20
QED MOMENTS
“证明完成”时刻

每个人都应该知道“证明”是什么，它让其他的所有信念都沦为次等。证明位于随着怀疑而变化的认知置信区间的顶端，但大多数人都没有经历过它。

只有在证明中才能体会证明。引用书中或大师的某一个证据，并不能称为证明。只有当推演到最后一个逻辑步骤后，才能体验到证明。这个时候，我们才能庆祝“证明完成”（QED，全拼为quod erat demonstrandum或quite easily done）。证明完成表明我们已经证实或阐释了我们想要证明的命题。证明并不一定要是原创或耳目一新的，它只要能逻辑正确地达到“证明完成”时刻就行了。毕达哥拉斯定理只要一种证明就够了。

唯一能保住证明这一称号的是数学和形式逻辑。每一个逻辑步骤都必须有足够充分的说明，这样每一个逻辑步骤才能具备二进制的确定性，而且最终的结果也会是一个二进制的确定性。就好像如果证明者在证明中的每一步都增加了数字1，最后的结果仍然是1，也就是最后结果为什么能保证“证明完成”。而这也是为什么证明者如果有一步无法证明就必须停止的原因。任何的盲从、猜测或偷工减料都将破坏证明，它必须有二进制的确定性。

值得注意的是，我们实际上只能证明重言式逻辑。

伟大的二进制数学真理逻辑上仍等同于“1=1”或“绿色是绿色的”这样的重言式逻辑。这与我们对现实世界的描述是不同的，因为我们会说“松针是绿色的”，或者说“叶绿素分子反射绿光”。这些现实性的描述只能是近似。它们在技术上是含混模糊的，而且它们常常伴随着概率的不确定性：松针有很高的概率是绿色的。

请注意，最后这一句有三重不确定性。第一，“绿色的松针”是非常模糊的，因为在绿色与非绿色之间没有明确的界限，这是程度上的模糊；第二，松针是否有绿色的特质存在概率上的模糊性；第三，概率本身的大小具有模糊性，概率大小被模糊地描述为“很高”，这里的高概率或低概率之间也没有确定的界定。

没有人曾经创造过一个100%二进制的数学定理那样的真理，即使最精确的量子力学的能量预测都只保留了几位小数。二进制式的真理需要无数位小数保证其正确性。

大多数科学家都明白这一点，数学模型的逻辑前提是现实世界，它只是大致匹配和声称匹配模型。现在，我们完全不清楚这种深刻的不匹配对模型预测的影响有多大。

每一个被污染的步骤都可能影响到最后结论的可信度。现代统计学中，只要有足够的样本量，这些样本又足够接近模型的二元假设，我们就可以应用置信区间。这样至少可以让我们用硬币的正反面获取更好的确定性数据。

从这样不完美的科学推理到近似三段论推理法是一大退步。辩护者坚持，相似的前提必然会导致相似的结论，但是，这种相似性涉及它内在的近似模式，如其固有的因果行为的模糊模式，或诸如意图或预见性的潜在精神状态。

法官最终接受或否决提议实际上都解决了这一问题，但是从技术上来说，它是个不合理的推论。0到1之间的任何数都是小于1的，所以当演绎不断进行时，结论的可行度只会下降。所以法官的小锤对“证明”来说并不必要。

在使用自然语言时，这种近似推理可能最接近“证明完成”的时刻，从而使我们脑海里萦绕的那些日常推理都达到了逻辑高点。这就是为什么我们为了达到“证明完成”时刻必须至少体验一次证明过程，从而至少真正达到一次“证明完成”时刻。这种稀少又美妙绝伦的理想的确定性，能让我们将证明和其他事情不混为一谈。