第四章 物性函数论

物质是运动变化的，且包含实物与场物质（场质）。实物是物质低速运动以离散为主的形态，而场质是高速运动以连续为主的形态。两者不可分割地互相依存，互相转化。场质形态及其连续运动状态难以用离散算术代数来描述，通常要用连续函数及其微积分来描述。如质量密度、能量密度、线移、线速度、角移、角速度等参量具有连续函数及其微积分性质。即使实物运动通常也是连续变化的，非得用连续函数及其微积分描述不可。从而函数及其微积分成为数学中不可缺少的部分，它是量与形或代数与几何的矛盾统一，并与代数、几何构成数学的三大支柱。数理辩证逻辑从“有”“无”正反矛盾用数字“1”“0”编码，进入二进制数码，到十进制自然数及其加减乘除算术四则运算关系。甚至具体数字用符号代替，则成代数等式或方程式。土地及其他实物形状量度之长度、角度、面积、体积也可以用数字或代数符号关系表示，只不过性质与单位不同而已。

在坐标上描述运动轨迹曲线，同样曲线也可以作为坐标取值关系，如平面坐标x、y上的曲线，x轴取一个值，根据曲线的对应关系找到y值。x轴的值改变，随之可以根据曲线求得y值，即在某些变化过程中一些参量y随另一些参量x（或自变量）变化而变化，这些参量称为函数。坐标所描述的移动点轨迹是各种直线与曲线，涡旋螺旋线是连续点轨迹。涡旋线可以分解成圆与辐射轴运动及其他运动的连续变化。坐标对移动点规律表示法是函数及其微积分，可根据性质不同用自变量与因变量或函数关系式表示。自变量若是时间，那么该类函数具有特殊量变意义。如函数y随自变量x改变Δx而改变Δy，其比值Δy/Δx往往可以表达变化快慢程度。数学上函数及其微积分是其快慢与时空量变的基本形式。

自变量与函数（因变量）可一分为二为标量性或矢量性参量，从而存在标量性或矢量性函数。某些函数本身是标量性，而有的自变量是标量的，也有自变量是矢量的。另一些函数本身是矢量性的，自变量也有标量性与矢量性参量。这些矛盾性质需要分析，根据不同性质解决矛盾。这是形成数学上矛盾统一逻辑的根据。平动运动（直线与曲线）、涡旋运动（圆周与径向运动）与周期变换运动是最基本的运动形式。纯平动运动、纯涡旋运动、周期性变换运动过程或周期性交换作用等都可用函数表示，如典型的场论与波动函数可用微积分函数等。

函数及其微积分是在忽略离散与连续矛盾，粒子与场质矛盾条件下的连续物质及其运动，主要用于描述连续运动与连续变化的运算，并在物理学及其他学科中广泛应用。在物性数学看来，物质连续可入性且实物是连续物质运动中浓缩成型的，与场质不可分割地联系在一起。从而物质运动包含实物与场质两大类及其正反运动状态。通常场质分布在实物周围，不同性质的场质具有不同相互作用而出现特有现象。如磁体周围的磁场，又如带电体周围的电场以及它们正反状态等。场与场质是同一事物的两类描述方法，类似流体力学中欧拉描述法与朗格郎日描述法。场质是高速运动的连续物质形态，可以用质密度与能密度等描述，而场就用原物理场描述，两者是等价的或等效的，甚至是一致的。场质描述在一定条件下变换为场描述。

物性数学认为不仅物质运动具有连续性，而且物质本质也具有连续可入性，即空间分布连续性，离散是物体表面现象。高速的场物质，尤其极限速度运动场物质是典型的场物质连续可入形态。而天体、实物体及其粒子等是远低于光速的低速运动高度浓缩物质形态。可见物质形态与其运动速度密切相关，能度密度w=lim（ΔE/Δv）=dE/dv与质量密度ρ=lim（Δm/Δv）=dm/dv是描述物质连续可入形态与连续运动状态的重要参量。物性函数论从物质连续运动与连续分布量度矛盾统一角度考察数学的性质与本质。质量对一点周围体积微商称为该点的质量密度，单位是克/厘米2。能量对一点周围体积微商称为该点的能密度，单位尔格/厘米2=克/厘米·秒2。

同一系统不同方法所得结论可能存在差异，如矛盾统一逻辑所量度某些量的关系A;B≧C与以往的原实验量度、原物理规律、原数学关系等结论存在差异，A;（+、-、×、÷）B=C，作适当扩充、调整、修正是可以取得一致、等价、等效的。一般实物或粒子周围存在不同的运动场质，即存在核心与周围场质两方面，突出一面忽略另一面，是原实验量度、原物理规律、原数学关系的基本特点。然而两者不可分割地联系在一起，但实物或粒子与周围运动着的场质关系不便表达与处理，可变换成用相对参考坐标几何点参量描述的场来表达与处理。场与场质是等价的，而场描述往往更方便些。

第一节 微分函数

数理辩证逻辑指出，系统量变到一定程度总要发生质变，即系统量变没有达到无穷大或无穷小就发生质变而存在量变极限，即

A↗∽A°

∨A↗→limA

因而物性数学看来不存在无穷小与无穷大，它们到一定程度必然质变，质变使量变必然存在极限。自变量往往是空间位移坐标量与时间长短数量，前者是矢量或标量的分量，而后者时间则纯粹是标量。它们可以是连续变化或取任意值数量，在连续变化曲线上趋于某一点，其某些数量改变量趋于无穷小，但它达不到零或趋零无限过程，迟早发生质变而存在极限。

这是微分趋于零而又不等于零的本质所在，从而连续函数具有标量与矢量无穷小微分极限属性。所谓无穷小或无穷大，实际上在量变过程中都存在矛盾及其质变积累而出现量变极限。将质变隐含在量变之中的微分表述极限成为近代数学的公认概念。这样，微商不是两个微分零与零之比，而是两个极限值之比。正如函数改变量与自变量改变量之比趋于零时函数上点的斜率表示。可见微商的极限之比跟函数与自变量关系、性质等密切相关。

1．任何点（事物抽象简化）的曲线运动都可一分为二为坐标x、y或x、y、z等分量。若有两个变量x与y，当x取某特定值时，变量y依确定的关系f也有一个确定的值，称y是x的函数，记作y=f（x）。如解析几何圆、椭圆、双曲线、抛物线等都可以化成自变数x按曲线确定关系确定函数值y；反之，y为自变数，x为因变数，即x=f（y）为前式的反函数。

系1：只有一个自变量的函数称为一元函数，有两个或更多个自变量的函数称为多元函数。

系2：当自变数域为实数域时的函数称为实变函数，当自变数域为复数域时的函数为复变函数。

系3：若有一个实数τ≠0，使对定义域中的任意x恒有（fx+τ）=（fx），则称为（fx）以τ为周期的周期函数，否则称f（x）为非周期函数。

系4：若存在两个数α,β（β>α），使α<f（x）<β，对定义域上的任意x都成立，称（f x）为有界函数，否则f（x）为定义域上的无界函数。系5：含有微分或微商（导数）或积分等变量的函数，则称为微分或积分函数。

2．假定对于任意小的ε>0，都存在正整数N=N（ε），使得对于一切的n>N，不等式|xn-α|<ε都成立，就称序列x1、x2、x3、…、xn、…以α为极限（序列收敛于α），记作：

否则序列发散。物性数学等价解释为序列表示量变一系列取值过程，隐含着质变积累，到一定程度发生质变并收敛于极限值A。否则不发生质变而发散。

系：函数在某一点的极限可描述为：若对任意小的ε>0，都存在一个正数δ=δ（ε），使得对于一切满足不等式0<|x-α|≤δ的值x,|A-f（x）|<ε都成立，则称数A为函数f（x）在点α的极限：

数学上的描述忽略或简化了隐含过程矛盾及其质变的等价处理方法。在数理辩证逻辑可以将“任意小ε>0”解释为“无穷小趋势为质变积累趋势到质变时量值ε>0”。极限α是相应的因变量，质变时量值A。把连续函数某一点微小趋于零过程中等价地表示质变积累达到质变时的数值A为极限值，并可等价地引用原数学简化描述。

3．数学第二次危机是函数趋于零及其导数（微商）0/0矛盾引起的。实际上是量变所隐含微小质变积累到一定程度质变的，数学上用极限量上解决无限小。按极限理论导数（微商）的极限相应点的坐标斜率。标量或矢量函数随坐标自变数变化，如一维x函数y（x）或（f x）中，坐标自变数微小变化Δx，引起函数微小变化Δy，函数改变量Δy对自改变量Δx比值的极限存在，称为在点x导数或微商：

lim Δy（x）/Δx=dy（x）/dx

∨limΔf（x）/Δx=df（x）/dx

导数可形象地描述为坐标函数点斜率。

物性数学微商或导数不是零除零而是两质变等效两个极限值之比，并构成函数坐标相应点的斜率。函数可以一分为二为标量性函数与矢量性函数，其导数中dx为标量，微商或导数结果通常仍然保持相应的标量与矢量。物质运动连续随时间变化，最简单最基本的描述是速度、加速度、角速度、角加速度等。

系1：常数微商等零，即dk/dx=0。

系2：如果自变量为时间t而因变数或函数为其他矢参量微分或时间微商仍然是矢量。如位移矢量长度ι是时间t的函数ι（t），那么位移ι对所在时间t的导数或微商则为线速度：

υ=dι/dt

速度υ是空间点的位移对时间微商是矢量，单位为厘米/秒或米/秒。若线速度υ矢量是时间t的函数，其微商为线加速度：

a=dυ/dt=d2ι/dt2

加速度a是空间点的速度对时间微商或位移二阶导数也是矢量，单位为厘米/秒2或米/秒2，说明存在高阶微商或导数。

系3：位移角度θ是时间t的函数，其微商定义角速度，角移方向规定以右手四指表示旋转而垂直大姆指所指的方向表示：

ω=dθ/dt

角速度ω是空间点绕中心的角移对时间微商，仍然是角移方向上的矢量，单位为弧/秒。

角速度ω又是时间函数，对t微商可得角加速度：

β=dω/dt=d2θ/dt2

角加速度β是空间点绕中心的角速度对时间微商或角移二阶导数是矢量，单位为弧/秒2，进一步说明存在高阶微商或导数。

4．线段移动构成面。设s是面Ψ区域，当变量f随区域s的变化而变化时，称f是区域s的函数，记作f=f（s）。把区域量度的面积仍记作s，把s无限细分，使包含a点小区域的面微积量度Δs=ΔxΔy→0。如果f的改变量为Δf（a），对Δs微商，其极限为：

lim Δf（a）/Δs=df（a）/ds=ρ（a）

面的移动构成体。设v是空间Ω区域，当变量f随区域v的变化而变化时，称f是区域v的函数，记作f=f（v）。把区域量度的体积仍记作v，把v无限细分，使包含α小区域的体微积量度Δv=ΔxΔyΔz→0。如果f的改变量为Δf（α），对Δv微商，其极限为：

lim Δf（α）/Δv=df（α）/dv=ρ（α）

它是点α的函数，称为密度函数。

系：标量性微分分析，如果f=m时，ρ（α）为点α处质量体密度f=m时，dm（α）/dv=ρ（α）。f=E时，dE（α）/dv=w（v）为α处能量体密度。它可以用来描述一定区域物质的质量密度或能量密度分布的连续标量函数或实数函数。

5．既然函数存在微商，有没有微积？函数微分与自变量微分的乘积是什么量，或表示什么？除了线微积Δι=rΔθ、面微积Δs=ΔxΔy与体微积Δv=ΔxΔyΔz通常是实数外，还存在其他有意义微积。如区域t函数改变量Δf（t），对Δt不是微商而是微积，且在一定条件下合二而一为一个实数量，具有特殊意义。如f（t）是正弦或余弦等周期变化函数，当在正弦曲线点轨迹长度相同时，正弦函数改变量Δf在相位0或nπ处最大，而时间Δt最短。在相位nπ+π/2处Δf最小而时间Δt最大。即Δf愈大，相应改变量Δt愈小，或相反，两者成反比。两者合二而一且等于常量：

Δf;（·）Δt≧k

如果介面对系统函数改变量Δf与相位或方位无关，那么周期变换动能改变量愈大，相应自变改变量Δt愈小，才能保持不同相位与方位的函数改变量同一性，使周期变换系统函数改变量Δf与自变改变量Δt成反比。

系1：量子动能随时间t周期性变化，若入射在光滑介面上动能需要积累一定时间Δt达到一定改变量ΔE（t）才能真正发生反射或折射作用，即动能改变量Δf=ΔE（t）愈大，需要积累作用时间Δt愈短。通常两微变量成反比。其等价式为：

≒ΔEΔt=2πh

系2：如果某参量是位移ι周期函数（f ι），改变量Δ（f ι），对Δι的微积，且在一定条件下合二而一为常数，则：

Δf; (·)Δι≧k

通常位移Δι是矢量性的，在此条件下移动函数Δf也是矢量，如动量微改变量Δp其位移微改变量Δι，点乘微积为实数，等价于：

≒ΔpΔι=ΔmυΔι=2πh

系3：如果某参量角移θ周期函数f（θ），改变量Δf（θ），对Δθ的微积，且在一定条件下合二而一为常数，则：

Δf; (·)Δθ≧k

通常角移Δθ是矢量性的，在此条件下移动函数Δf，如角动量N也是矢量，其改变量点乘之微积为常数实数，等价于：

≒ΔN Δθ=ΔJωΔθ=2πh

可见微积是周期运动某些函数参量积累趋势与自变量性质相反或反比的反映，以参量间成反比变化来表达。

6．对称曲线函数，设y=（fx），当（f -x）=（fx）是关于y轴对称函数，如余弦函数。余弦微商则成正弦。

系：原点对称曲线函数，设y=（fx），当（f -x）=-（fx）是关于原点对称函数，如正弦函数。正弦微商则成余弦。

7．连续曲线函数f（x）上某些连续点d（fx）/dx=0时，（fx）在x处为极大或极小值。

系1：当曲线上某些连续点df（x）/dx>0时，f（x）为在x处上升曲线。

系2：当曲线上某些连续点d（x）/dx<0时，f（x）为在x处下降曲线。

8．连续曲线函数f（x）某些连续点d2f（x）/dx2=0时，x处为函数f（x）的拐点。

系1：当曲线上某些连续点d2f（x）/dx2>0时，f（x）为x处凹曲线函数。

系2：当曲线上某些连续点d2f（x）/dx2<0时，f（x）为x处凸曲线函数。

9．指数函数xn的微商或导数为：

dxn/dx=nxn-1

系1:d2xn/dx2=n（n-1）xn-2

系2:dx-n/dx=-nx-n-1

10．自然底指数函数微商为：

dex/dx=ex

系1:dax/dx=axlna

系2:d2ax/dx2=a（x lna）2

11．对数函数微商为：

dlnx/dx=1/x

系1:d2lnx/dx2=-x-2

系2:d1ogax/dx=1/x（1na）

12．三角函数微商为：

dsinx/dx=cosx

系1:d cosx/dx=-sinx

系2:d tanx/dx=1/cos2x

系3:d cotx/dx=-1/sin2x

13．反三角函数微商为：

系1:d arc cosx/dx=-1/ (1-x2)

系2:d arc tanx/dx=1/（1+x2）

系3:d arc cotx/dx=-1/（1+x2）

14．函数加减微分微商等于函数微分微商加减，即

d（f1±f2）/dx=df1/dx±df2/dx

系1：函数相乘微分微商：

d（f1·f2）/dx=f1· df2/dx+f2· df1/dx

系2：函数相除微分微商，f2≠0条件下：

系3：函数中函数称复合函数微分微商：

df（1f（2x））/dx=（df1/df2）·（df2/dx）

15．通常函数自变数不止一个而是两个以上，如u=f（x、y、z）。多变量函数微分微商为：

du=（δf/δx）dx+（δf/δy）dy+（δf/δz）dz

其中多变数函数对某自变量微商，如δf/δx=δu/δx称为函数对x偏微商。如垂直三维直角坐标偏微商算符，下面加一划表示矢量算符：

系1：矢量算符乘以标量函数f（x、y、z）则为梯度，仍然保持矢量：

系2：矢量算符点乘以矢量函数f（x、y、z）则为散度，矢量点乘成标量：

系3：矢量算符叉乘以矢量函数f（x、y、z）则为旋度，矢量叉乘为矢量：

16．圆柱面坐标偏微商算符，下面加一划表示矢量算符：

系1：矢量算符乘以标量函数f（x、y、z）则为梯度，仍然保持矢量：

系2：矢量算符点乘以矢量函数f（x、y、z）则为散度，矢量点乘成标量：

系3：矢量算符叉乘以矢量函数f（x、y、z）则为旋度，矢量叉乘为矢量：

17．球面坐标偏微商算符，下面加一划表示矢量算符：

系1：矢量算符乘以标量函数f（x、y、z）则为梯度，仍然保持矢量：

系2：矢量算符点乘以矢量函数f（x、y、z）则为散度，矢量点乘成标量：

系3：矢量算符叉乘以矢量函数（f x、y、z）则为旋度，矢量叉乘为矢量：

第二节 积分函数

积分与微分一样主要用于处理连续变化或连续分布状态函数。积分是微分函数乘自变量微分的和。对一个自变量或一维积分称线积分，对二维积分称为面积分，对三维积分称为体积分，后两者又称多重积分。函数微商仍然是函数F'（x）=dF（x）/dx=f（x）的话，此函数乘以自变的改变量Δx之和，且Δx→0，即dx表示：

可见积分是微分反面的运算。

场质叠加平衡趋势等价作用力，实物或粒子周围不可分割地存在高速运动场质，两实物或粒子相邻，其两侧总是存在场质重叠，并总是形成相反重叠状态，即同向重叠与反向重叠状态，平衡趋势迫使实物或粒子由一侧向另一侧连续移动。动能E随位移ι发生变化。动能对位移微商或梯度dE/dι函数等价于一作用力连续作用于实物或粒子。可见实物或粒子周围场质重叠平衡趋势是趋势力根源之一，也是平衡趋势量度之一。这类平衡趋势力（也可称为主动力或势力或保守力）对位移积分则是动能改变量。

另一类如地面实物或粒子运动总是要恢复相对静止状态或平衡状态，而产生阻止运动使动能E随位移ι减少的摩擦力，其量度也是动能对位移的微商或梯度dE/dι，通常是负数。还有一类力是拉、推、碰撞等弹性作用通过实物接触传递能量或交换能量，同样可以构成作用力，并迫使实物运动（也称被动力），作用力决定于动能对位移微商或梯度。这些力对位移积分就是动能改变量或对外做功。可见微积分是处理连续变化或连续分布数量的重要数学工具。

1．如果在给定区间[a,b]上标量或矢量函数F（'x）=dF（x）/dx=（fx），那么F（x）称为（fx）在[a,b]上积分，即：

系1：若函数f（x）在区间[a,b]上连续的，则f（x）是可积的。

系2：若函数f（x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个断点，则（f x）是可积的。

2．可积函数性质是函数f（x）在区间[a,b]一定是连续的、单调有界的、有界面的、其乘上常数仍然可积的。

系1：函数f（x）在[a,b]区间可积，那么在该区间内任一局部区间仍然可积。

系2：两个以上可积函数f（1x）、f（2x）的和、差、乘函数仍然可积。

系3：若把区间[a,b]分割成若干部分区间，其任一部分区间是可积的。反之各部分区间可积，其整体区间也是可积的。

3．微商函数F'（x）=f（x）的不定积分求法为：

∫f(x)dx=∫F'(x)dx=F(x)+k

系1：线性运算

∫[af1(x)+bf2(x)]dx=a∫f1(x)dx+b∫f2(x)dx

系2：变量替换

∫f(x)dx=∫f(ϕ(t))ϕ'(t)dt

系3：分部积分

∫f1(x)f2'(x)dx=f1(x)f2(x)-∫f1'(x)f2(x)dx

系4：配元积分

∫f(ϕ(x))dϕ(x)=∫F'(ϕ(x))dϕ(x)=F(ϕ(x))+k

4．若函数f（x）在区间[a,b]上连续或分段连续则定积分为：

系1：若函数f（x）在区间[a,b]上连续，则在该区间内至少存在一个数ξ（a<ξ<b），使得：

系2：若函数f1（x）f2（x）在区间[a,b]上有界且可积，f（1x）连续，f（2x）在该区间不变号，则在[a,b]内至少存在一个数ξ（a<ξ<b），使得：

5．定积分的性质：

6．部分求积法

其中，f(x)g(x)|ba=f(b)g(b)-f(a)g(a)

7．变量替换法：设函数g（x）在区间[a,b]有连续微商（导数）dg（x）/dx，同时f（x）在区间[g（a）,g（b）]上连续，并且u从g（a）单调变到g（b），则：

8．利用函数奇偶性求积法

若f（x）是偶函数，则：

若f（x）是奇函数，则：

9．利用积分对参数求导法：设f（x,t）在有界区域R（a≤x≤b,α≤t≤β）上连续，并且存在连续偏导数δf（x,t）/δt，则当α<t<β时有：

10．二重积分系：设薄片的密度ρ（x,y），则薄片质量为：

m(s)=∬sρ(x,y)ds

11．三重积分

系：设物体的密度ρ（x,y,z），则物体质量为

12．空间闭合曲线化包围的曲面积分公式：若ι是包围逐片光滑有界双侧曲面s的逐段光滑简单闭曲线，P=P（x、y、z）,Q=Q（x、y、z）,R=R（x、y、z）是在s+ι上连续可微函数，则：

∮ιPdx+Qdy+Rdz=∬s(δR/δy-δQ/δz)dydz

+(δP/δz-δR/δx)dzdx+(δQ/δx-δP/δy)dxdy

13．空间闭合曲面化包围的体积分公式：若s为所包围体积v的逐片光滑曲面，P=P（x、y、z）,Q=Q（x、y、z）,R=R（x、y、z）及其一阶偏微商在s+v上连续，则：

∬s(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds=∭v(δP/δx+δQ/δy+δR/δz)dxdydz

其中cosα、cosβ、cosγ为曲面s的法线正方向的余弦。

第三节 场论函数

物质连续性及在涡旋运动中浓缩成形的过程，总是构成实物体及其周围场物质，如天体、实物、粒子，甚至量子与周围场质总是不可分割地联系在一起。实物体内外平衡趋势形成交换与微涡旋，甚至交换中不断地各自更新变化。微涡旋一分为二为低速的粒子与高速量子或实物粒子周围的高速磁微涡旋场质。根据场质运动状态不同构成不同场类型与点轨迹不同的运动性质。除了最初的浓缩趋势引力场质外，至少存在以下若干场质形态与运动状态。场质运动表示可以等价地用原数理场状态表示法，只不过把场质流动点参量运动过程换成指定参考坐标系上点的相应参量变化。

天体、实物、粒子周围不可分割地存在不同方式的相对流动场质，这样描述起来较不便，而采用核心体周围场及其各点不同状态参量描述，可不管场内物质如何流动。如磁场各点用磁场强度参量描述，而不管其场质运动状态或形态。场与场质两类描述各有千秋，但从数学角度来看，场描述要方便得多。有些情况下微观状态、结构、关系与宏观是一致或规则的，所构成的宏观状态、结构、关系等可以用宏观与微观状态、结构、关系等价，就用宏观描述代替微观描述，即

A;B≧C

∨a;b≧c

对于系统内微观粒子不规则运动的宏观状态的能量形态或质可能不同，但宏观量值上跟质量一样，也跟规则运动宏微观关系一样，都是微观粒子能量线性之和，所不同的只是宏观能量形态或质的不同而已。与具体物质或物体系统能量转化守恒意义类似，转化前后能量的量值是一样的，但转化前后运动形态或质是不同的，如落体势能转化为动能，又如物体动能转化为温度变化的内能等。

1．涡旋体交换的正反运动必引起微旋化。微旋化后粒子浓缩趋势组合是天体或实物产生万有引力的根源，其强度跟天体或物体周围的质量密度密切相关。一个天体或实物是微涡旋体的组合，周围存在浓缩趋势场质，并有向天体或实物中心趋势质量密度ρ=∑ρi=Δ∑mi/Δv=Δm/Δv，其大小决定核心质量。即涡旋体核心与周围场质或等价的场关系通常可以用散度定义。如涡旋核心质量是周围场质浓缩而成的，而场质的质量密度流向核心，若用场描述，场标量与矢量参量有如下主要性质。

系1：标量性函数梯度是矢量：

gradf=▽f=（δ/δx+δ/δy+δ/δz）f

其散度为标量：

div · gradf=（δ2/δx2+δ2/δy2+δ2/δz2）f=▽·▽f=▽2f

系2：矢量性函数散度divf=▽f为标量，其梯度为矢量：

grad divf=▽（▽f）

系3：标量性函数梯度为矢量，其旋度为矢量，且等于零：

rot gradf=▽×▽f=0

系4：矢量函数旋度为矢量，其散度为标量，且等于零：

div · rotf=▽·▽×f=0

系5：矢量函数旋度是矢量，其旋度仍然是矢量：

rot rotf=▽×▽×f

2．涡旋体以一定速度运动必影响其周围向心场质的运动状态，前后部所重叠速度相反，后部速度同向重叠速度变大，质量密度下降，具有弥散趋势。而前端速度反向重叠速度变小，具有浓缩趋势，使场质由后部流向前端，形成环绕涡旋体螺旋线运动状态。

如果涡旋体内微旋体或粒子随其以某个线速度旋转，微旋体或粒子周围以一定速度旋转，粒子旋转速度前后沿场质叠加上反向与同向速度。其后沿同向速度而有弥散，并趋向于前沿反向浓缩，形成环绕微螺旋场质，并从涡旋体一极进入另一极出来的微螺旋线状态。该微螺旋线等价于磁力线从近旋转轴一极进去另一极出来的磁场状态。该螺旋线密度愈大，等价于磁力线愈密，即磁性愈强。可见涡旋体周围不仅存在万有引力场质或引力场，而且存在磁场质或磁场。

若涡旋体周围场用场速矢量势A等价场质速度u，即A≒u。其旋度定义为：

rotA=▽×A≡B

该旋度称为磁感应强度。磁感应强度（磁力线面密度）定义磁场能密度为w=B2/μ并等价微螺旋线能密度，如：

w≡B2/μ=BH=μH2

说明涡旋体（包括宏观天体与微观粒子）运动本身可以在其周围场质形成磁性，磁力线的本质是场质速度螺旋线。B的单位同角速度1/秒，μ的单位（B2/w）为厘米/克，H的单位（B/μ）为安培/米。

3．不同材料导磁率μ不同，是跟场质涡旋线质量密度倒数有关的参量。从而H=B/μ，磁场强度的本质是单位时间场质螺旋线的质量密度。而原子或分子是微涡旋粒子系统，组合成铁磁性、顺磁性、逆磁性、超导性等不同的磁性材料。对于原子或分子来说，磁性实际上是跟其壳粒分布与运动状态密切相关的。大体上跟原子核、内层壳粒、外层壳粒的分布与运动状态有关。

系1：铁等元素原子核内外磁性较一致，从而构成强磁性的铁磁性材料。

系2：碱族元素最外层的一个壳粒易脱离，易受外磁场作用而成为顺磁性材料。

系3：惰性元素常温下处于气态，与一些外层壳粒分布较对称元素材料而难使壳粒脱离，而且运动速度愈低，愈难脱离，愈靠场质联系，具有排斥外磁场倾向，构成逆磁料。

4．逆磁性材料通常温度愈低逆磁性愈强且愈靠场质交换联系。到了临界温度逆磁性完全可把外磁场排斥掉，交换场质不仅跟相邻粒子间交换而且扩大到整个（液体）材料。如氦是典型的惰性气体，随着温度降低逆磁性愈强且粒子间场质交换也愈强，到了临界温度逆磁性完全可把外磁场排斥掉，交换场质不仅跟相邻粒子间交换而是扩大到整个液体材料，一粒子带电立即传遍整个材料，电阻等于零，即构成了超导性状态。

系：从超导体状态提升温度，壳粒交换逐渐恢复，在自个原子核周围允许轨道间跃迁，出现如崔棋实验所得电子分数带电现象。再升高温度，则恢复欧姆定律与场论描述的电现象。

5．微螺旋线所构成的等价磁场闭合磁力线的任一点，有出必有进。即具有场论中麦克斯韦方程（4）的性质：

▽·▽×A=0

它等价于磁场上一点有进必有出连续性的数学性质。

6．电是分子、原子、原子核分离、溶解、破裂等所产生的现象，这些粒子原处于交换平衡状态，受到破坏而分离成交换不平衡的两部分，一部分失壳粒而处于弥漫扩散（失质量或空穴型或带正电）状态，另一部分壳粒得量子而处于吸收浓缩（得质量或电子型或带负电）状态。

交换不平衡所形成的背心或向心减加速场质运动，可用场质速度符号负变化率C=-du/dt表示，与电场速度A变化率等价，并定义为电场强度等价：

C=-du/dt≒G=-dA/dt

w≡εG2=GD

其中D=εG称为电位移，等价于质量改变量面密度，ε为与介质对场质量密度性质有关参数。电场强度G的单位为厘米/秒2,ε的单位为克秒2/厘米3，电位移D的单位（εG）为克/厘米2。

按场论描述场速矢势A对时间微商定义电场强度等价G=-dA/dt。从而电场强度等价场质速度负变化率及D=εG称为电位移并等价于场质的质量改变量面密度。

7．电位移散度定义为电荷密度：

divD=divεG≡σ=dq/dV

式中，D为电位移；G为电场强度；ε为介电常数；σ为电荷密度；q为电荷等，等价于场论中麦克斯方程（3）：

σ=dq/dV=divD=divεG

式中，G等价于场质流速负变化率；D质量改变量面密度；从而电荷密度σ或电荷q是场质向心或背心流速变化率引起质量密度或质量改变量的正负。

可见麦克斯方程（3）实际上是电荷或电荷密度的定义式，且表明了电或电荷的可变性、暂态性本质。导体可以通过感应或外加电压使壳粒脱离原子核而生电，绝缘体可以通过摩擦，迫使壳粒脱离而生电。所谓移动磁场生电是有条件的，实际上必须存在相对磁场移动的导体，导体内易脱离原子壳粒在常温下仍处于热运动状态。若导体壳粒是有规则移动的，使其在移动方向周围产生环状磁场。

8．粒前后沿场质向心运动与壳粒运动速度处于反向、同向状态。平衡趋势使前沿重叠反向速度而呈吸收浓缩趋势，后沿重叠同向速度而呈弥漫扩散趋势，后沿趋向前沿。在导体中壳粒周围形成环状微螺旋线并等价环状磁场，等价于麦克斯韦方程（2）：

j+dD/dt=rotH

其中，j与dD/dt分别表示导线电流与电荷移动密度。

壳粒热运动化为规则移动，则成移动电荷或使导体电流周围产生环磁场，在运动电荷周围出现场质运动状态发生变化，平衡趋势转化为环状磁性等现象。可见运动电荷实际上是壳粒周围加速场质前后叠加上正反向速度引起周围部分场质转化为带有环状磁场质。

导线上所产生的磁感应强度B与电流I成正比而与距离r成反比。导线上电流与磁场方向的关系，如右手大姆指沿导线其他四指握导线时，大姆指为导线电流方向，四指为磁场方向，其值大小为

B=μH=2μI/r：

9．不管是导线通电流还是移动导线产生磁性，在外磁场平衡趋势作用下发电或电动。这个性质可以用具有电磁感应定律的麦克斯韦方程（1）等价来描述：

dB/dt=d▽×A/dt=▽×dA/dt=▽×（-G）

其积分式是：

∮Gdι=-∬(dB/dt)ds

实际上，上式都是导体相对磁场运动的电磁感应规律ιυB=电动势的微、积分式。可见麦克斯韦方程（1）用来描述相对外磁场运动的导线中分离壳粒电转化磁，其重叠作用所引起的电动或发电的现象。没有导体，如绝缘体或根本无物体空间中的磁体运动，其周围通常并不产生电现象或电流现象。

系1：外力推动导线在外磁场中移动，原子壳粒在导线内变成移动方向上的规则运动，各壳粒周围在导线内产生环状磁场。其重叠上外磁场而引起壳粒在导线中左右不平衡，并在平衡趋势中，带电壳粒移动，即产生电流，具有发电趋势。导线壳粒周围场质产生的磁场重叠上外磁场B，所构成的电流取决于外加磁感应强度B与作用力或速度υ及导线长度ι。即产生的电流强度I或电动势Ü的大小取决于外磁场B、磁场中的导线长度ι与作用力产生速度υ的大小：

Ü=υιB

系2：通电导线周围产生环状磁场，重叠上外磁场，平衡趋势迫使导线移动，具有电动趋势。导线电流产生的磁场重叠上外磁场B，所构成的作用力F取决于磁感应强度B与导线长度ι和电流强度I，则：

F=BIι

10．带电粒子或带电体周围充满浓缩性或弥漫性加速场质，带不同电体相邻，相邻一侧浓缩性场质与弥漫性场质加速同向重叠，加速度变大（动态几何指出实物加速度与速度关系式为a=a0(1-υ2/c2），对包含场质加速度与速度的关系是a=a0(1-υ2/2c2），说明速度愈大，加速度愈小），而速度减少，具有收缩趋势。外侧则加速反向重叠，加速度变小，而速度增大，具有弥散趋势。场质外侧趋向邻侧，迫使两带异电体靠近，即相吸。

反之带同电体相邻时，相邻一侧浓缩性场质与浓缩性场质加速反向重叠，加速度变小了，而速度增大，具有弥散趋势。外侧则加速同向重叠，加速度变大，而速度减少，具有浓缩趋势。场质邻侧趋向外侧，迫使两带同电体远离，则相斥。

系正负带电体分别为失壳粒或失质量（正电端）与得壳粒或得质量（负电端）物体，若中间连接导线，平衡趋势促使壳粒或质量从正电端往负电端移动，并形成电流。差异愈大，电流也相应愈大，所谓差异指电能qU或电压差异U，即

U=IR

其中，I为导体中的电流，U为导体两端的电压或电动势，比例系数R决定导体材料的导电性质，称为电阻。这个关系式称欧姆定律。

11．导线壳粒周期性往返移动，则形成其周围变换环状磁场质往外辐射的电磁波或环状磁场质所形成的周期变换量子流。它实际上是同频率（同速度）、同相位（同方位）量子流以某种周期变换能密度以电磁波集体状态运动着。同步运动量子流的电磁波动能密度为：

w=HB+GD=μH2+εG2

=μH02sin22π（vt-ι/λ）+εG02cos22π（vt-ι/λ）

可见电磁场辐射的本质是发射源发射同步运动量子流（束）。电磁波能流密度周期性变换可以看成同步运行量子流密度。

通过上述物性数学新定义、新建立、新推出的具有新特性、新规律、新原理之参量及其关系式，与原现象、原实验、原理论相应关系式等价方法，可以更本质地推出或分析解释物理电与磁的基本概念、判断，甚至参量与关系式的深刻意义。

12．涡旋正反变换平衡趋势可以用正弦与余弦能密度变换平方和，并等于常数来表示。或者是涡旋能密度与平动能密度周期性变换过程，两能密度之和为常数，即

w♂=ϕ20 sin22π（vt-ι/λ）+ϕ20 cos22π（vt-ι/λ）=ϕ20

其中ϕ0是涡旋浓缩最大幅度或能密度开方，θ=2π（vt-ι/λ）中，2πvt为初始或发射时刻相位，2πι/λ为位移至ι处相位，且波长是涡旋体运行过程中相邻浓缩峰值间距，λ=υτ=υ/v。能密度w=ϕ20除以量子或粒子能量，则成了粒子数密度。对个别量子来说是指出现的几率密度，即

n=w/hv

13．对光量子或粒子交换状态实际上跟其浓缩状态周期性变化密切相关，可以用涡旋能密度周期浓缩幅度来描述，即

最大幅度、初相位、位移三者确定了，粒子或量子涡旋浓缩状态也就确定了。

涡旋浓缩变换过程实际上就是与周围场质交换的过程，而且速度愈低，交换愈强。它不仅是单一量子或粒子能密度的表达式，而且也可以作为同步运行量子束集体波动行为的描述。这时ϕ0是量子或粒子束的最大幅度或能密度开方，即

ϕ=ϕ0 sin2π（vt-ι/λ）

系：介质波动实际上是介质分子间量子递换传输的过程，同样可以用量子流能密度的上式描述。

14．来自于不同介面的两束同步（同速度、同频率）同时入射到某一个平面上重叠，落在该平面（或屏幕）上各位置，存在不同光行差或相位差。若存在两束峰值重叠与相邻的峰、谷值重叠而构成相对强弱交叉状态的则出现干涉现象，如：

当两束光在屏幕一位置相重叠，相位差4πθ=π，即相位差π使两幅度状态相反或光程差半波长（相邻峰值间距）时：

当两束光在屏幕相邻另一位置相重叠，相位差4πδ=2π，使两束光幅度变换同步或光程差波长整数倍时：

它相对 为亮条纹，即亮暗交错干涉条纹，等效于经典波动说叠加原理。

15．实物光滑边缘对同步运行光量子束的相位调整是产生光衍射现象的根源。可以说电磁波束或量子束衍射现象也证明了光量子相位调整作用。如单缝中间光量子束无阻挡直射光束，狭缝愈窄直射光量子束愈弱，主要靠狭缝边缘散射，从而屏幕上衍射条纹愈宽愈明显。如果同步运行光束直射与边缘散射重叠而出现强弱交叉状态的为衍射现象。

系：声波与机械波都是振动实物体振动能量向周围介质分子传送能量子，同样具有强弱干涉现象与衍射现象。