1.6 傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶（Fourier）是一位法国数学家和物理学家，他于1807年在法国科学学会上提交了一篇论文，论文论述运用正弦曲线来描述温度分布的方法，论文里有个在当时具有争议性的结论：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

当时审查这篇论文的拉格朗日坚决反对此论文的发表，认为傅里叶论文中的方法无法表示带有棱角的信号，比如在方波中出现非连续变化的斜率的情况。

从学术的严谨角度来说，拉格朗日是对的，正弦曲线确实无法组合成一个带有棱角的信号（即斜率变化非连续的状况）。但如果用正弦曲线的叠加来无限地逼近这个带棱角信号，一直达到两种表示方法的差别远小于我们所允许的误差的话，那这种方法也还是可以用的。因此，傅里叶的描述在工程上是具有实用价值的。

为什么要用正弦/余弦曲线来叠加表示原来的曲线呢？除了可以近似相等，就没有别的考虑吗？这里为什么不用方波或三角波啊？实际上正弦/余弦信号还是具有自己独特的优势的。

正弦/余弦拥有其他类型信号所不具有的特性：曲线保真度。也就是说，一个正弦/余弦曲线信号输入后，输出的仍是正余弦曲线，只有幅度和相位可能会发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的，而且只有正弦/余弦曲线才拥有这样的性质，其他曲线都不能保证这一点。那为什么会有曲线保真度呢？请读者自行查阅相关教学资料。

电子信号源有四种不同的信号，分别是非周期性连续信号、周期性连续信号、非周期性离散信号、周期性离散信号。与这四种信号类型相对应，就产生了四种傅里叶变换形式，如表1-6所示。

这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的长度是无限的，但这对于计算机处理实际问题来说是不可能的，所以在设计上必须首先将有限的实际信号转换成无限长的信号。

但方法总比问题多，例如，把信号无限地从左到右进行延伸，延伸出去的部分用0表示，这个信号就可看成非周期性离散信号，就可以用到离散时域傅里叶变换（DTFT）的方法。

如果把信号以“复制”“粘贴”的方式延伸，就变成了周期性离散信号，可以用离散傅里叶变换方法（DFT）进行变换。

计算机时代的到来，设计师在软件的信号处理方面，面对的都是离散信号，而且计算机只能处理离散的、有限长度的数据。因此，只有离散傅里叶变换（DFT）才适合离散信号的变换，本书中的傅里叶变换的中心也将放在DFT的应用上。

1.6.1 傅里叶级数

对于周期函数，其傅里叶级数总是存在的。

Fn是复幅度，对于实值函数，傅里叶级数可以写成

1.6.2 傅里叶变换

连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数（Fourier Series）的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数总是存在的。

傅里叶变换是一种线性的积分变换，如果不加修饰定语的话，一般默认指的是连续傅里叶变换。傅里叶变换的基本思想是由法国数学家傅里叶首先系统地提出，并以其名字来命名的。连续傅里叶变换可将平方可积的函数f (t)表示成复指数函数的积分或级数形式。

傅里叶变换本质上是一种从时间到频率的变化或两者的相互转化，其展开式如下

δ函数的傅里叶变换为

一些傅里叶变换及逆变换公式如下

傅里叶变换的性质如下，这里F[f(x)]=F(ω)。

（1）相似性质：

（2）延迟性质：

（3）位移性质：

（4）微分性质：

（5）积分性质：

我们可以利用傅里叶变换的微分和积分性质求解微积分方程。

1.6.3 傅里叶变换与工程应用

给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数

式中，j为虚数单位，ak可以按下式计算。

设

它是周期为T的函数，故k取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。

● k=0时，公式（1.14）中对应的项称为直流分量；

● k=1时，具有的基波频率，称为一次谐波或基波。

以此类推，类似的还有二次谐波、三次谐波等。

傅里叶变换的工程应用是对信号先做傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号相叠加的形式，然后将其中不要的频率分量给滤除掉，最后进行傅里叶逆变换，就可得到想要的时域信号。这就是数字滤波器的根本操作原理。