从微积分到微分几何

就本书所讨论的发展脉络而言，下一个重大贡献来自于笛卡儿（需要说明的是，在此略而未提的许多大数学家，并不表示他们的贡献并不重要）。正如第1章所述，笛卡儿导入了坐标系，使得数学家能够思考任何维度的空间，并且用代数来解决几何问题，从而大幅扩展了几何的视野。在他改写这个领域之前，几何学差不多就局限在直线、圆和圆锥曲线（conic sections）的讨论，圆锥曲线就是以不同角度切开一个无限长的圆锥时所得到的曲线，如椭圆、拋物线、双曲线。但一旦有了坐标系，一些本来不知道该如何描绘的复杂图形，便立刻可以借由方程式来描述。以xn+yn=1为例，使用笛卡儿坐标，我们可以解出这个方程式，然后再画出其曲线。在坐标系出现之前，我们不知如何画这样的图形。因此在以前遇到死路的地方，笛卡儿为我们指引了前进的方向。

大约在笛卡儿分享解析几何的概念五十年之后，牛顿（Isaac Newton）和莱布尼兹（Gottfried Leibniz）发明了微积分，把这条道路拓展得更宽广。其后数十年到数百年，欧拉（Leonhard Euler）、拉格朗日（Joseph Lagrange）、蒙日（Gaspard Monge）等数学家将微积分工具结合进几何里，而其中最重要的大概要属高斯（Carl Friedrich Gauss）的贡献了，经由他的指引，“微分几何”（differential geometry）这个领域终于在19世纪20年代成熟。微分几何把曲面摆到笛卡儿坐标系中，因而能使用微分的技巧加以详细分析（微分是找出平滑曲线斜率的技巧）。

微分几何的发展自高斯时代起即不断演进，诚然是一项重大成就。有了微积分工具之后，几何学家可以用较以往清晰的方式来刻画曲线和曲面的性质。几何学家通过微分来获取此类信息，其中微分就是求取导数（derivative），也就是测量函数如何随着输入值而变化的情形。

我们可以把函数想成是一种算则或公式，它收到一个输入的数，相应的就产生一个输出的值。以y=x2为例，给它x值，就可以产生y值，也就是x值的平方。函数具有一致的性质，如果你喂给它相同的输入值，就会得到相同的输出值。譬如在本例中，输入2，得到的必定是4。而导数则是用来描述当输入值变化时，输出值如何变化。导数值反映了当输入值发生微小改变时，输出值变化的敏感度。

图2.2 我们可以用“积分”这个微积分的技巧来计算曲线围成的面积。把围成的区域分割成非常细小的矩形，再把所有矩形的面积相加起来，就可以得到面积的近似值。矩形的宽度愈窄，得到的近似值就愈准确：当分割到无穷小时，所得到的就是你要的值

导数并不只是某种抽象的概念，它是可经由计算得到的真实的数，能够明确告诉我们曲线或是曲面在某一点的斜率。比如说，在上述的例子里，我们可以明确决定该函数（这是一条拋物线）在x=2这一点的导数。如果我们从x=2移开一点点，例如移到x=2.001, y值会起什么变化？如果计算到小数点后三位的话，y值是4.004。而导数是输出值变化（0.004）对输入值变化（0.001）的比值，刚好是4。事实上这正是函数在x=2这一点的导数；或者换个说法，它是这条曲线（拋物线）在x=2这一点的斜率。

如果选择更复杂、更多维的函数，计算当然会变得更困难；不过我们暂时还是回到这个例子。我们计算y值变化对x值变化的比值来求得导数。这是因为导数就是函数在每一点的斜率或倾斜程度，而斜率正是测量y如何随着x的改变而变化。

换个方式来想，考虑曲面上的一点。如果把这一点往旁边移动一些，对它的高度有何影响？倘若这个曲面大致是平坦的，则高度变化不大。但若是这一点位于陡峭的斜坡上，高度的变化就会明显许多。导数所表示的就是一点所在位置附近的曲面斜率。

我们当然没必要局限在曲面上的一个点。借由对曲面上的各点求导数，我们可以精确计算整个物体每一点的斜率。虽然任一点的斜率只提供了该点“附近”的局部信息，但我们可以把不同点的信息汇集起来，得到描述物体上任何一点斜率的一般函数。然后，借由“积分法”（integration，亦即微积分里相加与平均，基本上和微分相反的一种计算方法），可以推导出描述整个物体的函数。

如此一来，我们就可以了解整个物体的结构。这其实就是微分几何的核心思想，你可以单从导数所得到的局部信息，获得整个曲面的全盘面貌，揭露每一点上的几何特性或度量。

图2.3 在具有正曲率的曲面如球面，三角形的内角和大于180度，而且看似平行的直线可以相交，例如经线可以交会在南北极点。在曲率为0的平坦表面，亦即欧氏几何的平面上，三角形的内角和等于180度，平行线永远不会相交。在负曲率的曲面如鞍面上，三角形的内角和小于180度，而且平行线间的距离会愈来愈远