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模块一静力学基础

所谓静力，是指恒定不变或变化非常缓慢的力。在工程实际中，往往需要对物体所受到的载荷进行静力分析，以便为进一步设计提供依据。静力分析是以静力学中力系平衡规律为出发点，分析物体在平衡时所表现出来的基本性质并解决力系简化与平衡等问题。静力分析在工程技术中具有重要的实用意义。

课题一分析构件的受力

【能力目标】

1.熟练掌握平衡状态下构件的受力分析方法。

2.能够准确地画出构件的受力图。

3.能够分析复杂系统中各个构件的受力状况。

【知识要点】

力学要素的基本概念，静力学公理及其推论，约束的类型以及相应的约束反力。

【任务引入】

如图1-1所示，一个三铰拱桥由左、右两半拱在C点铰接而成。在左半拱A C上作用有载荷FP，如果不计半拱自重以及各处摩擦，试分析左、右两半拱以及整个桥的受力状况并画出受力图。

图1-1 三角拱桥

【任务分析】

拱桥是由两个半拱所组成的结构。左、右半拱分别通过铰点A和B固定在地表，两半拱又通过铰点C连接，这些铰点对半拱起到限制作用，使得拱桥在外力作用下处于平衡状态。在不计重力和摩擦的情况下，右半拱只受到铰点的约束力，而左半拱除受到铰点的约束力外还受到外力FP的作用，两者的受力状况是不同的。那么，如何正确分析和表示两个半拱所受力的作用呢？这需要运用静力学基本知识。

【相关知识】

一、静力学基本概念

1.力

力的概念产生于人们长期的生产劳动中。例如，地球引力（重力）使树上的苹果落地；汽车驶过桥梁会使桥面变形；人推小车使其由静到动，同时感到小车也在推人；手用力拉弹簧，使弹簧发生伸长变形，同时感到弹簧也在拉手等。这种力的作用广泛存在于人与物及物与物之间。

（1）力的定义：力是物体之间相互的机械作用。力的形式多样，性质各不相同。力对物体会产生两种效应，一是使物体的机械运动状态发生改变，二是使物体的形状发生改变。一般把前者称为力的外效应或运动效应，把后者称为力的内效应或变形效应。力的外效应又有两种情况：例如，人沿直线轨道推小车使小车产生移动，这是力的移动效应；人作用于绞车手柄上的力使鼓轮转动，这是力的转动效应。而在一般情况下，一个力对物体作用时，既有移动效应，又有转动效应。静力学以刚体为研究对象，因此只研究力的外效应。

（2）力的三要素：力对物体的作用效应，决定于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点，这三个因素称为力的三要素。如果改变其中任何一个要素，就会改变力对物体的作用效应。例如：用扳手拧螺母时，作用在扳手上的力，因大小不同，或方向不同，或作用点不同，它们产生的效果就不同（图1-2a）。

图1-2 力的三要素

需要注意的是，力的作用点是力作用在物体上的位置。实际上，当两个物体直接接触时，力总是分布地作用在一定的面积上。如手推车时，力作用在手与车相接触的面积上。当力作用的面积很小以至可以忽略其大小时，就可以近似地将力看成作用在一个点上。作用于一点上的力称为集中力。如果力作用的面积很大，这种力称为分布力。例如，作用在墙上的风压力或压力容器上所受到的气体压力，都是分布力。有的力不是分布地作用在一定的面积上，而是分布地作用于物体的每一点上，如地球吸引物体的重力。

（3）力是矢量：矢量常用一个带箭头的有向线段来表示（图1-2b），线段长度AB按一定比例代表力的大小，线段的方位和箭头表示力的方向，其起点或终点表示力的作用点。此线段的延伸称为力的作用线。一般用黑体字F代表力矢，并以同一字母的非黑体字F代表该矢量的大小。

（4）力的单位：度量力大小的单位随单位制不同而不同。力的国际单位是牛顿或千牛顿，其符号为N，或kN。

2.刚体

刚体是指在受力状态下几何形状和尺寸保持不变的物体，它是静力学的主要研究对象。刚体是一个理想化的模型，现实并不存在这样的物体。在工程实际中，机械零件和构件的变形一般都非常微小。例如，桥梁在车辆、人群等荷载作用下的最大竖直变形一般不超过桥梁跨度的1/700～1/900。这种微小变形对于物体的受力平衡影响极小，可以忽略不计，因此通常将机械零件和构件视为刚体以便简化问题。当然，在研究物体的变形问题时，就不能把物体看作是刚体，否则会导致错误的结果。本书在分析构件受力时将其视为刚体，而在分析构件的承载能力（强度、刚度）时，将其视为变形体。

3.平衡

平衡是物体机械运动的一种特殊状态，是指物体相对于惯性参照系静止或做匀速直线平动的状态。平衡是有条件的，工程上所指的物体平衡，一般是相对于地球而言的。常将固连于地球或相对于地球做匀速直线运动的参考系视为惯性参考系。

4.力系

作用在物体上的一群力称为力系。按力系中各力作用线分布情况可将力系进行分类。当力系中各力的作用线均在同一平面上时，该力系称为平面力系，否则称为空间力系。当各力的作用线均汇交于一点时，称为汇交力系；当各力的作用线互相平行时，称为平行力系；当各力作用线不全汇交于一点，也不全互相平行时，称为一般力系或任意力系。平面一般力系是工程上最常见的力系，很多实际问题都可简化成平面一般力系问题处理。如果两个力系对同一物体的作用效应完全相同，则称这两个力系互为等效力系。

二、静力学公理

人们在长期的生活和生产实践中，经过观察和反复验证，归纳总结出一些最基本的力学规律，这些规律称为静力学公理。静力学公理是静力分析的依据。

公理一二力平衡公理

作用于刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分和必要条件是：这两个力大小相等、方向相反、且作用于同一直线上（图1-3）。

图1-3 二力平衡

这个公理揭示了刚体在最简单力系下的平衡条件，称为二力平衡条件。应注意，该公理对刚体是充要条件，而对变形体则是必要条件。例如，软绳受拉力作用可处于平衡，但若是受压力作用，则将卷曲而不能平衡。

工程中常把只受两个力作用而平衡的构件称为“二力构件”或“二力杆”。它们的受力特点是：两个力的方向必在二力作用点的连线上。应用二力构件的概念，可以很方便地判定结构中某些构件的受力方向。图1-4所示的杆件若不计自重，且只有A、B两点受力，则这样的杆件就是二力构件。

图1-4 二力构件

公理二加减平衡力系公理

在刚体的原有力系中，加上或减去一组平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。

这一公理可用来进行力系的替换与简化。应注意的是，该公理也只适用于刚体，而对涉及内力和变形的问题中，公理二也不适用。依据这一公理，可以得出一个重要的推论。

推论1（力的可传性原理）作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任一点，而不改变原力对刚体的作用效应。

例如，图1-5中在车后A点加一水平力推车，与在车前B点加一水平力拉车，其效果是一样的。

图1-5 力的可传性

这个原理可利用上述公理推证如下：

（1）设F作用于A点（图1-6a）；

（2）在力的作用线上任取一点B，并在B点加一平衡力系（F1，F2），使F1=-F2=-F （图1-6b）；由加减平衡力系公理知，这并不影响原力F对刚体的作用效应；

（3）再从该力系中去掉平衡力系（F,F1）则剩下的F2（图1-6c）与原力F等效。这样就把原来作用在A点的力F沿其作用线移到了B点。

图1-6 力的可传性原理推证

根据力的可传性原理，力在刚体上的作用点已经被其作用线所代替，所以作用于刚体上的力的三要素又可以说成：力的大小、方向和作用线。这样的力矢量称为滑移矢量。

应注意，力的可传性原理只适用于刚体，对变形体不适用。

公理三力的平行四边形法则

作用于物体某一点的两个力，可以合成为作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由以这两个力为边所构成的平行四边形的对角线所确定，即合力矢等于这两个分力矢的矢量和。

如图1-7所示，合力F的矢量表达式为

图1-7 力的平行四边形法则

在实际应用中，可由公理三得到求合力的三角形法则，如图1-8a所示：首先在任意点A画出力矢F1，然后由F1的终点画力矢F2，最后由A点至力矢F2的终点作矢量FR，则FR就是F1、F2的合力。在作力三角形时，必须使分力力矢首尾相接，合力力矢与最后的分力箭头相接。分力力矢的次序对合力FR无影响（图1-8b）。力三角形只表示力的大小和方向，而不表示力的作用点或作用线。

图1-8 力的三角形法则

公理三总结了最简单的力系简化规律，它是较复杂力系合成的主要依据。应注意，此公理不仅适用于刚体，也适用于变形体。

力的分解是力的合成的逆运算，因此也是按平行四边形法则来进行的，但为不定解。在工程实际中，通常把力进行正交分解，形成方向互相垂直的两个分力。例如，在进行直齿圆柱齿轮的受力分析时，常将齿面的法向正压力Fn分解为推动齿轮旋转的圆周力Ft和指向轴心的径向力Fr（图1-9）。

图1-9 力的正交分解

运用公理二，公理三可以得到下面的重要推论：

推论2（三力平衡汇交定理）刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线相交，则此三力共面且作用线汇交于一点。

该定理的推证：如图1-10所示，刚体受力F1，F2，F3作用而处于平衡。先将力F1，F2滑移至交点B，并合成为力FR，则FR与F3二力平衡，于是F3与FR共线，故F3与F1，F2共面，且交于同一点B。

图1-10 三力平衡汇交定理

公理四作用与反作用公理

两个物体间的作用力与反作用力总是同时存在，且两力等值、反向、共线、分别作用于两个物体上。

该公理说明，物体之间的作用是相互的，有作用力就有反作用力，两者总是同时出现，又同时消失。如图1-11所示，放在地面上物体对地面产生压力N，同时，地面作用于物体一个支持力N′，这两个力等大、反向、共线。

图1-11 作用力与反作用力

应注意，作用力和反作用力是分别作用于两个不同的物体上的，这两个力不是相互平衡的关系，这与作用在同一个物体两个平衡力有本质的区别。

三、约束和约束反力

机器或者工程结构总是由各个零件通过一定的方式连接而成，零件的运动必然相互牵连和限制。例如：转轴受轴承的限制，只能绕轴心线转动；汽车只可沿地面运动而不能沿垂直于地面的方向运动；任务中的拱桥固连于地面支座而不能左右移动；等等。

一个运动受到限制或约束的物体，称为被约束体。凡是限制某物体运动的其他物体，都称为该物体的约束，如轴承是转轴的约束，地面是汽车的约束。约束对物体的作用实质上是力的作用，因为约束限制了物体本来可能产生的某种运动，故约束必然有力作用于被约束体，这种力称为约束反力，简称反力。约束反力总是作用在被约束体与约束体的接触处，其方向总是与该约束所能限制的运动（或运动趋势）的方向相反。据此可判断约束反力的位置和方向。

物体除受到约束反力之外，还受到像重力、推力以及各种机械动力，这些力能主动改变物体运动状态，称为主动力。一般地，已知主动力的大小和方向，可根据力的平衡条件确定约束反力的大小。

物体受力分析的重点是确定约束反力的方向，而这与约束的种类和性质有关。

四、约束的种类和性质

1.柔索约束

由绳索、链条、皮带等形成的约束称为柔索约束。这类约束只能限制物体沿柔索伸长方向的运动（不能限制沿压缩方向的运动），因此它对物体的约束反力只能是沿柔索方向的拉力，记作FT。在图1-12a中，FTB和FTC为绳索给重物的约束反力。在图1-12b所示的带传动中，可假想切开胶带，由于胶带套在带轮上受到预紧力的作用，所以其松边和紧边分别受到拉力FT2和FT1作用。

图1-12 柔索约束

2.光滑面约束

当两物体之间以点、线、面形式接触，且接触表面非常光滑，摩擦可以忽略不计时，就可简化为光滑面约束。该约束只能限制物体沿两接触面法线方向往约束内部的运动，不能限制沿切线方向的运动。故光滑面约束力作用在接触点处，沿两接触面公法线向，并指向受力物体，称为法向力，记作FN，如图1-13所示。

图1-13 光滑面约束

3.光滑铰链约束

铰链是工程上常见的一种约束。它采用圆柱形销钉将两个带圆孔的构件连接在一起，使两构件可以相对转动，但不能相对移动，门所用的活页、铡刀与刀架、起重机的动臂与机座的连接等，都是常见的铰链连接。铰链约束有以下三种形式。

（1）中间铰链约束

当铰链连接的两构件均为活动构件时所构成的约束，称为中间铰链，如图1-14a所示。其简图见图1-14b，在两个构件连接处用一个小圆圈表示铰链。

通常，销钉与构件为光滑接触，所以铰链连接实际上是一种光滑面约束，约束反力应通过接触点K沿公法线方向（通过销钉中心）指向构件（图1-14c），但实际上很难确定K的位置，因此反力FN的方向无法确定。所以，约束反力通常是用两个通过铰链中心、大小和方向未知的正交分力Fx、Fy来表示，两分力的指向可以任意设定，如图1-14d所示。

图1-14 中间铰链约束

（2）固定铰链支座约束

当铰链连接中有一个被连接件固定时所构成的约束，称为固定铰支座，如桥梁的一端与桥墩连接时，常用这种约束，如图1-15a所示，其简图和约束反力表示分别如图1-15b、c所示。

图1-15 固定铰链支座约束

（3）活动铰链支座约束

在桥梁、屋架等结构中，除了使用固定铰支座外，还常使用一种放在几个圆柱形滚子上的铰链支座，这种支座称为活动（或滚动）铰支座，也称为辊轴支座，如图1-16a所示，其简图如图1-16b所示。由于辊轴的作用，被支承构件可沿支承面的切线方向移动，故其约束反力的作用线通过铰链销钉的中心并垂直于支承面（图1-16c）。

图1-16 活动铰链支座约束

4.固定端约束

物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束，称为固定端约束。这种约束限制物体沿任何方向的移动和转动。被卡盘夹持的刀具（图1-17a），建筑物阳台的横梁（图1-17b)，固定于地面的电线杆（图1-17c)等，就受到这种约束。此约束的简图如图1-17d所示、其约束力的方向一般不能确定，但可将其分解成限制构件移动的两个正交约束反力FAx、FAy和限制转动的约束反力偶MA（力偶将在后续任务中介绍），如图1-17e所示。

图1-17 固定端约束

五、受力分析和受力图

求解力学问题时，往往要先选择某一物体（或几个物体组成的系统）作为研究对象，并假想地将该研究对象从与之相接触的物体中分离出来，即解除其所受的约束而代之以相应的约束力。解除约束后的物体，称为分离体。分析作用在分离体上的全部主动力和约束力，画出分离体的受力简图，这一过程即为受力分析。受力分析是求解静力学和动力学问题的重要基础。具体步骤如下：

（1）选定合适的研究对象，确定分离体。研究对象可以是单个物体，也可以是由若干个物体组成的系统，这要根据具体情况确定。

（2）根据已知条件，画出全部主动力。主动力必须画正确，不漏不缺。

（3）根据分离体受到的约束类型，画出相应的约束反力。要熟练地使用常用的字母和符号标注各个约束反力，注明是由哪一个物体（施力体或约束）施加。

（4）受力图上只画分离体的简图及其所受的全部外力，不画已被解除的约束。

（5）当以系统为研究对象时，应注意内力和外力区别。系统之外的物体作用于该系统内物体上的力，称为外力；系统内物体间的相互作用力称为内力。由于内力总是成对出现的，不会影响所选择的研究对象的平衡状态，因此受力图上只画该系统所受的主动力和约束反力，不画成对出现的内力（以及内部约束反力）。

（6）系统中的二力构件应当明确地指出，这对系统的受力分析很有意义。

【任务实施】

1.取右半拱BC为研究对象，画出其分离体

由于不计自重和摩擦，且拱BC仅在B、C两处受力，故BC为二力构件，根据二力平衡条件，可确定铰点B、C两处的约束力分别为FB、FC，从而可得到BC拱的受力图（图1-18b）。这里假定B和C处受到压力作用，而构件具体受压力还是受拉力得根据平衡条件求出。

2.取左半拱AC为研究对象，画出其分离体

A C拱上作用有主动力FP，在铰点C处受到BC拱的反作用力，同时还受到固定铰支座A对它的约束力（该约束力用两个分力FAx、FAy表示），如图1-18c所示。进一步分析可知，右半拱在三个力作用下平衡，根据三力平衡汇交定理，这三个力的作用线必汇交于一点，因此铰支座A的约束力FA的作用线通过FP与，的交点D，如图1-18d所示。

3.取整个拱桥为研究对象，画受力图

拱桥整体受到的外力有主动力FP，固定铰支座的约束反力FA、FB，其受力如图1-18e所示。

图1-18 三铰拱桥受力分析

【能力提高】

图1-19a所示的结构由杆A C、CD与滑轮B铰接组成。重FW的重物以绳索挂于滑轮上。不计杆、滑轮和绳索的自重，且忽略各处的摩擦，试画出滑轮B、重物、杆AC、CD以及整体的受力图。

【解答】

1.取滑轮及绳索为研究对象，画出其分离体。

在B处为光滑铰链约束，画出销钉对轮孔的约束反力FBx、FBy。在E、H处有绳索的拉力FET和FHT，其受力如图1-19b所示。

2.取重物为研究对象，画出其分离体。

画出主动力FW。在H处有绳索的拉力，它与FHT，是作用力与反作用力的关系。重物受力如图1-19c所示。

3.取二力杆CD为研究对象（在系统问题中，先找出二力杆将有助于确定某些未知力的方位），画出其分离体图。

由于CD杆受拉（当受力指向不明时，可先假设一方向），在C、D处画上拉力FC与FD，FD=-FC，杆CD的受力如图1-19d所示。

4.取AC杆为研究对象，画出其分离体。

A处为固定铰链，故画上约束反力FAx、FAy。在B处画上、，它们分别与FBx、FBy互为作用力与反作用力。在C处画上，它与FC是作用力与反作用力的关系，A C杆的受力如图1-19e所示。

5.以整体为研究对象，画出其分离体。

画出主动力FW。画出约束反力FAx、FAy。画出约束反力FD、FET。整体结构的受力如图1-19f所示（对整个系统来说，B、C、H三处受的均是内力作用，在受力图上不必画出）。

图1-19 简易起重机构件受力分析

课题二分析平面汇交力系

【能力目标】

1.能够熟练运用解析法简化平面汇交力系。

2.能够根据力系的平衡条件建立平衡方程求解未知量。

【知识要点】

力在直角坐标轴上的投影，合力投影定理。

【任务引入】

图1-20 圆环受力

如图1-20所示，固定在墙上的圆环上作用着共面的三个力，三力均通过圆心O。已知F1=2000N水平向左；F2=2500N与水平成30°角；F3=1500N铅直向下。试判断墙面施加于圆环上的合力的大小及方向。

【任务分析】

因为F1、F2、F3共面且均通过圆心，所以可将这三个力视为作用在圆环上的一个平面汇交力系。该力系的对圆环的作用效果完全可以用一个合力来等效。墙面对圆环形成固定端约束，其约束反力（也为合力）的方向不能直接判断，但如果将已知汇交力系合力求得，便可以根据力的平衡关系，判断出固定端约束的合力的大小及方向了。

【相关知识】

当一个力系与一个力的作用效应完全相同时，把这一个力称为该力系的合力，而力系中的每一个力称为该合力的分力。将一个力系用其合力表示的过程，称作力系的简化，也称作力系的合成。使物体处于静止或匀速直线运动状态的力系称为平衡力系。力系成为平衡力系需满足一定的条件，该条件称为力系的平衡条件。

一、平面汇交力系简化的解析法

1.力在直角坐标轴上的投影

在力F所作用的平面内，建立直角坐标系xOy，如图1-21所示。过力矢F的起点和终点分别向x轴和y轴作垂线，得垂足a、b及a1、b1，则带有正负号的线段ab与a1b1分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。规定：从力投影的起点到终点（从a到b，或从a1到b1）的指向与坐标轴正方向一致时，力的投影取正号，反之力的投影取负号。图1-21a中的Fx和Fy均为正值，而图1-21b中的Fx和Fy均为负值。

图1-21 力在直角坐标轴上的投影

若已知力F的大小为F，它与x轴所夹的锐角α，则该力在x、y轴上的投影为

若已知力的投影Fx、Fy值，则可求出力F的大小和方向，即

在图1-21中，若将力沿x、y轴进行分解，可得分力Fx和Fy。应当注意，力的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向（本教材以黑体字符表示力矢量，而以非黑体字符表示力标量）。在直角坐标系中，分力的大小和投影的绝对值是相同的。

2.合力投影定理

如图1-22a所示，设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的A点，可从任一点A开始用连续的三角形法则作出力多边形A BCD，则矢量就表示该力系的合力的大小和方向，如图1-22b所示。建立直角坐标系，把各力都投影在x轴上，并且令Fx1、Fx2、Fx3和FRx分别表示各分力F1、F2、F3与合力FR在x轴上的投影，由图1-22b可见

图1-22 合力投影定理

Fx1=ab,Fx2=bc,Fx3=-cd,FRx=ad

而ad=ab+bc-cd

因此可得

FRx=Fx1+Fx2+Fx3

这一关系可推广到有n个分力的平面汇交力系的情形，即

由此得到：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。

3.解析法求合力

当平面汇交力系各分力已知时，选择直角坐标系，分别求出各分力在x轴和y轴上的投影和，再根据合力投影定理求得合力FR在x、y轴上的投影FRx=∑Fx、FRy=∑Fy，于是力系合力FR的大小和方向由下式确定

式中：α为合力FR与x轴所夹的锐角，FR的指向则由∑Fx和∑Fy的正负号来确定。合力的作用线经过汇交点。

三、平面汇交力系的平衡条件

由于平面汇交力系简化的结果是一个合力，因此，平面汇交力系平衡的必要和充分条件是其合力等于零。

根据公式（1-5），应有

则必须且只须满足

因此，平面汇交力系平衡必要和充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标轴上投影的代数和等于零。式（1-6）称为平面汇交力系的平衡方程，应用这两个独立的平衡方程可求解两个未知量。

【任务实施】

1.求已知汇交力系的合力

图1-23 任务实施

取如图1-23所示的直角坐标系，合力的投影分别为：

则合力FR的大小为

合力FR的方向为

由于FRx<0，FRy<0，故α在第三象限，而合力FR的作用线通过汇交力系的汇交点O。

2.判断墙面对圆环的作用力

在没有约束的情况下，平面汇交力系的合力FR将对圆环产生移动效应，其方向将沿力FR的方向。若想让圆环保持平衡，则墙面必须对圆环施加一定的反作用力F，以抵消力FR的移动效应。根据平衡关系，可知墙面的作用力F必然与FR等大反向。

应注意的是，这里仅仅判断力F大小和方向，并没有判断其具体作用位置。实际上，固定端约束还存在反力偶作用，因此F与FR一般并不在一条直线上，而是形成一对力偶，该力偶与反力偶平衡，其中的原理可参见本模块课题四和课题五。

【能力提高】

图1-24a所示为一简易起重机。利用绞车D和绕过滑轮A的绳索吊起重物，AB、AC杆用铰链支撑在立柱上并与滑轮铰接。已知物重W=20kN，各杆件与滑轮的自重不计且忽略各处摩擦，滑轮A的大小亦忽略不计，试求杆AB与AC所受的力。

图1-24 起重机受力分析

【解答】

1.取滑轮为研究对象，它受到钢索和重物对它的拉力FTD、以及二力杆A B与A C对它的作用力FBA与FCA（均假设为拉力）。若忽略滑轮大小，则该四个力的作用线均通过滑轮中心A，组成一个平衡的平面汇交力系。选定直角坐标并画出受力图，如图1-24c所示。

2.列平衡方程式求解未知力

∑Fx=0, -FBAcos30°-FCAsin30 °-FTD=0

∑Fy=0, FBAsin30°-FCAcos30°-F′TW=0

且FTD=F′TW=FTW=W=20kN

联立求解上述方程组，得

FBA=-3.72kN，FCA=-27.32kN。

FBA和FCA为负值，说明两杆实际受力方向与假设的方向相反，即A B与A C杆均受压力。

课题三计算力对点之矩

【能力目标】

1.能够分析力对物体的转动效应。

2.能够灵活掌握力矩的计算方法。

【知识要点】

力矩的概念，合力矩定理。

【任务引入】

如图1-25所示，一制动踏板受到力F的作用，已知F=300N，a=250mm，夹角α=30o，试求力F对点O的矩。

图1-25 制动踏板

【任务分析】

力不仅能让物体产生移动效应，而且可能还会产生转动效应。这种转动效应通过力矩来衡量。根据定义计算力对点的矩，在力臂不易确定的情况下，往往难以便捷地得到计算结果。此时，不妨采用合力矩定理来解决问题。

【相关知识】

一、力对点之距

实践表明，作用在有固定支点的物体上的力可以使物体产生绕支点的转动，这种转动效果与力的大小和作用线的方位有关。以扳手拧螺母为例（图1-26），当施于扳手上的力F越大、F到转动中心O的距离d越远，螺母转动效果越好；当力的作用线垂直于转动中心O和力的作用点的连线时，也能获得好的转动效果；而当力的作用线通过转动中心O时，无论力F多大也不能扳动螺帽；当力的大小和作用线不变而指向相反时，将使物体朝相反的方向转动。

图1-26 力对点之矩

力使物体转动的效应可用力对点的矩（简称力矩）这样一个物理量来描述。其定义为：力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线距离d的乘积。记作

式中：点O称为矩心，d称为力臂，Fd表示力使物体绕点O转动效果的大小，而正负号则表明Mo（F）是一个代数量，可以用它来描述物体的转动方向。通常规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。力矩的单位为牛顿·米（N·m）。由力矩的定义可以得到如下力矩的性质：

（1）力对点的矩与矩心的位置有关。同一个力对不同点的矩是不同的,故需要指明矩心；

（2）当力的大小为零或力臂为零时，力矩为零；

（3）当力沿其作用线移动时，力矩不变；

（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。

受力矩作用而转动的机械零部件，绝大多数是绕着固定的轴线转动，如图1-27a所示的轮轴，虽然齿轮与带轮的受力不在同一平面上，但是计算这类零件的力矩时，可以将力投影到与转动轴线垂直的同一平面上，如图1-27b所示。计算各力对该平面与轴线交点的力矩，实际上都是力对转动轴的力矩，也称为力对轴之矩。

图1-27 轮轴受力

二、合力矩定理

设在物体上的A点作用有两个汇交力F1和F2，该力系的合力为R。在力系的作用面内任选一点O为矩心，过O点并垂直于OA作出y轴。从各力矢的末端向y轴作垂线，令Y1、Y2和Ry分别表示力F1、F2和R在y轴上的投影。易知力对点之矩在数值上等于力与矩心所形成的三角形面积的两倍。由图1-28可知，Y1=Ob1，Y2=-Ob2，Ry=Ob，则各力对O点之矩分别为

MO（F1）=2△A OB1=Ob1·OA=Y1·OA

MO（F2）=-2△AOB2=-Ob2·OA=Y2·OA

MO（R）=2△A OB=Ob·OA=Ry·OA

图1-28 合力矩定理推导

根据合力投影定理有

Ry=Y1+Y2

上式两边同乘以OA得

Ry·OA=Y1·OA+Y2·OA

显然MO（R）=MO（F1）+MO（F2）

上述推导可以推广到多个汇交力的情况，从而得到：

合力矩定理平面汇交力系的合力对平面上任一点之矩，等于力系中所有分力对同一点力矩的代数和，即

根据该定理，可将一个力（合力）分解为两个或两个以上便于求出力臂的分力，再由多个分力力矩的代数和求出合力的力矩。上述合力矩定理不仅适用于平面汇交力系，对于其它力系，如平面任意力系、空间力系等，也都同样成立。

【任务实施】

1.按力矩的定义求解

由图1-29a知，力臂d=OD=OEcos30°=（a-btan30 °）cos30°=191.5mm，则由式（1-7）得

MO（F）=Fd=300×191.5N·mm=57450N·mm

2.按合力矩定理求解

如图1-29b所示，将力F分解为水平力Fx和铅直力Fy，有

Fx=Fcos30°=259.8N，Fy=Fsin30°=150N

则由合力矩定理

显然，用合力矩定理解决问题更为简便。

图1-29 任务实施

【能力提高】

水平放置的简支梁分别承受分布载荷的作用，分布载荷最大值为q（oN/m）,梁的长度为l。试求在下列两种情况下，合力作用点的位置：（1）均匀分布载荷（图1-30a）；（2）三角形分布载荷（图1-30b）。

图1-30 求合力作用点的位置

【解答】

设分布载荷的合力为FQ，其作用点距梁左端支点A的距离为xC。在距A点x处取微段dx，作用在此微段上的分布载荷为q（x），其合力微元为q（x）dx，它对A点之矩为q（x）xdx。根据合力矩定理，有

因为，所以

对于均匀分布载荷，q（x）=q0，则，即合力作用在梁的中点。

对于三角形分布载荷，q（x）=，则xC=，即合力作用在距梁左端2/3处。

课题四分析平面力偶系

【能力目标】

1.能够识别和分析平面力偶系。

2.能够熟练简化平面力偶系。

3.能够熟练运用力偶系的平衡条件求解未知量。

【知识要点】

力偶的性质，力偶系的简化方法，力偶系的平衡条件。

【任务引入】

如图1-31a所示，多轴钻床在水平工件上同时加工三个直径相同的孔，每个钻头的切削力在水平面内构成一力偶。已知各力偶矩的大小为M1=M2=M3=20N·m。工件在A、B两处用螺栓固定，螺栓间距L=200mm，求两螺栓在水平面内所受的力。

图1-31 平面力偶问题

【任务分析】

工件在加工时受到钻头力偶矩的作用，同时必然受到螺栓的约束力作用，在这样的条件下处于平衡状态。那么该如何通过平衡条件求出未知力呢？这就需要了解平面力偶系平衡的有关概念。应该知道力偶与力矩是两个既相区别又相联系的概念，力偶有独特的性质。

【相关知识】

一、力偶及其基本性质

1.力偶和力偶矩

在生产实践和日常生活中，经常遇到大小相等、方向相反，不共线的两个平行力作用于物体之上，它们使物体只产生转动效应而不产生移动效应。例如，司机用双手操纵方向盘（图1-32a），用手拧水龙头（图1-32b），以及旋转钥匙开门等。这种大小相等、方向相反，不共线的两个平行力称为力偶，以符号（F,F′）表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所在平面称为力偶作用面。

图1-32 平面力偶

与力矩类似，力偶对物体的转动效应可以用力偶中一个力大小和力偶臂的乘积来度量，称为力偶矩，并记作M（F，F′）或M，即

一般规定，使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。在平面力系中，力偶矩是代数量。力偶矩的单位与力矩的单位相同。

力偶对物体转动效应取决于三个要素：力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用面。

2.力偶的性质

性质1力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来等效，也不能与一个力来平衡。

从力偶的定义和力的合力投影定理可知，力偶中的二力在其作用面内的任意坐标轴上的投影的代数和恒为零，所以力偶没有合力。力偶对物体只能产生转动效应，而一个力在一般情况下对物体有移动和转动两种效应，因此力偶不能与一个力等效或者平衡。力偶对物体的平移运动不会产生任何影响。由于力与力偶相互不能代替，故力与力偶是力系的两个基本元素。

性质2力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。

力偶对物体的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量。图1-33所示力偶（F，F′），力偶臂为d，逆时针转向，其力偶矩为M=Fd，在该力偶作用面内任选一点O为矩心，设矩心与F′的垂直距离为h。显然力偶对O点的力矩为

MO（F，F′）=F（d+h）-F′·h=Fd=M

图1-33 力偶性质2

此值就等于力偶矩。不论O点选在何处，力偶对该点的矩永远等于它的力偶矩，而与力偶对矩心的相对位置无关。

性质3在同一平面内的两个力偶，若它们的力偶矩相等，转向相同，则该两力偶等效。此为力偶的等效条件。

从以上性质可以得到两个推论：

推论1力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对物体的转动效应。

例如图1-34a作用在方向盘上的两上力偶（P1，P1′）与（P2，P2′）只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，作用位置虽不同，转动效应是相同的。

推论2在力偶矩大小不变的条件下，可以改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短；而不改变它对物体的转动效应。

例如图1-34b所示，工人在利用丝锥攻螺纹时，作用在丝锥板手上的力偶为（F1，F1′）或（F2，F2′），虽然d1和d2不相等，但只要调整力的大小，使力偶矩F1d1=F2d2，则两力偶的作用效果是相同的。

图1-34 力偶性质推论2

从上面两个推论可知，在研究与力偶有关的问题时，不必考虑力偶在平面内的作用位置，也不必考虑力偶中力的大小和力偶臂的长短，只需考虑力偶的大小和转向。所以常用带箭头的弧线表示力偶，箭头方向表示力偶的转向，弧线旁的字母M或者数值表示力偶矩的大小，如图1-35所示。

图1-35 力偶的表示

二、平面力偶系的简化

作用在同一平面的一群力偶，称为平面力偶系。因为力偶对物体的只有转动效应，所以同一平面上的多个力偶对物体的作用效果也是转动，它们简化的结果必然为一个力偶。

如图1-36a所示，设力偶M1（F1，F1′）、M2（F2，F2′）作用于刚体某平面，在该平面上任取一线段AB=d作为公共力偶臂，根据力偶的可移性，将两个力偶化为一组作用在A、B两点的反向平行力，如图1-36b所示，根据力系等效条件，有

于是在A、B两点各得一组共线力系，其合力为F与F′，如图1-36c所示，且有

F=-F′=Fp1+Fp2

F和F′是一对等值、反向、不共线的平行力，它们组成的力偶即为合力偶，所以有

M=Fd=（F1+F2）d=M1+M2

若在刚体上有若干个力偶作用，采用上述方法叠加，可得合力偶矩为

式（1-10）表明：平面力偶系简化的结果为一合力偶，合力偶矩为各分力偶矩的代数和。

图1-36 平面力偶系的简化

三、平面力偶系的平衡条件

平面力偶系简化的结果为一合力偶，要使力偶系平衡，则合力偶必须等于零，即

于是，平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和为零。

平面力偶系的独立平衡方程只有一个，故只能求解一个未知数。

【任务实施】

工件在水平面内受三个力偶和两个螺柱的水平反力的作用。根据力偶系的简化原理，三个力偶可简化成一个力偶。又因力偶不能用力来平衡，所以若想工件平衡，则两个螺栓在水平面内的约束反力FA和FB必然形成一反力偶与合力偶相平衡。

1.取工件为研究对象，假定螺栓对工件的约束反力的方向如图1-31b所示。

2.求合力偶矩：M=M1+M2+M3=60N·m，合力偶矩的方向为顺时针。

3.根据力偶系平衡条件求出螺栓的约束反力：FA=FB=M/L=60/0.2N=300N，力为正值表明与假定方向一致。

课题五分析平面一般力系

【能力目标】

1.能够识别和分析平面一般力系。

2.能够熟练对平面一般力系进行简化。

3.能够熟练运用平衡条件求解未知力。

【知识要点】

力的平移定理，平面一般力系的简化方法，平面一般力系的简化结果，平面一般力系的平衡条件。

【任务引入】

如图1-37a所示，梁A B一端固定，一端自由。梁上作用有均布载荷，载荷集度为q （kN/m），在自由端B还受集中力F和力偶矩为M的力偶作用，梁的长度为l，试求固定端A处的约束反力。

【任务分析】

在课题一的学习中，已经知道固定端约束作用力是由两个正交约束反力和一个约束反力偶组成。那么，这样一种力学模型是怎样得到的呢？力的平移定理及平面一般力系的简化方法将告诉其中的道理。在该任务中，为求得约束端的未知反力，需要借助平面一般力系平衡的条件，建立平衡方程进行求解。

图1-37 悬臂梁受力分析

【相关知识】

一、平面一般力系的概念

所谓平面一般力系是指位于同一平面内的各力的作用线既不汇交于一点，也不互相平行的情况。它是工程实际中最常见的一种力系，工程计算中的许多实际问题都可以简化为平面一般力系问题来进行处理。例如图1-38a所示的摇臂式起重机及图1-38b所示曲柄滑块机构等，其受力都在同一平面内。

图1-38 平面一般力系实例

另外，有些物体实际所受的力虽然明显地不在同一平面内，但由于其结构（包括支承）和所承受的力都对称于某个平面，因此作用于其上的力系仍可简化为平面一般力系。如图1-39所示的缆车，轨道对四个轮子的约束反力实际构成一个空间平行力系，但若各力关于缆车纵向对称面对称分布，则可用位于缆车纵向对称面内的反力来替代该空间平行力系，从而把作用于缆车上所有的力视为平面一般力系来处理。

图1-39 缆车受力

二、力的平移定理

作用在刚体上的力不仅可以沿作用线移动，也可以平移到其作用线以外的任何一点。

如图1-40a所示，设刚体的A点作用着一个力F，在此刚体上任取一点O，在O点加上两个大小相等、方向相反，与F平行的力F′和F″，且F=F′=-F″（图1-40b）。根据加减平衡力系公理，F、F′和F″与图1-40a中的F对刚体的作用效应相同。显然F″和F组成一个力偶，其力偶矩为M=Fd=MO（F）。于是这三个力可转换为作用在O点的一个力F′和一个力偶M（图1-40c）。由此可得以下重要定理

力的平移定理作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。

图1-40 力的平移定理

力的平移定理表明力对刚体具有平移和转动两种作用，它是研究一般力系简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。通过该定理，可解释一些生活和工程中的力学问题。

例如，图1-41a所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F的作用，为分析F的作用效应，可将力F平移到柱的轴线上的O点上，根据力的平移定理得到一个力F′，同时还必须附加一个力偶M（图1-41b）。力F′使立柱轴向受压，力偶M则使立柱弯曲。

图1-41 厂房立柱受力简图

又例如，使用丝锥攻螺纹时，要求用双手均匀加力，这时螺杆仅受一力偶作用，如图1-42a所示。如果双手用力不匀或用单手加力（图1-42b），这时丝锥将受一个力和一个力偶的共同作用，这个力将引起丝锥的弯曲甚至折断。

图1-42 丝锥攻螺纹

应注意，力的平移定理的逆定理也成立，即共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原力相同，作用线间的垂直距离为

三、平面一般力系的简化方法

设在物体上作用有平面一般力系F1，F2，…，Fn，如图1-43a所示。为将这个力系简化，可在其作用面内任选一点O作为简化中心，按照力的平移定理，将力系中的各力都平移到O点，于是得到一个汇交于O点的平面汇交力系F1′，F2′，…，Fn′，以及平面力偶系M1，M2，…，Mn（图1-43b）。

（1）平面汇交力系F1′、F2′、…、Fn′，可以合成为一个作用于O点的合矢量FR′，如图1-43c所示，FR′等于力系中各力的矢量和，即

图1-43 平面一般力系的简化

FR′称为原力系的主矢量简称主矢，显然单独的FR′并不能和原力系等效。可利用解析法求解主矢。将式（1-13）写成直角坐标系下的投影形式：

则主矢FR′的大小及其与x轴正向的夹角α分别为

（2）附加平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成为一个合力偶矩MO，即

MO称为原力系对简化中心O的主矩，单独的MO也不能与原力系等效。

综上所述，可得到以下结论：

平面一般力系向作用面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力作用在简化中心，等于力系中各力的矢量和，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。

原力系与主矢FR′和主矩MO的联合作用等效。主矢FR′的大小和方向与简化中心的位置无关。主矩MO的大小和转向与简化中心的选择有关。

平面一般力系向一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，但这并不是最后的简化结果。进一步分析，可能存在以下四种情况：

（1）若FR′=0，MO≠0，则原力系简化成一个力偶，其矩等于原力系对简化中心的主矩。力系的简化结果与简化中心的位置无关。

（2）若FR′≠0，MO=0，则原力系简化成一个合力FR，其大小FR等于主矢的大小FR′，且作用线通过简化中心。

（3）若FR′≠0，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程，可以把FR′和MO进一步简化成一个作用于另一点O′的合力FR，如图1-44所示。合力FR的作用线到简化中心O的距离为

至于合力FR的作用线在简化中心O点的哪一侧，则是由主矩MO的转向决定的。

（4）若FR′=0，MO=0，则该力系对刚体总的作用效果为零，即物体处于平衡状态。

图1-44 力系简化结果分析

四、平面一般力系的平衡条件

由上述分析可知，若平面一般力系的主矢和主矩都为零时，则该平面任意力系是一个平衡力系；反之，若平面一般力系是平衡力系，则其向任意点简化的主矢和主矩必同时为零。因此，平面一般力系平衡的充要条件是：力系的主矢和力系对任意点的主矩均为零，即

从而可得平面一般力系的平衡方程

式（1-19）表明，平面一般力系平衡时，力系中各力在任选的两个直角坐标轴（或两个相交坐标轴）上投影的代数和分别为零，且各力对平面内任一点之矩的代数和也为零。

式（1-19）是解决平面一般力系平衡问题的基本方程，它包括两个力投影方程和一个力矩方程，可求解最多三个未知量。平面一般力系的平衡方程并不是唯一的，它还有二矩式和三矩式两种形式：

二矩式使用条件：A、B两点的连线不能与x轴垂直。

三矩式使用条件：A、B、C三点不在同一直线上。

式（1-20）和（1-21）是物体取得平衡的必要条件，而非充分条件。

五、物体系统的平衡

工程实际中存在许多由若干个物体通过约束所形成的物体系统。在物体系统中，物体之间的受力、整体和局部的受力都是密切相关的。所谓物体系统的平衡是指系统中的每一个物体以及系统整体都处于平衡状态。

系统中单个物体的平衡条件是分析整个系统平衡的基础。一个受平面一般力系作用的物体有三个独立的平衡方程，而对于由个物体组成的系统则有个独立的平衡方程，可以求出个未知量。在这些未知量中不仅包括外力（例如约束反力），而且也包括内力或其他的几何参数。如整个系统中未知量的数目不超过独立方程的总数，即所有未知量都可以由平衡方程解出，这种情况称为静定问题。反之，若未知量的数目超过了独立的平衡方程的总数，则单靠平衡方程不能解出全部未知量，这种情况称为静不定问题或超静定问题。在工程实际中为了提高刚度和稳固性，常对物体增加一些支承或约束，因而使静定物体变为静不定物体。例如，图1-45a、b为静定结构，图1-45c、d则为静不定结构。在用平衡方程来解决工程实际问题时，应首先判断该问题是否静定，如果是静不定问题，需要寻求其它途径（如材料力学中的变形协调条件）求解。而在静力学中，只考虑静定问题。

图1-45 静定与静不定结构

求解物体系统的平衡问题，可分为三个步骤：

（1）根据具体问题的已知条件与所求目标，确定先求什么后求什么的整体思路，通常是先分析整体后考虑局部，或先分析局部再研究整体。

（2）将所选择的研究对象从所在系统中分离出来，根据分离处的约束性质与已知荷载，正确画出受力图。要注意简化力系的条件。

（3）根据受力图提供的力系几何特征，选取适当的坐标轴，列出平衡方程求解。为了尽量使平衡方程中只含一个未知量，可选与多个未知力相垂直的轴为投影轴，选与多个未知力相交或平行的轴为力矩轴。

【任务实施】

1.对固定端约束反力的解释

图1-46a为固定端约束简图，固定端的实际约束反力是由约束体与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系如图1-46b所示。当外力为平面力系时，约束反力所构成的这个分布力系也是平面力系。由于其中各个力的大小与方向均难以确定，根据平面一般力系的简化方法可将该力系向固定端A点简化，得到的主矢可用一对正交分力表示，而将主矩用一个反力偶矩来表示，这就是固定端的约束反力（图1-46c）。

图1-46 固定端约束反力

2.求解固定端约束反力

（1）取AB梁为研究对象，它在A 处受到固定端约束，取直角坐标并画受力图，如图1-37b所示。

（2）列平衡方程并求解

均布载荷可简化为作用于梁中点的一个集中力，其大小为ql。力偶对任一轴的投影均为零，且对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。

∑Fx=0，FAx=0

∑Fy=0，FAy-ql-F=0

∑MA（F）=0，MA-（ql×l/2）-Fl-M=0

解得

FAx=0

FAy=ql+F

MA=ql2/2+Fl+M

【能力提高】

【实例1】组合梁由A C和CE用铰链连接，载荷及支承情况如图1-47a所示，已知：l=8m，F=5kN，均布载荷集度q=2.5kN/m,力偶的矩M=5kN·m。求支座A、B、E及中间铰C的反力。

【解答】

1.若取组合梁整体为研究对象，则其在铰点A、B、E处的受力有4个，不可解。因此，可将组合梁在铰点C处拆开，分别取梁CE及A BC为研究对象，画出各分离体的受力图，如图1-47b、c所示。其中FQ1和FQ2分别为梁CE和梁A BC上均布载荷的合力。

图1-47 组合梁受力分析

2.在图1-47c中有五个未知力，不可解；而在图1-47b中有三个未知力，可解。故取CE为研究对象，列平衡方程

∑Fx=0, FCx-FRE cos45 °=0

∑Fy=0, FCy-FQ1+FRE sin45 °=0

∑MC（F）=0, -FQ1× 1-M+FREsin45 °×4=0

得FRE=3.54kN, FCx=2.5kN, FCy=2.5kN

3．由于FCx和FCy被解出，则和就确定了（两者分别对应相等），所以梁A BC段的未知力只有三个，可以求解。取A BC为研究对象，列平衡方程

得FAx=2.5kN, FAy=-2.5kN（方向向下）, FRB=15kN

【实例2】四连杆机构在图1-48a所示位置处于平衡，已知OA=60cm，O1B=40cm，作用在摇杆OA上的力偶矩M1=1N·m，不计杆自重，求力偶矩M2的大小。

图1-48 四连杆机构受力平衡

【解答】

1.受力分析

先取OA杆分析，如图1-48b所示，在杆上作用有主动力偶矩M1，由于力偶只与力偶平衡，所以在杆的两端点O、A上必作用有大小相等、方向相反的一对力FO及FA，而连杆A B为二力杆，所以FA的作用方向被确定。再取O1B杆分析，如图1-48c所示，此时杆上作用一个待求力偶M2，此力偶与作用在O1、B两端点上的约束反力构成的力偶平衡。

2.列平衡方程

∑M=0，M1-FA×OA=0

3.根据受力图1-48c列平衡方程

∑M=0，FB× O1Bsin30°-M2=0

因FB=FA=1.67N，故M2=FA ×O1B× 0.5=1.67×0.4× 0.5=0.33（N·m）

【实例3】如图1-49a所示，在支架上悬挂着重P=4kN的重物，B、E、D为铰接，A为固定端支座，滑轮直径为300mm，轴承C是光滑的，其余尺寸如图示。各杆和滑轮、绳子的重量不计，求A、B、C、D、E各处的反力。

图1-49 支架受力分析

【解答】

在这个结构中，DE为二力杆件，因此D、E处铰链的反力有1个未知量；A为固定端支座,有3个未知的约束反力；B、C处铰链反力各有2个未知量；滑轮两边的绳子拉力各有1个未知量。未知量的个数为10。考虑到A B、BC和滑轮三个构件处于平衡，可写出9个平衡方程，重物在二力作用下处于平衡，可再提供1个平衡方程，平衡方程的数目恰好等于未知量的数目，所以可解出各点的反力。

1.取整个结构为研究对象（图1-49b），列平衡方程

∑Fx=0，FAx=0

∑Fy=0，FAy-P=0, FAy=P=4kN

∑MA（F）=0，MA-P×2.15=0, MA=4×2.15=8.6kN

故A点的反力为FAx=0，FAy=4kN，MA=8.6kN·m。

2.考虑重物的平衡（图1-49c）根据二力平衡公理知

T1=P=4kN

3.考虑滑轮的平衡（图1-49d），列平衡方程

∑MC=0，T2×0.15-T1×0.15=0，T2=T1=4kN

可见，在不计轴承摩擦的情况下，滑轮处于平衡时，其两边绳子的拉力相等。

∑Fx=0，FCx-T2cos45°=0

FCx=T2cos45°=2.83kN