1.4 复变函数

复变函数是以复数为自变量的函数，其概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。1774年前后，瑞士数学家欧拉和法国数学家达朗贝尔在研究流体力学时，开始了复变函数的研究。

复变函数的全面发展是在19世纪，法国数学家柯西、庞加莱、阿达玛，德国数学家黎曼、维尔斯特拉斯，瑞典数学家列夫勒（维尔斯特拉斯的学生）等都做了大量的研究工作，开拓了复变函数更为广阔的研究和应用领域。

复变函数的应用面很广，如在物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来进行的。这门学科的起步初期，在流体力学、空气动力学、曲面结构方面应用较多，随着工程技术研究的发展，扩展到了更为广泛的领域，并解决了不少工程实际问题，这其中也包括电学领域。

在电学领域，复数表示为Z=x+jy，其中j为虚数单位（在电学领域，虚数单位多用j表示，以便与电学领域的物理量符号明显区别开，而在其他领域，虚数单位多用i表示）。

复数Z的实部Re(Z)=x，虚部Im(Z)=y，复数的模，任意两个复数都不能比较大小。

复数常用的表达形式有以下三种。

常规表达形式：

Z=x+jy

三角函数表达形式：

Z=r(cosθ+jsinθ)=rcosθ+jrsinθ

自然数e的表达形式：

Z=rejθ =r(cosθ+jsinθ)

常用的复数运算公式如下。

设定两个复数：

表1-2列出了复数常用的计算公式。

1.4.1 拉氏变换

拉氏变换是复变函数中一个重要的内容，英文名为Laplace Transform，由法国著名数学家拉普拉斯创立，主要运用于现代控制领域，和傅氏变换并称为控制理论中的两大变换，它是为简化计算而在实变量函数和复变量函数间建立的一种函数变换。

计算过程是先对一个实变量函数进行拉氏变换，并在复数域中进行各种运算，最后对运算结果进行拉氏反变换，从而求得实数域中的相应结果，这往往比直接在实数域中求解要容易得多。拉氏变换对求解线性微分方程尤为有效，可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理。

另外，可以将拉氏变换中的s理解为架在时域和频域之间的一座桥梁，如果进行频域分析，则s=jω,ω =2πf；如进行时域分析，则，也称为微分算子。拉氏变换的物理意义是将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，或相反变换。对时域f(t)来说，其变量t是实数，而对复频域F(s)来说，其变量s是复数。变量s又称为复频率。拉氏变换建立起了时域与复频域（s域）之间的联系。

通俗的方法是，将电路中的电感和电容均看成电阻，其阻值分别为x=jω L（电感）、（电容），然后将电路按照普通的电阻串并联计算即可。

拉氏变换的标准计算表达式为

拉氏反变换的标准计算表达式为

几个重要的拉氏变换及逆变换如表1-3所示。

1.4.2 Z变换

Z变换可将离散时域信号变换为复频域的表达式，它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。

离散时间序列x[n]的Z变换定义为

Z=eα+jω=eα(cosω +jsinω)

式中，α为实变数，ω为实变量，所以Z是一个幅度为eα、相位为ω的复变量。x[n]和X(Z)构成一个Z变换对。

公式（1.12）的Z变换指双边Z变换，双边Z变换对左边序列（n<0）和右边序列（n≥0部分）进行Z变换，单边Z变换只对右边序列（n≥0部分）进行Z变换。单边Z变换可以看成双边Z变换的一种特例，对于因果序列，双边Z变换与单边Z变换相同。

单边Z变换定义为

Z变换有线性、序列移位、时域卷积、频移、频域微分等性质，这些性质对于解决实际问题非常有用，其性质均可由正反Z变换的定义式直接推导得到。常用的Z变换性质计算公式见表1-4。

常用Z变换对见表1-5。

已知Z变换X(Z)，求对应的离散时间序列x[n]称为Z变换的反变换。Z仅变换的定义式为：

Z反变换是一个对Z进行的围线积分，积分路径C是一条在X(Z)收敛环域（Rx-, Rx+）以内逆时针方向绕原点一周的单围线。