4.1 解决几何变换的一般思路

图像几何变换又称为图像空间变换，它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置。学习几何变换的关键就是要确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变换参数。

几何变换不改变图像的像素值，只是在图像平面上进行像素的重新安排。一个几何变换需要两部分运算：首先是空间变换所需的运算，如平移、旋转和镜像等，需要用它来表示输出图像与输入图像之间的（像素）映射关系；此外，还需要使用灰度插值算法，因为按照这种变换关系进行计算，输出图像的像素可能被映射到输入图像的非整数坐标上。

设原图像f(x0, y0)经过几何变换产生的目标图像为g(x1, y1)，则该空间变换（映射）关系可表示为：

其中，s(x0, y0)和t(x0, y0)为由f(x0, y0)到g(x1, y1)的坐标变换函数。例如，当x1=s(x0, y0)=2x0, y1=t(x0, y0)=2y0时，变换后的图像g(x1, y1)只是简单地在x和y两个空间方向上将f(x0, y0)的尺寸放大一倍。因此，读者看到只要掌握了有关变换函数s(x0, y0)和t(x0, y0)的情况，就可以遵循下面的步骤实现几何变换。

算法4.1

      根据空间变换的映射关系，确定变换后目标图像的大小（行、列范围）; //有些变换可能改变图像大小
      计算逆变换s-1(j1, i1)和t-1(j1, i1)；

      逐行扫描目标图像g(x1 , y1)，对于g(x1 , y1)中的每一点(j0, i0)：
      {
        根据空间变换的映射关系，计算得：
          j0'=s-1(j1, i1); //直接通过映射关系计算得到的横坐标，可能不是整数
        i0'=t-1(j1, i1); //直接通过映射关系计算得到的纵坐标，可能不是整数

        根据选用的插值方法：
        (j0, i0)=interp(j0', i0'); //对于非整数坐标（j0', i0'）需要插值

        If  (j0, i0)在图像f之内
            复制对应像素：g(j1 , i1)=f(j0 , i0)；
        Else
            g(j1 , i1)=255;
      }

对于几何失真图像的复原（校正）过程正好是上述变换的逆过程。

式（4-3）和式（4-4）表示相应的由g(x1, y1)到f(x0, y0)的逆变换。此时，经过某种几何变换而失真的图像g(x1, y1)是读者要复原的对象，原始图像f(x0, y0)是读者复原的目标。逆变换的代码描述将结合车牌复原的应用在4.9节中给出。

对服务于识别的图像处理而言，作为图像几何归一化的逆变换过程的应用常常更为广泛。当然，在变换中究竟以谁作为原始图像f(x0, y0)，以谁作为变换图像g(x1, y1)并不是绝对的，这完全取决于读者在分析特定问题过程中的立场。比如说对于图4.1中的两幅图像，一般的做法是以图4.1（a）为原始图像，图4.1（b）为变换图像。这是因为在图4.1（b）中读者关心的对象（数字和字母）处于一个便于观察的角度（正的）。但我们也完全可以将图4.1（b）视为f(x0, y0)，而图4.1（a）视为g(x1, y1)。此时，相应的映射关系s和t也会发生变化。

图4.1 旋转前后的两幅图像