第二章 分数

分数的产生

在经过第一站的长途跋涉后，我们准备进入数的旅程第二站。在第一站，我们欣赏了自然数的风光，在这站我们将去欣赏一下分数的景色。

历史上，分数的出现是很早的。它的出现也是很自然的，作为自然数概念最早的推广，在人们学会记数与自然数的运算后不久就知道分数了。但对于不同的民族，分数产生的途径却并不相同。下面让我们去看一下历史上几种关于分数的不同的处理方式。

先来看看古埃及吧。

古埃及很早就有了分数的概念。不过，令现代人感到奇怪的是，古埃及人使用的分数仅是单分子分数，即分子为1的分数。当然，从某种角度上讲，单分子分数的产生是很自然的。想想当有许多人比如说10个人吧，平分一种食物时，每人就分得1/10。这种平分物品，每人取得一份的情况在当时大概是非常常见的吧。于是，由此引出单分子分数是自然的。不过，真正令人奇怪的是，除了个别的分数如2/3，埃及人引入特殊的符号表示外，对于其他的不是单分数的分数他们都要把它化作不同的单分子分数之和。如2/5记为3 15，意思是2/5=1/3+1/15。古埃及人为什么会用这种麻烦的方法呢？这种做法有没有什么实用的目的呢？这些都是令数学史家困惑的，也是值得进一步探讨的问题。当然，对此有一些猜测，但至今仍无定论。

比如，有人提到，这种方法用于解决食物分配和土地分配问题的时候，可以取得有益的结果。

例如有一个题：把7个面包分给8个人。每人应分得多少呢？我们的解答很简单，就是7/8。而古埃及人的解答形式为7/8=1/2+1/4+1/8。如果只是想知道每人获取多少，两种解答并看不出优劣。不过，在当时人们可能更经常面对的是实际的操作问题，即：应该如何分呢？

按我们通常所熟知的办法，为了每人获取7/8，可以把一个面包切七次，切成八块，每人取一块，如此进行七次就成了。但这样共需要切7×7=49次。

再来看看从古埃及人复杂的解答中我们可以获得什么更简单的分法吧。通过式子我们可以如下操作：取其中的4个面包每个切成两份，每人取一份，这样每人获取1/2个面包；取其中的2个面包每个切成四份，每人取一份，这样每人又获取1/4个面包；最后剩下的一个面包切成8份，每人取一份，这样每人又获取1/8个面包。于是，每人最终获取的面包数是1/2+1/4+1/8=7/8。然而如此操作时，却只切了4×1+2×3+7=17次就成功地解决了问题！

在古代，这样的问题恐怕是常常遇到的吧。尤其是当需要分的物品是兽肉之类难以分割的东西时，这种分法的优越性就更加明显了。不过，如果仅是如此，使得古埃及人采用了单分子分数的话，他们的做法就是得不偿失的了。因为，这样一点好处，远远无法抵消掉如此做所带来的缺陷。这主要表现在运算方面的烦琐上，对此下面我们会做简单介绍。

对古巴比伦，我们只想说明几点。其一，前面我们已经提到，在公元前1800～公元前1600，古巴比伦人已采用六十进制表示自然数。同样，他们的分数也是六十进制的。其二，他们在分数的表示上存在着与表示自然数同样的困境。一个符号作为分数可能表示21/60也可以表示20/60+1/602。这就造成他们记数法上更大的混乱。其三，对少数几个分数他们使用了特定记号，如1/2、1/3、2/3。这些特殊分数虽然是从量的度量中所得出的结果，但对古巴比伦人来说，在量的度量意义上是作为“整体”看待的，而不是一的几分之几。这正如我们把一角钱与一元钱对比时我们可以把一角钱看作1/10元，但又可以把一角钱本身看成是一个单位，作为一个整体对待是一样的道理。

再来看看古希腊罗马。

希腊人特别重视分数。从毕达哥拉斯学派那里，古希腊人相信自然界中的任何东西都可以用整数或整数的比表示。这种认识很可能来源于音乐。正如毕达哥拉斯本人发现的那样，任何振动的弦产生的普通音程，都与弦长度的简单数字比相对应。为了产生两个相差八度的音，我们首先让弦在它的全部长度上振动，然后在它的二分之一长度上振动；这样，一个八度音就对应于比2∶1。类似地，五度音程对应于3∶2，四度音程对应于4∶3……而听起来越动听越和谐的音程，表示它的分数就越简单。不和谐的音程其比更复杂，例如二度音程的比是9∶8，而半音的比是16∶15。由于音乐与数学的这种密切联系，音乐理论在西方甚至被称为分数的算术，成为当时数学的四大研究科目之一呢！此外，由于在希腊人的世界中，音乐与数学和哲学具有同等的重要性，所以希腊人在以上的事实中看到了一个迹象：整个宇宙都是根据来自分数的音乐谐声规律构建的。也正是由此毕达哥拉斯学派得出了“宇宙和谐论”。在这里，我们需要指出一点，希腊人在早期是把分数表示为两个整数的比。也就是说，分数在希腊来源于整数的比，而并非把分数看作数的整体。这种观点一直到希腊后期才有所改变。那时，人们开始把分数当作数的整体来看待了。如阿基米得用单词来表示分数，而且熟练地把比率转化为分数或者向相反方向转化。这个时期的天文学家使用了巴比伦六十进制的分数，并采用爱奥尼亚式的字母符号来记录。这大概是因为六十进位制的分数在天文计算中比较方便的缘故。

罗马人在计算时使用的是十二进位制分数。这是由于在实际计算中，经常遇到的分数是1除以2、3、4、6所得的结果。因此这些分数容易运用十二进位制分数予以表示。他们对2/12、3/12……11/12、1/24、1/36、1/48、1/96……都有专有的名称和符号。并且每个名称都有自己的来历。例如，罗马人把货币基本单位分成12等份，每一等份称为“盎司”。这个名称应用到分数上等于1/12阿斯。另外的分数，部分的可以从与盎司的比值中得到自己的名称。例如5/12盎司就称为五盎司。这正如我们的货币中1/10角相当于是一分；2/10角相当于二分等一样。用这种办法的一大好处是，在计算时利用这些名称就化为名数计算，实际上是把应该使用分数的运算化为了自然数运算，因此大大简化了计算。要知道，分数运算对于古代人来说是相当困难的。

最后让我们转回来，看看我们中国对分数的早期认识吧。

我国是世界上使用分数最早的民族之一。分数在中国起源于何时，有待于进一步详考。不过，它的出现确实是很早的，甚至被认为可以上溯到文字出现的初期。在春秋时期的古书上已有了关于分数的记载。如春秋《左传》中关于周天子封地给诸侯做了这样的规定：“大都不过三国之一，中五之一，小九之一。”意思是，根据当时的制度，诸侯的都城不要过大，最大的不得超过周文王国都的三分之一，中等的不超过五分之一，小的不超过九分之一。再如战国时期著作《考工记》中，常用分数表示手工业产品各部分尺寸的比。表示长度的单位有“十分之一谓之枚”的说法，意思是说一寸的十分之一叫做枚。这里的“枚”就是现在讲的“分”。再如，秦始皇时期拟定一年的天数为“三百六十五，四分之一天”，即；一年的月数是“一十二，十九分之七月”，即月，这就是十九年七闰的方法。与其他古民族类似，在我国先秦典籍中对特殊的分数如1/3、1/2、2/3等也都有特殊的名称，分别称为“少半”、“半”、“大（或太）半”。这些记载说明至迟在战国时期，我国已经广泛使用了分数。同时说明我国古人对分数的研究一直是和社会实践紧密联系在一起的。

事实上，在我国，分数概念也正是源于实际生活中对度量单位的细分。也就是说，我国分数是在物体数量的比较中产生的。正如后来的刘徽所说：“物之数量，不可悉全，必以分言之。”意思是，在确定了度、量、衡或其他数量单位之后，某一物品不一定是其单位度量的整数倍，这就产生了分数。实际上，不能正好得出一个整数的任何测量都会导致对分数的使用。而由于人们需要分配一个整体的量时，不一定恰好量尽的情况是大量存在的，于是分数就自然而然地被引入了。随着分数的大量出现和使用促进了分数概念的发展，人们慢慢地从“几分升几”、“几分寸几”等度量单位中抽象出了一般的分数概念。

后来，中国古代还从除法运算的角度引入了分数概念。在《九章算术》一书中说：“实如法而一。不满法者，以法命之。”我国古代数学密切联系实际，所分的都是实在的东西，如各种谷物、丝绸之类，故被除数称为“实”；而用之于分的数实际上是一个标准，故除数称为“法”。所谓“命之”即“命分”。于是，上面的话可译为：“被除数除以除数，如果不能除尽，便定义了一个分数。”

此外，在我国古代分数还与比率密切结合在一起。比和比例是人类很早便接触到的数学概念，它们在日常生活中经常出现。如草药成分的多少，物物交换中各种不同物品间的比率等等都是比和比例概念产生的基础。事实上，比率关系是我国古代数学家所考虑的最基本的数学关系。《九章算术》中的各种演算程序都是依据比率关系构造出来的。刘徽也是通过比率的性质论证了分数的性质与四则运算。也就是说，分数算法是以比率为理论基础建立的。事实上，比率论是贯穿《九章算术》算学理论体系的一条主线，是算法之“纲纪”。需要指明的一点是，在当时比率是具有高度概括力的，比率论是以量与量间的关系为研究对象，其量是可以按照一定规律变化的，因而中国古代这种比率理论与现代比例算法并不相同。

这一切都说明我国古代对分数概念的认识具有多重性：分数作为测量或运算的结果，它是一个独立的数；而在筹算的推演过程中，它实质上是被看作法与实一对（整）数的比率。李约瑟早就注意到了这一点。他说：“在《九章算术》中，分子和分母在运算前称作子和母，在运算中则称作实和法。”

在大致了解了古代各民族对分数的使用情况后，我们可以发现虽然各民族都很早引入了分数概念，但是引入的方式并不相同。概括一下的话，分数的来源大致有三条途径：

1．实践中度量细分的结果。

2．整数的比和比例。早期古希腊人甚至认为分数不是独立的数，而只是“整数的比”。

3．整数的除法运算。

各民族对分数的处理方式上也有所不同。大致说来有这样几种情况：

1．单分子分数：这种古老的分数形式在各民族历史的最初阶段都引入了，但后来大多民族都转向了更广泛的分数概念，只有古埃及人对其情有独钟。

2．系统分数：在科学上使用得特别多的一类分数，也被称为天文学分数或物理学分数。古巴比伦人最早引入了六十进制的分数。后来古希腊人在天文学中继续使用了这种分数。或许是这类分数在天文学中使用比较方便的缘故，至今仍在科学中广泛使用。小数亦可看作系统分数的一种。

3．普通分数：我们现在所通常使用的分数。

可见，在不同民族的历史上，最初分数概念的来源与处理方式并不相同。其实，不同民族在对分数的记法上也是互不相同的。现代我们所使用的分数表示方法是经过了长期的演变过程才形成的。下面，我们就简单介绍一下分数记法的演变过程。

分数的记法

古代人记分数的符号与方法是五花八门的。我们可以简单介绍几种。

古埃及人的分数有一套专用的记法。一般是用一个卵形写在整数上端，表明这是一个分数。少数几个分数用特殊符号表示。到公元前1850年左右，埃及僧侣阿姆斯所写的算学文献中，在自然数上面加上一点，来表示分数。另外，古埃及人把普通分数化成单分子分数表示的时候，把分数并排在一起来表示加法。如7/8表示成1/21/41/8中间不用加号。这种写法在现在算术中还保留着一部分，如写带分数时，把整数和分数并排地写当作两数之和，不加任何联接符号。

在古希腊爱奥尼亚记数法中，当分子是单位1时，问题简单一些，因为可以不必表示分子而只是在普通数字右上角加两撇表示分母就可以了。如在爱奥尼亚记数法中γ表示普通数字3，那么γ″就表示了分数1/3；当而分子不是单位1时，则在普通数字右上角加一撇表示分子，而在普通数字右上角加两撇表示分母。如爱奥尼亚记数法中ιε表示普通数字15，那么用γ′ιε″就表示了分数3/15。

在我国，分数记法有两种，一种是汉字记法：“几分之几”。另一种是筹算记法。我们在第一章中已经提到我国古代运算都是借助于筹进行的。当用算筹做除法时，如果出现除数大于某次余数，就停止运算。这样余数、除数很自然地成为商的真分数部分与整数部分，二者合在一起所形成的带分数就是商。正如《孙子算经》卷上所说：“实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。”筹算除法的结果“商在上面，余数在中间，除数在下面，这正是我国古代带分数的记法。根据《孙子算经》推测，古代真分数的记法应记成二行，分母在下，分子在上。假分数则记成三行。第一行是整数部分。如下（当然我们是采用了现代的数字记法）

6

3

5

则表示了分数。这种记分数的方法在我国大约公元3世纪就使用了。古印度人分数的写法与中国古代算筹分数记法一样，分子在上，分母在下，没有分数线；若是带分数，则整数部分又写在分子之上。不过，筹算中分数的记法并不固定这一种形式。其母与子作为比率，它们的相对位置或上下，或左右，随宜而定。

大约在12世纪，一个叫海塞尔的阿拉伯人最早引入了分数线。现在通用的分数线就是从阿拉伯人开始沿用下来的。在欧洲最早引入分数线的是斐波那契。15世纪以后，欧洲逐渐形成现代分数算法，并渐渐采用了现在的分数形式。1845年，德·摩根在一篇文章中提出用斜线“/”表示分数线，以利于印刷排版。这样分数又可记为a/b。你或许早已注意到这本书中表示分数时对这两种记法就是混合使用的。

分数的运算

正如前面曾指出的，分数概念的引入是非常必要的。分数的引入，是数系的第一次大扩展，它使人们能够更精确地描述客观事物的数量关系。正如我国刘徽所指出的，数量关系不可能只用整数表示，有时也要用分数来表示。

数扩展到分数后，由于实际需要又产生了分数四则运算规则，这是非常自然的。如同有了自然数后，就相应的有自然数的四则运算一样。另一方面，分数四则运算还有其他的重要性质。分数四则运算本身不仅可以直接解决许多实际问题，而且，其他许多运算要归结到分数运算，是其他数学方法不可少的工具。刘徽说：“法实相推，动有参差，故为术者先治诸分。”这正是我国第一部重要数学著作《九章算术》在第一章中先讲分数的原因。

我国作为世界上最早建立分数四则运算的国家，在战国时期就已经进行过分数四则运算。在秦汉时期便已成熟。成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》中已经能够在解决实际问题时熟练地进行分数运算了。事实上，书中的某些内容充分显示了我国在分数计算方面已经达到很高的水平，远远地超出当时世界上其他各国。

到西汉初成书的《九章算术》更是集其大成，在世界数学史上第一次建立了完整的分数理论。

《九章算术》中明确提出了分数的基本性质：分子、分母同乘以或同除以一不为零的数，其值不变。刘徽在注中将这一基本性质概括为分数的两条变形规则：“乘以散之；约以聚之。”他在注中说：“分数，如果讲得复杂会给运算带来麻烦，例如四分之二，说法不同，可以说是八分之四；简单一些，也可以说是二分之一。说法不同，数值却是不变的。”有了对分数性质的这一正确认识，就可以建立分数的通分、约分运算了。

对通分，刘徽提到其必要性，因为分数经过通分才能进行加减法运算。通分的方法被刘徽概之以“齐同以通之”，齐同术最初就是通分的方法。刘徽指出，通分的理论依据在于分数的变形规则“乘以散之”。通分运算包括两步，一是使诸分数的分母同一，通过群母相乘得到，称为“同”；二是使各分数保持不变，通过母互乘子而得，称为“齐”。“同”是为分数相通；齐是保证“势不可失本数”。可见，刘徽的齐同术与与我们所学的通分方法基本一致。不过，也多少有一点不同处。现在我们在通分时一般要求取原分母的最小公倍数作公分母。但在《九章算术》中所出现的通分问题，一般是采取分母互乘的方法。后来的《张邱建算经》一书，先是在序文说：“学算者不患乘除之难，而患通分之为难”。接着提出的通分方法也是直接取了两分母的乘积，没有取两者的最小公倍数。古代人之所以这样做，大约是因为求最小公倍数并不那么简单，而直接取分母的乘积反而更易行些。也就是说，取最小公倍数的方法在理论上是重要的，但在运算中却不一定实用。

约分术是《九章算术》的重要算法。书中提到约分术时说，分子、分母分别是二的倍数时，就相应用二或五去化简。否则就用等数约之。而等数就是指我们现在所说的最大公约数。我国古代求最大公约数的方法叫做更相减损术，它与有世界声誊的欧几里得算法是一致的。

约分、通分正如我们已经知道的那样，是进行分数四则运算的基础。有了约分、通分的办法，分数的四则运算就是水到渠成的事情了。我国在《九章算术》成书时代对分数四则运算已极为熟练，其分数加、减、乘、除运算规则分别称为合分术、减分术、乘分术、经分术，其运算方法与现在我们所学习的完全一致。我们对此不再多说了。需要稍微提一下的是，古代人由于当时对负数还缺乏认识——对这一点，在后来的章节中我们会进一步说明——所以对两个分数做减法时，要求前者大于后者才能进行运算。当然这要比较两个分数的大小，对此我国古代还提出了课分术，即比较分数大小的方法，它与减分术基本相同。

对于我国古代在分数运算方面所取得的成就，我们往往会低估。因为在今天，当我们上小学四、五年级时已经学会做分数四则运算了。不过，当了解到古代其他民族，迈出这一步所经历的漫长与曲折历程时，你可能会对我国所取得的成就感到几分自豪了。

分数算术在古埃及数学中占有特别重要的地位。关于埃及分数较完整的一份资料至今仍保存在大英博物馆里。通过这份成文于约公元前1700年的“莱特草纸”，我们可以清楚了解到古埃及人处理分数的方式。正如我们已提到的，古埃及人总是喜欢把所有分数化为单分子分数的和，那么他们是如何实现这一点的呢？在这份草纸上的一张表上，记录着分子为2，分母为3、5、7、9………101的分数分解成单位分数之和的形式，只有2/3除外，没有做这种分解。古埃及人建立的这张特殊的表，向后人清楚表明了他们正是利用这样的表，将其他任何分数化为单分子分数，并进行相应的分数运算的。例如使用这种表有：

5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42=1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21=1/7+1/14+1/42

运算是何等复杂！而且这种运算不单单是冗长的问题，它还要求有相当的技巧。可见即使是有了这样的表，进行分数运算时也是非常困难的。正是从运算的角度，我们才能更清楚地明白古埃及人只用单分子分数所带来的好处远远无法抵消掉它带来的不足。事实上，埃及人处理分数的这种方式给他们的数学造成了一种沉闷的性质，妨碍了其数学的进一步发展。它像罗马计数法一样，严重地迟滞了古埃及人数学的进步。后人推测，他们之所以未能把算术和代数发展到高水平，其分数运算之繁难恐怕是原因之一。

除了古埃及外，在古代许多其他民族，分数运算也都是令人深感头痛的事。公元7世纪，俄国亚美尼亚地方著名数学家阿那尼在他的《算术习题课本》中，给出八个分数相加的习题，就被人们认为他的知识达到最高水平。当时欧洲最有学问的英国修士倍达说：“世界上有很多难做的事，但是，没有比算术四则再难的了。”欧洲到15、16世纪还感到困惑。例如意大利学者帕西沃里对分数相乘有时乘积会小于被乘数觉得大惑不解。而英国人唐士陶取材帕西沃里《算学大成》，用拉丁文编成的算术，还是当时牛津、剑桥大学的教科书呢。直到1570年英国还有人作打油诗表达对数学运算的厌恶：

“乘法原可恼，

除法尤不便；

比例之法更艰涩，

习之真使人发狂。”

到16、17世纪，欧洲人才总结出类似于我国《九章算术》的分数四则运算法则以及有关的文字题。甚至直到18世纪，欧洲人对分数运算仍心有余悸。1735年，英国一本算术教科书的作者曾讲了这样一段话：“为了照顾学生们……我们把通常称为分数的破碎数的运算规则单独叙述，部分学生在看到这些分数时，灰心到就此停止学习，他们嚷声说：‘不要再往下了！'”可见历史上人们对分数运算厌烦、畏惧到何等程度。那时精通四则运算就可算作学者了，至于分数，简直难于上青天！德国谚语形容一个人已陷入绝境，束手待毙，就说他已“掉到分数里去”。

这并不奇怪，今天我们课堂上一、二个小时或几分钟就可掌握的知识，在科学史上往往要花费几年、几十年，甚至上百、上千年的时间。前面已经提到过的位值制与零的引入，不也是很好的例证吗？