§1 自然数的来源与发展

1.1 对应与“多”“少”

数（shù）的概念起源于数（shǔ）。在原始社会，人们以渔猎采集为生，当把食物均分给大家时，必然会出现人多物少或人少物多的情况，这样在无数次比较中就逐渐形成了“多”、“少”、“有”、“无”的观念，但这时人们尚不知道“多”与“少”是具体事物集合的一种特征，还没有形成抽象的数的概念。他们不是把每个集合中的事物数（shǔ）出来，而是用匹配的方法。

约在公元前9世纪至前8世纪的古希腊《荷马史诗》中有这样一个故事：当俄底修斯刺瞎独眼人波吕斐摩斯并离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。这种方法在今天的数学上就叫一一对应，它是将一个集合中每一事物与另一集合中的一个事物相对应，直到配完为止。

1.2 数的概念的萌芽与形成

手的作用是用来抓取东西，使用工具，而在“屈指可数”的情况下，人们逐步学会了用自己的手指与某个集合中的事物对应，来认识这个集合中事物的多少，即产生了模范集合。经过长期实践，当智力发展到较高程度时，人们逐步认识到各种事物集合在量上具有的共同特征，于是，人们便舍弃事物的具体内容而得到抽象的数。对此，英国数学家罗素（1872—1970）曾感慨地说：“不知要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天同含一个数字二。”这样，人们就从一只羊、一匹马、一个人这些具体事物中，抽象出一，后来逐步抽象出二、三、……一般自然数的概念。

1.3 记 数

人类在蒙昧时期，就已经具备一种才能，这种才能因为没有更恰当的名字，我们姑且叫它为数觉。由于人有了这种才能，当在一个小集合里增加或减少一样东西的时候，尽管他未直接知道增减，也能辨认到其中的变化。权威的实验证明，具有数觉的动物只限于极少的几类：几种昆虫、几种鸟类和整个人类。鸟的数觉不会超过四。人的数觉甚至是文明人的直接数觉也不超过四，至于触觉，范围还要小。人类若单凭这种直接的数的知觉，在计算上是不会比鸟类有多少进步的，更谈不上发展什么数学，但智慧的人学会了用另一种技术来帮忙，这就是记数。

什么是记数呢？当数学发展到一定阶段时，人们就创造了一定的文字或符号来记载一定的数目，这就是记数。这种表示数目的方法就是记数法。记数法大体可分为三类：算具记数、数码记数和文字记数。

算具记数是未有文字之前的最原始的记数法，如结绳、骨管、刻木记数之类。《易·系辞》说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”说明结绳记数和刻画记数是当时带有普遍性的记数法。三国时吴人虞翻在所著的《易九家义》中引汉郑玄的话说：“事大，大结其绳；事小，小结其绳；结之多少，随物众寡。”这里把结绳的用法说得很清楚。中国刻画记数起源于原始社会，根据现有考古发掘资料，最早可以追溯到一万多年前的“山顶洞人”。在“山顶洞人”的遗址中出土了四个带有磨刻符号的骨管，可能是一种刻画记数的实物。到了原始社会末期甚至到了奴隶社会和封建社会都可以找到刻画记数的痕迹。其实许多民族在古时对于数目的技术只限于匹配法，他们记录畜群或军队的数目，不是用刀在树上刻若干痕迹，就是用小石卵堆成一堆。就英文tally（对比）和calculate（计算）两个字的字源而言，前者是从拉丁文talea（刻）来的，后者是从拉丁文calaulus（卵石）转变成的。英国的账板（tally-stick）虽然来源不明，但无疑也是一种刻画记数法，每一小齿代表一镑，大的则代表十镑、百镑等。英语短语“to chalk one up”（记上一笔）也正是来源于酒保用粉笔在石板上画记号来记录顾客饮酒的杯数。以上所述的记数法，只是人们用来表示集合中元素数量特征的方式，它还称不上是数字。

数码记数是指用表示数的符号来记载一定的数目。中国的筹码数字、埃及的象形数字、古希腊的字母数字、巴比伦的楔形数字、罗马的罗马数字以及后来的印度—阿拉伯数字都是这一类。

文字记数是用于书面记载以表示数目的文字。文字是语言的书面符号，它必须与读音相一致。例如，现在通用数字235，在汉文中写为“二百三十五”，在英文中则记为“two hundred and thirty five”。以汉文为例，一般把一、二、三、四、五、六、七、八、九、十这十个记数的文字称为中国数字。这十个数字笔画简单，容易认识；字体整齐美观，书写方便。所以，虽然中国自己创造了筹码数字，并且后来又传入了印度—阿拉伯数字，但在使用上中国数字都没受多大影响。用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这十三个单字可记1亿以内的任何自然数。

那么对1亿以上的大数又如何用文字来记载呢？春秋时期，中国记录大数用亿、兆、京、陔、壤、沟、涧、正、载，多采用亿进。这在《孙子算经》和《数书记遗》中均有记载。

此外，中国还有大写数字：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾。这十个大写数字在唐以前就已陆续使用。《诗经》最早以壹代一，《孟子》以贰代二，《考工记》以叁代三。全面的使用是在唐代，这和当时的官私手工业的发达有关，因为使用大写数字便不容易涂改了。

1.4 十进位值制的产生

十进制就是平时我们说的“逢十进一”。其基本原则是：数一叫作第一位单位；十个第一位单位，即数十叫作第二位单位；十个第二位单位，即数百叫做第三位单位等，这就是说任何一位的十个单位构成高一位的一个单位。

位值制就是同一数码符号在不同的位置表示不同的数值，即它表示所在位置相应“单位”的一定倍数，如5在个位表示5×1，在十位表示5×10，在百位表示5×100等，不同单位的数采用了相同的符号，这就是位值制的诀窍。

中国自有文字记载开始，就主要采用十进制记数法。殷代的甲骨文和西周的钟鼎文都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等字的合文来记十万以内的自然数，这种记数法含有明显的十进位值制意义。实际上，只要把千、百、十和个的字样取消，便和今天的位值制记数法基本一样。例如殷墟甲骨卜辞记载：“八日辛亥，允戈伐二千六百五十六人。”意思是：“八日（辛亥）那天，战争中杀死二千六百五十六人。”千、百、十表示十进制的位次，二、六、五、六表示各位的数码，去掉表示位次的成分，即为“二六五六”，就非常简单了，与现在的记法2656完全一样。正因为十、百、千、万在记数中处于表示数“位”的附属地位，所以，它可以随意放在数码的上、下或横贯其中，这就形成了早期数字合文有顺读、逆读和内含多种而不统一的构成方式。

在古代各文明发达的民族中，古希腊、埃及和罗马的记数法也是十进制，但不是位值制，每个较高的单位都用特殊的符号。巴比伦的楔形数字记数法是位值制，但不是十进制而是六十进制。这些记数法不但记数不便，用来计算更是费时费力。

命数法的目的不仅在于寻求简明的计数方法，远比这个重要的是：这种数制是否适用于算术运算以及它能对计算提供什么方便。欧洲古代记数法的演变，最后表现为希腊的记数法和罗马的记数法，但两者都不能创造出一种普通人所能应用的算术来。这就可以说明，欧洲直到现代位值制命数法出现以前，算术为什么很少进步！

十进位值制被马克思称为“人类最美妙的发明之一”，十进位值制对数学甚至整个人类社会的重大影响是毋庸置疑的。美国数学史家丹齐克写道：“印度无名氏在公元初期的几个世纪所发明的位值制原则，实在是一件有世界意义的大事，这个原则不但是方法上的根本变革，而且，现在我们知道，若是没有它，算术上的任何进步是不可能的。”法国著名数学家拉普拉斯曾说：“用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度，这是一个深远而重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩，但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。”

丹齐克和拉普拉斯的评论都十分精彩，可惜他们都把对象搞错了！十进位值制完全是由算筹决定的，它萌芽于中国的殷商时期，这项发明应归于中国而不是印度！我们知道，表示数的符号是易于改变的，但数学概念则具有很强的稳定性，所以我们撇开数字的符号形式，来比较一下算筹数字系统与今天被称为印度—阿拉伯数字系统在概念上的异同。我们惊奇地发现它们是完全相同的：①零与九个数码字的概念；②十进制；③位值制；④应用位值制的习惯（每个数字的地位都是由左向右逐步减低）。

所有持数字系统起源于印度说的人，都是依赖数字形状由印度传入阿拉伯，再传入欧洲，而阿拉伯的书籍中把这些数字叫做印度数字，印度数学描述的算术又和我们现行的数字系统很接近。但他们在坚持数字系统起源于印度的同时，又对这个系统的起源感到困惑，因为就连印度人自己也不知道这个数字系统的起源，没有人知道这个数字系统的创始人。早期的印度书籍并没有描述这些数字和它们演算的方法。历史证明，印度采用十进位值制数字最早是在公元595年左右。而中国的算筹萌芽于殷商，形成于西周，十进位值制至迟在西汉时期（公元前206—前25）已臻完备，这要早于印度6个世纪。尤其是零的出现。零是中国算筹记数的自然发展，它与算筹具有相同的历史。而印度则在公元9世纪才出现零的记号，比它的数字迟了200多年。直至摩诃毗罗（约850年）时期，对零的认识还不明确，认为：“一个数乘零得零，加零、减零或除以零，这个数不变。”到底零是怎样出现的？它又是怎样形成一个数目字的？持印度起源说的人到现在还是无法对这些基本问题提出令人满意的解答。然而，没有零的概念十进位值制是不可能产生的，因为此时数码在数中表示的意义是不确定的。

浙江大学沈康身教授对印度数学史颇有研究，曾多次撰文指出印度数学与中国数学发展中的平行性问题。我们不敢妄断印度数学继承于中国，但就数字系统而言，印度比中国要迟得多，这是肯定的！因此，我们可以理直气壮地说：十进位值制是中国首先使用的。这一记数系统大约在8世纪传到巴格达（伊拉克首都），又在11至12世纪经意大利和西班牙传入欧洲。至今已成为世界各国通用的记数制。

1.5 基数与序数的统一

用现代数学语言来说，表示有限集合元素的个数，或表示一般事物多少的数叫基数。表示有序集合的元素的次序（第几个）的数叫做序数。我们说，自然数具有双重意义：一方面可以表示数量的意义，即回答“多少个”的问题；另一方面是表示次序上的意义，即回答“第几个”的问题。基数仅反映了自然数在数量上的意义，没有很好地揭示自然数在顺序上的意义，也没有给出自然数四则运算的具体方法。前面讲过，通过模范集合，依据对应原则抽象出了数的概念，这里的数是指基数，并不包括运算。也就是说，基数是杂乱无章地排列着的，但还不能说是一种算术。但是，若将前几个数字按照有顺序的次第记住，再制定一个语音系统，使得能从任何一个较大的数读出它的后继数，那么序数制就出来了。

序数一旦有了，计数某一集合的事物，就等于将集合中每个成员分别和有顺序的、次第的、自然序列中的一项相对应，一直到整个集合对应完毕为止。对应于集合中的最后一个成员的自然序列的项，就称为这个集合的基数。这样要决定一个集合中事物的多寡即它的基数，我们就不用再找一个模范集合来作匹配了，只需将它加以计数就成了。数学的发展实在应归功于我们知道了数的这两个方面的统一性。在实用上，我们虽然觉得基数很有用，但是它不能创造出算术来，算术的运用就是依据我们总可以由一个数数到它的后继数这一默认的假定出发的，而这个假定就是序数概念的本质。我们之所以可以将3和5加起来，就是利用了自然数在这两方面的统一性。

欧洲由于命数法的问题，在自然数的运算方面十分欠缺。并非欧洲没有人研究数的运算法则，只是当时的计数法太复杂了，只要看一下当时一般人对于计算的敬畏感，就可以知晓这些法则是何等的困难。那时精于此道的人常被认为天赋异禀，算术被认为是专家们的事，非“凡夫俗子”所为。这就可以解释为什么在古代欧洲算术是僧侣们勤奋研究的东西。时至今日，连儿童也会做简单的算术运算，算术已成为一般人都能学会的东西了。然而欧洲在17世纪以前，算术依旧没有什么进步。有一个关于15世纪德国商人的故事，虽然我们不能证明确有其事，可是它把当时的情形表现得太真切了。据说这位商人有一个儿子，他想使儿子受一些高深的商业教育，于是，他去求教一位大学里的名教授，该把儿子送到哪儿去念书。教授回答说：如果这位青年的数学课程将只限于加和减，那么他可以进国内大学学习；至于乘和除的学问，还是意大利最先进。他认为，只有到那里去才能得到那种高等教育。由此足见当时欧洲的算术水平。这也可以解释为什么欧洲文明在15世纪之前发展缓慢的原因。故当时在自然数的四则运算方面有突出成就的当首推中国。虽然印度在个别地方也与中国不相上下，但总的来说不及中国。