2.3 特征河长法

加里宁（Г.П.Калинин）认为，在一特定长的河段内，蓄泄关系同水库一样，从而使得第2.1节的S～Qc关系成为单一的相关曲线，即S=S（Qc）为单值函数。显然，S～Qc与Qr无关，他称这样的河段长为特征河长。他根据所提出的特征河长的概念，建立相应的流量演算方法[2,4]。

2.3.1 特征河段内蓄泄关系的分析与特征河长的确定

2.3.1.1 特征河段内蓄泄关系的分析

由于在特征河段内河槽的调节作用和水库的调节作用一样，故在特征河段内河槽蓄量S与下断面出流量Qc成为单值关系。从图2.10可以看出，距下断面l＇处找到与稳定流水位相等的水位。因此，在该处的水位与下断面出流量应存在着函数关系。类此，若取S为l（特征河长）河段上的水量并使包括在AEC内的水量与BED内的水量相等，则S～Qc在下列两种情况下可以成为单值关系。

（1）如果l＇和l不变。

（2）如果l＇和l仅随相应于稳定流水位而变，但不随洪水形状本身（附加比降）而变。

也就是说，设AB为稳定流水面线，则AB以下的水量为Sw, l＇处的水位为Zl，当水面线由AB变为CD时，由于Zl不变，且AEC内的水量与BED内的水量相等，则此时的河槽蓄量S=Sw，即水面线虽然由AB变到CD，但特征河段内的水量不变。可是下断面水位减小将使得下断面流量减少。然而，另一方面当水面由AB变到CD时，水面比降增加将使得下断面流量增加，若增减值相等，则Qc=Qw（稳定流流量），由于Qw=f（Zl）为单值关系，所以Qc=f（Zl）也为单值关系。又因S=F（Zl）为单值关系，故S=f（Qw）必为单值关系。

2.3.1.2 特征河段长l计算公式的推导

特征河段长l计算公式的推导方法很多，但均先导出l＇再来求l。

1．根据水位流量关系曲线推导l＇的计算公式河道某断面不稳定流的流量Q与同一水位下稳定流流量Qw之比，同时由曼宁公式得

式中：K*——流量模数，m3/s；

i, i0——同一水位的不稳定流和稳定流的水面比降。

不稳定流水面比降i为稳定流水面比降i0与附加比降iΔ之和，即i=i0+iΔ，代入式（2.23）得

因为，故有，代入式（2.24）得

又因为不稳定流量Q为稳定流量Qw和附加流量ΔQ之和，即Q=Qw+ΔQ，代入式（2.25）得

由水位流量关系曲线定出ΔZ, ΔZ与附加流量ΔQ的稳定流流量增值ΔQw相应，即

式中：——稳定流水位流量关系曲线的斜率。

另一方面，由图2.10可知，ΔZ≈l＇iΔ，连同式（2.26）一并代入式（2.27）得

2．根据流量的全微分方程推导l＇的计算公式任一断面的流量是水位和水面比降的函数，即

由式（2.29）对流量的全微分得

由特征河长的定义可知，在特征河段内，若距下断面l＇处的水位Zw不变，则下游流量Qc不变，即dQc=0。在此情况下，下断面水位Z的减小是由水面比降i的增大而来的，因此有dZ=-l＇di，代入式（2.30）（此时Q改为Qc）得

又因

将式（2.32）对i偏微分得

将式（2.33）代入式（2.31）得

当采用开始时的稳定流比降，则式（2.34）变为

分子、分母同乘以，则有

3．由l＇推导特征河长l的计算公式当河道为棱柱形河道时，则有l=2l＇，此时式（2.28）、式（2.35）分别改为

式（2.36）与式（2.37）便是河道测流断面为一般形态的特征河长计算公式，通常使用式（2.36）较为方便。

若将化为有限差式，则式（2.37）就变为式（2.36）。

从上述两式可以看出，特征河长与附加比降（洪水波特性）无关。

稳定的水位流量关系曲线有时以解析式表示

式中：b——系数；

n——指数。

因为Qw不仅是水位Zl（自流量等于零算起的水位）的函数，而且与稳定流水面比降i0有关，所以b也就包含着i0，式（2.38）对Zw求偏导数得

将式（2.38）及式（2.39）一并代入式（2.37）得

从式（2.40）可以看出，特征河长 l随着水位Zw的增加而增加，但式（2.38）是近似的经验方程，并且指数n在整个水位变化范围内并非是常数，往往随着流量增加而增加。经验表明，在多数情况下，采用固定的特征河长，不致造成较大的误差。

2.3.2 演算公式的推导

如上所述，在特征河段上的流量演算，完全与水库的调洪演算一样，这样便可以用水库型蓄泄关系方程（槽蓄方程）代替式（1.3），并且假设这种关系是线性的，则有

式中：τ*——槽蓄曲线的斜率，又称集流时间，是一个重要的河床水力特征，它说明在研究河段上水流的调节程度，h。

将式（2.41）代入式（2.1）得

式（2.42）为线性常微分方程，其通解为

式中：C——积分常数。

式（2.43）有两种边界条件下的特解：

（1）当Qr=常数时，由式（2.43）得

由初始条件t=0时，S=S0，则由式（2.44）得

式中：S0——起始蓄水量，m3。

将式（2.45）代入式（2.44）得

等式两端同除以τ*得

其中：。

应用时t常取定时段长Δt，然后逐时段进行演算，此时式（2.46）变为

式中：K1 ——系数，。

（2）当入流在计算时间内呈直线变化时，则有

式中：Qr,0——河段起始瞬时入流量，m3/s；

a——入流量增大率（常数）, m3/s2。

将式（2.48）代入式（2.43）得

由分部积分法得

将式（2.50）代入式（2.49）得

由初始条件t=0时，S=S0，则由式（2.51）得

将式（2.52）代入式（2.51）得

等式两端同除以τ*得

同理，应用时取定时段长Δt，然后逐时段进行演算，此时式（2.53）改为

由式（2.48）知，，代入式（2.54）得

其中：; ΔQr=Qr,2-Qr,1。

有时为了计算方便，由于Qr在Δt时段内呈线性变化，则可以用时段之初、末的入流量的均值Qr代替Qr，此时问题就变为第一种情况（Qr为常数），则有

因此，式（2.56）实际上包含着上述两种情况。故一般使用式（2.56）进行流量演算。

如果两断面间的距离不是一个特征河长，而是n个特征河长，即L=nl，则可以将整个河段分成n段，每一段长为l，它们的（n-2个）起始流量由上、下两断面的起始流量内插而得出，每一小段仍用式（2.56）演算之。

前面已经指出，特征河长虽然随着水位的增加而增长，但在计算中将特征河长取定值不会产生较大误差。如果上、下断面间的距离是特征河长的2倍，3倍乃至10倍时，由于误将该河段的距离作为一个特征河长进行演算，结果又会怎样？张文华通过研究，证明由此而产生的误差仍将很小，现证明如下[2]。

由于在特征河段上的流量演算，完全与水库调洪演算相同，因而就可以用水库简易调洪演算的高切林公式来观察其误差。高切林调洪演算公式为

式中：Qcmax——出流洪峰流量，m3/s；

Qr max ——入流洪峰流量，m3/s；

Vmax ——次最大调洪水量，m3；

W* ——次洪水总量，m3。

设L=nl，将河段长L自上而下按特征河长l分成n段，每一小段按式（2.57）演算，由此得第一段的出流量为

第一段出流即为第二段入流，则第二段的出流量为

连续演算之，最终求得第n段的出流量为

其中：流量的第2个下标表示河段数。

因为最后一个河段的出流量即为整个河段的出流量，所以Qmax, n=Qc max。

现以式（2.58）的计算值为准，再将n个特征河长当作一个特征河长按式（2.57）计算，则所产生的绝对误差为

式中：Qcmax——按式（2.57）的计算值，m3/s；

Qc max, n——按式（2.58）的计算值，m3/s。