黑洞和几何
除此之外，正质量定理也引导孙理察和我去证明了另一个与广义相对论有关的著名问题，这次的问题是关于黑洞。一提起黑洞之类的奇异天体时，恐怕绝大多数人心里不会想到几何学。然而几何学和黑洞有着莫大关系，通过几何学，即使在还没有明确的天文学证据时，人们也能够讨论黑洞的存在性。这是广义相对论几何学的重大胜利。
早在20世纪60年代，霍金（Stephen Hawking）和彭罗斯（Roger Penrose）借由几何学（不过和此处所讨论的几何学不一样）和广义相对论的定律，证明了如果“囚陷曲面”（trapped surface，亦即极度弯曲、光线无法逃脱的曲面）存在，那么这个曲面最终会演变成那种一般认为存在于黑洞中心的奇点，时空曲率在此将趋近于无穷大。如果身处在黑洞附近，当你往黑洞中心移动时，时空曲率会持续增加。一旦曲率没有上限，它就会不断变大，一直到抵达黑洞中心时，曲率是无穷大。
图3.10a 剑桥大学物理学家霍金（照片提供：Philip Waterson, LBIPP, LRPS）
图3.10b 牛津大学数学家彭罗斯（照片提供：Robert S. Harris〔London〕）
图3.11 球面愈小，它的形状就愈弯曲。反过来说，当球面半径趋近无穷大时，其曲率趋近于零
这就是曲率奇怪的地方。当我们在地球表面行走时，根本感觉不到地球的曲率。因为地球约6400千米的半径，对于我们的6尺之躯，实在太巨大了。但如果我们走在一个半径仅3或6米的行星，例如圣修伯里（Saint-Exupéry）书中小王子所居住的那颗小星球，就不能忽略它的曲率了。球面的曲率与半径的平方成反比，当半径趋近无穷大，曲率趋近于零；反之，当半径趋近于零，曲率就会暴增，直奔无穷大而去。
那么现在假想，有一个普通的二维球面，它的整个表面同时放出光芒。此时，光线会向内和向外发散。向内的光线所形成的曲面，面积会急剧减小，到球心时缩小成一点；而向外光线的曲面面积则会逐渐增大。但如果是囚陷曲面则不然，无论是向内或向外移动，曲面面积都会减小。[9]不管朝哪个方向走，你都被困住了，根本没有出路。
怎么可能呢？可能的原因之一，在于这就是囚陷曲面的定义。更深入的解释是因为囚陷曲面有着非常巨大的“正均曲率”（positive mean curvature）。即使是向外射出的光线都会因为这个巨大的曲率而又再弯回来，就好像天花板、地板和墙壁都不断压缩着光线，以至于光线最后都汇聚到中心。“如果曲面面积一开始就是渐减的，它会因为聚焦效应而持续减小。”我的同事孙理察解释道：“你也可以想象球面上，以北极为起点的大圆，离开北极后它们会彼此拉开，但因为球面的曲率是正的，最后大圆会开始敛聚，最终聚集在南极上。正曲率就有这种聚焦效应。”[10]彭罗斯和霍金证明了，囚陷曲面一旦形成，就会退化成光线无法从中逃脱的物体，也就是所谓的黑洞。但究竟要怎样才能形成囚陷曲面呢？在孙理察和我着手研究这个问题之前，人们多半是笼统地说，如果某区域的物质密度够大，自然就会形成黑洞，但这样的说法不免显得含糊其辞，论点不够扎实。当时还不曾有人为这个命题给出清楚、严格的表述，而这就是我们准备对付的目标，采取的策略仍然是我们证明正质量定理时所用的最小曲面。
我们想要知道的是，能够产生囚陷曲面的明确条件。1979年，我们证明了：当某一区域的密度达到中子星的两倍时（中子星的密度是水的100兆倍），曲率会大到必然可以形成囚陷曲面。把我们的论证以及霍金和彭罗斯的证明合并起来看，即可明了黑洞必定存在的条件。更确切地说，我们证明了当一个天体的物质密度稍大于中子星时，它会直接塌陷成黑洞，而非其他状态。这项纯粹出于数学的发现，不久就经由观测得到确认。另外，就在数年之前，苏黎世联邦理工学院的克里斯托杜娄（Demetrios Christodolou）提出了另一种经由引力塌陷而形成囚陷曲面的机制。[11]
大约在2005年左右，芬斯特（Felix Finster）、卡兰（Niky Kamran）、史莫勒（Joel Smoller）和我考虑自旋黑洞在面临某种扰动时是否会保持稳定的问题。结果可以这样说，当你用某些方式去“踢”这类黑洞时，它们不会分成两半、转速太快以致失控，或是整个碎裂开来。虽然这项研究结果看来很稳固，但它仍不算完成，因为我们不能排除其他五花八门的“踢法”可能会造成不稳定。
两年之后，对于一个由彭罗斯所提出、长期未解的黑洞问题，芬斯特、卡兰、史莫勒和我给出了相信是第一个严格的数学证明。1969年，彭罗斯提出一种借由减少黑洞的角动量，而从旋转中的黑洞取得能量的机制。在他设想的情境里（称为“彭罗斯过程”），一块回旋卷向黑洞的物质可能会被撕裂成两块，一块跨过“事件视界”（event horizon）掉入黑洞，另一块被拋掷出来，带着比原先卷入时更大的能量。我们考虑的不是粒子，而是类似的、朝向黑洞运动的波，然后证明了彭罗斯过程的数学是完全确当的。2008年，在哈佛大学一场几何分析会议上讨论我们的证明时，史莫勒开玩笑说，有朝一日我们或许可以利用这项机制来解决能源危机。
虽然几何学家协助解开了好些关于黑洞的谜团，但现在对黑洞的研究主要还是落在天文物理学家手里。目前他们所做的观测，几乎已能抵达黑洞事件视界的边缘。所谓事件视界，是人们观测所能及的极限，因为超过事件视界之后，黑洞的强大引力将使得包括光线在内的一切物体都无法挣脱再跑回来。然而，若不是有霍金、彭罗斯、惠勒（John Wheeler）和索恩（Kip Thorne）以及其他理论学家的研究为基础，或许天文学家根本就不会有那么大的信心去寻找黑洞。