第2章 你对圆周率好奇吗？

有时，《辛普森一家》中穿插的数学内容极为深奥，我们将在下一章介绍其中的一些内容。另一些时候，瑞斯、让及其同事插入的笑话涉及许多观众熟知的数学概念。一个经典的例子是圆周率π，它曾在过去20年的剧集中多次登场。

如果你忘记了这个概念，我们可以简单介绍一下。圆周率是圆的周长与直径之比。只要画出一个圆，然后剪下一段与圆的直径等长的线，任何人都可以获得关于圆周率的粗略印象。圆的周长是这条线的三倍多一点。更准确地说，是3.14倍。这就是圆周率的近似值。下面的等式总结了圆周率π与圆的周长和直径的关系：

周长=π×直径

C=πd

 

由于圆的直径是半径的两倍，因此这个等式也可以表示成下面的形式：

周长=2×π×半径

C=2πr

 

这也许是我们小时候从简单的算术向更加复杂的概念过渡的第一步。我现在仍然记得我第一次听说圆周率时的情景，因为它使我目瞪口呆。数学不再仅仅意味着长长的乘法和粗俗的分数，它现在包含了一些神秘、优雅、普适的事物；从摩天轮到飞盘，从印度飞饼到地球赤道，世界上的每一个圆都遵循圆周率的公式。

除了预测圆的周长，圆周率π还可以用来计算圆的面积：

面积=π×半径☒

A=πr☒

 

在“简单的辛普森”（2004）一集中，有一个基于双关语的笑话提到了这个等式。在这一集里，荷马伪装成了一个名叫“简单西蒙，友好的街区馅饼侠”的超级英雄，他将馅饼甩到作恶者的脸上，以惩罚他们。馅饼侠的第一项义举是惩罚一个欺负丽莎的人，春田著名的前拳击手德雷德里克·塔特姆（Drederick Tatum）目睹了这件事，他宣称：“我们都知道‘πr☒'，但是今天，‘馅饼是正义的’。我对此表示欢迎。”

虽然阿尔·让将这个笑话写进了脚本，但是他不愿意独自接受这项荣誉（或者承担这项责任）:“哦，那是个古老的笑话。我显然在许多年前听过这个笑话。它的发明者应该是一个生活在1820年的人。”

“1820年”的说法是一种夸张，但塔特姆的言论显然是对数学家代代相传的某个传统笑话的新鲜演绎。这个笑话最著名的版本出现在1951年的美国喜剧《乔治·伯恩斯和格雷西·艾伦秀》中。在“少女过周末”一集中，格雷西（Gracie）前来帮助小朋友埃米莉（Emily），后者正在抱怨她的家庭作业。

 

埃米莉：我希望几何和西班牙语一样容易。

格雷西：也许我可以帮助你。请和我说一些几何上的东西。

埃米莉：说一些几何上的东西？

格雷西：是的，请吧。

埃米莉：好的。呃……πr☒。

格雷西：学校现在就是这样教你们的吗？πr☒？

埃米莉：是的。

格雷西：埃米莉。馅饼是圆的。曲奇饼是圆的。饼干是方的。

 

这些笑话的核心在于，“馅饼”和“π”具有相同的读音，这使它们产生了双关性。所以，喜剧演员应该感谢威廉·琼斯（William Jones），是他推广了字母π的使用。这位18世纪的数学家和其他许多人在伦敦咖啡厅为别人提供辅导，以赚取微薄的生活费。当琼斯在这些所谓的“便士大学”工作时，他写下了一部重要专著《新数学导论》。这是第一本在讨论圆的几何问题时使用希腊字母π的书。从此，数学双关语有了一个新的方向。琼斯之所以选择π，是因为它是表示圆周的希腊单词περιφέρεια的第一个字母。

在“简单的辛普森”这个笑话播出的三年前，编剧在《辛普森一家》的“再见，书呆子”（2001）一集中也提到了圆周率π。这一次，编剧没有重提古老的笑话，而是创造了一个关于圆周率的新笑话，尽管它所依据的是历史上关于圆周率的一件趣事。要想理解这个笑话，我们首先需要回忆一下圆周率的值以及它在历史上是怎样测量的。

我之前说过，π=3.14只是近似值，因为圆周率π是一个著名的无理数。这意味着我们无法完全精确地确定它的值，因为它的数位会无限延续下去，而且没有任何规律。不过，早期数学家的任务是超越3.14这个现成的粗略估计值，尽可能准确地测量这个捉摸不定的数。

公元前3世纪，阿基米德第一次认真地对圆周率进行了相对准确的测量。他知道，对圆周率的准确测量取决于对圆周的准确测量。这显然很困难，因为圆是由弧度很大的曲线组成的，不是由直线组成的。阿基米德的重大突破是用直线逼近圆的形状，以回避测量曲线的问题。

考虑直径（d）为单位1的圆。我们知道C=πd，这意味着圆的周长（C）等于π。接着，画两个正方形，一个在圆的外面，一个在圆的里面。

圆的实际周长一定小于大正方形的周长，大于小正方形的周长。所以，如果我们测量正方形的周长，我们就可以获得圆周长的上界和下界。

大正方形的周长很容易测量，因为它的每条边与圆的直径等长。我们知道，圆的直径是单位1。因此，大正方形的周长为4×1=4。

小正方形的周长计算起来稍微复杂一些。我们可以用毕达哥拉斯定理确定每条边的长度。正方形的对角线与两条边恰好构成了一个直角三角形。这个直角三角形的斜边长度（H）不仅等于正方形的对角线，而且等于圆的直径，即单位1。根据毕达哥拉斯定理，斜边的平方等于另外两条边的平方和。如果我们将正方形的边长记作S，那么H☒=S☒+S☒。如果H=1，那么另外两条边的长度一定是。因此，小正方形的周长为。

圆的周长一定小于大正方形的周长，大于小正方形的周长，所以我们可以充满信心地宣布，圆的周长一定在2.83和4.00之间。

还记得吗？我们之前说过，如果一个圆的直径是单位1，那么它的周长等于π。所以，π的值一定位于2.83和4.00之间。

这就是阿基米德的伟大发现。

你也许不会感到震撼，因为我们已经知道圆周率π约等于3.14,2.83的下界和4.00的上界不是很有用。不过，阿基米德这项突破的威力在于，它可以得到改进。在用大小正方形进行计算以后，他又把圆框在大小六边形之间。如果你有10分钟的闲暇时间以及一些处理数字运算的信心，你就可以算出两个六边形的周长，证明圆周率一定位于3.00和3.464之间。

六边形的边多于正方形，因此它可以更好地逼近圆。所以，它才会得到更加严格的圆周率上下界。不过，这个上下界的范围仍然很大。因此，阿基米德用边数越来越多、与圆越来越接近的多边形重复了上述方法。

实际上，阿基米德最终用到了两个九十六边形，算出了它们的周长。这是一个令人震撼的壮举。不要忘了，阿基米德没有数位知识，无法使用现代代数表示法，而且需要亲手完成所有烦琐的计算。不过，他的努力是值得的，因为他将圆周率的真值限制在了3.141和3.143之间。

8个世纪以后，公元5世纪，中国数学家祖冲之将阿基米德的方法推进了一步——准确地说，是推进了12,192步——他用两个12,288边形证明了圆周率的值位于3.1415926和3.1415927之间。

这种多边形逼近方法在17世纪达到了顶峰。例如，荷兰数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolyuph van Ceulen）用边数超过四百亿亿的多边形将圆周率计算到了小数点后第35位。他于1610年去世后，人们在他的墓碑上写下了这样的内容：圆周率大于3.14159265358979323846264338327950288，小于3.14159265358979323846264338327950289。

你可能已经发现，测量圆周率π是一项艰巨的任务，这项任务可能会永远持续下去。这是因为，π是无理数。那么，更加精确地计算圆周率是否有意义呢？我们将在本书后面的章节中讨论这个问题。现在，我们已经介绍了关于圆周率的许多重要信息，它们足以充当“再见，书呆子”中数学笑话的背景知识。

这一集的情节集中于对书呆子的欺凌。美国教育家查尔斯·J.赛克斯（Charles J. Sykes）在1995年写下了一句至理名言：“请以友好的态度对待书呆子，因为你将来可能会在某个书呆子手下工作。”不过，对于书呆子的欺凌目前仍然是一个全球性问题。当丽莎试图解释坏小子们为什么总是将书呆子作为欺凌对象时，她怀疑书呆子可能会散发出一种将自己标记为受害者的气味。她说服学校里一些最具书呆子气的朋友通过运动出汗，以便让她对他们的汗液进行收集和分析。经过大量研究，她最终分离出了每个“呆子、技术宅和四眼”都会散发出的一种信息素，它可以解释这些人招人欺负的原因。丽莎将这种信息素命名为“波因德克斯特罗斯”，以纪念1959年动画片《菲利克斯猫》中的神童波因德克斯特（Poindexter）。

为了检验她的假设，丽莎将一些波因德克斯特罗斯涂抹在正在访问学校的前拳击手、强壮的德雷德里克·塔特姆的外套上。果然，这种信息素招来了学校里的坏家伙纳尔逊·芒茨（Nelson Muntz）。纳尔逊明知挑衅前拳击手是一件荒谬而不恰当的事情，但他还是无法抵挡波因德克斯特罗斯的诱惑，拉开了塔特姆的内裤。丽莎得到了她所需要的证据。

丽莎对她的发现感到非常激动，她决定在第12届年度科学大会上发表一篇论文“通过空气传播的信息素与坏小子的攻击性”。会议由春田最受人喜爱的教授、性格木讷的小约翰·内德尔鲍姆·弗林克（John Nerdelbaum Frink Jr.）主持。当弗林克介绍丽莎时，观众的情绪非常激动，因此他很难维持会场的秩序。到了最后，沮丧而绝望的弗林克喊道：“诸位科学家……诸位科学家！请保持一定的秩序。请遵守纪律，眼睛向前看……手背后……集中注意力……圆周率等于三！”

人们突然安静下来。弗林克的方法成功了，因为他明智地意识到，宣布圆周率的精确值可以镇住一群书呆子。经过几千年的努力，人类已经把圆周率测量到了令人难以置信的精确度。现在，怎么有人敢用3替代3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513……！

这种场景使人想起了科罗拉多大学历史学家哈维·L．卡特教授（Professor Harney L. Carter,1904—1994）写的一首打油诗：

 

这是我最喜欢的项目，

为圆周率设置一个新值，

我会让它等于3。

因为你知道，

它比3.14159更简单。

 

不过，卡特这首神秘的打油诗并不是弗林克那句愤怒声明的来源。阿尔·让解释说，他之所以设计出“圆周率等于三！”这句台词，是因为他不久前听说了印第安纳1897年发生的一件事。当时，那里的政客试图通过立法确定圆周率的官方值（这个值错得离谱）。

这部《印第安纳圆周率法案》的正式名称是《1897年印第安纳州议会会议第246号众议院法案》，它是印第安纳州西南角索里图德镇的物理学家爱德温·J．古德温（Edwin J. Goodwin）的智慧结晶。古德温参加了议会，提出了一个法案，其中心内容是他对“化圆为方”问题的解决方案。化圆为方是一个古老的问题，已于1882年被证明是无法解决的。古德温复杂而自相矛盾的解释中包含下列与圆的直径有关的内容：

“……第四个重要事实是，直径与周长之比是四分之五比四。”

周长与直径之比等于圆周率π。所以，古德温实际上规定了π的值：

古德温表示，印第安纳的学校可以免费使用他的发现，但是其他州希望将3.2作为圆周率使用的学校需要交纳版税，这笔收入可以由他和政府分享。由于这项法案涉及技术问题，因此政客们最初被唬住了。众议院将皮球踢给了财务委员会，财务委员会将其踢给了湿地委员会，湿地委员会又将其踢给了教育委员会。在教育委员会，由于没有人理解这个问题，因此委员们一致通过了这项法案。

此时，轮到参议院审批这项法案了。幸运的是，当时担任普渡大学印第安纳西拉法叶分校数学系主任的C. A．沃尔多教授（Professor C. A. Waldo）此时正在州议会大厦讨论印第安纳科学院的经费问题。经费委员会的某个委员刚好向沃尔多介绍了这个法案，并且提出可以把他引见给古德温博士。沃尔多回答说，不必了，因为他认识的蠢货已经足够多了。

经过沃尔多教授的耐心解释，参议员们发现了问题，他们开始嘲笑古德温和他的法案。《印第安纳玻利斯日报》引用了参议员奥林·哈贝尔（Orrin Hubbell）的话：“比起通过法律确立数学事实，参议院还不如规定水应该往山上流。”因此，这个法案第二次征求意见时，议员们成功做出了无限期搁置该法案的决定。

弗林克教授“圆周率等于3”的荒谬陈述可以很好地提醒我们，古德温被搁置的法案仍然存在于印第安纳州议会大厦地下室的文件柜里，等待着某个容易上当的政客将其“复活”。