1.8 PID控制数学基础

PID调节是控制领域里很常用的一个基础性控制调节方法。调节中有很多的经验值可以参考运用，也有工程师总结了如下调节口诀。

参数整定找最佳，从小到大顺序查。先是比例后积分，最后再把微分加。

曲线振荡很频繁，比例度盘要放大。曲线漂浮绕大弯，比例度盘往小扳。

曲线偏离恢复慢，积分时间往下降。曲线波动周期长，积分时间再加长。

曲线振荡频率快，先把微分降下来。动差大来波动慢。微分时间应加长。

理想曲线两个波，前高后低4比1。一看二调多分析，调节质量不会低。

但透彻理解PID调节，最好了解一下其理论的来龙去脉。首先限定讨论范围为线性时不变系统，虽然它在现实中并不存在，但是可以在一定条件下近似为线性时不变系统，或者等价为类似系统与误差项和干扰项的叠加。

看一个系统的响应速度快不快，看它的时域解是最直接的思路。例如，对于如图1-16和图1-17所示的一阶系统，其传递函数为

式中，RC=T。其单位阶跃响应的解为

可见其稳态值为1，达到稳态的时间

t s≈ 5T

即当ts=5T时，。

由此可见，改变参数T，就能改变响应的速度。如果能让T变小，那么响应时间就会变短。

如果引入反馈的比例控制，如图1-18所示，其闭环传递函数为：

其解为：

响应时间为：

可见增益越大，系统响应就越快。再看二阶系统：

阶跃响应的解为：

式中

对于标准二阶系统，其稳态值也是1，其达到稳态的时间为：

由上式可以看出，如果改变二阶系统的参数，系统的响应时间也会随之改变。

控制器的任务一是稳定系统，二是提升系统动态性能，可用频域法分析来完成这两个目标。假定输入是频率和幅值变化的周期性信号，由傅里叶变换可知，周期信号均可以化解成一系列的正弦波叠加的形式，所以基于正弦波来讨论系统的动态特性，会比较通用。

假定输入为u(t)=Asin(Ωt)，如：

如果输入信号u(t)=sint，即幅值为1，频率为1rad/s的正弦波信号，则结果如图1-19所示。

由图1-19可看出，输入和输出略有偏差，但是很接近。若输入改为u(t)=sin(10t)，则结果如图1-20所示，幅值变小，相位也发生了延迟。

再将输入改为u(t)=sin(50t)，则结果如图1-21所示，这时输出幅值和相位会发生变化，幅值缩小，相位延迟。

当输入的频率大于某个值ωB之后，系统的输出小到可以忽略不计，ωB就称之为带宽。通俗来讲，在ωB以下输入时，系统对其响应明显；大于ωB的输入，系统响应就很低。

如果把输入频率从0开始，一直变化到无穷大，并记下每个频率上的幅值和相位的变化，那么就可得到一个频率响应图（也称为伯德图）。

以上为实验方法，还可以用拉普拉斯变换来分析此问题，即令s=jω,G(s)=G(jω)，然后看其幅值和相位。如果令拉普拉斯变换里面的s=jω，则拉普拉斯变换就会退化为傅里叶变换。拉普拉斯变换在复数域，不仅包含了频域的稳态信息，还包含了瞬态的信息；而傅里叶变换仅仅包含了在频域下的稳态信息，所以由G(jω)即可算出G(s)在不同频率ω下的幅值和相位的信息。例如，传递函数

令s=jω，当ω=0时，有

在复数域下可知，这个数幅值为1，相位为0，所以在直流输入的情况下，G(s)是等于其原信号的。

再看在一个频率为1rad/s（等同于u(t)=sint）的正弦波的输入下，令s=j1，

在复数域下可知，0.5-0.5j这个数幅值为0.707，相位为-45°，与时域分析里面的仿真波形（见图1-20）完全符合。

再使输入频率趋向于无穷大，即

其幅值为

相位为

deg(G(j∞))=deg(1)-(1+j∞)=0-90°=-90°

可知，对于高频的响应，其幅值趋向于0，相位趋向于-90°。

综上所述，当输入的ω小于1/T时，系统的输出是能大致跟随输入的；当输入的ω大于1/T时，系统的输出是基本不能跟随输入的。在这里，系统的带宽。

二阶系统的例子与其类似，只不过其带宽是由中的ω决定的。

带宽大的系统响应速度会快，但也会带来很多副作用，首先就是会对噪声敏感。高频噪声是普遍存在的，如果系统的带宽小，那么高频噪声的放大系数就会很低，系统不会受到大的影响；而带宽大了，不仅对高频的正常激励信号有响应，对同处高频段的噪声也会有较大的响应。

其次，高带宽系统需要更高速度的传感器和控制器，一般控制器和传感器的速度应该是被控对象的5～20倍，不仅硬件成本高，而且要求数值计算的精度也高，对于延迟的忍耐度也更低。

以上为PID控制的数学基础，通过传递函数的推导，了解到可以通过比例放大系数、积分系数、微分系数的调节实现控制系统的快速响应、较轻振荡。图1-22所示为PID控制系统结构，具体的计算过程如下。

PID调节器的微分方程为

式中，e(t)=r(t)-c(t)。PID调节器的传递函数为

数字PID控制器的差分方程为

式中，uP(n)=KPe(n)，为比例项；，为积分项；e (n-1)]，为微分项。剩下的就是通过电路或编程实现上面的差分方程了。