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早餐代表我的心

“亲爱的，天亮了，今天是2月14号，我特意为你准备了早餐。不用起床了，就在床上吃。好丰盛的，有刚出炉还冒着热气的羊角面包，有一大杯我刚刚亲手榨的橙汁，有新鲜水果，还有最重要的，一大碗牛奶！”

“你对我太好了，但为什么有牛奶呢？你知道我喝牛奶不消化啊……”

“很简单啊，因为这碗牛奶代表我对你的爱，你看看碗里面有什么……”

* * *

早餐是一天中最重要的一餐。每天早上，我都目光呆滞地盯着麦片盒上的配料表，心里默念这句话，等着没睡够的倦意退去。如果你泡了碗麦片，冲了杯咖啡或者倒了杯果汁，那么，在阳光的照耀下，杯子里面会出现一个类似心形的形状（图1.1）。

这个心形是怎么来的呢？

答案其实很简单，但先要了解下数学家是如何定义心形的。

画一颗心给你！

有了合适的方程和绘图仪，什么东西都可以画出来。Wolfram公司市场部的编辑理查德·克拉克特别擅于用傅里叶变换写图形方程。有了他的贡献，我们才能把皮卡丘也用方程表示出来（图1.2a）——我在这里就不把方程写全了，如果要写全，一页纸都不够。美国一所高中的数学老师J．马修·雷吉斯特也是图形方程的好手。2011年，他的学生把他的蝙蝠侠图标方程（图1.2b）发到了网上，引起了轰动。言归正传，数学爱好者给出了许多心形方程，各有千秋，但数学界“心有独钟”：他们认定用简单方程描绘的“心形线”（图1.2c和图1.2d）。

心形线在英语里叫作cardioid，这个词来自希腊语：kardia意为“心”，eidos意为“形”。心形线有许多不同的定义方法，但是异曲同工（图1.2）。我们可以想象一个圆沿着另一个圆外侧滚动而不滑动，不动的圆叫作“准圆”，动圆上某一点的轨迹称为“外摆线”（epicycloid），这个词也来自希腊语：epi意为“上”，kuklos意为“圆”。准圆和动圆的半径相等时，就得到了心形线。如果动圆在准圆内部，而准圆的半径是动圆的2倍，也会得到心形线。

18世纪初，布莱兹·帕斯卡的父亲艾蒂安·帕斯卡在对摆线的研究中提到了这种曲线，虽然言辞含糊，但这是历史上首次出现。其他数学家对这种曲线也是兴致勃勃。1708年，法国数学家菲利普·德拉意尔证明心形线的长是准圆半径的16倍。直到1741年，乔瓦尼·达卡斯蒂利奥内才根据形状将其命名为“心形线”。

第二种构建心形线的方法是：取圆上一点P，以圆上其他点为圆心，作经过点P的圆，所有这些圆内包于一条心形线。

更让人意想不到的是，心形线还可以通过数论的方法来构建。在圆周上均匀地取100个点，编为0到99号，然后把各个点与编号为其2倍的点相连，如果编号的2倍大于等于100，则以减去100计，即编号乘2得100则对应点0，编号乘2得102则对应点2。按这种方法，点21与点42相连，点53与点6相连。所有这些线段形成心形线。取的点越多，心形线就越准确（图1.3）。

说了这么多，还没有解释碗里怎么会有一颗“心”。真正原因是，心形线是圆的“散焦线”。

光之几何

光线照射到圆形容器的边缘，会发生反射。假设阳光是平行光，让我们来观察一下反射光路：根据光的反射定律，反射角等于入射角，即反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角，法线是圆在入射点上切线的垂线（图1.4）。

阳光视为平行光，照射到杯沿并经过反射后，汇集成的曲线就是所谓的“散焦线”，与所有反射光路相切。这里的散焦线和心形线很相似（图1.5a）。

但是，这样得到的曲线并不是真正的心形线，心形线与圆周不会相交。其实，这是半肾形线，可以视为心形线的“亲戚”，因为它们都是外摆线的一种。如果准圆的直径是动圆的2倍，就会得到肾形线（图1.6）。肾形线有两个对称轴和两个回复点，即曲线好像要往回走的那一点。“肾形线”这个词英语为nephroid，也来自希腊语，nephrós意为“肾”。这听起来就没“心形线”那么浪漫了。

但不要担心，想要杯子里出现心形线很简单，只要把光源移近一点就行。光源在杯子的圆周上时，出现的就是标准的心行线（图1.5b）。下一个情人节，你就可以省着点过啦！不用去高级餐厅吃大餐，只要一盏灯和一碗牛奶就够了，然后再给他或她念一首诗，完美！

* * *

如果你是外摆线，你会是一条心形线。

如果你是全纯函数，你就是正弦的平方，

而我就是余弦的平方，我们刚好合二为一。

如果你是偶数，你会是28，因为28是完全数。

如果你是奇数，你依然会是完全数。

但只有我知道，你这个奇完全数的存在。

如果你是对数，你将会……那个……你懂的。