圆偏振光，在传播过程中光场矢量E的大小和方向都有规律地变化，其端点在垂直于波矢k的平面内描绘的轨迹为一椭圆。椭圆偏振光也是两个正交方向上的光扰动的合成，只是它们的振幅不等，或相位差不等于的整数倍。考虑最普通的情形，由式(1-59)得轨迹方程

这是一个椭圆方程，它与以Ex=±E0x, Ey=±E0y为界的矩形相内切，不过其主轴可以是倾斜的，如图1-5所示。椭圆的形状，长、短轴的大小和取向，与振幅E0x、E0y和相位差δ都有关系。可以证明，椭圆的长轴和x轴的夹角β由下式决定：

图1-5 椭圆偏振光

线偏振光和圆偏振光都可看成是椭圆偏振光的特例。椭圆偏振光退化为圆偏振光的条件是E0x=E0y和；退化为线偏振光的条件是E0x=0或E0y=0或δ=0, ±π。椭圆偏振光也有左、右旋之分，其定义与之前相同，即迎着光的传播方向看去，逆时针者为左旋，顺时针者为右旋。而对于椭圆偏振光，主轴究竟朝哪一边倾斜，以及左旋还是右旋，与δ在哪一象限有关，如图1-6所示。可见，当sinδ＞0时，椭圆偏振光是左旋的；当sinδ＜0时，椭圆偏振光是右旋的。

图1-6 各种相位差的椭圆偏振光

因此，若对两个正交方向上的光扰动的振幅和相位差不作任何要求，一般地将得到椭圆偏振光，合振动的大小和方向一般是随时间变化的，光场矢量周期性地旋转，其末端的运动轨迹为一个椭圆。

(4)自然光和部分偏振光

光是光源中大量原子或分子发出的，在普通的光源中各原子或分子发出的光波波列是间歇的，不仅初相位彼此无关联，它们的振动方向也是杂乱无章的，完全无规地变化着。因此宏观来看，光波中包含了所有方向的横振动，而在统计上，它们对于光的传播方向成轴对称分布，如图1-7(a)所示。具有这种特点的光叫作自然光，也可以叫非偏振光。

图1-7 自然光和部分偏振光

总之，自然光可以看成是具有一切可能的振动方向的许多光波的综合，在自然光波场中的每一点，对于每个传播方向来说，同时存在大量的各种取向的横振动，在波面内取向分布的概率各向同性，彼此间没有固定的相位关联，迅速而无规则地变化着。

在数学上，自然光可以用相互垂直的两个光矢量表示，这两个光矢量的振幅相等，但彼此相位没有关联，迅速而无规地变化着。我们不可能用这样两个光矢量来表示一个稳定的线偏振光或圆偏振光。一个理想的单色波应当表述为一个无限的波列，若将这个扰动分解为垂直于传播方向的两个正交分量，那么，这两个分量应当具有相同的频率，且波列的长度无限长，因此是互相相干的(相位差是固定的)。换句话说，一个理想的单色波总是偏振的。

通常，不论是来自自然的或是人造的光源的光，既不是完全的偏振光，也不是完全的自然光，这两种情况都是极端情况。更普遍的是，光场矢量的变化方式既不是完全规则的，也不是完全无规的，从内部结构来看，这种光的振动虽然也是各个方向都有，但是不同方向上的强度大小不同，如图1-7(b)所示。具有这种特点的光，叫作部分偏振光。部分偏振光可以看作是由线偏振光和自然光混合组成的。

部分偏振光的光扰动的强度随光矢量的方向改变，设强度极大和极小分别是 Imax和Imin，两者相差越大，我们就说这部分偏振光的偏振程度越高。通常用偏振度P 来衡量部分偏振光偏振程度的大小，定义为

对于自然光，各个方向强度相等，Imax=Imin，故P=0。对于线偏振光，P=1。部分偏振光的P值介于0和1之间。偏振度的数值越接近1，光束的偏振化程度越高。

2．偏振光的获取——偏振器件的原理简介

现在已经了解了光的偏振态，下面来了解一些通用的产生和改变偏振光的方法，以及基于这些方法的偏振器件。

各种各样的偏振器件的原理，归纳起来都是基于下述四种物理机制：反射和折射；二向色性；双折射；散射。它们都具有一个共同的根本性质，就是必须具有某种形式的不对称性。这种不对称性可以是和光的入射角相关的，也可以是偏振材料本身具有的各向异性。下面简要介绍前三种机制以及基于它们的偏振器件。

(1)反射引起偏振

偏振光的最普通的来源之一是从介电媒质界面的反射。考虑光在介质界面上的反射和折射时，可以将它分解为两部分，一部分是光场矢量平行于入射面的p波，另一部分是光场矢量垂直于入射面的s波。由菲涅尔公式可知，p分量和s 分量的反射率和透射率是不一样的，而且反射时还可能发生相位跳变。这样一来，反射和折射就会改变入射光的偏振态。具体地说，如果入射的是自然光，则反射光和折射光一般是部分偏振的；如果入射光是圆偏振光，则反射光和折射光一般是椭圆偏振光；如果入射光是线偏振光，则反射光和折射光仍是线偏振光，但电矢量相对于入射面的方位要发生改变。全反射时情况有所不同，因为相位跳变介于0和π之间，线偏振光入射，反射光一般是椭圆偏振的。

特别值得注意的是入射光以布儒斯特角入射的情形，这时反射光中只有s分量，这就是说，不管入射光的偏振态如何，反射光总是线偏振的。故布儒斯特角又称为全偏振角，或起偏角。

根据这一原理，可以获得线偏振光。一般情况下，只用一片玻璃的反射和折射来获得线偏振光，缺点是很明显的：在以布儒斯特角入射时，反射光虽然是线偏振光，但强度太小；透射光的强度虽大，但是部分偏振光，偏振度太低。要得到偏振度很高且光强足够大的光，需要利用多片玻璃叠合而成的片堆，称为玻片堆偏振器。令入射光以布儒斯特角入射，经过多次反射和折射，可以使折射光也具有很高的偏振度，并且反射偏振光的强度也较大。利用这一原理，还可以制成一种叫作偏振分光镜的器件，将一块立方棱镜沿着对角面切开，并在两个切面上交替地镀上高、低折射率的膜层，再胶合成立方棱镜。另外，在外腔式气体激光器中，激光管两端的透明窗就是这样安置，以使入射光以布儒斯特角入射，使得输出的激光是线偏振光，故称为布儒斯特窗。

(2)二向色性产生偏振

二向色性是指某些各向异性的物质对不同方向的电磁振动具有选择吸收的性质。二向色性源于物理上的各向异性，存在着一个特殊方向，当振动的电矢量与其平行时被吸收得较少，光可以较多地通过；而振动的电矢量与其垂直时被强烈地吸收，光通过得很少。

天然的晶体中，电气石有着最强烈的二向色性，但是它对两个方向振动吸收程度的差别不够大，偏振度不够高。目前广泛使用的获得偏振光的器件，并不包含二向色性晶体，叫作H偏振片。其制作方法是，把聚乙烯醇薄膜在碘溶液中浸泡后，在较高的温度下拉伸，再烘干制成。聚乙烯醇薄膜经过拉伸后，碘附着在直线的长链聚合分子上，沿着拉伸方向规则地排列起来，形成一条条导电长链。碘中所含的传导电子能够沿着长链的方向运动，入射光平行于长链方向的电场分量驱动电子，对电子做功，因而被强烈地吸收；而垂直于长链方向的分量不对电子做功，能够透过。这样，透射光就成为线偏振光。偏振片允许透过的电矢量方向称为它的透光轴，或者透振方向；显然偏振片的透光轴垂直于拉伸方向。

(3)双折射产生偏振

许多晶体是光学各向异性的，这源于晶格原子排列的不对称性，导致了极化性质的各向异性，这又表现为折射率的各向异性。一束单色光入射到各向异性媒质上，一般在晶体内会形成两束折射光，这种现象叫作双折射。

冰洲石(方解石的一种，化学成分是CaCO3)是一种典型的双折射晶体，让一束平行的自然光束入射在冰洲石晶体的一个表面上，我们就会发现光束分解成两束。对冰洲石的双折射现象的进一步研究表明，两束折射光中有一束总是遵循折射定律，叫作寻常光(简称o光)；另一束一般情况下不遵循普通的折射定律，叫作非常光(简称e光)。

冰洲石晶体有一个重要的性质，就是存在一个特殊的方向，当光在晶体中沿着这个方向传播时不发生双折射，即o光和e光不分开，晶体内的这个特殊方向称为晶体光轴。像冰洲石、石英、红宝石、冰等晶体只有一个光轴方向，叫作单轴晶体；像云母、蓝宝石、橄榄石、硫黄等晶体存在两个光轴方向，叫作双轴晶体。光在双轴晶体中的传播规律更为复杂。

在单轴晶体内，由o光和光轴组成的平面称为o 主平面；由e光和光轴组成的平面称为e主平面。一般情况下，o主平面和e主平面是不重合的，但是当光线在由光轴和晶体表面法线组成的平面内入射时，o光和e光都在这个平面内，这个由光轴和晶体表面法线组成的面称为晶体的主截面。

如果用检偏器来检验双折射产生的o光和e光的偏振态，就会发现o光和e光都是线偏振的。并且，o光的电矢量和o主平面垂直，因而总是与光轴垂直；e光的电矢量在e 主平面内，因而它与光轴的夹角随着传播方向的不同而改变。当主截面是o光和e 光的共同主平面时，即当光线在由光轴和晶体表面法线组成的平面内入射时，o光和e 光的电矢量相互垂直。这样，利用双折射，能够改变入射光的偏振态。双折射现象的重要应用之一就是制作偏振器件。

利用o光和e光的折射规律不同可以将它们分开，这样就可以得到很好的线偏振光。利用双折射晶体制作的偏振棱镜种类很多，常用的有尼科耳(Nicol)棱镜、格兰(Glan)棱镜和渥拉斯顿(Wollaston)棱镜。因为o光和e 光都是完全的线偏振光，因此这种起偏器性能较之前的更加优越。

利用双折射晶体除了可以制作偏振器外，另一重要用途是制作波片，波片是由单轴晶体中切割下来的平行平面板，其表面与晶体的光轴平行。这样一来，当一束平行光正入射时，平行于光轴的分量为o光，垂直于光轴的分量为e光，分解成的o光和e 光传播方向并不改变，但是在波片内的速度和折射率都不同，这样在通过波片时的光程也不同，导致两束光通过波片后产生相对相位延迟Δ=(no-ne)d，故波片也称为相位延迟片。适当地选择厚度d，可以使两束光之间产生任意数值的相对相位延迟Δ。满足Δ=+m· 2π(m为整数)的波片称为四分之一波片(简称λ/4片)，相应的有半波片和全波片，分别满足Δ=±π+m· 2π和Δ=m·2π。

利用偏振器件，即偏振片和波片，可以改变、区分和检验入射光的偏振态，这部分内容在波动光学的教材中有详细叙述，在此不再详述。

3．偏振光和偏振器件的矩阵表示

到目前为止，一直用光波的电矢量来考察光的偏振态。光的偏振态分为偏振光和非偏振光，非偏振光包括自然光和部分偏振光，偏振光包括线偏振光、圆偏振光和椭圆偏振光，最一般的表示是椭圆偏振光的表示，线偏振光和圆偏振光只不过是椭圆偏振光的特例。接下来将会看到，如何将光的偏振态用数学形式来描述。这样做是有好处的，描述采用简练的矩阵形式，数学上只要求最简单的矩阵运算，而利用它可以推算出光经过偏振器件组成的复杂系统之后出射的偏振态。本节只介绍适用于相干偏振光的琼斯矢量表示法，这是由美国物理学家琼斯(R.C.Jones)于1941年发明的。

考虑沿z方向传播的任何一种偏振光，均可以将其表示为电场矢量分别沿x轴和y 轴的两个线偏振光的叠加：

其中，E0x和E0y分别为两个分量的振幅，φx和φy分别为两个分量的相位，这两个分量的振幅比和相位差决定着该偏振光的偏振态。略去上式中的公共因子expi(k z-ωt)，可把任意偏振光用其光矢量的两分量复振幅构成的矩阵表示：

这一列矩阵称为琼斯矢量。

偏振光的强度是它的两个分量的强度之和，即，通常只关心相对相位，而且如果研究的是强度的相对变化，可将表示偏振态的琼斯矢量归一化，得到

线偏振光和圆偏振光的归一化琼斯矢量如表1-1所示，对于椭圆偏振光，E0x和E0y不一定相等，相位差也是任意的。

表1-1 一些偏振态的琼斯矢量

两个矢量A和B，当A·B=0时，称为彼此正交；相应地，当两个复矢量正交时，有A· B*=0，该式中的“*”表示复共轭。而当两个偏振态的琼斯矢量正交时，称两个偏振态是正交偏振的。对于两列线偏振光，如果它们的光矢量的振动方向互相垂直，那么它们的偏振态是正交的；对于圆偏振光，右旋圆偏振和左旋圆偏振是一对正交的偏振态。

任何偏振态都有对应的正交态，这样彼此正交的两个归一化矢量构成一个正交组。可以证明，任一种偏振态都可以分解为两个正交的偏振态，即用任一正交组中两个矢量的线性组合来描述。

偏振光通过偏振器件后，它的偏振态会发生变化。如图1-8，入射光的偏振态用表示，透射光的偏振态用表示。偏振器件G起着Ei与Et之间的变换作用。假定这种作用是线性的，这意味着透射光的两个分量A2、B2是入射光的两个分量A1、B1的线性组合：

图1-8 偏振器件对偏振态的变换

式中，g11、g12、g21、g22是复常数。把上式写成矩阵的形式：

或写成

式中。因此一个偏振器件的特性可由矩阵来描述，矩阵G称为该器件的琼斯矩阵。一些重要的偏振器件的琼斯矩阵列于表1-2。

表1-2 一些偏振器件的琼斯矩阵

如果偏振光相继通过N个偏振器件，它们的琼斯矩阵分别为G1, G2, …, GN，如图1-9所示，则透射光的琼斯矢量为

图1-9 偏振光相继通过N个偏振器件

由于矩阵运算不满足交换律，所以上式中矩阵相乘的顺序不能颠倒。

1.1.4 光场叠加及干涉条件

光的干涉现象是指两个或多个光场在空间某区域叠加时，在叠加区域内出现的各点强度稳定的强弱分布现象。干涉现象是波动的基本特征，在历史上，干涉现象曾经是奠定光的波动性的基石，现今，它在诸如光谱学和基本度量学中具有重要的实际应用。本节讨论光场的叠加、干涉和干涉的条件。

当两列(或多列)波在空间交叠时，它们的传播互不干扰，亦即每列波如何传播，就如同另一列波完全不存在一样，各自独立地进行。这就是波的独立传播定律，是一般波动的性质。当两列(或多列)波在同一空间中传播时，空间各点都参与每列波在该点引起的振动。如果波的独立传播定律成立，则当两列(或多列)波同时存在时，在它们的交叠区域内每点的振动是各列波单独在该点产生的振动的合成，这就是波的叠加原理。

波的独立传播定律和叠加原理是否普遍成立呢？否，它们的适用性是有条件的。对于光场，即电磁场的振动，它们的传播遵从麦克斯韦方程组。在真空和线性介质中，麦克斯韦方程组是一个线性方程组。因此在真空和线性介质中的光场是线性的，其线性组合满足麦克斯韦方程组，从而服从独立传播定律和叠加原理。假定介质是线性的，那么光场的叠加即空间每点上各个光场电矢量的合成问题，在空间某点总的电矢量

式中，P代表光场中任一场点，Ei是各个光场单独存在时在场点的电矢量。

光场是以极快的速率随时间变化的，超出了探测器的时间响应能力，从而使实际的光场无法探测，大多数接收器件(包括我们的眼睛)响应的只是光场在一段时间内的平均能流密度，即光的强度。这就是引入光强概念的物理依据，下面从光强的角度研究光的干涉。

1．同频率单色标量波的叠加

考虑两个同频率的单色标量简谐波的叠加，写成复数形式

式中，ω为波的角频率，P代表光场中任一点，E01(P)和E02(P)分别为两列波在该点的振幅，φ1(P)和φ2(P)分别为两列波在该点的相位。由叠加原理，总的扰动是两列波振动的线性叠加，于是有

可见，P点的合振动也是一个简谐振动，振动频率和两单色标量波相同，其复振幅为

光强正比于振幅的平方，此处只关心光强的相对分布，把光的(相对)强度就写成振幅的平方

式中I1(P)=[E01(P)]2和 I2(P)=[E02(P)]2分别是两列波单独在场点 P 处的强度，δ(P)=φ1(P)-φ2(P)是两波在场点P的相位差。式(1-79)告诉我们，两波叠加时，在一般情况下，强度不能直接相加：

I(P)≠I1(P)+I2(P)

差别为项。δ(P)=φ1(P)-φ2(P)一般与位置有关，cosδ(P)有正有负。在那些cosδ(P)＞0的地方，I(P)＞I1(P)+I2(P)，称为相长干涉；在那些cosδ(P)＜0的地方，I(P)＜I1(P)+I2(P)，称为相消干涉。综上，波的叠加引起了强度的重新分布。这种因波的叠加而引起强度重新分布的现象，叫作波的干涉，项称为干涉项，决定性的因子是两波在场点的相位差δ=φ1-φ2。

对于光波来说，干涉项的效应并不是在任何条件下都能显示出来。考察光源发光的微观机制，光是由光源中多个原子、分子等微观客体发射的。微观客体的发光过程是一种量子过程，粗略地说，原子或分子每次发射的光波都是有限长的，波列的长度与它们所处的环境有关，发射光波的原子或分子受到其他原子或分子的作用越强，发射过程收到的干扰越大，波列就越短。而每个原子或分子先后发射的不同波列，以及不同原子或分子发射的各个波列，都是独立的，彼此之间在相位上没有什么联系，表现为完全无规的涨落。因此对于任意两个普通光源发出的光波，由于相位差δ=φ1-φ2不固定，cosδ的数值在± 1之间迅速地变化着，形成的干涉图样只能在极短的时间内存在，另一时刻将代之以对应于另一个相位差的干涉图样，任何一种接收器都不能响应到这样快的变化，人们观察到或者探测器记录到的是它的时间平均值，而在相位的变化完全无规的情况下，<cosδ>=0，从而式(1-79)化为

I(P)=I1(P)+I2(P)

这样的两个光源是非相干的，它们的强度非相干叠加，要产生相干叠加，必须设法使它们发射的光波之间有稳定的相位差，满足该条件的两束光称为相干光。

保证相位差cosδ稳定，是干涉现象能够被观察或检测到的重要条件之一。注意，来自不同的发射源的互相交叠的两束光总是会产生干涉的，只是所得到的图样不能维持足够长的时间使得容易被观察到。

2．不同频率单色标量波的叠加

考虑角频率分别为ω1和ω2的两个单色标量波的叠加

式中P代表光场中任一点，E01(P)和E02(P)分别为两列波在该点的振幅，φ1(P)和φ2(P)分别为两列波在该点的相位。由叠加原理，总的扰动是两列波振动的线性叠加，于是有

从而，光强为

而

cos(ω1t-φ1)·cos(ω2t-φ2)=cos[(ω1+ω2)t-(φ1+φ2)]+cos[(ω1-ω2)t-(φ1-φ2)]

在ω1≠ω2的情况下其时间平均值为零，是没有干涉效应的。注意，上式右侧的第一项的角频率为(ω1+ω2)，对于光波，这是超出探测器的时间响应能力的，表现为平均值为零，无法被探测到；而第二项的角频率为(ω1-ω2)，当两波角频率非常接近以致其差很小时，该项是可能被探测到的，表现为光强随时间周期性地增强和减弱。

综上，频率相同是任何波发生干涉的必要条件，明显的频率差将引起与时间有关的迅速变化的相位差，使得干涉项平均值为零。

3．矢量波的叠加

光是电磁波，是一个矢量场，下面用电磁场中的电矢量作为光场分析矢量波的叠加。

考虑两列同频的矢量波，如果它们的振动方向平行，其叠加与标量波无异，同样会出现干涉项；如果两列波的振动方向垂直，根据矢量合成的原理容易发现叠加后的光强等于两列波的光强之和，不存在干涉效应。

在一般情况下，光场的干涉可以如此处理，将光场通过坐标分解成各个正交方向的分量，在各个正交方向上的分量之间，平行分量之间可以干涉，而垂直分量之间绝不会干涉。

归纳起来，产生干涉的必要条件包括三条：

(1)频率相同；

(2)存在相互平行的振动分量；

(3)相位差δ稳定。

实际中的光波通常并不满足这些条件，要使它们发生干涉必须利用一定的装置并让它们满足相干条件，这样的装置称为干涉仪。

1.1.5 衍射

衍射现象是波动的另一个重要特征，每当波面的一部分以某种方式受到阻碍时就会发生。光波在传播过程中遇到障碍物，偏离原来传播方向的现象，称为光的衍射。障碍物使入射光波阵面的振幅或相位发生改变，彼此干涉叠加，使障碍物的几何阴影失去了清晰的轮廓，就发生了衍射。在几何阴影区和几何照明区受到衍射效应的影响形成的光强的重新分布，称为衍射图样。

衍射是波动性的主要标志之一，建立在光的直线传播定律的基础上的几何光学不可能解释光的衍射，光的微粒说同样不能给出令人满意的解释，这种现象的解释要依赖波动光学。历史上最早运用波动光学原理解释衍射现象的是菲涅尔，他在惠更斯原理的基础上，补充相干叠加的思想，发展为惠更斯—菲涅尔原理，从而相当完善地解释了光的衍射，并以极高的精度计算出衍射图样的光强分布。之后，基尔霍夫(G.Kirchhoff)从波动微分方程出发，发展了一个更严格的理论——标量衍射理论，它基于光的弹性固体理论。他的工作将菲涅尔的假设置于更坚实而完善的数学基础之上，成功地证明了惠更斯—菲涅尔原理是光的波动本性的逻辑结论，给出了一种更精密的表述。然而，基尔霍夫理论本身也是一个近似，将光作为一种标量波来处理，即只考虑电场或磁场的一个分量的标量振幅，这种方法忽略了这一事实：光是一种电磁波，是一种矢量场，电、磁场矢量是耦合起来的。光波通过小孔之类的衍射问题应该作为电磁场的边值问题来求解，但是一般来说这种普遍解法很复杂。

应当指出，确定一个特定衍射问题的严格解是光学中最难处理的问题之一，对于许多有实际意义的衍射问题，严格解析解并不存在。由于数学上的困难，在大多数有实际意义的情况中，必须采用近似方法，而基于经典波动理论的标量衍射理论提供了一种最简单而有效的表述方法。在大多数情况下，标量理论能得出足够精确的结果，但是在某些问题中，要得到有相当精确度的结果，就必须考虑场的矢量本性。本节介绍惠更斯—菲涅尔理论和基尔霍夫标量衍射理论。

1．惠更斯—菲涅耳原理

1690年，荷兰物理学家惠更斯提出了一个关于波面传播的理论，称为惠更斯原理：波阵面上的每一点都可以看作是一个次级扰动波源，发出球面子波，子波行进的速度和频率等于原波在空间各点的速度和频率；在后一时刻这些子波的包络面就是新的波阵面。若已知某一时刻的波前，可以应用惠更斯原理得到之后任一个时刻的波前。

惠更斯原理能够说明衍射的存在，但是未能定量地给出次波面的包络面上和包络面以外波扰动强度的分布，无法确定衍射图样中的光强分布，因而就不能完满地解释衍射过程。

菲涅尔在研究了光的干涉现象后，考虑到惠更斯子波来自同一光源，它们应该是相干的，因而波阵面外任一点的光扰动应该是波阵面上所有子波相干叠加的结果。这样菲涅尔汲取了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干叠加”的思想补充后，提出了惠更斯—菲涅尔原理，表述如下：波阵面可分割成无穷多小面元，每个小面元可看成发射次级球面子波的波源，空间任一点的光场是所有这些子波在该点的相干叠加。菲涅尔据此成功地解释了衍射现象，给出了求解衍射场分布的理论形式，为衍射现象的分析确立了一个统一的理论框架。

如图1-10，考虑任一单色点源S, P为波场中的某一点，波阵面Σ将源点S 和场点P 隔开，略去时间周期因子e-iωt，设波阵面Σ上的复振幅分布为，按照惠更斯—菲涅尔原理，波阵面Σ上的每一个面元dΣ可看作一个次级扰动中心，这个扰动以球面子波的形式传播，菲涅尔基于物理上的考虑，做出了一系列的假设，得到波阵面Σ上Q点面元dΣ对场点P 的光扰动的贡献

图1-10 点光源S对场点P的作用

式中，C为一常数，r=QP, K(θ0, θ)称为倾斜因子，描写次级波振幅随方向的变化，θ0和θ分别为源点S和场点P 相对于次波面元dΣ法线的方位角。从所有面元发射的次波将在场点P相遇并相干叠加，并且只有未被挡住的波阵面才对场点P 的效应有贡献，这样场点P的复振幅为波面Σ上面元发出的次级波在该点的相干叠加，总扰动为

式(1-83)称为菲涅尔衍射积分公式。最初菲涅尔做出这些假设时只是凭借朴素的直觉，之后基尔霍夫建立的一个严格的数学理论，证明了菲涅尔的设想基本正确，并且给出了积分公式中的比例常数C和倾斜因子K(θ0, θ)的准确形式。

2．基尔霍夫衍射理论

惠更斯—菲涅尔理论本身是不严格的，在很大程度上是依赖假设的，缺乏理论依据。基尔霍夫弥补了菲涅尔理论的不足，建立了一个严格的数学理论。他从微分波动方程出发，利用矢量理论中的格林公式，指出惠更斯—菲涅尔原理可以看作是某种积分定理的近似形式，这个积分定理给出齐次波动方程在场中任一点的解，从而给惠更斯—菲涅尔理论奠定了比较完善的数学基础，并确定了菲涅耳理论中的比例常数C和倾斜因子K(θ0, θ)的具体形式。基尔霍夫理论基于光的弹性固体理论，他的分析使惠更斯原理得到了论证，作为标量波动方程的一个精确结果，得到了一种更精密的描述。但是基尔霍夫理论本身也是一个近似，忽视了光是一种矢量场这一事实，只适用于标量波的衍射，因而又称标量衍射理论。

(1)基尔霍夫积分定理

考虑一个严格单色标量波U(P)e-ωit，其与空间有关的部分满足亥姆霍兹方程式(1-36)

设V是闭合面Σ包围的体积，P是Σ内任一点。假定E在Σ内和Σ上具有连续的一阶和二阶偏微商。利用场论中的格林定理可以把U(P)与曲面上的值联系起来。如果另一函数G满足同样的连续性条件，则由格林定理，有

式中表示沿Σ面内向法线的微商。如果G也满足亥姆霍兹方程

则由式(1-84)和式(1-86)，式(1-85)左边被积函数在V内处处为零，因而

根据G满足的条件，选取G为向外发散的球面波(即自由空间格林函数)

其中r为考察点P 到任意点的距离。该函数在r=0时有一个奇异点，不满足格林定理成立的条件，因为G已经假定是连续且可微商的，所以P 点必须从积分区域中除掉。如图1-11所示，围绕P点作一半径为ε的小球，而对面Σ和Σ＇之间的整个体积取积分，积分曲面为Σ+Σ＇，这样式(1-87)改写为

图1-11 亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理推导：积分区

由此

式中dΩ代表一个元立体角。因为对Σ＇的积分与ε无关，所以右边的积分可以用它在ε→0时的极限值来代替；已经假定函数U及其偏微商在P 点连续，在极限时，该积分的第一项和第三项没有贡献，而第二项的总贡献是4πU(P)。因此，

这是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理的一种形式。它的意义在于把任一点的场用包围它的任意闭合面上的场值及其一阶微商表示出来，因而它也可以看作为惠更斯—菲涅尔原理的一种数学表示。利用该积分定理原则上可以计算任意衍射问题，只要对闭合面完成积分，但是闭合面上的场分布是不清楚的。

亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理还有一种形式，它属于这种情况：波源在闭合面Σ内，而U在Σ外和Σ上是连续的，并且可微商到二阶。这时Σ上的边界值已不足以单值地确定P 点的解，还必须对Σ→∞时解的性质做出某些假设。

(2)基尔霍夫边界条件

考虑无穷大不透明屏上的一个孔径Σ所引起的光的衍射。如图1-12，假定一个光场入射到屏和孔径上，计算孔径后面场点P的场。仍假定场是单色的。

图1-12 平面屏幕衍射的基尔霍夫理论

为了求出场点P的场，应用亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理，围绕该点选择一个闭合面，对它取基尔霍夫积分。闭合面由三部分构成，如：(1)孔径Σ; (2)不透明屏的部分背阴面Σ1; (3)以P为中心、R为半径的大球的部分球面Σ2。

这时，式(1-91)的基尔霍夫积分给出

式中，r为场点P 到面元dΣ的距离，表示沿积分面内法线方向的微商。

现在的问题是，积分面上的U和的值无法准确知道，如何确定它们的值。对于Σ和Σ1，基尔霍夫假设：在Σ上，U和的值由入射光场决定，同不存在屏时相差无几；而在Σ1上，由于屏是不透明的，U和近似为零。即

式(1-93)的近似称为基尔霍夫边界条件，它们是基尔霍夫衍射理论的基础。第一个条件通过忽略屏的存在确定入射到孔径上的场分布，第二个条件忽略了屏的几何阴影区内的积分面。这两个假设都是近似的，并不准确成立。屏的存在不可避免地会在一定程度上影响Σ上的场，特别是孔径边缘附近的场，因为它们必须满足一定的边界条件；而且屏后阴影区Σ1上的场值也不可能处处绝对为零。严格的衍射理论表明，在孔径边缘附近波长量级的范围内，边界条件与基尔霍夫边界条件有显著不同。如果孔径的尺寸比波长大得多，那么这些效应可以忽略不计，此时使用基尔霍夫边界条件进行计算可以得出和实验符合得很好的结果。

现在考虑球面部分Σ2的贡献。显然，使半径R取得足够大，Σ2趋于一个无限大半球壳，可使Σ2上的U和值任意小。但是，当让半径R无限大时，Σ2的面积也将无限增大，所以U→0和的条件并不足以使积分为零。人们也可能轻易地假设，既然扰动是以有限速度传播的，R最后变成如此之大，以致波动尚未到达Σ2，因此被积函数在这个面上将为零，但是这个论据与扰动是严格单色的这一假定是不相容的，单色性要求扰动在所有时间都存在。因此，在能够摒弃Σ2对积分的贡献前，必须对离屏很远处的光场的性质做更精密的假定。在Σ2上，r=R，并且

式中最后的近似在R大时成立。于是，式(1-92)对Σ2的积分化为

式中，Ω是Σ2对场点P所张的立体角，dΩ是元立体角。而当R→∞时，在Σ2是一致有界的。所以Σ2的积分在R→∞时为零，只要光场U满足下述性质：

这一要求称为索末菲(Sommerfeld)辐射条件。若扰动趋于零的速度至少像发散球面波一样快，则此条件满足。这样，只要选取球面的半径足够大，就可以不考虑球面Σ2对场点的贡献。

综上，式(1-92)只需考虑对孔径面Σ的积分，即

凡是隔离光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面。利用基尔霍夫标量衍射理论来求解衍射问题时，应把积分面选在衍射障碍物的位置上，于是积分面分为两部分：孔径部分和屏幕部分。这样利用基尔霍夫边界条件就能求解衍射场的分布了。

(3)菲涅尔—基尔霍夫衍射公式

虽然基尔霍夫积分定理具体表达出惠更斯—菲涅尔原理的基本概念，但不同面元的贡献所遵循的规律却比菲涅尔所假定的要复杂得多。不过基尔霍夫证明，在某些近似条件下，基尔霍夫积分定理可以化为一种简化的形式，它和菲涅尔的数学表述基本相同，同时给出了菲涅尔理论中尚未确定的比例常数和倾斜因子的具体形式。

考虑无穷大不透明平面屏上的一个孔径Σ对单色点源S发出的球面波的衍射，如图1-13。假定孔径的线度比波长大，而比孔径到源点S和场点P的距离小得多。

图1-13 球面波在孔径上的衍射

在孔径Σ上，U和的值由入射光场决定，因此

式中，A是离点光源单位距离处的振幅，l为孔径Σ上的面元与源点S 的距离，表示内法线和从源点S到孔径Σ上某面元的矢量l之间夹角的余弦。同样地，在孔径Σ上

式中，表示内法线和从场点P 到孔径Σ上某面元的矢量r之间夹角的余弦。

将式(1-97)和式(1-98)代入式(1-96)，并略去法线微商中的和项(它们比k小得多)，得到

此式称为菲涅尔—基尔霍夫衍射公式，是基尔霍夫衍射定理的一种近似形式，只能用于单个点光源照明的情形。将菲涅尔—基尔霍夫衍射公式与式(1-83)对比，发现其与惠更斯—菲涅尔原理的数学表达基本相同，对照可知式(1-83)中的比例常数和倾斜因子分别为

因此菲涅尔—基尔霍夫衍射公式(1-99)可以按照惠更斯—菲涅尔原理的基本思想予以解释：P点的场是由孔径Σ上无穷多个虚拟的次级子波源产生的，子波源的复振幅与入射波在该点的复振幅成正比，倾斜因子K(θ0, θ)要求子波的振幅在各个方向上是不同的，与波长λ成反比，并且子波源的振动相位超前于入射波90°。菲涅尔假设次级波源具有这些性质从而准确地预言衍射图样，而基尔霍夫的数学推导表明，菲涅尔的假设是光的波动本性的自然结果，可以从标量波动微分方程推导出来。

基尔霍夫衍射理论并不严格。首先，光是电磁波，严格的理论应当是电磁场的矢量波理论；其次，基尔霍夫边界条件虽然直觉上看起来是比较自然的，但是不严格，对于组成光屏的物质是导体或电介质的不同情形，电磁场的边界条件是有区别的，不可能不影响光孔上的光场分布。严格的边界条件与基尔霍夫边界条件给出的场分布是不同的，这在光屏和孔径边缘附近距离为波长量级的范围内尤为明显。事实表明，对于光波，由于光波长往往比衍射障碍物的尺度小得多，基尔霍夫边界条件产生的误差不大，基尔霍夫理论完全适用于处理光学中所遇到的大多数问题。在某些问题中，必须采用更精细的方法，必须把衍射问题作为电磁理论的边值问题来处理，只是在极少数情况才求得了这样一些解。

3．菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射

衍射系统由光源、衍射屏和接收屏幕组成。在无成像的衍射系统中，通常按三者相互间距离的大小，将衍射分为两类：一类是光源和接收屏幕(或两者之一)距离衍射屏有限远，或者说，球面波照明时在有限远处接收，这类衍射称为菲涅尔衍射，此时波阵面的曲率不能忽略不计；另一类是光源和接收屏幕都距离衍射屏无穷远，或者说，平面波照明时在无穷远接收，这类衍射称为夫琅禾费衍射(J.Fraunhofer)，此时入射波和出射波在衍射孔上近似于一个平面波。两种衍射的区分是从理论计算上考虑的。菲涅尔衍射是普遍的，夫琅禾费衍射是它的一个特例，但是由于夫琅禾费衍射的计算简单，应用价值大，而且现代变换光学中傅里叶光学的兴起赋予夫琅禾费衍射以新的重要意义，因此把它单独归为一类进行研究。

考察单色平面光波照明不透明屏上的孔径发生的衍射现象。将接收屏幕平行于不透明屏置于其后很靠近的位置，此时在接收屏幕上观察到边缘清晰的孔的投影，此时光的传播可以看成是沿直线进行的，衍射现象不明显；将接收屏向后移动到远一些的位置，可以观察到光斑略微变大，边缘逐渐模糊，并且出现明显的亮暗相间的条纹，随着接收屏的后移，衍射光强分布的大小范围和形式都发生变化，这种衍射即菲涅尔衍射，发生菲涅尔衍射的区域称为近场区；继续将接收屏后移到很远的区域，衍射图样显著地散开，且随着屏的后移，衍射图样只有大小发生改变而形状不再变化，这种衍射即夫琅禾费衍射，发生夫琅禾费衍射的区域称为远场区。如果此时适当减小入射光的波长，那么图样又将回到菲涅尔衍射的情形；如果将入射光波长进一步减小至趋于零，那么条纹将会消失，呈现出几何光学所预言的情形。因此，发生不同衍射的近、远场区距离衍射屏的距离取决于圆孔的大小和入射光的波长。

两种衍射的区分是从理论计算上考虑的。应用最普遍形式的标量衍射理论来计算衍射问题，往往需要根据实际的衍射问题进行合理的近似处理，得到两类衍射的近似计算公式，从数学上准确地区分两者之间的差别。

(1)傍轴近似

考察无限大的不透明屏上的孔径Σ对垂直入射的单色平面波的衍射，平面波的振幅大小为A。设屏幕是平面的，其上附有一个直角坐标系(ξ, η)，假设观察屏幕也是一个平面，与衍射屏平行，附有坐标系(x, y)，其坐标轴平行于(ξ, η)平面上的坐标轴，两平面屏间距为z，如图1-14。在通常情况下，衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离要小得多，在观察屏上的考查范围也比观察屏到孔径的距离小得多。据此，可做如下两点近似，即傍轴近似：