爱因斯坦的四维时空理论
描绘高维空间的早期重大突破之一来自笛卡儿（René Descartes）。这位17世纪的法国鸿儒身兼数学家、哲学家、科学家和作家等多重身份，但对我而言，他在几何学方面的成就，意义特别重大。笛卡儿的贡献之一，是教导我们如果用坐标取代用图形来进行思考，将有非常非常大的效用。他所发明的坐标系现今称为笛卡儿坐标或直角坐标，统合了代数和几何。狭义来说，笛卡儿指出一旦定出交于一点且彼此垂直的x, y, z轴，三维空间中的任一点只需要三个数字（x, y, z坐标）就可以明确标定。但他的贡献远远不止于此，他这神妙一笔，大幅拓展了几何学的视界。因为有了坐标系之后，我们就可以用代数方程式来描述不易形象化的复杂高维几何形体。
使用这个方法，你可以思考任何想要的维度，不只是（x, y, z），还可以是（a, b, c, d, e, f）或是（i, k, l, m, n, o, p, q, r, s）。所谓空间的维数，即决定此空间中任一点的位置时所需的坐标数目。借由这种系统，我们可以思考任何维数的高维空间，进行与其相关的各种计算，不再担心如何描绘这些空间的问题。
两个世纪之后，德国大数学家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）以此为出发点，大幅拓展了几何学的领域。黎曼在19世纪50年代研究弯曲空间的几何（称为“非欧几何”
，这个主题将在下一章继续讨论），了解到这些空间并不需要受限于维数。他展示了如何在这些空间上，精确计算距离、曲率和其他性质。1854年，黎曼在他的就职演讲里，讲述了日后被称为黎曼几何的几何原理，并且猜度了宇宙本身的维度性和几何性质。当时年仅二十多岁的黎曼，也正在发展一门数学理论，试图把电、磁、光和引力整合在一起，因而预见了一项科学家持续钻研至今的研究目标。虽然黎曼把空间从欧氏几何的平坦性和三维的限制中释放出来，但是数十年之内，物理学家对这想法并没有太多反应。他们之所以缺乏兴趣，或许是源自于缺乏暗示空间是弯曲的或者空间不止三维的实验证据所导致。结果就是，黎曼先进的数学根本超越了当时的物理学。结果，至少还要再等大约五十年，物理学家或者至少某位特定的物理学家出现之后才追上。这位物理学家，就是爱因斯坦（Albert Einstein）。
或许你已经知道，爱因斯坦的狭义相对论发表于1905年，日后他继续研究，最终完成了广义相对论。当爱因斯坦发展狭义相对论的时候，他援引了一个同样正由德国数学家闵可夫斯基（Hermann Minkowski）所探讨的想法，亦即，时间与三维空间不可分离地纠缠在一起，形成一个称为“时空”（spacetime）的新几何构造。在这个出人意料的转折里，时间本身被视为第四维，而数十年前黎曼就已经将它结合进他优雅的方程式里。
有趣的是，英国作家威尔斯（H. G. Wells）在此之前十年写下的小说《时间机器》（The Time Machine），即已预见相同的结果。诚如小说主角“时间旅人”所解释：“维度其实有四个，其中三个是我们称为空间的三个平面，第四个是时间。然而，人们却总倾向于要把前三维和第四维强加以虚假的区分。”[4]闵可夫斯基在1908年的一场演讲里，说了几乎相同的话，差别只在于，他用数学来支持这个看似荒唐的主张：“如此一来，单独的空间和单独的时间注定要化为幽影，唯有两者的结合方能保存一种独立的实在性。”[5]将这两种概念加以结合的理论基础，在于物体的运动不仅穿越空间，而且也穿越时间。所以若要描述四维时空（x, y, z, t）中的事件，我们需要四个坐标：三个空间坐标和一个时间坐标。
虽然这想法看似有点艰深，但其实可以用极平常的形式来表达。假设你和某人约好在购物中心见面，你会先记下那栋建筑物的位置，比方说第一街和第二大道的交叉口，然后约好在三楼见面。如此就定出了x, y, z坐标。唯一剩下的就是敲定时间，也就是第四坐标。一旦指明这四项信息，除非发生不可预期的意外，否则你的约会就确定了。但如果要采用爱因斯坦的说法来表示，你不能把这次约会看成是先决定地点，再决定时间。你们真正决定的，是这个约会事件在时空中的位置。
所以在20世纪初，我们的空间概念从自古以来一直抚育人类的三维安适小窝，一举跃升为玄奥隐晦的四维时空。此一时空概念构成了爱因斯坦随即建立的引力理论，也就是广义相对论的基础。但就像我们问过的：事情就到此为止吗？是否一切就停在四维，还是我们的时空观念可以再继续成长？1919年，一个可能的答案意外地以论文初稿的形式送给爱因斯坦审阅，论文作者是当时名不见经传的德国数学家卡鲁札（Theodor Kaluza）。
图1.4 由于我们无法描绘四维空间的图形，这里只是对四维“时空”的一个粗浅解说。时空的基本想法就是：我们世界的三个空间维度（以x, y, z轴表示）基本上和第四个维度（时间）是一样的。我们将时间想成是一个不断变动的连续变数，上图是在时间t1, t2, t3……时的空间坐标轴冻结画面。利用这个方式，我们希望能呈现整体四维的感觉，即三个空间维度再加上时间