模块二 数量关系

以上为本模块重要考点概括，建议考生每完成一个考点的学习后，回到本页，将已经掌握的考点打上“√”以快速查找自身不足，进行针对性练习。

（注：★★★表示高频考点，★★表示中频考点，★表示低频考点）

第一章数学运算

第一节 方程与不等式

方程和不等式是反映事物间量化关系的基本形式，方程表示等量关系，而不等式表示比较关系。在数学运算中，可能会涉及一元或多元方程、方程组。但是这些几乎都是一次方程或一次方程组，即方程只包含未知数本身的线性组合，如7x+4y=20，这样的方程运算只涉及加减乘除，对运算的要求并不高。对于很多文字应用题，如和差倍比问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题等，列方程是最基本的解题方法，除此以外，对于我们介绍的其他题型，如费用问题、比例问题、行程问题、容斥原理等都可以利用方程法来解决；而不等式法往往会结合数字特性来解决问题，这些都是解决数学运算的基本方法。

考试直击 一元方程 命中考题的根本

一元方程主要用于只设一个未知数就能列方程求解的数学题型，多为一次方程。解答这种题型的技巧在于选择合理的未知数，一般应设题目所求量为未知数。

真题实例 以真题验证考点

1．A、B两桶中共装有108公斤水。从A桶中取出的水倒入B桶，再从B桶中取出的水倒入A桶，此时两桶中水的重量刚好相等。问B桶中原来有多少公斤水？（ ）

A．42

B．48

C．50

D．60

深度解析 D。分析题干，A、B两桶中的水的重量都未知，但由于知道A、B两桶中水的总重量，这里实际上只设一个未知数就可以，题干中问的是B桶中原来有多少水，将其设为x。显然A桶中原有的水为108-x，因此根据题干中的操作过程，B桶的x加入A桶的，再倒到A桶，剩下的应该等于108的一半，即54。写成方程为，两边同乘，即，解得x=60。

2．甲、乙两种商品的价格比是3∶5。如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（ ）。

A．300元 500元

B．375元 625元

C．450元 750元

D．525元 875元

深度解析 C。设原来两种产品的价格分别为3x、5x 元，则可得，解得x=150，则原来的价格分别为450元和750元。

考试直击 多元方程 命中考题的根本

多元方程，这里是指设两个及以上未知数列方程求解的数学运算题型。一个多元一次方程不能求出唯一的解，因此多元方程问题往往以方程组的形式解题，而求解方程组的重要思想是消元，于是在实际解题过程中，通过适当放大和缩小题目中的条件，然后从等价关系中找到所求量的解成为快速解题的思路。

真题实例 以真题验证考点

1．现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍，共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱（ ）。

A．多1个

B．少1个

C．多2个

D．少2个

深度解析 A。由题知，甲、乙、丙3个箱子里最终的球数为原球数的3、4、5倍，而原来的球数是1或2或3，设三个箱子原来分别有x、y、z个球，则有x+y+z=6……（1）,3x+4y+5z=22……（2），因为比较的是甲和乙的关系，因此我们将z消去，用5×（1）-（2）得2x+y=8，如果x=1, y=6，不符合，如果x=2, y=4，不符合，于是x=3, y=2，选A。

2．甲购买了A、B、C三种书籍各若干本捐赠给希望小学。其中B书籍比C书籍少3本，比A书籍多2本；B书籍的单价比A书籍低4元，比C书籍高4元。其购买B书籍的总开销与C书籍相当，比A书籍少4元。问甲购买三种书籍一共用了多少元？（ ）

A．724

B．772

C．940

D．1084

深度解析 D。设B书籍共x本，则A书籍、C书籍分别有（x-2）、（x+3）本，令B书籍的单价为a元，则A书籍、C书籍的单价分别为（a+4）、（a-4）元，由此可得，解得。易知甲购买三种书籍共用了1084元。选D。

考试直击 不定方程（组） 命中考题的根本

不定方程（组），通常是指给出的等式数小于未知数个数的方程或方程组。在没有其他限定条件的情况下，不定方程的解不是唯一确定的。但是在考试中，这类题目往往限定了方程的解是整数，因此在明确了方程之后，通过数字的大小范围、奇偶特性、整除特性以及倍数特性缩小正确选项的范围后，再运用代入排除法是常规解题思路。对于不定方程组求个体或两个体加和、做差的情况，可以通过加减消元法消去无关量，转换为不定方程求解；对于不定方程组求整体的情况，可以通过“赋0法”消去一个未知数求解。

真题实例 以真题验证考点

1．射箭运动员进行训练，10支箭共打了93环，且每支箭的环数都不低于8环。问命中10环的箭数最多能比命中9环的多几支？（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

深度解析 D。每支箭的环数都不低于8环，意味着环数只能是8、9、10。设射中8、9、10环分别有x、y、z支箭，显然都是非负整数。有x+y+z=10……（1）,8x+9y+10z=93……（2）。为使10环的尽可能多，9环的尽可能少，显然8环的也要尽可能多。我们消去9环的y，得到z-x=3，即10环比8环多3支，10环最多只能是6支，这时8环3支，9环1支，相差是5支，而这已经是选项中最多的一项，因此选D。

2．一个班有50名学生，他们的名字都是由2个或3个字组成的。将他们平均分为两组之后，两组的学生名字字数之差为10。此时两组学生中名字字数为2的学生数量之差为（ ）。

A．5

B．8

C．10

D．12

深度解析 C。不定方程问题。可设两组中名字字数为2的学生分别有x, y名，则有2x+3（25-x）=10+2y+3（25-y），化解得y-x=10。也可利用整体思维，由题意两组学生名字字数相差10，两组人数相同，即其中一组比另一组名字字数为3的学生的人数多10人，则名字字数为2的人数少10人。

考试直击 不等式 命中考题的根本

不等式问题，就是题目只给出关于未知数的大小关系，待求未知数或未知数的范围的题型。这类题目最重要的是分析出对应的大小关系，只要分析清楚，题目往往迎刃而解。

在备考的过程中，考生要掌握下列不等式的一些性质，并做到灵活运用。

真题实例 以真题验证考点

每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参加植树活动。已知去A地每人往返车费20元，人均植树5棵，去B地每人往返车费30元，人均植树3棵。设到A地员工有x人，A、B两地共植树y棵，y与x之间满足y=8x-15。若往返车费总和不超过3000元，那么，最多可植树多少棵？（ ）

A．489

B．400

C．498

D．513

深度解析 A。方程与不等式问题。根据题意，到B地的员工人数为，则有20x+30× ，整理可得y-3x≤300。将y=8x-15代入可得8x-15-3x≤300，解得x≤63。所以最多可植树8×63-15=489（棵）。故本题答案为A。

第二节 行程问题

行程问题，是文字应用题中的典型问题，题目的条件多变，问题设置灵活，行程问题重在对题目的分析。基本行程问题、相遇追及问题、流水行船问题是基础题型，可以利用总结的经验公式解题，只要学会分析，也不是很难。而间歇变速运动问题，涉及速度的变动与行进中的停歇，往往情况复杂，是行程问题的难点题型，需要细致地分析。

考试直击 基本行程 命中考题的根本

行程问题核心公式：路程=速度×时间。

由此公式进一步可得：

路程的比例=速度的比例×时间的比例。

等距离平均速度公式：v1与v2所经历的路程相同，则。

火车过桥公式：桥长+车长=火车速度×过桥时间。

从行程问题基本公式出发，针对路程、速度、时间三个量，先看题目待求量，然后返回题目中寻找其余两个量，根据基本公式列方程，是解决基本行程问题、相遇追及问题和流水行船问题的常规方法。对于较复杂的行程题目，也可以借助画图来寻找相应的等量关系。

真题实例 以真题验证考点

1．甲、乙两辆车从A地驶往90公里外的B地，两车的速度比为5∶6。甲车于上午10点半出发，乙车于10点40分出发，最终乙车比甲车早2分钟到达乙地。问两车的时速相差多少千米/小时？（ ）

A．10

B．12

C．12.5

D．15

深度解析 D。行程问题。设甲的速度为5x千米/小时，则乙的速度为6x千米/小时，依据题意，乙走完全程比甲少用小时。可得方程：，解得x=15。因此本题选D。

2．某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需35秒，而轿车过桥的时间是动车的3倍，已知该动车的速度是每秒70米，轿车的速度是每秒21米，这列动车的车身长是（ ）。（轿车车身长忽略不计）

A．120米

B．122.5米

C．240米

D．245米

深度解析 D。行程问题。根据过桥公式可知，70×35=动车长度+桥长，21×35×3=桥长，两个等式之差即为动车长度，即动车长度为70×35-21×35×3=35×（70-63）=35×7=245（米）。故选D。

考试直击 相遇追及 命中考题的根本

相遇追及问题公式：相遇距离=（速度1+速度2）×相遇时间；

追及距离=（速度1-速度2）×追及时间。

对于两人从两地相向出发相遇后到达另一地再返回相遇的问题（必须是两者都到达另一地返回），如果用S1、S2表示两次相遇地点分别距离某起点的距离，S表示两地间的距离，则第一次相遇两人分别走过S1, S-S1，第二次相遇两人分别走过S+（S-S2）, S+S2，根据速度之比等于路程之比， S1∶（S-S1）=（2S-S2）∶（S+S2），有如下公式：。

同理可得下面的公式：

两边型公式：S=3S1-S2（S1、S2指的是两次相遇地点分别距离两个起点的距离，S表示两地间的距离）。

真题实例 以真题验证考点

1．在一次航海模型展示活动中，甲乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲乙两款模型相遇次数是（ ）。

A．9

B．10

C．11

D．12

深度解析 C。相对速度问题。本题属于左右点出发的迎面相遇行程问题，直接运用公式“第N次迎面相遇，路程和=全程×（2N-1）”即可。由题意可知，12分钟内，甲款模型航行了 （米），乙款模型航行了（米），所以路程和为2200米，而全程为100米，代入公式可得2200=100×（2N-1），解得N=11.5。注意：此处的小数表示相遇11次之后甲、乙两款模型又共航行了100米，但还未再次相遇，所以12分钟内甲、乙两款模型相遇了11次。故本题答案为C。

2．小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲、乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，问小张的车速是小王的几倍？（ ）

A．1.5

B．2

C．2.5

D．3

深度解析 B。行程问题。采用比例法。由题意，两人从同地出发，则第一次相遇时两人的路程和为2个全程，设其中小张走了x，小王走了y；第二次相遇时两人又走了2个全程，小张走了2y，小王走了x-y；由比例法得，解得x=2y，故两人的速度比为2∶1。

3．甲、乙两名运动员在400米的环形跑道上练习跑步，甲出发1分钟后乙同向出发，乙出发2分钟后第一次追上甲，又过了8分钟，乙第二次追上甲，此时乙比甲多跑了250米，问两人出发地相隔多少米？（ ）

A．200

B．150

C．100

D．50

深度解析 深度解析 B。方法一：设甲与乙的速度分别为v甲和v乙，由题意，从乙第一次追上甲到第二次追上甲，二者的路程差为400米，可得400=（v乙-v甲）×8，解得两人速度差为50米/分。由于甲一共跑了11分钟，乙一共跑了10分钟，在后10分钟内，乙比甲多跑了50×10=500（米）；由于乙全程比甲多跑250米，故甲最开始的1分钟跑了250米；又根据乙2分钟时第一次追上甲，可得在这2分钟内乙比甲多跑了为50×2=100（米）。故两人最初相距250-100=150（米）。

方法二：直接分析，在两人第一次相遇到第二次相遇的过程中，乙比甲多跑了400米，故在最开始的2分钟内甲比乙多跑400-250=150（米），即两人出发时相距150米。

考试直击 间歇变速 命中考题的根本

对于行进中出现速度变化的问题，根据运动物体的运动轨迹寻找相应的等量关系，一般考虑找关于时间的等量关系。而对于在行进中出现休息时间的问题，可以将行进和休息的时间看成一个整体来考虑平均速度，但是在追及前后要具体分析。

真题实例 以真题验证考点

1．中午12点，甲驾驶汽车从A地到B地办事，行驶1小时，走了总路程的15%。此后甲的速度增加了15公里/小时，又行驶了30分钟后，距离B地还有的路程。此后甲的速度如果再增加15公里/小时，问几点能到B地？（ ）

A．16:00

B．16:30

C．17:00

D．17:30

深度解析 B。由题知，第一次加速后的30分钟甲行驶了1-15%-75%=10%的路程，如果行驶1小时应该是20%的路程，也就是说增加15公里/小时行驶1小时，多行驶了20%-15%=5%，也就是说再增加15公里/小时，1小时应该行驶20%+5%=25%的路程，即剩下的75%的路程，需要3小时，总共4.5小时，选B。

2．小王从家开车上班，汽车行驶10分钟后发生了故障，小王从后备箱中取出自行车继续赶路。由于自行车的速度只有汽车速度的，小王比预计时间晚了20分钟到达单位。如果之前汽车再多行驶6公里，他就能少迟到10分钟。问小王从家到单位的距离是多少公里？（ ）

A．12

B．14

C．15

D．16

深度解析 D。由汽车和自行车的速度之比为5∶3，汽车行驶6公里，比自行车少耗时10分钟，设汽车、自行车的速度分别为x公里/分钟、0.6x公里/分钟，则有, x=0.4。设发生故障前，小王的原预定时间为t分钟，则有（t-10+20）×0.6×0.4=（t-10）×0.4，解得t=40，则小王从家到单位的距离为s=xt=16（公里）。

考试直击 流水行船 命中考题的根本

流水行船与扶梯上下本质上是一类题目，只不过扶梯上下型题目中电梯的总级数即为总路程；每人每秒走过的电梯级数即为速度。

真题实例 以真题验证考点

1．A、B两船在静水中的航行速度分别为江水中水流速度的3倍和5倍，B船8点从上游的甲码头出发全速行进，中午11点到达下游的乙码头后原路返回。10点30分时，A船也从甲码头出发向乙码头全速行进。问两艘船相遇的点到甲码头和乙码头距离之间的比为（ ）。

A．3∶2

B．4∶3

C．5∶4

D．7∶6

深度解析 C。设A船速度为3, B船速度为5，水速为1，那么B从上游到下游为顺流，甲到乙共行驶3小时，所以总路程S=3×（5+1）=18。11点B船到达乙，而A从10点30分到11点行驶30分钟，顺流走的路程为2，所以在11点时A和B相距16，其后A顺流速度为3+1=4, B逆流速度为5-1=4，所以需要经过2小时相遇。A共行驶10, B行驶8，所以相遇点到甲乙码头的距离比为10∶8=5∶4。因此，本题正确答案为C。

2．一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3倍。现该船靠人工划动从A地顺流到达B地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少。问船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的多少倍？（ ）

A．2

B．3

C．4

D．5

深度解析 B。设水速是1，则顺水速度为3，人工划船静水速度=3-1=2。顺水时间∶逆水时间=1∶=5∶3，则顺水速度∶逆水速度=3∶5。所以逆水速度为5，动力桨静水速度=5+1=6，因此所求倍数为6÷2=3。

第三节 比例问题

比例问题，是一类涉及比例关系的文字应用题的合称，比如工程问题的效率，溶液问题的浓度，牛吃草问题中牛吃草效率与长草效率之比，钟表问题中时间与角度的比例等。工程问题是比例问题中的重点题型，溶液问题、牛吃草问题时有考查，而钟表问题考查较少。

考试直击 工程问题 命中考题的根本

工程问题公式：工程量=效率×时间。

由此可得推论：

当时间相同时，工程量之比等于效率之比。

工程问题一般采用赋值法或根据基本公式设未知数寻找等量关系列方程。若题目当中给出时间信息，则赋工作总量，根据总量和时间求出效率，然后研究效率的分配方式（合作、干扰、撤出、交替等）。为了便于计算，总量赋成时间的公倍数。如果题目中出现效率的比例或倍数关系，一般可以考虑将效率赋成具体数值，然后根据公式直接进行求解或者找等量关系列方程。

真题实例 以真题验证考点

1．有A和B两个公司想承包某项工程。A公司需要300天才能完工，费用为1.5万元/天。B公司需要200天就能完工，费用为3万元/天。综合考虑时间和费用等问题，在A公司开工50天后，B公司才加入工程。按以上方案，该项工程的费用为多少？（ ）

A．475万元

B．500万元

C．615万元

D．525万元

深度解析 D。工程问题。赋值工作总量为600，则A公司的效率为2, B公司的效率为3。A公司开工50天后，剩余工作量为600-2×50=500，由A、B两公司合作完成，所需时间为500÷ （2+3）=100（天）。所以在这项工程中，A公司做了150天，B公司做了100天，所需费用为150× 1.5+100×3=525（万元）。故本题答案为D。

2．药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉。厂长决定从上午10点开始，增加若干台手工研磨器进行辅助作业。他估算如果增加2台，可在晚上8点完成，如果增加8台，可在下午6点完成。问如果希望在下午3点完成，需要增加多少台手工研磨器？（ ）

A．20

B．24

C．26

D．32

深度解析 C。设每台手工研磨器效率为1，原有电动研磨器的总效率为x，可得：10（x+2）=8（x+8），解得x=22。要想下午3点完成，设需要增加y台机器，可得：10×（22+2）=5（22+y），解得y=26。因此本题选C。

考试直击 溶液问题 命中考题的根本

溶液问题公式：

浓度=溶质÷溶液，溶液=溶质+溶剂。

两溶液混合，质量分别为M1、M2，浓度分别为c1、c2，混合后溶液浓度为c，则有公式：M1c1+ M2c2=（M1+M2）c。如果已知混合前和混合后的浓度，还可以求出混合的溶液之比：

对于挥发和稀释的溶液问题，抓住过程中的规律，如按比例变化或者溶质不变，以此为突破口解题，在只涉及比例关系的题目中可以适当给溶质或溶剂赋值。

真题实例 以真题验证考点

1．一个容器盛有一定量盐水，第一次加入适量水后，容器内盐水浓度为3%，第二次再加入同样多水后，容器内盐水浓度为2%，则第三次加入同样多的水后盐水浓度为（ ）。

A．0.5%

B．1%

C．1.2%

D．1.5%

深度解析 D。浓度问题。依据题意可知加水的过程中溶质的量保持不变，设第一次加入适量水后溶液为100克，则溶质为3克。第二次加水后浓度为2%，则溶液为3÷2%=150 （克），所以加入的水量为150-100=50（克），则第三次加入50克水后浓度变为3÷（150+50）× 100%=1.5%。所以本题选择D项。

2．在某状态下，将28g某种溶质放入99g水中恰好配成饱和溶液，从中取出溶液加入4g溶质和11g水，请问此时浓度变为多少？（ ）

A．21.61%

B．22.05%

C．23.53%

D．24.15%

深度解析 B。本题属于溶液问题。判断溶液的浓度，首先要判断溶液是否饱和。由于99克水最多可溶解28克溶质，则11克水最多可溶解克溶质，即小于4克溶质，因此饱和溶液加入4克溶质和11克水仍为饱和溶液，故浓度为28÷（28+99）×100%≈22.05%。故本题应选B。

考试直击 牛吃草问题 命中考题的根本

常考模型有牛吃草、抽水机抽水、检票口检票、资源开发。解题时往往根据题干中已知的数字信息列方程组：{，通过求解方程组进而得到题目的答案。

真题实例 以真题验证考点

某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟。问如果同时开7个入场口需几分钟？（ ）

A．18分钟

B．20分钟

C．22分钟

D．25分钟

深度解析 D。设每个入场口每分钟可入场人数为1，每分钟到来的观众人数为x，等候入场的人数为y，开放7个入场口需要N分钟，可得，解得0。因此，本题选D。

考试直击 钟表问题 命中考题的根本

时钟表盘分12大格，每格30°，时针转速为0.5°/分，分针转速为6°/分。分针每分钟追时针5.5°。

时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。

时针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

无论是标准表还是坏表，转速都是匀速的，只是速度不同而已。

对于快慢钟问题的参照物为标准时间，快慢钟问题一般采用比例法解题。根据条件可以得出标准钟与快慢钟的速度之比，此比例即为两钟实际运行过的时间长度（相当于行程问题中的路程）之比。

真题实例 以真题验证考点

1．为保证一重大项目机械产品的可靠性，对其进行连续测试，试验小组需要每隔5小时观察一次，当观察第120次时，手表的时针正好指向10。问观察第几次时，手表的时针第一次与分针呈60度角？（ ）

A．2

B．4

C．6

D．8

深度解析 D。由题知，手表时针每12小时转一周，试验每隔5小时观察一次，因此每12×5=60（小时），即每12次观察的时刻都相同。由第120次为10点，可知10点为一周期内的第12次测量，则第1次为10+5-12=3（点），于是第2次到第12次依次为8,1,6,11,4,9,2,7,12,5,10点。整点中只有2点与10点时针和分针呈60度角。可知最先出现的是2点，为第8次。选D。

2．现在时间为4点分，此时时针与分针成什么角度？（ ）

A．30度

B．45度

C．90度

D．120度

深度解析B。如下图所示，4点分时，时针在4到5之间，分针在2到3之间，很明显大于30度，小于90度，排除A、C、D。故本题选B。

第四节 几何问题

几何问题有两类，一类是考查利用平面几何和立体几何的原理运算或考查空间想象能力，如面积、体积计算等。另一类是考查结合几何知识的计数问题，如植树、方阵、染色问题等。立体几何是几何问题中的重点题型，而几何计数是几何问题中的难点问题。

考试直击 平面几何 命中考题的根本

1．等量最值原理

周长相同的平面几何图形，越接近于圆，面积越大；

面积相同的平面几何图形，越接近于圆，周长越小。

2．等比放缩特性

若一个平面几何图形尺度变为原来的N倍，则周长变为原来的N倍，面积变为原来的N2倍。

3．三角形三边关系

在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方。

规则的几何问题一般直接应用相应的公式进行求解，某些时候需要通过列方程建立关系式。不规则的几何问题，通过将不规则的部分进行等量转化、割补平移、替代等方法，将不规则的图形转化为规则的图形进行求解。

真题实例 以真题验证考点

1．一只挂钟的秒针长30厘米，分针长20厘米，当秒针的顶点走过的弧长约为9.42米时，分针的顶点约走过的弧长为多少厘米？（ ）

A．6.98

B．10.47

C．15.70

D．23.55

深度解析 B。几何+钟表问题。由钟表常识可知，秒针转过360°时，分针转过6°。设秒针转过n°,π取3.14，根据弧长公式可得9.42=，解得n=1800，即秒针转过1800°，此时分针转过30°，所以分针的顶点走过的弧长约为≈10.47（厘米）。故本题答案为B。

2．现要在一块长25公里、宽8公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为5公里，如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？（ ）

A．7

B．6

C．5

D．4

深度解析 C。几何构造类。如下图所示，每个半径为5的圆形（F为圆心）可覆盖一个长为8公里、宽为6公里的小长方形。4个圆形不能完全覆盖整个长方形区域，故至少需要设置5个哨塔。

考试直击 立体几何 命中考题的根本

1．等量最值原理

表面积相同的立体几何图形，越接近于球，体积越大；

体积相同的立体几何图形，越接近于球，表面积越小。

2．等比放缩特性

若一个立体几何图形尺度变为原来的N倍，则表面积变为原来的N2倍，体积变为原来的N3倍。

真题实例 以真题验证考点

1．一间房屋的长、宽、高分别是6米、4米和3米。施工队员在房屋内表面上画一条封闭的线，其所画的线正好在一个平面上且该平面正好将房屋的空间分割为两个形状大小完全相同的部分。问其所画的线可能的最长距离和最短距离之间的差是多少米？（ ）

A．6

B．

C．8

D．

深度解析 C。几何问题。画图分析（如下图）容易发现，最短距离为沿着长度为6的棱的中点将长方体（房屋）切成两半，此时所画线的长度为（3+4）×2=14（米）；最长距离为沿着棱长为3、4的长方形侧面的对角线将长方体切割成两半，此时所画线长度为（6+5）×2=22（米）。相差为8米。因此，选择C项。

2．某学校准备重新粉刷国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为1米和2米。问需要粉刷的面积为（ ）。

A．30平方米

B．29平方米

C．26平方米

D．24平方米

深度解析 D。由题意，所需粉刷面积为大小正方体的各5个面再减去两者相叠部分的面积：5×2×2+5×1×1-1=24（平方米）。

考试直击 几何计数 命中考题的根本

1．剪绳计数

绳子的段数总是比切口数多1。

一根绳子连续对折N次，从中剪M刀，则绳子被剪成（2N×M+1）段。

2．植树问题

单边线形植树：棵数=总长÷间隔+1，总长=（棵数-1）×间隔；

单边环形植树：棵数=总长÷间隔，总长=棵数×间隔；

单边楼间植树：棵数=总长÷间隔-1，总长=（棵数+1）×间隔。

双边植树：只需要把单边植树的数目乘2即可。

3．方阵问题

N排N 列的实心方阵人数为N2人，最外层人数为4（N-1），最外两层的人数和为8（N-2）。

方阵人数=（最外层人数÷4+1）2。

几何计数问题有些是标准的应用题，如剪绳、植树、方阵问题等，这些问题可以利用经验公式求解。有些则是需要具体分析的问题，如染色问题等。

真题实例 以真题验证考点

1．某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔5米种1棵树，可以覆盖整个路段，但这批树苗剩20棵。若每隔4米种1棵树且路尾最后两棵树之间的距离为3米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为（ ）。

A．195米

B．205米

C．375米

D．395米

深度解析 A。设共有树苗为x棵，这段路长为y米，则可以列如下方程组：

解得x=100, y=195。

2．用红、黄两色鲜花组成的实心方阵（所有花盆大小完全相同），最外层是红花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44盆，那么完成造型共需黄花（ ）。

A．48盆

B．60盆

C．72盆

D．84盆

深度解析 B。方阵问题。在方阵中，相邻两层之间相差8，即外圈人数总是比内圈人数多8，那么相隔一圈则相差16，并且成等差数列。题目中最外层红花为44，则次外层黄花为36，可知所需黄花总数为36+20+4=60（盆）。故选B。

3．一根绳子对折三次后，从中间剪断，共剪成（ ）段绳子。

A．9

B．6

C．5

D．3

深度解析 A。本题属于剪绳计数问题。一根绳子连续对折N次，从中剪M刀，则绳子被剪成（2N×M+1）段。代入公式中可得，绳子共剪成23×1+1=9（段）。故选A。

第五节 计数问题

计数问题中的容斥原理问题是集合论的简单应用，而排列组合问题则是经典的应用问题，条件丰富多变，且存在很多实用技巧。概率问题很多时候是和排列组合问题结合在一起考查的。

考试直击 容斥问题 命中考题的根本

1．两集合标准型

满足条件1的个数+满足条件2的个数-都满足的个数=总数-都不满足的个数

2．三集合标准型

｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-｜A∩B｜-｜A∩C｜-｜B∩C｜+｜A∩B∩C｜=总个数-三者都不满足的个数

3．三集合非标准型

｜A∪B∪C｜=｜A｜+｜B｜+｜C｜-1×仅满足2种情况的个数-2×同时满足3种情况的个数=总个数-都不满足的个数

真题实例 以真题验证考点

1．某单位利用业余时间举行了3次义务劳动，总计有112人次参加。在参加义务劳动的人中，只参加1次、参加2次和3次全部参加的人数之比为5∶4∶1。问该单位共有多少人参加了义务劳动？（ ）

A．70

B．80

C．85

D．102

深度解析 A。设只参加一次的人数为5x，则参加2次的为4x，参加3次的为x，有：5x+2× 4x+3x=112，解得x=7。因此人数为7×（5+4+1）=70（人）。

2．31个学生参加体育课期末考评，学生可以从铅球、100米短跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、100米和跳远的人数分别是15人、22人、20人，其中铅球和100米短跑都参加的有9人，铅球和跳远都参加的有6人，则100米短跑和跳远都参加的有几人？（ ）

A．10

B．12

C．15

D．11

深度解析 D。设100米短跑和跳远都参加的有x人。三集合标准公式，总数=A+B+C-AB-BC-AC+ABC。代入公式可得31=15+22+20-9-6-x+0，解得x=11。故本题选D。

考试直击 排列组合 命中考题的根本

1．排列与组合公式

排列：与顺序有关。排列公式：

组合：与顺序无关。

组合公式：

2．分类与分步

分类：是指完成一件事，需要划分几个类别，各类别内方法可以独立完成该事。

分步：是指完成一件事，需要分为几个步骤，每个步骤内的方法只能保证完成该步。

3．加法原理与乘法原理

加法原理：分类完成的事件，将完成该事件的各类别方法总数相加。乘法原理：分步完成的事件，将完成该事件的各步骤的方法数直接相乘。

4．环形排列

公式法：n个人排成一圈，有种排法；

n个珍珠串成一条项链，有种串法。

5．几种常用解法

如果题目出现有几个元素相邻的条件，可以用捆绑法：先将相邻元素视做一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。

如果题目要求几个元素不相邻，或者不在头、尾，可以用插空法：先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。

如果题目要求一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元素，可以用插板法：将比所需分组数目少1的板插入元素之间的空隙形成分组。

如果题目需要分类的情形很多，而与之相反的情形较少，可以反向思考问题。

真题实例 以真题验证考点

1．某科室共有8人，现在需要抽出两个2人的小组到不同的下级单位检查工作，问共有多少种不同的安排方案？（ ）

A．210

B．260

C．420

D．840

深度解析 C。本题考查排列组合的乘法原理。先选一个2人小组到一个单位，有种选法，再选出另一个2人小组到另一个单位，有种选法，则安排方案共有（种）。

2．某单位有职工15人，其中业务人员9人。现要从整个单位选出3人参加培训，要求其中业务人员的人数不能少于非业务人员的人数。问有多少种不同的选人方法？（ ）

A．156

B．216

C．240

D．300

深度解析 D。本题考查排列组合的加法原理。要使得业务人员的人数不少于非业务人员的人数，则业务人员的人数为3人或者2人。业务人员的人数为3人时，有（种）选法。业务人员的人数为2人时，有（种）选法。则选人方法共有84+216=300（种）。

3．6辆汽车排成一列纵队，要求甲车和乙车均不在队头或队尾，且正好间隔两辆车。问共有多少种不同的排法？（ ）

A．48

B．72

C．90

D．120

深度解析 A。显然让除甲、乙之外的4辆车排成纵队，甲、乙只能插在紧接最前面车之后和临近最后面的车之前的2个空里，其他4辆车的排法共有（种），而甲、乙两车有 （种）插空的排法。因此所求排法共24×2=48（种）。

考试直击 概率问题 命中考题的根本

核心公式：

单独概率=满足条件的情况数÷总的情况数。

总体概率=满足条件的各种情况概率之和（互相排斥的情况）。

总体概率=满足条件的每个步骤概率之积（步骤相互独立）。

某条件成立的概率=1-该条件不成立的概率。

“A成立”时“B成立”的概率=A、B同时成立时的概率÷A成立的概率。

对于一般的概率问题，直接分析满足条件的情形种数与所有可能的情形总数，两者相除即得概率。在分析情形种数和所有可能总数时需用排列组合知识计算。对于分步、分类、条件概率问题则具体题目具体分析，分析时注意条件之间能否相互区分。

真题实例 以真题验证考点

1．掷两个骰子，掷出的点数之和为奇数的概率为P1，掷出的点数之和为偶数的概率为P2，问P1和P2的大小关系是（ ）。

A．P1=P2

B．P1>P2

C．P1<P2

D．P1、P2的大小关系无法确定

深度解析 A。概率问题。因为奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，而每个骰子的点数中奇数和偶数各3个，则对于第一个骰子的每个点数而言，与第二个骰子的6个点数相加，点数之和是奇数和偶数的情况各一半，所以点数之和为奇数的概率与点数之和为偶数的概率相等，即P1=P2。故本题答案为A。

2．某单位有50人，男女性别比为3∶2，其中有15人未入党。如从中任选1人，则此人为男性党员的概率最大为多少？（ ）

A．

B．

C．

D．

深度解析 A。结合最值考查概率问题。按照概率的定义计算：男性党员人数最多为30人（即15名未入党的恰好均为女性），故所求概率为（满足要求的情况数÷总的情况数），答案选A。

第六节 最值问题

最值问题是数学运算中最能考查思维能力的题型之一。抽屉原理题型相对固定，对最不利情形的构造是关键，在最不利情形上加1即可推出答案；构造设定问题需要分类考虑；反向构造则需要从问题的反面来解决。

考试直击 抽屉原理 命中考题的根本

核心原理：n+1个信封放入n个抽屉，至少有1个抽屉内有多于1个信封。

从装有n种球的口袋中，至少要摸出（m-1）n+1个球才能保证有m个球是同一种球（假设每种球足够多）。

从装有n种球的口袋中，最多摸出（m-1）n个球使得任意m个球不是同一种球（假设每种球足够多）。

真题实例 以真题验证考点

1．箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的？（ ）

A．11

B．15

C．18

D．21

深度解析 A。最值问题。当三个颜色相同时，情况为3种；当有两个颜色相同时，情况为6种；当三个颜色都不同时，只有1种。因此总共的颜色情况为10种。答案为10+1=11 （组）。本题选A。

2．某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？（ ）

A．17

B．21

C．25

D．29

深度解析 C。抽屉原理。根据已知条件，四项培训，每名党员参加且只能参加两项培训，所以每名党员均有（种）选择，最不利情形是每种选择都有4人选择，故总人数至少有6×4+1=25 （名）。故本题选择C。

考试直击 构造设定 命中考题的根本

如果题目中总数一定，需要按照条件分配，则需要利用要想某情况最多（最少），其他情况就得尽可能少（多）的极端思想；如果是问分成的种类最多，则每一类的情形就尽可能少。

真题实例 以真题验证考点

1．10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超过重量排在后三位的箱子总重的1.5倍。问最重的箱子重量最多是多少公斤？（ ）

A．

B．

C．20

D．25

深度解析 B。由题意可得，当重量排前三位的箱子总重为排在后三位箱子总重的1.5倍，且重量排第二到排第十的箱子重量相等时，最重的箱子重量最大。此时，设最轻的箱子重量为x公斤，则最重故正确答案为B。的箱子为2.5x公斤，得9x+2.5x=100，则，最重的箱子重量为（公斤）。

2．254个志愿者来自不同的单位，任意两个单位的志愿者人数之和不少于20人，且任意两个单位志愿者的人数不同，问这些志愿者所属的单位数最多有几个？（ ）

A．17

B．15

C．14

D．12

深度解析 B。若使志愿者所属的单位数最多，则需要每个单位尽量少派出志愿者。由任意两个单位的志愿者人数之和不少于20人，任意两个单位志愿者人数不同，设志愿者人数最少单位的志愿者有a人，则其他单位志愿者人数为20-a,21-a,22-a, …，有：20-a+21-a≥20，则a=9，其他单位人数为从11开始的连续n个自然数，和为254-9=245。由等差数列求和公式有 ，解得n=14，故最多有14+1=15（个）单位。正确答案为B项。

考试直击 反向构造 命中考题的根本

基本特征：题目中出现多个集合，一般多于3个。

解题思路：逆向考虑，从反面入手分析问题。

真题实例 以真题验证考点

1．某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？（ ）

A．5

B．6

C．7

D．8

深度解析 A。该题需要逆向思考。由题意可知，不喜欢戏剧的有11人，不喜欢体育的有16人，不喜欢写作的有8人，不喜欢收藏的有6人，只有当这4个集合相互没有交集时，才能得出四项活动都喜欢的人数最少。故四项都喜欢的至少有46-（11+16+8+6）=5（人），正确答案为A。

2．共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1—5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试？（ ）

A．30

B．55

C．70

D．74

深度解析 C。1—5题分别错了20、8、14、22、26道，加起来为90道。题目问“至少有多少人能通过这次考试”，所以应该让更多的人不能通过考试，因此这90道错题分配的时候应该尽量每3道分给一个人，即可保证一个人不能通过考试，那么这90道错题一共可以分给最多30个人，让这30个人不能通过考试，所以能通过考试最少的情况是70人。

第七节 费用问题

费用问题与实际生活结合紧密，考查方式比较灵活。利润折扣问题涉及成本、收入、折扣等，是费用问题的重点题型。分段计费时有考查，而方案优化正成为考查的趋势。

考试直击 利润折扣 命中考题的根本

核心公式：

（1）售价=成本+利润，利润=售价-成本；

（2）利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本=售价÷成本-1；

（3）成本=售价÷（1+利润率）。

注：“售价”是实际售出价格，“定价”是期望价格。

遇到涉及折扣的问题，如果没有给出具体的售价和销售额，可以抓住题目中的等量关系，研究出变化前后的情形及其差异，结合赋值和列表来分析解题。

真题实例 以真题验证考点

1．老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费用后，发现与买进时相比赚了7万元。问老王买进该艺术品花了多少万元？（ ）

A．84

B．42

C．100

D．50

深度解析 D。设老王买进时花了x万元，市价上涨50%即利润率为50%，此时市价为1.5x，扣除5%成交价的交易费用即卖出价为原来的95%，所以列方程为1.5×0.8×（1-5%）x-x=7，可解得x=50。

2．某产品售价为67.1元，在采用新技术生产节约10%成本之后，售价不变，利润可比原来翻一番。问该产品最初的成本为多少元？（ ）

A．51.2

B．54.9

C．61

D．62.5

深度解析 C。缩减的10%成本恰好等于原来的利润，因此最初的成本为67.1÷ （1+10%）=61（元）。

考试直击 分段计费 命中考题的根本

对于分段计费的题目，题目通常表述为某种收费标准是分段收取的，每段收费不同。解题思路是：找准分段点，按区间各自计算，结合列表分析。

真题实例 以真题验证考点

1．某市电价为一个自然月内用电量在100度以内的每度电0.5元，在101度到200度之间的每度电1元，在201度以上的每度电2元。张先生家第三季度缴纳电费370元，该季度用电最多的月份用电量不超过用电量最少月份的2倍，问他第三季度最少用了多少度电？（ ）

A．300

B．420

C．480

D．512

深度解析 C。要使张先生家第三季度用电度数最少，则他家某一个月的用电量最高，另外两个月的用电量最少，从而用电量最多的月份平均每度电的价格最高。假设张先生家用电量最少的一个月的用电量在100度以内，则这个月所应交的电费在50元以内，根据题干中的条件，另外两个月的用电量不超过200度，即另外两个月所交电费之和在150+150=300（元）以内，此时第三季度所缴纳电费少于370元。因此第三季度张先生家用电量最少的月份的用电量在100度以上。设张先生家第三季度用电量最少月份的用电量为x度，由题意得[100×0.5+（x-100）]×2+100×0.5+100+（2x-200）×2=370，解得x=120，因此第三季度最少用电的度数为120+120+120×2=480（度），答案为C。

2．某停车场按以下办法收取停车费：每4小时收5元，不足4小时按5元收，每晚超过零时加收5元并且每天上午8点重新开始计时。某天下午15时小王将车停入该停车场，取车时缴纳停车费65元。小王停车时间t约为（ ）。

A．41<t≤44小时

B．44<t≤48小时

C．32<t≤36小时

D．37<t≤41小时

深度解析 D。根据题意可以知道，15点至第二天8点，时长为17小时，总费用为5×5+5=30（元）；第二天8点至第三天8点，时长为24小时，总费用为6×5+5=35（元），即两段时间的总费用为65元，总时长为41小时，因此满足题意的时间为37<t≤41，因此答案选择D选项。

考试直击 方案优化 命中考题的根本

对于方案优化的题目，通常是对某个购买目标有多种选择，要求找出最节省的购买方案。解题思路是：先计算出购买目标在不同购买方式下的价格，比较之后进行购买。

真题实例 以真题验证考点

1．某商场开展购物优惠活动：一次购买300元及以下的商品九折优惠；一次购买超过300元的商品，其中300元九折优惠，超过300元的部分八折优惠。小王购物第一次付款144元，第二次又付款310元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？（ ）

A．16

B．22.4

C．30.6

D．48

深度解析 A。由题意，第一次付款144元可得商品原价为160元；第二次付款为310元，可得原价为350元。故总价510元，按照优惠，需付款300×0.9+210×0.8=438（元），节省了454-438=16（元）。

2．某公司要买100本便笺纸和100支胶棒，附近有两家超市。A超市的便笺纸0.8元一本，胶棒2元一支且买2送1。B超市的便笺纸1元一本且买3送1，胶棒1.5元一支。如果公司采购员要在这两家超市买这些物品，则他至少要花多少元钱？（ ）

A．208.5

B．183.5

C．225

D．230

深度解析 A。A超市胶棒价格等价于每支（元）, B超市便笺纸价格等价于每本 （元），因此A超市胶棒便宜，B超市便笺纸便宜。因为100是4的倍数，因此到B超市买100本便笺纸最便宜，此时费用为100×0.75=75（元）。100不是3的倍数，100=3×33+1，因此到A超市买99支胶棒再到B超市买一支胶棒，花费最少，此时费用为：（元）。总的费用为75+133.5=208.5（元）。故正确答案为A。

第八节 初等数学问题

初等数学问题是一类和数的性质紧密结合的问题。约数、倍数、数列与平均数是考查的重点题型。余数问题、多位数问题、星期日期问题时有考查。运算问题因不能很好体现对分析能力的考查，很少出现。

考试直击 约数倍数 命中考题的根本

几个数的最大公约数，即不存在比其更大的数能被这几个数整除。几个数的最小公倍数，即不存在比其更小的数能整除这几个数。

真题实例 以真题验证考点

1．有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会是几点？（ ）

A．11点20分

B．11点整

C．11点40分

D．12点整

深度解析 A。因为40,25,50的最小公倍数为200，因此经过200分钟后三辆公交车会同时到达公交总站，即它们下次同时到达公交总站时间为11点20分。故正确答案为A。

2．某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10个连续的四位自然数依次作为他们的工号。凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和是多少？（ ）

A．9

B．12

C．15

D．18

深度解析 B。设10个人的工号分别为A+1, A+2, …, A+10，因为每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，则A是1,2,3, …,10的公倍数，因为1,2, …,10的最小公倍数为2520，且工号都是四位数，则A的取值可能为2520, 5040,7560。则排名第三的员工工号可能为2523,5043,7563，则工号所有数字之和可能为12和21，而选项中没有21，故正确答案为B。

考试直击 余数问题 命中考题的根本

基本公式：被除数=商×除数+余数（0≤余数<除数）。

对于一个数除以三个数余数的不同情况，可以根据下列口诀快速得到被除数的表达式：

余同取余，例如“一个数除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可见所得余数恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1；

和同加和，例如“一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可见除数与余数的和相同，取此和8，被除数的表达式为210n+8；

差同减差，例如“一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可见除数与余数的差相同，取此差4，被除数的表达式为210n-4。特别注意前面的210是5、6、7的最小公倍数，此即公倍数做周期。

真题实例 以真题验证考点

1．在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？（ ）

A．237

B．258

C．279

D．290

深度解析 C。设被除数是y，除数是x，则有：

2．某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？（ ）

A．16

B．20

C．24

D．28

深度解析 B。由“如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排”，可设分成了x组，则党员数为（5x+2）名，入党积极分子为2x名，因此参加理论学习的党员比入党积极分子多（3x+2）名，即减去2后是3的倍数，符合此条件的只有B项。

考试直击 多位数问题 命中考题的根本

对于多位数问题可采用以下三种方法：

代入排除法：直接将选项代入题干中再进行验证；

方程法：根据题目中数字的构成规律找等量关系；

枚举法：将满足题意的情况一一列举出来。

真题实例 以真题验证考点

1．一个三位自然数，把它十位上的数字去掉后变成的两位数是原来三位数的七分之一。问这样的三位数有几个？（ ）

A．0

B．1

C．2

D．3

深度解析 B。设三位自然数为a bc，根据题意有：100 a+10 b+c=7（10 a+c），整理得：30a+10b=6c,0<a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9，当b=0时，c=5a，只有一种情况符合题意c=5, a=1。当c=0时，不符合题意。由“30a+10b=6c”可知，6c为10的倍数，所以c只能为5。故本题选B。

2．由1,2,3组成的没有重复数字的所有三位数之和为多少？（ ）

A．1222

B．1232

C．1322

D．1332

深度解析 D。因1,2,3三个数之和能被3整除，故1,2,3所组成的没有重复数字的三位数都能被3整除，而这些数字相加之和也必能被3整除。选项中只有D项能被3整除，故选之。

3．甲、乙、丙、丁四个人分别住在宾馆1211、1213、1215、1217和1219这五间相邻的客房中的四间里，而另外一间客房空着。已知甲和乙两人的客房中间隔了其他两间客房，乙和丙的客房号之和是四个人里任意二人的房号和中最大的，丁的客房与甲相邻且不与乙、丙相邻。则以下哪间客房可能是空着的？（ ）

A．1213

B．1211

C．1219

D．1217

深度解析 D。代入排除验证即可。代入D项，若1217为空房，由甲、乙中间隔了2个房间可知，甲、乙房间号有两种情况：①甲1213，乙1219; ②甲1219，乙1213。但是通过条件“乙和丙的客房号是四个人中任意二人房号中最大的”可排除第②种情况，继而能推出丙的房间号是1215，则丁的房间号是1211，满足已知的剩余条件“丁的客房与甲相邻且不与乙、丙相邻”。其余选项代入后均不满足要求。正确答案如下表所示：

注意：1215客房空着也可以满足题目要求，但不在选项中，所以不考虑。

考试直击 星期日期 命中考题的根本

星期日期问题，需要考生对每月的天数与闰年的判定有基本的了解。如果没有经过闰月，则下一年同一天的星期数加1，如果经过闰月，则加2。

真题实例 以真题验证考点

1．某单位某月1—12日安排甲、乙、丙三个值夜班，每人值班4天。三人各自值班日期数字之和相等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间，最多有几天不用值夜班？（ ）

A．6

B．4

C．2

D．0

深度解析 D。所有人值班日期之和为（1+12）×12÷2=78，则每个人的日期之和为78÷3=26，甲1号和2号值班，则11号和12号必须值班；乙9号和10号值班，则3号和4号必须值班，进而得到丙必须在5、6、7、8日值班，即丙是连续值班，无休息。答案选择D。

2．根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是（ ）。

A．周一或周三

B．周三或周日

C．周一或周四

D．周四或周日

深度解析 D。星期日期问题。观察选项，代入验证。由于8月有31天，若8月1日为周一，则容易看出8月份一共会有23个工作日，不满足条件，故排除A、C两项；若8月1日为周三，计算可以发现8月份会有23个工作日，不满足条件，故排除B项。故本题选择D。

考试直击 数列与平均数 命中考题的根本

1．等差数列

通项公式：第n项=首项+（n-1）×公差。

项数公式：。

求和公式：和=（首项+末项）×项数=平均数×项数=中位数×项数。（等差数列中平均数=中位数）

对称公式：若m+n=i+j，则am+an=ai+aj。

2．平均数问题

对于一般数列有：总和=平均数×项数。

平均数问题也可以利用十字交叉法进行计算。

3．循环周期问题

对于循环周期问题，通过项数除以周期得到的余数进行判定。

真题实例 以真题验证考点

1．某成衣厂对9名缝纫工进行技术评比，9名工人的得分恰好成等差数列，9人的平均得分是86分，前5名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是多少？（ ）

A．602

B．623

C．627

D．631

深度解析 B。注意到等差数列的平均数等于其中位数的值，故可得第五名得分为86分，第三名得分为（分），第四名的得分为（分）。等差数列的和等于其平均数乘项数，前七名的总分为89×7=623（分）。

2．在一次模拟考试中，小鲁语文、数学、外语和地理四门课的平均成绩是79分，他语文、数学、外语、地理和历史五门课的平均成绩大于82分。如小鲁五门课的成绩都是整数，则他的历史课成绩至少为多少分？（ ）

A．86

B．92

C．95

D．98

深度解析 C。假设小鲁的五门课平均成绩为82分，那么历史课=5×82-4×79=94（分）。题干说五门平均成绩大于82分，所以历史课分数要比94分大，所以至少是95分。故本题选C。

3．书架的某一层上有136本书，且是按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书、3本小说、4本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？（ ）

A．小说

B．教材

C．工具书

D．科技书

深度解析 A。循环周期问题。已知按照“3本小说、4本教材、5本工具书、7本科技书”的规律循环，则循环周期为3+4+5+7=19，所以136÷19=7……3，即7个周期多3本，所以最右边一本书为小说。故本题选择A。

考试直击 运算问题 命中考题的根本

运算问题除了一般的等式计算，还有新定义运算，等式计算技巧性比较强，新定义运算按照定义列式计算即可，这部分内容考查很少，不要求掌握。

真题实例 以真题验证考点

1．的值是（ ）。

A．

B．2

C．

D．3

深度解析 B。原式=。2．计算（ ）。

A．

B．

C．

D．

深度解析 C。原式= 。

第九节 趣味杂题

考试直击 年龄问题 命中考题的根本

年龄问题经验总结：

（1）每过N年，每个人都长N岁。

（2）两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的。

（3）两个人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。

真题实例 以真题验证考点

1．一家四口人的年龄之和为149岁，其中外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄之和都是平方数，而父亲7年前的年龄正好是孩子年龄的6倍。问外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在几年前？（ ）

A．2

B．4

C．6

D．8

深度解析 D。年龄问题。外公、母亲年龄以及两人年龄之和都是平方数，根据常识及平方数可推出外公、母亲的年龄分别为64岁、36岁；4人年龄之和为149岁，父亲与孩子的年龄和为149-100=49（岁）；设孩子的年龄为x岁，则父亲的年龄为（49-x）岁，根据题意可列方程：6（x-7）=49-x-7，解得x=12。设a年前外公是孩子年龄的整数倍，则有（64-a）与（12-a）是倍数关系，代入选项只有a=8满足条件，所以本题选D。

2．小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁？（ ）

A．25、32

B．27、30

C．30、27

D．32、25

深度解析 B。由“小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁”可知，小王比小李大3岁，又知小李弟弟比小李小2岁，则小王比小李的弟弟大5岁。根据1994年两人的年龄和为15，可得小王1994年为10岁。故2014年小王30岁，小李27岁。因此，本题答案为B。

考试直击 比赛问题 命中考题的根本

比赛问题经验总结：

N支队伍的比赛所需场次

真题实例 以真题验证考点

1．某高校组织了篮球比赛。其中机械学院队、外语学院队、材料学院队和管理学院队被分在同一个小组，每两队之间进行一场比赛且无平局。结果机械学院队赢了管理学院队，且机械学院队、外语学院队和材料学院队胜利的场数相同，则管理学院队胜了多少场？（ ）

A．3

B．2

C．1

D．0

深度解析 D。4个队伍两两之间进行比赛，一共有（场），机械学院队至少赢了1场，3个队的胜利场次相同，其胜利场数为1或者2，假设胜利场数为1，则管理学院队要赢下6-3×1=3（场）比赛，这与管理学院队输给机械学院队矛盾，因此，3个队都赢了2场，管理学院队赢了6-3×2=0（场）。

2．小赵、小钱、小孙一起打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息。三人约定每一局的输方下一局休息。结束时算了一下，小赵休息了2局，小钱共打了8局，小孙共打了5局。则参加第9局比赛的是（ ）。

A．小钱和小孙

B．小赵和小钱

C．小赵和小孙

D．以上皆有可能

深度解析 B。由“小赵休息了两局”可知，小钱和小孙打了2局，小钱和小赵打了8-2=6 （局），小孙和小赵打了5-2=3（局），则三人共打了2+6+3=11（局）。由“小孙共打了5局”可知，小孙休息了11-5=6（局），由“每一局的输方下一局休息”可知，小孙不可能连续休息，故小孙必是休息一局打一局，到第9局时小孙休息，小赵和小钱打球。故本题正确答案为B。

考试直击 统筹推断 命中考题的根本

统筹推断问题是数学运算中难度最大的题型之一，通常这类题目需要非常快速地分析思考，考试中建议可以跳过这类题目先做其他题目。

真题实例 以真题验证考点

1．为了国防需要，A基地要运载1480吨的战备物资到1100千米外的B基地。现在A基地只有一架“运9”大型运输机和一列货运列车。“运9”速度550千米每小时，载重能力为20吨，货运列车速度100千米每小时，运输能力为600吨，那么这批战备物资到达B基地的最短时间为（ ）。

A．53小时

B．54小时

C．55小时

D．56小时

深度解析 B。统筹优化问题。根据题意，“运9”大型运输机往返A、B两基地一次需1100÷ 550×2=4（小时），运输物资20吨；货运列车往返A、B两基地一次需1100÷100×2=22（小时），运输物资600吨。假设“运9”和货运列车同时从A基地出发，经过44小时，两者同时返回A基地，此时“运9”大型运输机运输物资44÷4×20=220（吨），货运列车运输物资600×2=1200（吨），还剩下物资1480-220-1200=60（吨），由“运9”单独运输，全部运到B基地所需时间为4+4+2=10（小时）。所以这批物资到达B基地的最短时间为44+10=54（小时）。故本题答案为B。

2．餐厅需要使用9升食用油，现在库房里库存有15桶5升装的、3桶2升装的、8桶1升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的9升食用油？（ ）

A．4

B．5

C．6

D．7

深度解析 C。采用枚举法求解。恰好要获得9升油，一共有如下6种方式：

考试直击 过河爬井 命中考题的根本

过河爬井问题的关键在于过河需要有人把船划回来，而爬井会滑回去一段距离，这和行程问题中的周期停歇是类似的问题。处理的方法是将来回一次看成完整过程，对于最后一段则仔细分析。

真题实例 以真题验证考点

1．某旅游团有37名游客需要到河对岸去野营，现仅有一条船，每次最多载7人（其中需1人划船），往、返一次各需5分钟，如果9时整开始渡河，游客全部渡到河对岸的时间最早是（ ）。

A．9点45分

B．9点50分

C．9点55分

D．9点60分

深度解析 C。过河问题，结合公式，总共需要渡过（次），因为“往、返一次各需要5分钟”，最后一次不需要返回来，所以渡河所用总时间为11×5=55（分钟），所以全部到达对岸的时间最早是9点55分，故答案为C。

2．32名学生需要到河对岸去野营，只有一条船，每次最多载4人（其中需1人划船），往返一次需5分钟，如果9时整开始渡河，9时17分时，至少有（ ）人还在等待渡河。

A．15

B．17

C．19

D．22

深度解析 C。依题意可得，到9时17分时，船已往返三次，共载过去了（4-1）×3=9 （人），第四次船上的4人正在途中，那么还在等待渡河的有32-9-4=19（人）。

考试直击 空瓶换酒 命中考题的根本M 个空瓶换N 瓶酒，x个空瓶最多可以喝到瓶酒。

注意：

（1）通常N=1，可以直接利用公式进行相关的计算。

（2）这样的题目默认是可以“借瓶再换瓶”的。

真题实例 以真题验证考点

1．12个啤酒空瓶可以换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以喝到的啤酒为（ ）。

A．10瓶

B．11瓶

C．8瓶

D．9瓶

深度解析D。空瓶换酒问题。根据核心公式，M=12, N=1, x=101,=9……2，最多可以喝到9瓶酒。因此，本题的正确答案为D选项。

2．5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水（ ）瓶。

A．129

B．128

C．127

D．130

深度解析 A。空瓶换酒问题。全班同学喝的这161瓶汽水有一部分是花钱买的，有一部分是拿喝完后的瓶子换的。设买了x瓶汽水，则有，解得x≥128.8，取x=129。因此，本题的正确答案为A选项。