1.2 费率与产量变异系数的单调性研究

虽然大家都知道产量的变异系数是风险的一个测度，但大家并不清楚产量的变异系数与费率的精确关系。

例如，如果产量服从Gamma分布G(y; α, β)，根据产量保险的定价公式(1.2)和表1.1有

其中，。而产量的变异系数为，我们无法判断其与费率P的关系。

本节证明了对于正态分布、Lognormal分布和Gamma分布，费率P与产量变异系数的关系是单调递增的函数关系。图1.1显示了单产服从正态分布时，费率与变异系数的关系。定理1.2给出了这个结果的具体证明。

这个结果的意义是：它解释了实证中逆向选择与产量变异系数的关系，它为费率确定找到了一个合适的简单代理，我们可以明确地使用产量变异系数来作为费率分区的依据。

定理1.2 假设单产随机变量Y 服从表1.1中的正态分布、Lognormal分布或Gamma分布。若Y 有均值 E(Y)＞0，标准差和变异系数，则式(1.2)中的费率为变异系数cv的单调增函数。

证明：(1)Y若服从正态分布N(μ, σ2)，则由表1.1知费率满足如下方程：

其中，。对P(x)求导数，可得

即P(x)关于x单调递增。

(2)Lognormal分布LN(μ, σ2), σ＞0。因为σ=[ln(cv2+1)]1/2，所以参数σ是cv的单调增函数。另外可以证明费率P(σ)是参数σ的单调增函数，所以费率也是cv的单调增函数。事实上，根据

即费率P(σ)是参数σ的单调增函数。

(3)两参数Gamma分布G(y; α, β), α＞0, β＞0。由表1.1知费率满足如下方程：

其中，。令u=βs，经过变量代换，P(α, β)可以重写为

因为α=1/cv2，如果费率P(α)是参数α的单调减函数，则P(α)是cv的单调增函数。事实上，令-，则

令fα(u)=0, u≤0, , u＞0，则fα+1(λα)=λfα(λα)，可得

根据Letac和Paine(1992)469页知

其中，，交换积分次序可得

费率P(α)是参数α的单调减函数，定理得证。