3.1 梁的力学计算
通过学习本节四合院大门的力学计算，你将能够：
1）掌握梁的尺寸和材料；
2）了解结构的边界条件；
3）清楚梁常见的受荷情况；
4）学会手工计算和软件计算结构的位移和内力。
3.1.1 矩形梁的尺寸和材料
如图3-3所示，矩形梁是一个长方体，截面尺寸b×h，长L。
图3-3 矩形梁的尺寸
钢筋混凝土梁包含两种材料：混凝土和钢筋。
3.1.2 梁的边界条件
一个结构由节点和构件组成，如图3-4所示，框架有3个节点：①、②和③，有3个构件：柱A、斜杆B和梁C。
图3-4 结构节点和杆件关系图
一个结构每个节点有6个位移变量即6个自由度：3个平移uj、vj和wj，3个转动θx、θy和θz，边界条件指的是对节点和杆件端部位移的指定。
一个结构的边界条件可分解为两部分：支座边界条件和构件边界条件。支座边界条件用于指定节点的位移，构件边界条件用于规定构件端部与节点的连接关系：刚接或铰接。
如图3-4，节点①的边界条件为嵌固，节点①的XYZ平动和转动位移为零，柱A下端与节点①刚接，柱A下端弯矩不为零，斜杆B下端与节点①铰接，斜杆下端可自由转动，下端弯矩为零。
如图3-2组成的门，梁两端和柱上下端与节点的连接关系为刚接，柱下端节点位移为零。
3.1.3 梁的荷载
梁的荷载（图3-5）通常来源于4个方面：
图3-5 梁柱板结构
1）梁本身自重的均布荷载；
2）梁上物体自重的均布荷载；
3）交叉梁的集中力；
4）板荷载。
四合院大门梁的荷载包括梁本身自重和门顶上装饰物的自重。
3.1.4 梁的位移和内力计算
结构力学中位移法可求解静定和超静定结构的位移和构件的内力，是最常用的计算方法。梁端节点位移包括：3个平移uj、vj和wj，3个转动θx、θy和θz。梁内力包括：左中右端的弯矩My、左右端的剪力Vz，扭矩T。
位移法求解分为3个步骤：
1）根据构件端的力和位移平衡方程，形成单元刚度和荷载项；
2）组集总体刚度和总体等效荷载，形成整个结构位移方程，求节点位移；
3）位移回代构件端的力和位移平衡方程，求构件内力。
3.1.4.1 空间三维杆单元的单元刚度
柱、梁及支撑（包括斜柱、斜梁等）均为一维构件，采用三维杆单元来计算。
单元局部坐标系如图3-6所示。
图3-6 一维构件的局部坐标
如上图假定在i端的内力及位移为：
则单元的平衡方程为：
{F}e=[K]e{δ}e
式中 L——杆件长；
A——截面面积，矩形截面等于b×h；
E——弹性模量；
G——剪切模量；
μ——泊松比，对于混凝土材料为0.2；
Ix，Iy，Iz——杆件绕x，y，z轴惯性矩；
b——截面宽；
h——截面高；
β——截面短边与长边之比；
μy，μz——剪切不均匀系数；
φy，φz——剪切影响系数。
为方便手工计算，不考虑剪切不均匀系数，剪切影响系数φy=φz=0时，得到如下简化公式：
3.1.4.2 杆单元的等效荷载
杆单元两端嵌固，根据材料力学公式，把杆上荷载转化为等效节点荷载。
等效节点荷载按如表3-1求解，等效节点荷载正负号与支座反力相反。
表3-1 支座反力、截面剪力和弯矩表
3.1.4.3 边界条件的处理
位移法处理边界条件的方法是用如下凝聚方法去掉有关的自由度。边界条件包括：
1）构件与节点的连接关系，如铰接；
2）节点的位移。
何时处理？
1）构件与节点的连接关系凝聚在局部坐标下的单元刚度中进行；
2）节点的位移在总体坐标下的总体刚度中进行。
凝聚方法如下：
Ku=R
或以下标符方式表示为：
如果某一个特定位移un是已知的和已被指定，它的对应荷载或反力Rn则是未知的。因此，N-1阶平衡方程将写成：
或简化为：
δ2为边界条件有关的位移，凝聚过程写成矩阵形式如下：
展开如下：
K11δ1+K12δ2=R1
K21δ1+K22δ2=R2
若指定的节点位移为零，此节点位移对应的方程可在位移求解中扔掉，减少方程个数，方便求解。
3.1.4.4 局部到整体坐标系的转换矩阵
节点位移描述是在总体坐标下的，总刚也应是总体坐标下的，而单刚是建立在局部坐标系下的，所以单刚组集到总刚前要从局部坐标变换到总体坐标，梁、柱的局部坐标与结构的整体坐标系之间关系如图3-7所示。
图3-7 梁柱的夹角
其中
3.1.4.5 结构的总刚度矩阵及结构整体平衡方程
在结构的整体坐标系，构件单元的平衡方程可写成：
式中 [Ki]、{δi}、{Fi}——在整体坐标下的单元刚度矩阵、位移向量和节点内力向量。
[Ki]、{δi}和{Fi}与局部坐标下的[Ki]e、{δi}e和{Fi}e的关系如下：
式中 [T]——由局部坐标到结构整体坐标系的转换矩阵。
按照刚度叠加原则，可得到结构的总刚度矩阵[K]及相应的整体平衡方程：
[K][δ]=[P]
3.1.4.6 构件的内力计算
在求得结构整体坐标下的位移向量[δ]后，对于柱、梁、支撑等构件，按照各杆端对应的自由度号取出各杆端位移{δi}，然后，可按下式求出左右端位移产生的杆左右端内力中部线性插值：
[Fi]e=[Ki]e[T]{δi}
再叠加左右端嵌固下按材料力学的解析公式求解的各截面的内力。
构件各截面的内力=端部位移产生的内力+荷载左右端嵌固下的内力。
左右端嵌固下按材料力学的解析公式如表3-1求解。
3.1.4.7 手工计算梁的内力
几何：柱截面尺寸b×h=400×400（mm2），柱高H=3000mm，梁截面尺寸，b×h=200×500（mm2），梁长L=4000mm；
荷载：容重25kN/m3，梁上均布恒载10kN/m；
材料：柱梁混凝土等级C30，钢筋强度360N/mm2。
计算梁左右端弯矩和左右端剪力。
为方便计算，将所有计算单位换算成标准单位，其中尺寸为m，荷载为kN。
查表得C30混凝土：
（1）求解梁局部坐标下刚度矩阵
A=0.2×0.5=0.1（m2）
β=0.2/0.5=0.4
将C1～C10代入单刚，得到梁局部坐标下刚度矩阵（位移单位为mm）：
（2）求解柱局部坐标下刚度矩阵
A=0.4×0.4=0.16（m2）
β=0.4/0.4=1
将C1～C10代入单刚，得到柱局部坐标下刚度矩阵（位移单位为mm）：
（3）求解梁局部坐标下等效荷载
梁身自重荷载可以等效为均布线荷载：ρA=25×0.1=2.5（kN/m），加上梁上荷载10kN/m，则梁总荷载为12.5kN/m，查表3-1均载公式，可得梁等效荷载如下：
NA=NB=0kN
RA=RB=-12.5×4/2=-25（kN）
MA=12.5×42/12=16.666667（kN·m）
MB=-MA=-16.666667（kN·m）
根据图3-6，图中杆两端i，j下标分别对应上式的A，B下标。其中弯矩要按照右手法则判定：四指绕弯矩旋转方向，大拇指方向为弯矩方向。注意若荷载方向与坐标系方向相反要乘以-1。因此得到Fx=0，Fy=0，Fz=-25；Mx=0，My=0，Mz=16.6666667，杆件的等效荷载可以展开为
（4）求解柱局部坐标下等效荷载
柱身自重荷载按照等效为柱上下段各一半荷载：ρAH=25×0.16×3/2=6（kN/m）。对于柱而言，i段为下端，j端为上端，可得柱等效荷载如下：
（5）求解局部坐标与总体坐标的转换矩阵
梁局部坐标与总体坐标相同，刚度和等效荷载不需要变换。柱局部坐标与总体坐标的转换矩阵如图3-8所示。
图3-8 柱的局部坐标和总体坐标
[T]T[K][T]相当于每3行中，第2行和第3行往前移，第1行放在第3行，每3列中，第2和第3列往前移，第1列放在第3列。
柱整体坐标下刚度矩阵如下：
柱整体坐标下等效荷载如下：
{F}={0，0，-6，0，0，0，0，0，-6，0，0，0}
（6）处理节点嵌固边界条件
节点编号①②③④如图3-9所示，节点位移为零的编在最后，组集总刚时③④节点的刚度和荷载项可直接扔掉，每个节点6个自由度，现总共剩下12个自由度。
图3-9 节点编号
组集总刚度时，将柱顶的如下刚度与梁刚度相加，其他刚度扔掉。
（7）组集总刚度
组集后的总刚度矩阵如下：
（8）处理门平面外位移为零边界条件
总体坐标Y方向荷载为零，位移为零，直接扔掉①②节点Y向平动、X向转动和Z向转动对应的刚度和荷载项，现总共剩下6个自由度：①节点X向平动u1、Z向平动w1和Y向转动θ1、②节点X向平动u2、Z向平动w2和Y向转动θ2。
得到如下6个变量的刚度：
{F}={0，0，-31，0，16.666667，0，0，0，-31，0，-16.666667，0}
（9）求得①②节点位移
u1=0.004mm，w1=-0.019mm，θ1=0.00014弧度
u2=-0.004mm，w2=-0.019mm，θ2=-0.00014弧度
（10）求得梁左右端弯矩和左右端剪力
根据节点位移求得梁左右端弯矩和左右端剪力如下：
M1=4.375kN·m，M2=4.375kN·m，V1=0kN，V2=0kN
根据梁荷载按固端求得梁左右端弯矩和左右端剪力如下：
M1=-16.667kN·m，M2=-16.667kN·m，V1=25kN，V2=-25kN
叠加后，梁左右端弯矩和左右端剪力如下：
M1=-12.292kN·m，M2=-12.292kN·m，V1=25kN，V2=-25kN
3.1.4.8 上机计算梁的内力
启动广厦结构CAD软件，出现下图广厦结构CAD主控菜单（图3-10），点击[新建工程]，在弹出对话框中选择要存放工程的文件夹，并输入新的工程名：C：\GSCAD\EXAM\高校\梁.prj。
图3-10 广厦结构CAD主控菜单
点击[图形录入]，进入录入系统，图3-11中标示了图形录入各功能区的意义。
图3-11 图形录入功能区说明
在图3-11图形录入中点击菜单[结构信息]-[GSSAP总体信息]，在弹出的GSSAP总体信息对话框中共有6页。如图3-12所示对话框为总信息页，填写参数如下：
图3-12 GSSAP总信息的输入
[结构计算总层数]填1，[梁柱重叠部分简化为刚域]填0；其余参数按默认值考虑。
切换到调整信息，如图3-13，填写[梁端弯矩调幅系数]为1，其余参数不需修改。
图3-13 GSSAP调整信息的输入
切换到材料信息，如图3-14填写[砼构件的容重]为25，所有钢筋强度为360N/mm2，其余参数不需修改。
图3-14 GSSAP材料信息的输入
点击[确定]按钮保存GSSAP总体信息的修改。
点击菜单[结构信息]-[各层信息]，按图3-15输入层几何信息。其中层高为3m。然后切换到层材料信息（图3-16），输入[剪力墙柱砼等级]和[梁砼等级]为C30。
图3-15 层几何信息的输入
图3-16 层材料信息的输入
点击屏幕菜单[轴网、辅助线和轴线]-[正交轴网]，在如图3-17所示对话框中输入上开间和左进深都是4000mm，点击[确定]关闭对话框。
图3-17 轴网对话框
然后在绘图区点击选择一个定位点，输入一个轴网。输入效果如图3-18所示。
图3-18 轴网
点击屏幕菜单[柱1]-[轴点建柱]，再点击参数窗口，弹出如图3-19所示柱截面对话框。在对话框中输入截面宽B=400mm，高H=400mm，角度0，点击[确定]关闭对话框。
图3-19 柱截面对话框
然后选择绘制的轴网交点，布置两个柱，输入效果如图3-20所示。
图3-20 布置两个柱
点击屏幕菜单[梁1]-[轴线主梁]，再点击参数窗口，弹出如图3-21所示梁截面对话框。在对话框中输入截面宽B=200mm，高H=500mm，偏心=0，点击[确定]关闭对话框。
图3-21 梁截面对话框
然后点击刚才绘制的两个柱之间的轴线，布置一条梁，输入效果如图3-22所示。
图3-22 布置一条梁
点击屏幕菜单[梁荷载菜单]-[加梁荷载]，然后点击参数窗口，弹出如图3-23所示梁荷载对话框。选择荷载类型为均布荷载；选择荷载方向为重力方向；均布荷载q=10kN；选择工况为重力恒载，点击[确认]关闭对话框。计算程序会自动计算梁的自重，不需要另外输入。
图3-23 梁荷载对话框
在绘图区点击刚才输入的梁，布置的梁荷载，如图3-24所示。
图3-24 布置的梁荷载
在图3-25中点击工具栏1[保存]按钮，保存模型。点击工具栏2中的[生成GSSAP数据]按钮，生成计算数据。然后关闭图形录入。
图3-25 [保存]按钮和[生成GSSAP数据]按钮
在图3-26主控菜单点击[楼板、砖混和次梁计算]，进入以后直接退出。
图3-26 主控菜单
在主控菜单点击[通用计算GSSAP]，计算完毕后点击[退出]按钮关闭计算程序。
在主控菜单点击[图形方式]，进入图形方式。
如图3-27，点击左侧工具栏[三维位移]，在弹出的对话框中选择工况为恒载，选择显示方式为静态，鼠标移动到绘图区中显示的柱顶，则软件会如图3-27所示显示柱顶位移。与手工计算结果一致。
图3-27 柱顶位移
如图3-28，点击左侧工具栏[梁内力]，在弹出的对话框中选择[单工况内力]-[恒载]，可查得软件梁的内力结果，其中梁上文字为梁左中右的弯矩值+梁轴力；梁下文字为梁左、右端剪力。与手工计算结果基本一致，因软件计算考虑了截面的剪切不均匀和梁柱刚域影响，在小数位上会有一点误差。
图3-28 梁的内力