2.3 信息在计算机中的表示

2.3.1 数值数据在计算机中的表示

1．无符号整数的表示

数值计算是现代计算机的基本功能之一，日常生活中的许多任务都涉及大量的数值计算。为了完成各种数值计算的任务，首先要解决的是决定各种类型的数值如何在计算机中表示的问题。无符号整数是计算机可以处理的最简单的数值类型。以字长为16的计算机为例，一个无符号整数通常表示为一个16位二进制数，例如无符号整数100被表示成二进制数0000000001100100。

由于在字长为16的计算机中，一个整数被表示成两个字节。因此能表示的无符号整数的范围是有限的：最小的整数是0（二进制数0000000000000000）；最大的整数为65535（二进制数1111111111111111）。一般而言，字长为 N的计算机所能表示的无符号整数的范围为0～2N-1。

二进制无符号整数的运算规则同十进制是类似的。以加法为例，在十进制运算中，遵循“逢十进一”的原则；但在二进制运算中，则遵循“逢二进一”的原则。例如：

在上述加法运算中，由于被加数和加数最右边的二进制位均为1，故而相加后执行进位。被加数右边第2位是1，加数右边第2位是0，两者相加不进位，但由于还需要与来自右侧的进位1相加，所以还会产生进位。

两个数的运算结果可能会超出表数的范围。以加法为例，两个位于表数范围内的无符号整数，其运算结果完全可能大于65535，这时一般称运算发生了溢出。如果运算发生溢出，则运算结果是不正确的，程序员需要对溢出的运算结果进行专门的处理。

与此相关的另一个问题是如何处理超出表数范围的无符号整数。此时，只能由程序员编写专门的大数处理程序，将一个超出表数范围的数分解成多段进行处理。

2．有符号整数的表示

整数有正有负，计算机中也必须能够处理有符号的整数。计算机中常用补码表示有符号的整数。在补码表示中，零和正整数的补码表示同无符号整数一样。例如，在字长为16的计算机中，0的补码表示为0000000000000000, +1的补码表示为0000000000000001, +2的补码表示为0000000000000010，以此类推，+32767的补码表示为0111111111111111。

负整数的表示不那么直观，一个负整数的补码表示通常可通过下列步骤得到：

（1）将该负整数转变为相反数。

（2）将该相反数转换为二进制数。

（3）将该二进制数按位求非（也称按位求反）；也就是说，把是0的位转换为1，而把是1的位转换成0。

（4）将以上运算得到的数加1。

例如，要在字长为16的计算机中表示有符号整数-100。首先，它的相反数是+100，其对应的二进制数是0000000001100100，按位求非后得到1111111110011011。再将所得的二进制数加1，即

也就是说，-100的补码表示为1111111110011100。按照同样的办法可知，-1的补码表示为1111111111111111, -2的补码表示为1111111111111110, -3的补码表示为1111111111111101，以此类推，-32768的补码表示为1000000000000000。

在字长为16的计算机中，有符号整数的补码表示方案可用表2-3来表示。

从表2-3可以看出，由于16个二进制位最多可以表示65536个不同的二进制数，整个表数空间被分成了两个部分：最高位为0的部分被用来表示零和正整数；最高位为1的部分被用来表示负整数。因此从表数范围看，采用补码表示方案，字长为16的计算机可以表示的有符号整数的范围为-32768～+32767。一般而言，对于字长为N的计算机而言，采用补码表示方案，可以表示的有符号的整数的范围为-2N-1～2N-1-1。

为什么这种表数方案被称为补码表示方案呢？原因是在补码表示方案中，一个负整数实际上是用该数的相反数的补数来表示的。以字长为16的计算机为例，1相对于65536的补数是65536-1（即65535），其二进制表示为1111111111111111，所以 -1的补码表示为11111111111111111;100相对于65536的补数是65536-100（即65436），其二进制表示是1111111110011100，故-100的补码表示为1111111110011100。也就是说，如果把X以及-X的补码表示均视做无符号整数的话，则X的补码与-X的补码之和是2N（N是计算机的字长）。

由于采用补数来表示某数的补码，对于一个补码表示的二进制数，人们直观上有时看不出它所表示的实际数字。若已知某数的补码表示为aN-1aN-2…a1a0（ai=0或1;0≤i≤N-1），则该补码表示所对应的十进制数为

采用补码方案表示有符号整数，尽管不是很直观，但带来运算上的方便。同其他一些表示方案相比，补码表示法在运算时不用考虑符号位的问题，作为符号位的最高位可以和其他位一样参与运算。仍以加法为例，考虑在字长为16的计算机中，计算-14与+9的和，可知-14与+9的补码表示分别为1111111111110010和0000000000001001，则两者相加可以直接按照无符号整数相加的规则进行，即

而运算结果1111111111111011正好是-5的补码表示，即-14 +9 =-5。在补码表示方案中，减法也可以很容易地转换为加法进行。例如，9-14可以转换成9+（-14），因此只需把9和-14的补码相加，即可得到两者的差。