内容精要
第一节 货币时间价值
一、货币时间价值概念
（一）货币时间价值的定义
货币时间价值是指没有风险和没有通货膨胀情况下，货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称为资金的时间价值。
（二）货币时间价值的实质
货币时间价值的实质是无风险、无通货膨胀时的社会平均利润率。
【提示】
① 利率不等于时间价值。因为利率是考虑了风险和通货膨胀两大因素的。
② 通货膨胀很低时，政府债券利率可视为时间价值。
二、单利和复利的计算
资金时间价值的计算有三种主要形式：单利、复利和年金。这三种形式的计算在实际工作中主要运用于以下两个大类的特殊收付类型。资金收付的两大特殊类型如表2-1所示。
表2-1 资金收付的两大特殊类型
（一）单利的终值和现值
虽然在教材中没有讲解单利终值和现值的计算，但是为了保持资金时间价值计算相关知识结构的完整性和逻辑性，本书补充了单利终值和现值的计算。
1．单利终值
单利终值也就是采用单利计算形式得到的本利和，通常用F表示终值。为了计算单利终值，需要已知现值P（也可以称为本金）、计息期数n和计息利率i。单利终值计算公式可以表示为：
F=P×（1+i×n）
【例2-1·计算分析题】张某现在存入银行10000元，年利率3%，采用单利计息，则3年后能取到本利和多少元？
【答案】本例涉及的相关要素如图2-1所示。
图2-1 单利终值计算图
F=10000×（1+3%×3）=10900（元）
2．单利现值
单利现值也就是采用单利计算形式得到的本金，通常用P表示现值。为了计算单利现值，需要已知终值F、计息期数n和计息利率i。单利现值计算公式可以表示为：
P=F/（1+i×n）
该计算公式是由单利终值计算公式简单变形推理得到的，与单利终值计算公式相比只是已知条件和计算的要素不一样而已，二者之间互为逆运算关系。
【例2-2·计算分析题】如果年利率为3%，采用单利计息，请问张某现在存入银行多少钱，才能在3年后取到本利和11990元？
【答案】本例涉及的相关要素如图2-2所示。
图2-2 单利现值计算图
P=11990/（1+3%×3）=11000（元）
3．单利终值与现值的关系
单利终值与现值的计算互为逆运算。
（二）复利的终值和现值
复利又称为利滚利，也就是上期的利息应计入本期的本金以计算本期的利息。采用复利计算资金时间价值也包括两个方面的计算：复利终值和复利现值。
1．复利终值
复利终值也就是采用复利计算形式得到的本利和，通常也是用F表示终值。为了计算复利终值，需要已知现值P（也可以称为本金）、计息期数n和计息利率i。复利终值计算公式可以表示为：
F=P（1+i）n
其中（1+i）n又称为复利终值系数，本教材将其规定为（F/P, i, n），其本质含义是（求/已知），即已知P、i、n求F。所以复利终值计算公式也可以表述为：
F=P（F/P, i, n）
【例2-3·计算分析题】张某现在存入银行10000元，年利率5%，采用复利计息，则3年后能取到本利和多少元？
【答案】本例涉及的相关要素如图2-3所示。
图2-3 复利终值计算图1
F=10000×（1+5%）3=10000（F/P,5%,3）=10000×1.157 6=11576（元）
该结果也可以通过单利计算的公式计算得到，将本金10000元逐期采用单利计算原理计算第一期期末的终值F1、第二期期末的终值F2和第三期期末的终值F，计算如图2-4所示。
图2-4 复利终值计算图2
根据单利终值计算原理逐期计算的终值如下。
F1=10000×（1+5%）；F2=F1×（1+5%）；F=F2×（1+5%）
依次代入后计算得：
F=10000×（1+5%）3
所以对于任意的P、i、n，则有：
F=P（1+i）n=P（F/P, i, n）
上述计算过程可以揭示复利终值与单利终值的关系：复利终值是对单利终值的连续使用。同时可以发现，把某数乘以（1+i）表示计息一期。
2．复利现值
复利现值也就是采用复利计算形式得到的本金，通常也是用P表示现值。为了计算复利现值，需要已知终值F、计息期数n和计息利率i。复利现值计算公式可以表示为：
P=F（1+i）-n
其中（1+i）-n又称为复利现值系数，本教材将其规定为（P/F, i, n），其本质含义是（求/已知），即已知F、i、n求P。所以复利现值计算公式也可以表述为：
P=F（P/F, i, n）
【例2-4·计算分析题】如果年利率为5%，采用复利计息，张某现在存入银行多少钱，才能在3年后取到本利和14000元？
【答案】本例涉及的相关要素如图2-5所示。
因为
F=P（1+i）n
所以
14000=P（1+5%）3
P=14000/（1+5%）3=12093.2（元）
该结果也可以通过单利现值计算原理逐期计算得到，将终值14000元逐期采用单利计算原理计算第三期期初的现值P2、第二期期初的现值P1和第一期期初的现值P，计算如图2-6所示。
图2-5 复利现值计算图1
图2-6 复利现值计算图2
根据单利现值计算原理逐期计算的现值如下。
P2=14000/（1+5%）；P1=P2/（1+5%）；P=P1/（1+5%）
依次代入后计算得：
P=14000/（1+5%）3
所以对于任意的F、i、n，则有：
P=F（1+i）-n=F（P/F, i, n）
【例2-4】的结果为：
P=14000×（P/F,5%,3）=12093.2（元）
上述计算过程可以揭示复利现值与单利现值的关系：复利现值是对单利现值的连续使用，把某数除以（1+i）表示折现一期。
3．复利终值与复利现值的关系
复利终值与复利现值的计算互为逆运算。
三、年金的计算
（一）年金概述
1．年金的定义
年金是指间隔期相等的系列等额收付款项，通常用A表示。
知识点讲解
理解该定义应注意以下几点：
（1）间隔期不一定以年为单位；
（2）表现为系列款项；
（3）每次等额；
（4）年金的形式：保险费、租金、整存零取的取款额、零存整取的存款额、等额分期收款、等额分期付款等。
2．年金的分类
年金按照收付发生的时点不同分为：普通年金（后付年金）；预付年金（先付年金）；递延年金；永续年金。
该原理在后面的年金相关计算中被广泛运用。
（二）普通年金
1．普通年金的定义
普通年金是指从第一期起，在一定时期内每期期末等额收付的系列款项。
2．普通年金终值和年偿债基金
（1）普通年金终值。
① 普通年金终值的本质。
普通年金终值本质上是一定时期内每期期末等额系列收付的复利终值之和。
② 普通年金终值的计算。
【例2-5·计算分析题】甲企业未来5年每年年底向出租人支付租金10万元，资金成本率为6%，则该租金5年后的终值为多少？
【答案】该后付租金的收付形式如图2-7所示。
图2-7 后付租金的收付形式
从第五年开始逐年计算每年租金的复利终值，分别为：第五年租金的复利终值为10万元，第四年租金的复利终值为10×（1+6%）1万元，第三年租金的复利终值为10×（1+6%）2万元，第二年租金的复利终值为10×（1+6%）3万元，第一年租金的复利终值为10×（1+6%）4万元，则5年租金的复利终值之和即普通年金终值为：
F=10+10×（1+6%）1+10 ×（1+6%）2+10×（1+6%）3+10×（1+6%）4
对于任意A、i、n的普通年金则有：
F=A+A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3+A（1+i）4+…+A（1+i）n-1
对于任意的A、i、n的普通年金，其终值计算是等比数列求和原理的运用，数列的首项为A、公比为（1+i），所以代入等比数列求和公式即可得到普通年金终值为：
式中：
为普通年金终值系数，本教材将其表示为（F/A, i, n）。
【例2-5】中的租金5年后的终值为F=10×（F/A, 6%, 5）=56.371（万元）。
（2）年偿债基金。
① 年偿债基金的定义。
年偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。
② 年偿债基金的计算。
【例2-6·计算分析题】甲企业为了在5年后偿还一笔60万元的到期债务，借款利率为6%，并从现在开始每年年底存入一笔资金用于偿还到期债务，每年年底需要存入多少钱？
【答案】本例每年年底需要准备的偿债基金的收付形式如图2-8所示。
图2-8 偿债基金收付形式
本例5年后的偿债金额60万元与每年准备的偿债基金A的金额也是满足普通年金终值计算公
式的，即在
中，已知F、i、n求A。
所以，对于任意的F、i、n，求偿债基金的计算公式为：
式中：
为偿债基金系数，本教材将其表示为（A/F, i, n），与普通年金终值系数的关
系为
，即普通年金终值系数与偿债基金系数互为倒数。
【例2-6】中每年准备的偿债基金A=60×（A/F, 6%, 5）=60/（F/A, 6%, 5）=10.64（万元）。
3．普通年金现值和年资本回收额
（1）普通年金现值。
① 普通年金现值的本质。
普通年金现值的本质是一定时期内每期期末等额系列收付的复利现值之和。
② 普通年金现值的计算。
【例2-7·计算分析题】甲企业未来5年每年年末向出租人支付租金10万元，资金成本率为6%，则该租金的现值为多少？
【答案】该后付租金的收付形式如图2-9所示。
图2-9 后付租金的收付形式
从第一年开始逐年计算每年租金的复利现值，第一年租金的复利现值为10/（1+6%）万元，第二年租金的复利现值为10/（1+6%）2万元，第三年租金的复利现值为10/（1+6%）3万元，第四年租金的复利现值为10/（1+6%）4万元，第五年租金的复利现值为10/（1+6%）5万元，则5年租金的复利现值之和即普通年金现值为：
对于任意的A、i、n的普通年金有：
对于任意的A、i、n的普通年金，其现值计算是等比数列求和原理的运用，数列的首项为 A1+i、公比为11+i，所以代入等比数列求和公式即可得到普通年金现值为：
式中：
为普通年金现值系数，本教材将其表示为（P/A, i, n）。
【例2-7】中的5期租金的现值P=10×（P/A, 6%, 5）=42.124（万元）。
（2）年资本回收额。
① 年资本回收额的定义。
年资本回收额是指在约定的年限内等额回收初始投入资本的金额。
② 年资本回收额的计算。
【例2-8·计算分析题】甲企业投资60万元与另一企业合作经营，合作期限5年，企业的预期最低投资收益率为15%，不考虑其他因素，则每年的回收额为多少万元？
【答案】本例中每年收回的金额的收付形式如图2-10所示。
图2-10 年资本回收额的收付形式
本例现在的投资额60万元与每年投资回收额A的金额也是满足普通年金现值计算公式的，即在
中，已知P、i、n求A。所以，对于任意的P、i、n求年资本回收额的计算公式为：
式中：
为年资本回收系数，本教材将其表示为（A/P, i, n），与普通年金现值系数的关系为
，即普通年金现值系数与资本回收系数互为倒数。
【例2-8】中每年的投资回收A=60×（A/P,15%,5）=60/（P/A,15%,5）=17.90（万元）。
（三）预付年金
1．预付年金的定义
预付年金是指从第一期起，在一定时期内每期期初等额发生的系列收付款项。预付年金与普通年金的差异仅在于收付款时间不同。
2．预付年金终值
① 预付年金终值的本质。
预付年金终值本质上是一定时期内每期期初等额系列收付的复利终值之和。
② 预付年金终值的计算。
【例2-9·计算分析题】甲企业未来5年每年年初向出租人支付租金10万元，资金成本率为6%，则该租金5年后的终值为多少？
【答案】该先付租金的收付形式如图2-11所示。
图2-11 先付租金的收付形式
从第五年开始逐年计算每年租金的复利终值，分别为：第五年租金的复利终值为10×（1+6%）1万元，第四年租金的复利终值为10×（1+6%）2万元，第三年租金的复利终值为10×（1+6%）3万元，第二年租金的复利终值为10×（1+6%）4万元，第一年租金的复利终值为10×（1+6%）5万元，则5年租金的复利终值之和即预付年金终值为：
F=10×（1+6%）1+10×（1+6%）2+10×（1+6%）3+10×（1+6%）4+10×（1+6%）5
对于任意的A、i、n的预付年金终值为：
F预=A（1+i）1+A（1+i）2+A（1+i）3+A（1+i）4+A（1+i）5+…+A（1+i）n
对于任意的A、i、n的预付年金，其终值计算是等比数列求和原理的运用，数列的首项为A（1+i）、公比为（1+i），所以代入等比数列求和公式即可得到预付年金终值为：
式中：
为预付年金终值系数，本教材将其表示为（F/A, i, n）（1+i）。
【例2-9】中先付租金5年后的终值为F=10×（F/A, 6%, 5）×（1+6%）=59.753（万元）。
③ 预付年金终值与普通年金终值的关系。
对比普通年金终值计算公式和预付年金终值计算公式可以发现：
F预=F普（1+i）
所以预付年金终值与普通年金终值的关系为：n期预付年金终值比n期普通年金终值多计息一期，即F预=F普（1+i）。
3．预付年金现值
① 预付年金现值的本质。
预付年金现值本质上是一定时期内每期期初等额系列收付的复利现值之和。
② 预付年金现值的计算。
【例2-10·计算分析题】甲企业未来5年每年年初向出租人支付租金10万元，资金成本率为6%，则该租金的现值为多少？
【答案】该先付租金的收付形式如图2-12所示。
图2-12 先付租金的收付形式
从第一年开始逐年计算每年租金的复利现值，第一年租金的复利现值为10万元，第二年租金的复利现值为10/（1+6%）万元，第三年租金的复利现值为10/（1+6%）2万元，第四年租金的复利现值为10/（1+6%）3万元，第五年租金的复利现值为10/（1+6%）4万元，则5年租金的复利现值之和即预付年金现值为：
对于任意的A、i、n的预付年金现值有：
对于任意的A、i、n的预付年金，其现值计算是等比数列求和原理的运用，数列的首项为A、公比为
，所以代入等比数列求和公式即可得到预付年金现值为：
式中：
为预付年金现值系数，本教材将其表示为（P/A, i, n）（1+i）。
【例2-10】中5期先付租金的现值P=10×（P/A, 6%, 5）×（1+6%）=44.651（万元）。
③ 预付年金现值与普通年金现值的关系。
对比普通年金现值计算公式和预付年金现值计算公式可以发现：
【例2-11·单项选择题】已知（P/A，8%，5）=3.992 7，（P/A，8%，6）=4.622 9，（P/A，8%，7）=5.206 4，则6年期、折现率为8%的预付年金
现值系数是（ ）。
A. 2.992 7
B. 4.206 4
C. 4.992 7
D. 6.206 4
【答案】C
【解析】本题考查预付年金现值系数与普通年金现值系数的关系，即预付年金现值系数等于普通年金现值系数乘以（1+i），所以6年期、折现率为8%的预付年金现值系数=（P/A, 8%, 6）×（1+8%）=4.992 7。
4．预付年金现值与预付年金终值计算无逆运算关系
总结：存在逆运算关系的有单利终值与现值、复利终值与现值、普通年金终值与年偿债基金、普通年金现值与年资本回收额。
（四）递延年金
1．递延年金定义
递延年金是由普通年金递延形成，递延的期数称为递延期。一般用m表示递延期，递延年金的第一次收付发生在第（m+1）期期末（m为大于0的整数）；一般用n表示实际发生现金收支的期数。
递延年金现值的计算广泛用于第六章的项目投资净现值的计算中，结合第六章的内容可以这样表述：m表示递延期，在项目投资运用中表示投资期；n表示实际发生现金流量的期间，在项目投资运用中表示营业期；m+n表示整个计算期，在项目投资运用中表示项目计算期。
2．递延年金的现值
递延年金终值的一般公式与计算普通年金终值的一般公式完全相同，与递延期无关，所以本教材只讲递延年金的现值计算。
递延年金的现值计算公式为：
P=A（P/A, i, n）（P/F, i, m）
式中：A（P/A，i，n）表示实际发生的n期等额收付款折现到第m期末的普通年金现值，由于从第m期期末复利折现到第一期期初需要复利折现m期，所以，递延年金现值P=A（P/A，i，n）（P/F，i，m）。
【例2-12·计算分析题】甲企业用30万元投资一个项目，预期最低投资报酬率为10%，投资期为2年，营业期为6年，营业期每年年末可以收回投资10万元，计算营业期每年收回投资额的现值。
【答案】本例中的年金就是递延2期（m=2）、发生6期（n=6）的递延年金，其现金收付形式如图2-13所示。
图2-13 营业期现金收付形式
根据递延年金现值计算公式，本例的递延年金现值为：
P=10×（P/A,10%,6）×（P/F,10%,2）=10×4.355 3×0.826 4=35.99（万元）
（五）永续年金
1．永续年金的定义
永续年金是普通年金的极限形式，当普通年金的收付次数为无穷大时即永续年金。
2．永续年金的特点
永续年金由于期限无穷大，所以没有终值只有现值。
3．永续年金的特例
永续年金在后期学习中的运用主要是存本取息和固定股利相关问题的计算。
4．永续年金的现值
永续年金的现值可以看成一个n无穷大时普通年金的现值，永续年金的现值可以通过对普通年金现值的计算公式导出：
（六）关于时间价值相关计算的运用
1．时间价值计算的关键技巧
在时间价值计算的运用中，考生的主要问题是：面对具体问题时不能判断相关的现金收付属于复利还是年金形式；或者虽然知道是年金形式，但不能判断是什么年金形式；或者虽然能判断是复利或具体的年金形式，但是不能判断是终值问题还是现值问题。
针对上述问题，建议在面对具体问题时，搞清三个问题即可。
（1）相关的资金收付是系列收付款吗？
① 如果是系列收付款，则属于年金相关问题，接下来进入第（2）个问题的判断；
② 如果不是系列收付款，则属于复利相关问题，接下来进入第（3）个问题的判断，事实上此时不论是用复利终值计算公式还是复利现值计算公式，由于二者互为逆运算，均可计算复利终值或者复利现值。
（2）系列收付款是如何发生的？
① 如果系列收付款是在每期期初发生则属于预付年金问题，接下来进入第（3）个问题的判断；
② 如果系列收付款是在每期期末发生则属于普通年金相关问题，接下来进入第（3）个问题的判断；
③ 如果系列收付款是在若干期后发生则属于递延年金问题，接下来进入第（3）个问题的判断；
④ 如果系列收付款是无限期地发生则属于永续年金问题，且一定是现值问题。
（3）结合已知条件判断是针对现在的问题还是以后的问题？
① 如果是针对现在问题，则是计算现值相关问题；
② 如果是针对以后问题，则是计算终值相关问题；
③ 或者结合已知条件判断，缺什么项目就计算什么项目。
2．时间价值计算技巧运用演示
【例2-13·计算分析题】某人准备存入银行一笔钱，以便在以后的10年中每年年底得到2000元，假设银行存款利率为9%，计算此人目前应存入多少钱？
【答案】“每年得到2000元”说明是系列收付款，即年金问题；“每年年底”说明该年金属于普通年金；“目前存入多少钱”说明是解决现在的问题，即普通年金现值问题。本例中n=10年、A=2000元、i=9%，代入普通年金现值计算公式即可得到目前应该存入的金额：
P=A（P/A,i,n）=2000（P/A,9%,10）=12834（元）
【例2-14·计算分析题】某公司从现在起，每年年初从银行借入3000元，年利率5%，则5年后需归还银行多少钱？
【答案】“每年借入3000元”说明是系列收付款，即年金问题；“每年年初”说明该年金属于预付年金；“5年后归还银行多少钱”说明是解决以后的问题，即预付年金终值问题。本例中n=5年、A=3000元、i=5%，代入预付年金终值计算公式即可得到5年后归还银行的金额：
F=A×（F/A,i,n）×（1+i）=3000×（F/A,5%,5）×（1+5%）=17405.64（元）
【例2-15·计算分析题】某人准备在5年后还清10000元债务，从现在起每年年底存入一笔款项，若利率为10%，问每年需要存入多少元？
【答案】“每年存入一笔款项”说明是系列收付款，即年金问题；“每年年底存入”说明该年金属于普通年金；“5年后还清10000元债务”说明是解决以后的问题，即普通年金终值问题。本例中n=5年、F=10000元、i=10%，代入普通年金终值计算公式即可得到每年需要存入的金额。因为F=A（F/A, i, n），所以10000=A（F/A, 10%, 5），以此计算出每年需要存入的金额：
A=10000/（F/A,10%,5）=1637.97（元）
其实“每年需要存入的金额”属于年偿债基金，由于与普通年金终值呈逆运算关系，所以可以运用普通年金终值计算公式解决。
【例2-16·计算分析题】某企业投资20万元兴建一项目，投资后每年获利5万元，若利率为10%，项目有效期为5年，请问该投资是否合算？
【答案】“每年获利5万元”说明是系列收付款，即年金问题；“获利”是在年末实现，说明该年金属于普通年金；“投资是否合算”是指现在投资是否合算，说明是解决现在的问题，即普通年金现值问题。本例中n=5年、A=5万元、i=10%，代入普通年金现值计算公式即可得到未来获利的现值，并将其与投资额20万元比较，如果未来获利的现值大于或等于投资额即可行，否则不可行。
P=A（P/A,i,n）=5×（P/A,10%,5）=18.954（万元）
由于18.954万元＜20万元，所以该投资不合算。
【例2-17·计算分析题】某公司需要一台设备，买价为15000元，使用寿命为10年。如租赁，则每年年末需支付租金2200元，除此以外，其他情况相同，假设利率为8%，试说明该公司购买设备好还是租赁设备好？
【答案】“每年支付租金2200元”说明是系列收付款，即年金问题；“每年年末”说明该年金属于普通年金；“购买设备好还是租赁设备好”是指现在应该购买还是租赁，说明是解决现在的问题，即普通年金现值问题。本例中n=10年、A=2200元、i=8%，代入普通年金现值计算公式即可得到未来10期租金的现值，并将其与设备买价15000元比较，如果未来10年租金的现值大于现在设备的买价则应该购买，否则应该租赁。
P=A×（P/A,i,n）=2200×（P/A,8%,10）=14762.22（元）
由于14762.22元＜15000元，所以应该租赁。
【例2-18·计算分析题】王名本年年末为了在次年每月月初都能从银行取得800元以孝敬父母，年利率为12%，请问王名年初应在银行预存多少钱？
【答案】“每月取得800元”说明是系列收付款，即年金问题；“每月月初”说明该年金属于预付年金；“年初在银行预存多少钱”说明是解决现在的问题，即预付年金现值问题。本例中n=12个月、A=800元、i=1%，代入预付年金现值计算公式即可得到年初在银行预存的金额：
P=A（P/A,i,n）×（1+i）=800×（P/A,1%,12）×（1+1%）=9094.12（元）
【例2-19·计算分析题】甲企业的投资活动经过3年建设期后从第4年年末到第10年年末每年能收回600万元，若利率为10%，请问该投资的规模为多大时才合算？
【答案】“每年收回600万元”说明是系列收付款，即年金问题；“从第4年年末到第10年年末”说明该年金属于递延年金；“投资的规模为多大时才合算”是指现在投资多大规模合算，说明是解决现在的问题，即普通年金现值问题。本例中m=3年、n=7年、A=600万元、i=10%，代入递延年金现值计算公式即可得到“第4年年末到第10年年末每年收回600万元”的现值，当投资额规模小于或等于该现值时投资是合算的，否则不合算。
P=A（P/A,i,n）×（P/F,i,m）=600×（P/A,10%,7）×（P/F,10%,3）=2194.58（万元）
投资规模小于或等于2194.58万元时才合算。
【例2-20·计算分析题】某公司向银行借入一笔款项，年利率为10%，分6次还清，从第5年至第10年每年年初偿还本息2万元，计算该笔借款的现值。【答案】“每年偿还本息2万元”说明是系列收付款，即年金问题；“从第5年至第10年每年年初”说明该年金属于递延年金；“计算该笔借款的现值”说明是递延年金现值问题。本例中m=3年、n=6年、A=2万元、i=10%，代入递延年金现值计算公式即可得到该笔借款的现值：
P=2×（P/A,10%,6）×（P/F,10%,3）=6.544 3（万元）
值得注意的是：本例中的递延年金不是标准形式的递延年金，标准形式的递延年金是递延m期后在n期内每期期末发生。而本例的递延年金是在每期的期初发生，因此需要转换成每期的期末发生，“第5年至第10年每年年初偿还本息2万元”事实上相当于“第4年至第9年每年年末偿还本息2万元”，从而符合标准的递延年金形式，从而确定m=3年、n=6年。
【例2-21·计算分析题】A公司预计每年都能1股派2元的现金股利，并且所在国的利率水平估计在较长时期都能维持在2.5%，请问以什么样的价格购买该股票才合算？
【答案】“每年派2元”说明是系列收付款，即年金问题；“每年派2元现金股利”说明该年金属于永续年金；永续年金只存在现值计算问题。本例中A=2元、i=2.5%，代入永续年金现值计算公式即可得到该股票的价值，并将其与股票的价格比较，当股票价值大于或等于股票价格时应该购买：
所以，股票价格小于或等于80元时购买才合算。
四、利率的计算
（一）i的推算
1．单利和永续年金情况下i的推算
（1）单利情况下i的推算。
在单利终值计算公式F=P（1+i×n）中，如果F、P、n已知，则可以轻松计算得到：
利用单利现值计算公式可以得到相同结果。
（2）永续年金情况下i的推算。
在永续年金现值计算公式
中，如果A、P已知，则可以轻松计算得到：
2．在复利和其他年金情况下i的推算
（1）在复利和其他年金情况下i的推算步骤。
在复利和其他年金情况下i的推算可以归纳为如下三个步骤。
① 根据题意建立等式。
② 如果能确定系数：通过查表正好找到n一定时等于该系数的值，从而确定i；或者通过查表找到n一定时刚好大于和小于该系数的两个值，并运用插值法建立等式求出i。
③ 如果不能确定系数：先用试误法，再用插值法建立等式求出i。
（2）在复利和其他年金情况下i的推算案例演示。
【例2-22·计算分析题】张某在2019年1月1日购买了6份A公司当日发行的票面利率为6%、面值为1000元的5年期债券，买价为每份980元，请问张某能实现多高的收益率？该债券为分期付息，到期一次还本。
【答案】本例属于普通年金现值与复利现值的综合问题。
① 根据题意建立等式：
980=1000×6%×（P/A, i, 5）+1000×（P/F, i, 5）
② 试误法：
i=5%,60×（P/A,5%,5）+1000×（P/F,5%,5）=1043.27
i=6%,60×（P/A,6%,5）+1000×（P/F,6%,5）=1000.04
i=7%,60×（P/A,7%,5）+1000×（P/F,7%,5）=959.01
表示为
建立等式
计算可求出i=6.49%。
（二）名义利率（r）和实际利率（i）的计算
1．名义利率和实际利率产生差异的原因
（1）一年内复利m次（m≥2）；
（2）存在通货膨胀。
2．一年内多次计息时的名义利率与实际利率
（1）每年计息一次时二者相等；
（2）一年内多次计息时二者的关系：
【例2-23·计算分析题】某企业发行1年期债券，面值10000元，年利率8%。方案一：1年复利1次；方案二：半年复利1次。请问选择哪个方案好？
【答案】
方案一：实际利率等于名义利率；
方案二：F=10000×（1+4%）2=10816，显然，实际收益率为8.16%，即：
i=（1+8%/2）2-1=8.16%
方案二的实际利率8.16%大于方案一的实际利率8%，所以应该选择方案二。
3．通货膨胀情况下的名义利率与实际利率
1+名义利率=（1+实际利率）（1+通货膨胀率）
【例2-24·计算分析题】某投资者2019年1月1日在银行存入资金100000元，年利率5%，期限一年，所在国2019年的通货膨胀率为3%，请计算该投资者的实际利率。
【答案】
计算得到i=1.94%。
第二节 风险与收益
一、资产的收益与收益率
（一）资产的收益
资产的收益是指资产的价值在一定时期的增值，包括利息（股息）收益和资本利得。
（1）以金额表示的资产增值称为资产的收益额。
（2）以百分比表示的资产增值称为资产的收益率或报酬率（年）。
（二）资产收益率的类型
1．实际收益率
实际收益率表示已经实现或者确定可以实现的资产收益率，表述为已实现或确定可以实现的利息（股息）率与资本利得收益率之和。
2．预期收益率
预期收益率也称期望收益率，是指在不确定的条件下，预测的某资产未来可能实现的收益率。
3．必要收益率
必要收益率也称最低报酬率或最低要求的收益率，表示投资者对某资产合理要求的最低收益率。
必要收益率=无风险收益率+风险收益率
（1）无风险收益率：通常用短期国债的利率近似地代替无风险收益率。
无风险收益率=纯粹利率（资金时间价值）+通货膨胀补贴率
（2）风险收益率：投资者因承担资产的风险而要求的超过无风险收益率的额外收益。
风险收益率的决定因素：风险的大小；投资者对风险的偏好。
二、资产的风险及其衡量
（一）风险和资产风险
1．风险的定义
从财务管理的角度看，风险是指企业在各项财务活动中，由于各种难以预料或无法控制的因素作用，使企业的实际收益与预期收益发生背离，从而蒙受经济损失的可能性。
2．资产风险的定义
资产风险是指资产收益率的不确定性。
（二）风险的衡量
1．期望值
（1）期望值的定义。
期望值是指各种结果的加权平均值。
（2）期望值的计算：
2．方差
（1）方差的计算：
（2）方差与风险的关系：期望值相同时，方差越大，风险越大；方差越小，风险越小。
3．标准差
（1）标准差的计算：
（2）标准差与风险的关系：期望值相同时，标准差越大，风险越大；反之则越小。
【例2-25·计算分析题】现有两家公司可供投资，分别是A公司、B公司。两家公司的年报酬率及其发生概率的资料如表2-2所示。
表2-2 A、B公司投资报酬概率分布表
要求：请计算A公司和B公司的期望值、方差和标准差并评价两个公司的风险。
【答案】
A公司的期望值
B公司的期望值
A公司的方差σ2=（40%-20%）2×0.3+（20%-20%）2×0.5+（-10%-20%）2×0.2=3%
B公司的方差σ2=（80%-20%）2×0.3+（20%-20%）2×0.5+（-70%-20%）2×0.2=27%
A公司的标准差
B公司的标准差
由于两个公司的期望值相同，且A公司的方差和标准差均小于B公司的方差和标准差，所以A公司的风险小于B公司的风险。
4．标准差率
（1）标准差率的计算：
（2）标准差率与风险的关系：标准差率越大，风险越大；反之则越小。
特别注意适用范围：期望值相同时可以采用方差、标准差、标准差率来衡量不同项目的风险大小；期望值不同时则只能采用标准差率来衡量不同项目的风险大小。
【例2-26·多项选择题】下列指标中，能够反映资产风险的有（ ）。
A．方差
B．标准差
C．期望值
D．标准差率
【答案】ABD
【解析】离散程度是用以衡量风险大小的统计指标。反映变量离散程度的指标包括平均差、方差、标准差、标准差率等。
（三）风险对策
1．规避风险
当资产风险所造成的损失不能由该资产可能获得的收益予以抵消时，应当放弃该资产，以规避风险。例如，拒绝与不守信用的厂商有业务往来；放弃可能明显导致亏损的投资项目；新产品在试制阶段发现诸多问题而果断停止试制。
2．减少风险
减少风险主要有两方面：一是控制风险因素，减少风险的发生；二是控制风险发生的频率和降低风险损害程度。
3．转移风险
对可能给企业带来灾难性损失的资产，企业应以一定的代价，采取某种方式将风险损失转嫁给他人承担。例如：向专业性保险公司投保；采取合资、联营、增发新股、发行债券、联合开发等措施实现风险共担；通过技术转让、特许经营、战略联盟、租赁经营和业务外包等实现风险转移。
4．接受风险
（1）接受风险包括风险自担和风险自保两种方式。
（2）风险自担是指风险损失发生时，直接将损失摊入成本或费用，或冲减利润。
（3）风险自保是指企业预留一笔风险金或随着生产经营的进行，有计划地计提资产减值准备等。
可以从生活案例和财务案例两个方面来加深对上述对策的理解，详见表2-3。
表2-3 生活案例和财务案例对比表
三、证券资产组合的风险与收益
知识点讲解
（一）资产组合
1．资产组合
两个或两个以上资产所构成的集合称为资产组合。
2．证券组合
如果资产组合中的资产均为有价证券，则该资产组合称为证券组合。
（二）证券资产组合的预期收益率
证券资产组合的预期收益率就是组成证券资产组合的各种资产收益率的加权平均数，其权数为各种资产在整个组合中所占的价值比例。
（三）证券资产组合的风险及其衡量
1．两项资产组合的风险
（1）两项资产组合的收益率的方差满足以下关系式：
式中：σP表示资产组合的标准差，衡量资产组合的风险；σ1和σ2分别表示组合中两项资产的标准差；W1和W2分别表示组合中两项资产所占的价值比例；ρ1,2反映两项资产收益率的相关程度，即两项资产收益率之间的相对运动状态称为相关系数。理论上相关系数介于区间[-1,1]内。
（2）相关系数。
当ρ1,2=1时，表明两项资产的收益率具有完全正相关的关系，即它们的收益率变化方向和变化幅度完全相同。当两项资产的收益率完全正相关时，两项资产的风险完全不能互相抵消，所以这样的资产组合不能降低任何风险。
当ρ1,2=-1时，表明两项资产的收益率具有完全负相关的关系，即它们的收益率变化方向和变化幅度完全相反。当两项资产的收益率具有完全负相关关系时，两者之间的风险可以充分地相互抵消甚至完全消除。因而由这样的资产组成的组合就可以最大限度地抵消风险。
2．非系统风险
（1）非系统风险的定义。
非系统风险是指发生于个别公司的特有事件造成的风险。例如，一家公司的工人罢工、新产品开发失败、失去重要的销售合同、诉讼失败，或者宣告发现新矿藏、取得一个重要合同等。
（2）风险分散。
通过有效的资产组合可以消除或者减少非系统风险。在资产组合中资产数目较少时，通过增加资产的数目，分散风险的效应会比较明显；当资产的数目增加到一定程度时，风险分散的效应就会逐渐减弱。
【例2-27·多项选择题】证券投资的风险分为可分散风险和不可分散风险两大类，下列各项中，属于可分散风险的有（ ）。
A．研发失败风险
B．生产事故风险
C．通货膨胀风险
D．利率变动风险
【答案】AB
【解析】可分散风险是特定企业或特定行业所特有的，与政治、经济和其他影响所有资产的市场因素无关。
3．系统风险及其衡量
（1）系统风险的定义。
系统风险又被称为市场风险或不可分散风险，是影响所有资产的、不能通过资产组合而消除的风险。这部分风险是由那些影响整个市场的风险因素所引起的。这些因素包括宏观经济形势的变动、国家经济政策的变化、税制改革、企业会计准则改革、世界能源状况、政治因素等。
（2）单项资产的系统风险系数（β系数）。
①β系数的定义。
某资产的β系数表达的含义是该资产的系统风险相当于市场组合系统风险的倍数。
②β系数与风险和风险收益的关系。
β＞1表示该资产收益率的变动幅度大于市场平均收益率的变动幅度，则所含系统风险大于市场组合的风险；β＜1表示该资产收益率的变动幅度小于市场平均收益率的变动幅度，则所含系统风险小于市场组合的风险；β=1表示该资产收益率的变动幅度等于市场平均收益率的变动幅度，则所含系统风险等于市场组合的风险。
【例2-28·单项选择题】当某上市公司的β系数大于0时，下列关于该公司风险与收益的表述中，正确的是（ ）。
A．系统风险高于市场组合风险
B．资产收益率与市场平均收益率呈同向变化
C．资产收益率变动幅度小于市场平均收益率变动幅度
D．资产收益率变动幅度大于市场平均收益率变动幅度
【答案】B
【解析】β系数是反映资产收益率与市场平均收益率之间变动关系的一个量化指标，β系数大于0，则说明资产收益率与市场平均收益率呈同向变化，所以选项B的表述正确；市场组合的β系数等于1，由于不知道该上市公司β系数的具体数值，所以无法判断该上市公司系统风险与市场组合系统风险孰大孰小，也无法判断该上市公司资产收益率与市场平均收益率之间变动幅度孰大孰小。
（3）市场组合及其风险。
① 市场组合是指由市场上所有资产组成的组合，它的收益率就是市场平均收益率。
② 市场组合的β系数等于1。
（4）证券资产组合的β系数。
证券资产组合的β系数可以表示为：
显然，投资组合的β系数受单项资产的β系数和各项资产在投资组合中所占比重W两个因素的影响。
四、资本资产定价模型
（一）资本资产定价模型基本原理
1．资本资产定价模型的主要作用
资本资产定价模型的主要作用是解释风险收益率的决定因素和度量方法。
2．资本资产定价模型的核心关系式
R=Rf+β（Rm-Rf）
3．风险收益率
风险收益率=β（Rm-Rf）
比如，沪深股票市场约有3300只股票，市场平均收益率为5%，无风险收益率为2%，则市场平均风险收益率为（5%-2%）。如果A公司股票的β=1.3，则A股票的风险收益率为1.3×（5%-2%），相应的A股票的必要收益率就为2%+1.3×（5%-2%）。
【例2-29·计算分析题】已知：现行国库券的利率为5%，证券市场组合平均收益率为15%，市场上A、B、C、D四种股票的β系数分别为0.91、1.17、1.8、0.52; B、C、D股票的必要收益率分别为16.7%、23%、10.2%。
要求：
（1）采用资本资产定价模型计算A股票的必要收益率；
（2）计算A、B、C投资组合的β系数和必要收益率，假定投资者购买A、B、C三种股票的比例为1∶3∶6；
（3）已知按3∶5∶2的比例购买A、B、D三种股票，所形成的A、B、D投资组合的β系数为0.96，该组合的必要收益率为14.6%；如果不考虑风险大小，请在A、B、C和A、B、D两种投资组合中做出投资决策，并说明理由。
【答案】
（1）A股票必要收益率=5%+0.91×（15%-5%）=14.1%
（2）投资组合中A股票的投资比例=1/（1+3+6）=10%
投资组合中B股票的投资比例=3/（1+3+6）=30%
投资组合中C股票的投资比例=6/（1+3+6）=60%
投资组合的β系数=0.91×10%+1.17×30%+1.8×60%=1.52
投资组合的必要收益率=5%+1.52×（15%-5%）=20.2%
（3）本题中资本资产定价模型成立，所以预期收益率等于按照资本资产定价模型计算的必要收益率，即A、B、C投资组合的预期收益率大于A、B、D投资组合的预期收益率，所以如果不考虑风险大小，应选择A、B、C投资组合。
（二）资本资产定价模型的有效性和局限性（略）
第三节 成本性态分析
一、成本性态及成本分类
（一）成本性态的定义
成本性态，又称成本习性，是指成本的变动与业务量之间的依存关系。
（二）成本按性态分类
按照成本性态不同，通常可以把成本区分为固定成本、变动成本和混合成本三类。
二、固定成本
固定成本是指在特定的业务量范围内不受业务量变动影响，一定期间的总额能保持相对稳定的成本。
（一）固定成本基本特征
固定成本的基本特征包括：
（1）在一定时期和一定业务量范围内，固定成本总额不随业务量的变动而变动；
（2）单位固定成本随业务量的增加而减少。
比如，某企业2014年年底投产设备5台，总价款480万元，预计可使用20年，采用直线法折旧，不考虑残值，该批设备最大年产量30万件。近三年产量和折旧资料如表2-4所示。
表2-4 2015—2017年产量与折旧
表中资料显示，近三年折旧总额不随业务量的变动而变动，始终保持每年24万元，但是单位折旧额随业务量的增加而降低。
（二）固定成本分类
固定成本按其支出额是否可以在一定期间内改变而分为约束性固定成本和酌量性固定成本。
1．约束性固定成本
约束性固定成本是指管理当局的短期（经营）决策行动不能改变其具体数额的固定成本，如保险费、设备折旧费、房屋租金、管理人员基本工资等，又称经营能力成本。
2．酌量性固定成本
酌量性固定成本是指管理当局的短期（经营）决策行动能改变其数额的固定成本，如广告费、研究与开发费、职工培训费等。
【例2-30·单项选择题】根据成本性态，在一定时期及一定业务量范围之内，职工培训费一般属于（ ）。
A．半固定成本
B．半变动成本
C．约束性固定成本
D．酌量性固定成本
【答案】D
【解析】固定成本是指在一定时期及一定业务量范围内，不直接受业务量变动的影响而保持固定不变的成本；约束性固定成本是指管理当局的短期决策行动不能改变其具体数额的固定成本，如保险费、房屋租金等；酌量性固定成本是指管理当局的短期决策行动能改变其具体数额的固定成本，如广告费、职工培训费、研究与开发费等。
三、变动成本
变动成本是指在特定的业务量范围内，其总额会随业务量的变动而呈正比例变动的成本，如直接材料、直接人工、按销售量支付的推销员佣金、装运费、包装费，以及按业务量计提的固定设备折旧等。
（一）变动成本的基本特征
（1）在特定业务量范围内，其总额随业务量的变动呈正比例变动；
（2）单位变动成本不随业务量的变动而变动。
例如，某企业生产A产品需要甲材料，产品单耗为10千克/件，材料单价为2元/千克，该企业最大年产量为10000件，2015—2017年相关资料如表2-5所示。
表2-5 2015—2017年材料成本资料
表中资料显示，近三年材料总成本随着产量的增加呈正比例增加，但是单位材料成本保持不变，始终是每件20元。
（二）变动成本分类
根据经理人员是否能决定发生额，变动成本分为两大类：技术性变动成本和酌量性变动成本。
1．技术性变动成本
技术性变动成本是指由技术或设计关系所决定的变动成本。
2．酌量性变动成本
酌量性变动成本是指通过管理当局的决策行动可以改变的变动成本，如按销售收入的一定百分比支付的销售佣金、新产品研制费、技术转让费等。
【例2-31·单项选择题】企业生产产品所耗用的直接材料成本属于（ ）。
A．酌量性变动成本
B．酌量性固定成本
C．技术性变动成本
D．约束性固定成本
【答案】C
【解析】技术性变动成本是指与产量有明确的技术或实物关系的变动成本。例如，生产一台汽车需要耗用一台引擎、一个底盘和若干轮胎等，这种成本只要生产就必然会发生；若不生产，其技术变动成本便为零。直接材料成本属于技术性变动成本。
四、混合成本
（一）混合成本的分类
混合成本兼有固定与变动两种性质，可进一步将其细分为半变动成本、半固定成本、延期变动成本和曲线变动成本。
1．半变动成本
半变动成本通常有一个初始量，如固定电话座机费等。半变动成本习性模型如图2-14所示。
图2-14 半变动成本习性模型
2．半固定成本
半固定成本随产量的变化呈阶梯形增长成本，如管理员、运货员、检验员工资等。半固定成本习性模型如图2-15所示。
图2-15 半固定成本习性模型
3．延期变动成本
在一定业务量范围内有一个固定不变的基数，如包含基本工资和加班工资的工资总额等。延期变动成本习性模型如图2-16所示。
图2-16 延期变动成本习性模型
【例2-32·单项选择题】某公司电梯维修合同规定，当每年上门维修不超过3次时，年维修费用为5万元；当超过3次时，则在此基础上按每次2万元付费。根据成本性态分析，该项维修费用属于（ ）。
A．半变动成本
B．半固定成本
C．延期变动成本
D．曲线变动成本
【答案】C
【解析】延期变动成本在一定的业务量范围内有一个固定不变的基数，当业务量增长超出了这个范围，它就与业务量的增长呈正比例变动，所以，本题的答案应该为选项C。
4．曲线变动成本
曲线变动成本包括递增曲线成本和递减曲线成本。递增曲线成本如累进计件工资、违约金等，递减曲线成本如有折扣或优惠的水、电成本等。递增曲线成本习性模型如图2-17所示，递减曲线成本习性模型如图2-18所示。
图2-17 递增曲线成本习性模型
图2-18 递减曲线成本习性模型
（二）混合成本的分解
混合成本的分解主要有高低点法、回归分析法、账户分析法、技术测定法和合同确认法等。
1．高低点法
高低点法是以过去某一会计期间的总成本和业务量资料为依据，从中选取业务量最高点和业务量最低点，将总成本进行分解，得出成本性态的模型。计算过程分为两步：
（1）确定业务量最大和最小的两年；
（2）用以上两年的数据建立等式求出固定成本a和单位变动成本b，从而建立某项成本的模型y=a+bx。
【例2-33·计算分析题】某企业2012—2017年产销量与某项混合成本的历史资料如表2-6所示。
表2-6 各年产销量及混合成本
要求：请计算该项混合成本中固定成本和单位变动成本分别为多少？
【答案】业务量最高和业务量最低的两年分别为2017年和2012年，以这两年的混合成本和产销量关系可以建立以下方程组：
联解上述方程可以得到单位变动成本b=5万元，固定成本a=200万元，从而确定该成本项目的成本模型如下：
y=200+5x
2．回归分析法
回归分析法是一种较为精确的方法。它根据过去一定期间的业务量和混合成本的历史资料，应用最小二乘法原理，算出最能代表业务量与混合成本关系的回归直线，借以确定混合成本中固定成本和变动成本的方法。高低点法和回归分析法都属于历史成本分析的方法，它们仅限于有历史成本资料数据的情况。
3．账户分析法
账户分析法，又称会计分析法，它是根据有关成本账户及其明细账的内容，结合其与业务量的依存关系，判断其比较接近哪一类成本，就视其为哪一类成本。这种方法简便易行，但比较粗糙且带有主观判断，在判定某项成本的性态时还要借助技术测定法或回归分析法。
4．技术测定法
技术测定法，又称工业工程法，它是根据生产过程中各种材料和人工成本消耗量的技术测定来划分固定成本和变动成本的方法。技术测定法可能是最完备的方法。该方法通常只适用于投入成本与产出数量之间有规律性联系的成本分解。
5．合同确认法
合同确认法，是根据企业订立的经济合同或协议中关于支付费用的规定，来确认并估算哪些项目属于变动成本，哪些项目属于固定成本的方法。合同确认法要配合账户分析法使用。
【例2-34·单项选择题】下列混合成本的分解方法中，比较粗糙且带有主观判断特征的是（ ）。
A．高低点法
B．回归分析法
C．技术测定法
D．账户分析法
【答案】D
【解析】账户分析法，又称会计分析法，它是根据有关成本账户及其明细账的内容，结合其与业务量的依存关系，判断其比较接近哪一类成本，就视其为哪一类成本。这种方法简便易行，但比较粗糙且带有主观判断。
五、总成本模型
将混合成本按照一定的方法区分为固定成本和变动成本之后，根据成本性态，企业的总成本公式就可以表示为：
总成本=固定成本总额+变动成本总额
=固定成本总额+单位变动成本×业务量
通常表述为：
y=a+bx
式中：a是固定成本；b是单位变动成本。