2.2 对当关系逻辑的理论缘起

巴西逻辑学家科斯塔建立了一系列弗协调逻辑系统Cn（1≤n≤ω）。下面我们以这一系列系统的技术处理为依据来剖析其思想背景，以期正确认识他解决不协调理论推理问题的基本策略。

经典逻辑的否定“～”在语形上遵守反证律（～A→B）→（（～A→～B）→A），因此在正命题逻辑系统的基础上可以证明，命题A与其经典否定～A之间有如下关系：

[1]├A→～（～A）

[2]├（～A）→～A

[3]├～A→（～A）

[4]├～（～A）→A

经典逻辑的否定“～”在语义上遵循如下语义规则：

对于任一语义赋值v,v（～A）=1当且仅当v（A）=0。

具体地说，命题A与其经典否定～A之间有如下关系：

[1]若A真，则～A假；

[2]若～A真，则A假；

[3]若A假，则～A真；

[4]若～A假，则A真。

所以，无论是语形还是语义，命题A与其经典否定～A之间都存在通常所说的矛盾（既不能同真，也不能同假）关系。

在弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）中，弗协调否定“﹁”在语形上遵守下列规则：

[1]A∨﹁A

[2]﹁﹁A→A

[3]B（n）→（（A→B）→（（A→﹁B）→﹁A））

[4]A（n）∧B（n）→（A∧B）（n）∧（A∨B）（n）∧（A→B）（n）

（其中A0=def﹁（A∧﹁A）; Ak=defA00…0，这里一共有k个0,k为正整数；A（n）=def（…（（A1∧A2）∧A3）…∧An）。）

根据定义：～A=def（﹁A∧A（n）），在弗协调逻辑系统中可以证明：

（～A→B）→（（～A→～B）→A）

对于任一语义赋值v,v（～A）=1当且仅当v（A）=0。

这样，在正命题逻辑系统之上，弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）中的符号“～”就获得了经典否定“～”的所有规定。因此，弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）中的符号“～”实际可以视为经典否定“～”。根据定义～A=def（﹁A∧A（n））可知，经典否定“～”是弗协调否定“﹁A”的加强，而弗协调否定“﹁A”是经典否定“～”的弱化。

在正命题逻辑系统的基础上可以证明，命题A与其弗协调否定﹁A之间语形上有如下关系：

[1]├～A→﹁A

[2]├～﹁A→A

弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中的否定“﹁”在语义上遵循如下语义规则：

对于任一语义赋值v，

[1]如果v（A）=0，则v（﹁A）=1；

[2]如果v（﹁﹁A）=1，则v（A）=1，

[3]如果v（B（n））=v（A→B）=v（A→﹁B）=1，则v（A）=0，

[4]如果v（A（n））=v（B（n））=1，则

v（（A∧B）（n））=v（（A∨B）（n））=v（（A→B）（n））=1。

根据这一语义规则，在一赋值v下，当v（A）=1时，对于弗协调否定公式﹁A的值有如下判定程序：

[1]如果A为否定式﹁B。那么当B与﹁B的值不同时，﹁A的值为0；当B与﹁B的值相同时，那么﹁A的值可以为0，也可以为1。

[2]如果A为B∧C、B∨C或B→C。那么：

（1）当A形如或时，﹁A的值为0；

（2）当A不形如或时，那么：当B和﹁B的值不同并且C和﹁C的值也不同时，﹁A的值为0；否则，﹁A的值可以为0，也可以为1。[3]

由此可见，命题A与其弗协调否定﹁A之间有如下关系：

[1]若A假，则﹁A真；

[2]若﹁A假，则A真；

[3]若A真，则﹁A可以为真，也可以为假；

[4]若﹁A真，则A可以为真，也可以为假。

根据弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）相对于上述语义的可靠性定理，可以证明下述语形定理在弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）中不成立：

[1]├A→～﹁A

[2]├﹁A→～A

所以，无论是语形还是语义，在Cn（1≤n＜ω）中，命题A与其弗协调否定﹁A之间都存在通常所说的下反对（可以同真，但不能同假）关系。

经典否定“～”是一个一元真值函数。逻辑上讲，二值一元真值函数可能有如下四种，分别用f1、f2、f3和f4表示之。它们的真值表是：

实际上f1和f4是一元常函数，f2是一元恒等函数，而f3就是经典否定“～”。因此，弗协调否定“﹁”根本就不是二值一元真值函数。

科斯塔在上述弗协调语义之外还提出了弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）的一个三值逻辑语义[4]：

其中，1和2是特征值。不难看出，在此语义下，弗协调否定“﹁”是一个三值一元真值函数。但是，如果我们将特征值类比为二值的“真”的话，在Cn（1≤n＜ω）中命题A与其弗协调否定﹁A之间存在着的仍然是通常所说的下反对关系。

不矛盾律说的是一对互相否定的命题不能都是真的。由于经典否定和弗协调否定的不同，因此它们在经典逻辑和弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中的形式是不同的。在经典逻辑中，不矛盾律的形式是：～（A∧～A）；在弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中，不矛盾律的形式是：﹁（A∧﹁A）。由于在经典逻辑中，命题A与其否定～A之间是矛盾关系，因此不矛盾律～（A∧～A）不可能不普遍有效；由于在弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中，命题A与其否定﹁A之间是下反对关系，A和﹁A可以同真，因此A∧﹁A可以真，在此情况下作为A∧﹁A的下反对关系不矛盾律﹁（A∧﹁A）当然可以是真的，也可以是假的。所以在弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中不矛盾律﹁（A∧﹁A）就不是普遍有效的。

但是，在弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中不矛盾律﹁（A∧﹁A）不是普遍有效的决不意味着经典逻辑中不矛盾律～（A∧～A）是无效的。实际上，从上述分析可以看出，站在经典逻辑的立场，弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中不矛盾律﹁（A∧﹁A）不是普遍有效的，在经典逻辑中也是可以合理解释的。因为在经典逻辑中，﹁（A∧﹁A）表示的也仅仅是一对下反对关系命题合取之下的反对关系命题，这当然不是普遍有效的。例如，在经典命题逻辑中，p∨q和～p∨～q就是一对下反对关系的命题，作为它们的合取（p∨q）∧（～p∨～q）之下反对关系命题p→q或～p→～q都不是普遍有效的。

与不矛盾律相关的是在弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中，A∧﹁A可以是真的。这就是弗协调逻辑学者所说的在弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中“容忍矛盾”。其实，站在经典逻辑的立场看，A∧﹁A表示的也仅仅是一对下反对关系的命题之合取可以是真的，这在经典逻辑中也显然如此。

弗协调逻辑的基本出发点之一是限制矛盾的作用范围，使它不危害整个理论（这里的矛盾一般应理解为经典逻辑的矛盾，否则的话，如果把矛盾理解为A∧*A，其中*A是A的否定，但不是经典的否定，那么，只要*A和A可以同真，则A∧*A→B在经典逻辑中就已经不是有效式了。那么经典逻辑就已经可以达到将“矛盾”A∧*A圈起来的效果，而无须新创一套别的逻辑系统）。那么弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）实现了这一目标了吗？

在弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）中，A∧﹁A→B不是定理，但是如上所述，在语义上这仅仅表示的是由下反对关系命题的合取不能推出所有命题。在弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中，真正需要圈起来的矛盾是A∧～A。需要取消其有效性，避免矛盾带来爆炸性结果的是定理：├A∧～A→B。但这一定理在弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）中恰恰是成立的。

因此，弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）并不能称为真正意义上的弗协调逻辑。在防止矛盾带来爆炸性结果方面，其实亚里士多德的三段论系统就是一个典范。因为在亚里士多德的三段论系统中，要求有且只有三个词项，而结论中的两个词项必定在前提中出现过，因此不论前提是什么样的两个前提，结论都不会是任意的，所以A∧～A→B在亚里士多德三段论系统中不可能是一个有效式，当然爆炸性结果就不会出现。

尽管弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）不是真正意义上的弗协调逻辑，但是它作为一个非经典逻辑系统，其理论意义是非常巨大的。

为了阐明这一点，我们有必要简单地考察一下直觉主义逻辑的否定。

在直觉主义逻辑系统中，直觉主义否定“﹁”在语义上遵循如下语义规则：

直觉主义模型M是一个三元组＜W,≤,σ＞，其中：

[1]W≠∅；

[2]≤是W上的自返且传递关系；

[3]对于任一命题变元p，任意的w1、w2∈W，如果w1≤w2且σ（p,w1）=1，则σ（p,w2）=1 ；

[4]σ（﹁A,w1）=1 当且仅当任给w2∈W，如果 w1≤w2，则σ（A,w2）=0。

根据这一语义规则不难看出命题A与其直觉主义否定﹁A之间基本上有如下关系：

[1]若σ（A,w）=1，则σ（﹁A,w）=0 ；

[2]若σ（﹁A,w）=1，则σ（A,w）=0 ；

[3]若σ（A,w）=0，则σ（﹁A,w）可以为1，也可以为0；

[4]若σ（﹁A,w）=0，则σ（A,w）可以为1，也可以为0。

所以，命题A与其直觉主义否定﹁A之间存在着通常所说的上反对（可以同假，但不能同真）关系。

比较一下经典逻辑、直觉主义逻辑和弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）可以发现，它们在正命题逻辑系统方面基本上没有区别。主要的区别是对于否定的规定不同：经典逻辑中命题A与其否定～A是矛盾关系，直觉主义逻辑中命题A与其否定﹁A是上反对关系，弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中命题A与其否定﹁A是下反对关系。因此，在此意义上，我们可以称经典逻辑为矛盾关系逻辑，直觉主义逻辑为上反对关系逻辑，弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）为下反对关系逻辑[119]。

直觉主义逻辑和弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）之与经典逻辑的意义正如非欧几何与欧氏几何的意义一样重大。

由于弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）在初始概念“否定﹁”上就与人们通常（经典逻辑意义）理解的不一样，因此弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）中的“矛盾”、“不矛盾律”等都不是人们通常理解的意义。既然人们一般把否定理解为矛盾关系，弗协调逻辑Cn（1≤n＜ω）在用词上确实存在一种误导的隐患。

因此，出于“正名”的需要，建议在科斯塔弗协调逻辑中：

[1]A的否定命题﹁A改称为：A的下反对关系命题﹁A;[5]

[2]矛盾A∧﹁A改称为：一对下反对关系命题的合取；

[3]不矛盾律﹁（A∧﹁A）改称为：下反对关系命题的合取命题之下反对关系命题；

[4]强调A∧﹁A→B不普遍有效仅仅意味着：下反对关系命题的合取不能推出所有命题；

[5]如果把经典逻辑称为矛盾关系逻辑，则弗协调逻辑系统Cn（1≤n＜ω）可称为下反对关系逻辑。

顺便建议在直觉主义逻辑中：

[1]A的否定命题﹁A改称为：A的上反对关系命题﹁A；

[2]排中律A∨﹁A改称为：上反对关系命题的析取命题；

[3]强调B→A∨﹁A不普遍有效仅仅意味着：上反对关系命题的析取不能由任一命题推出；

[4]如果把经典逻辑称为矛盾关系逻辑，则直觉主义逻辑可称为上反对关系逻辑。