小结

在走过这一站后，让我们再来歇歇脚，同时回顾一下我们一路上所见的风光。

首先，我们去了解了分数的几种不同来源方式。不同的民族对分数的引入方式不同，认识也不同。古埃及人引入了单分子分数；古巴比伦人引入的是六十进制分数，这一用法至今仍保存在时间的表示与天文学中；古希腊人一开始是把分数作为整数的比看待的；相比而言，我国对分数的认识更完整一些。在这一部分中，我们还简单介绍了分数记法的演变过程。事实上，很多数学符号大都经历了一个复杂与漫长的演变过程，才最终成为现在人们所通用的形式。

随后，我们介绍了分数的运算。在这一方面，我国也是远远走在了世界其他民族前面。在谈到这一现象的原因时，我们可以简单提到天文学对中国古代数学的巨大推动作用。可以说，中国数学的早期发展是同天文学研究的需要密切联系在一起的。最早熟练运用分数运算的《周髀算经》就是一部天文数学著作。由于“中国古历法所有天文数据基本上都用分数表示，分数运算成为古历法中一很大项目。”这促使分数算法在我国“早熟”。

另外，正是由于我国对分数的认识与运算的熟悉，才使我国在其他数学研究方面也能够走在其他民族前面，因为正如前面已经提到的，分数还是研究其他数学问题必不可少的工具。

在第二节中，我们提到了几种特殊的分数。

首先，我们重新认识了一下埃及分数。在此之前，我们提到它时，说它由于运算的烦琐，导致埃及数学不能得到进一步的发展。但由它引出的有趣问题却吸引了众多的业余与专业数学工作者，使它至今仍保持着旺盛着生命力。

随后，我们介绍了我们所熟知的小数。我们已经指出，应用起来比较方便实用的小数只是十进分数的一种方便表示法而已。但它的产生与现代记法的出现，正如前面已经提到的，也是经历了漫长的时间。

对此，你也许能联想到位值制的产生吧。两者对于我们来说都是显而易见的，但在历史上却都经历了长期的认识过程。

之后，我们介绍了一下近似分数。当回顾这一部分内容时，有几点想法需要再提一下。

其一，数学与实践是密切相关的。因此，当实际生活中人们提出对方便实用的近似分数的需求时，如何求得更好的近似分数就成为数学中的一大课题，并发展出与之相关的丢番图逼近的数学分支。数学必须密切联系社会实践。数学的发展，虽然它前进的每一步不一定都需要社会实践所提出的各种要求的直接推动，但是数学要想从根本上得到不断的发展，那就非密切联系实际不可。数学发展的无数事例都证实了这一点。当然，数学也具有相对独立性、具有脱离实际的特征，这一特点越到数学发展的后期表现得越明显。在后面的章节中我们会看到这一点。

其二，数学的发展是和其他科学的发展密切相关的。在这一节里我们看到了我国古代数学与天文历法推算之间的密切联系。事实上，我国古代许多数学家同时都是天文学家。许多数学问题或方法都是在天文历法的探讨中提出并得以解决的。加成法的使用就是其中的一个例证。正是由于调整历法数据的要求，历算家发展了分数近似算法：加成法或称“调日法”，从而在数的有理逼近方面达到很高的水平。在现代，数学与其他科学的关系问题仍是一个引起争论并值得认真探讨的问题。

实际上，通过以上两点，我们已经涉及到了一个重要的、并且并不容易解答的问题。这个问题是：如何理解数学的独立性？数学的发展是由外部因素造成的呢，还是由内部因素造成的呢？

最后，在走过第一站“自然数”与第二站“分数”后，我们打算把两者放在一起做一个简单的总结。

我们先来看一下，这两者的一个重大区别。我们知道，存在着无穷多个整数，也存在着无穷多个分数。但是整数之间的间隔较大，其实每个间隔就是一个单位，而有理数则是稠密的；也就是说，在任何两个分数间，无论它们离得多么近，我们总能找到另一个分数界于它们之间，其实我们不是能找到一个而是无穷多个。我们将在后面章节对这个问题做进一步的阐述。另一个极其有趣，也极容易令人感到困惑的问题是：同是无穷多，它们能否比较多少呢？如果能的话，又需要用什么方法比较呢？这个问题我们也将在后面加以探讨。

另外，需要提到的是，在走过这两站后，现在数的范围已经扩充到了正有理数与零。在完成了这一步数的扩充后，我们就能够完成更多的事情了。如我们从数的运算角度来看一下。在自然数范围内，我们对任意两个自然数进行加法与乘法运算结果仍然是自然数。这种性质在数学上称为自然数的加法、乘法具有封闭性。显然，自然数对除法运算就不具有这种封闭性，即任意两个自然数的商不一定再是自然数。但当把数从自然数扩充到正有理数与零时，关于除法的封闭性也获得了满足。即任意取两个正有理数，只要分母不为零，那么其除法运算的结果仍是正有理数或零。这正是数的扩充给我们带来的好的结果之一。

还需要指出的一点是：上述数的扩充过程是自然的，而后面我们将要提到的数的进一步扩充就不再是那么自然的了。你在下一章马上就能注意到这一点。