模块二 材料力学基础

在工程实际中，为保证机器或结构能正常工作，要求每个构件都必须有足够的承载能力。构件的承载能力是指：强度——抵抗外力破坏的能力；刚度——抵抗变形的能力；稳定性——在压力作用下，保持原有平衡形态的能力。构件的承载能力与所用材料的力学性能有关。

材料力学是研究构件强度、刚度和稳定性的学科，它把构件抽象成连续、均匀、各向同性的可变形固体，从构件的受力变形（限定为小变形）和破坏规律着手，提供相关的基本理论、计算方法和试验技术，确保能合理地确定构件的材料、形状和尺寸，以达到结构安全且经济合理的目的。

材料力学中，一般取杆件（轴线为直线、且纵向尺寸比横向尺寸大得多的构件）为典型的研究对象，针对其变形确定承载能力条件。杆件变形的基本形式主要有四种：轴向拉伸和压缩、剪切和挤压、扭转、弯曲，其他复杂的变形都可以看成是这几种基本变形的组合。

课题一 计算杆件的轴向拉伸（压缩）强度

【能力目标】

1.掌握内力和应力的概念。

2.掌握用截面法分析轴向拉伸或压缩杆件的内力。

3.掌握轴向拉（压）杆件变形量的计算。

4.掌握轴向拉（压）杆件的强度条件。

【知识要点】

杆件的内力，截面法求内力，虎克定律，材料的力学性能，拉伸或压缩强度计算。

【任务引入】

如图2-1所示，一阶梯形钢杆受到轴向载荷F1、F2作用，已知A C段横截面面积A1=500mm2，CD段横截面面积A2=200mm2，材料的弹性模量E=200GPa，许用应力[σ]=120MPa。试计算：（1）钢杆的轴向变形量；（2）钢杆的强度。

【任务分析】

在弹性范围内，构件的变形与载荷之间的关系可由虎克定律来描述。对于阶梯杆件，总变形量为杆件各段变形量之和，而求各段变形量的关键是要正确求得各段的轴力（即内力）。为保证构件安全正常地工作，应进行强度计算，使构件的最大工作力小于许用应力。

【相关知识】

一、轴向拉伸和压缩的概念

工程实际中，许多构件都受到轴向拉力或压力，会产生沿轴向的拉伸或压缩变形。例如在图2-2a所示的旋臂式吊车中，A B杆承受轴向拉伸，A C杆承受轴向压缩。紧固法兰用的螺栓承受轴向拉伸（图2-2b），容器支架的立柱则受到轴向压缩（图2-2c）。此外，曲柄连杆机构中的连杆、桁架中的杆件、起重机械中的钢缆等等，都是承受轴向拉（压）的构件。

轴向拉伸或压缩杆件的受力和变形特点是：外力或其合力的作用线与杆件轴线重合，杆件只发生沿轴线方向的伸长或缩短。这种轴向变形称为轴向拉伸或轴向压缩，产生轴向拉伸（压缩）的杆件简称为拉（压）杆。

二、构件的内力和截面法

在材料力学中，将构件所承受的载荷及约束反力统称为外力。

构件受到外力作用而变形时，其内部材料颗粒之间的相对位置会发生变化，致使构件内部各部分间产生相互作用的力，这种力称为内力。内力的大小及其在构件内的分布状况随外力和变形的改变而变化，并与构件的强度、刚度及稳定性与密切相关。内力分析是解决有关构件承载能力问题的基础。

截面法是材料力学中求内力的基本方法，是已知构件外力确定内力的普遍方法。其求解内力的过程包括以下三个步骤：

（1）截开：用假想的截面把构件分成两个部分，保留其中任一部分作为研究对象，称之为分离体；

（2）代替：将弃去的部分对保留部分的作用力用截面上的内力代替；

（3）对保留部分（分离体）建立平衡方程式，由已知外力求出截面上内力的大小和方向。

三、拉（压）杆的内力

如图2-3a所示，一拉杆在外力F、F的作用下处于平衡。为求得横截面上的内力，可运用截面法，假想将杆件沿任一横截面m-m分为两段，可取左段为研究对象，如图2-3b所示。截面m-m上的内力是一个均布力系，其合力为FN，因拉杆的外力沿杆轴线方向，由共线力系平衡条件可知，FN的作用线也必定通过杆的轴线，拉杆横截面上的这种内力称FN为轴力。轴力的大小可由由平衡条件得到

∑Fx=0，FN-F=0，FN=F

同样，若取m-m截面右段为研究对象，则

∑Fx=0，FN-F=0，FN=F

左段与右段的轴力为作用力与反作用力，对同一截面若选取不同部分为研究对象，所求得的内力必然大小相等，方向相反。为保证无论取左段还是右段作研究对象，所求得的同一横截面上的轴力正负号一致，对轴力的正负号规定如下：轴力的方向与所在横截面的外法线方向一致时，轴力为正，反之为负，即杆受拉轴力为正，受压为负。图2-4所示的压杆的轴力即为负值。

某些情形下，杆件受到多个轴向截荷的作用，这时杆件各段的轴力是不相同的。为清楚地表明轴力沿杆件轴向的变化情况，可采用直角坐标系按照一定的比例尺绘制出轴力图，其x轴（与杆件轴线平行）表示杆各横截面的位置，其y轴表示相应横截面上的轴力。在计算杆件各段轴力时，一般先假设轴力为正，然后根据平衡方程确定其大小和正负。图2-5给出了一个拉（压）杆的轴力图（图2-5b）及杆的内力分析过程（图2-5c），其中F1=16kN，F2=10kN，F3=20kN。

四、拉（压）杆的应力

1.应力的概念

材料相同，直径不等的两根直杆，在相同的拉力作用下，内力相等。但当拉力增大时，直径小的杆必先断，这说明内力仅代表内力系的总和，而不能表明截面上各点受力的强弱程度。实际上，杆件的强度不仅与内力的大小有关而且还与截面的面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关。为了描述内力的分布情况，引入内力分布集度，即应力的概念。如图2-6a所示，在截面m-m上任一点K的周围取一微小面积ΔA，并设作用在该面积上的内力为ΔF，则ΔF的大小与ΔA的比值，称为面积ΔA内的平均应力，并用p表示，即

一般情况下，内力沿截面并非均匀分布，平均应力之值p及其方向将随所取面积ΔA的大小而异。为了更精确地描述内力的分布情况，应使ΔA趋于零，由此所得平均应力p的极限值，称为截面m-m上K点处的应力，并用p表示，即

显然，应力p的方向即为ΔF的极限方向。为了便于分析，通常将应力p沿截面的法向与切向分解为两个分量（图2-6b）。垂直于截面的应力分量称为正应力，以σ表示；与截面相切的应力分量称为切应力，并用τ表示。显然，

p2=σ2+τ2

在国际单位制中，应力的单位为Pa（帕斯卡），1Pa=1N/m2。应力的常用单位为MPa（1MPa=106Pa=1N/mm2）。

2.拉（压）杆横截面上的应力

图2-7a所示为一等截面直杆，在杆表面画两条垂直于杆轴线的横线1-1与2-2，然后在杆两端施加一对大小相等、方向相反的轴向截荷F，使杆件产生拉伸变形。观察变形后杆件，可发现杆沿轴向伸长，横向直径变小；横线1-1与2-2仍为直线，且仍垂直于杆件轴线，只是间距增大，分别平移至图示1′-1′与2′-2′位置；各纵向线发生伸长，且伸长量相同。

根据上述现象，对杆内应力作如下平面假设：横截面变形前为平面，变形后仍为平面，仅沿轴线发生平移。根据平面假设，任意两横截面间的纵向纤维的伸长量（变形）应相同。若材料是均匀连续的，则可推断内力在横截面上均匀分布，即横截面上各点处的应力大小相等，方向沿杆轴线，垂直于横截面，故为正应力，如图2-7b所示。

设杆件横截面的面积为A，轴力为FN，则根据上述假设可知，横截面上各点处的正应力均为

式（2-4）适用于横截面为任意形状的等截面直杆。当杆的横截面沿轴线缓慢变化时（小锥度直杆），也可应用（2-4）式计算横截面上的正应力。由式（2-4）可知，正应力与轴力具有相同的正负符号，即拉应力为正，压应力为负。

3.拉（压）杆斜截面上的应力

考虑图2-8a所示拉杆，沿任一斜截面m-m将杆切开，该截面的方位以其外法线on与x轴的夹角α表示。由前述分析可知，杆件横截面上的应力均匀分布，由此可以推断，斜截面m-m上的应力pα也为均匀分布（图2-8b），且其方向必与杆轴平行。

设杆件横截面的面积为A，则根据上述分析，得杆左段的平衡方程为

由此得截面m-m上各点处的应力为

式中：σ=F/A，代表杆件横截面上的正应力。

将应力pα沿截面法向与切向分解（图2-8c），得斜截面上的正应力与切应力分别为

可见，在拉压杆的任一斜截面上，不仅存在正应力，而且存在切应力，其大小均随截面的方位角变化。

由式（2-4）可知，当α=0°时，正应力最大，其值为

即拉压杆的最大正应力发生在横截面上，其值为σ。

由式（2-5）可知，当α=45°时，切应力最大，其值为

即拉压杆的最大切应力发生在与杆轴成45°的斜截面上，其值为σ/2。

为便于应用上述公式，对方位角与切应力的正负符号作如下规定：以x轴为始边，方位角α为逆时针转向者为正；将截面外法线on沿顺时针方向旋转90°，与该方向同向的切应力为正。按此规定，图2-8c所示之σα与τα均为正。

五、拉（压）杆的变形

1.线应变

将一拉杆沿轴向加载，做拉伸试验，则拉杆将产生轴向变形，如图2-9所示。设等直杆变形前的长度、直径分别为l、b，在轴向拉力F作用下，杆长、直径分别为变为l1、b1，则纵向和横向变形分别为Δl=l1-l，Δb=b1-b，称为绝对变形或总变形量。

将杆件的绝对变形量与杆件变形前的原尺寸之比称为线应变（或相对变形）。杆件沿轴线方向的线应变称为纵向线应变；沿垂直于轴线方向的线应变称为横向线应变。对于轴力为常量的等直杆，由于材料均匀连续，其变形处处相等，则两种应变可表示为

2.泊松比

实验表明，轴向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时，杆沿轴线缩短，其横向尺寸则增大。于是拉伸时，轴向线应变ε为正值，横向线应变ε′为负值；而压缩时两者符号则相反，ε与ε′恒为异号。试验还表明，在比例极限内，横向线应变与轴向线应变成正比，将两者比值的绝对值用μ表示，则

或

比例系数μ称为泊松比。在比例极限内，μ是一个常数，其值随材料而异，由试验测定。对绝大多数各向同性材料，0＜μ＜0.5。

3.杆的轴向变形

实验表明，当拉（压）杆的应力未超过材料的比例极限σp时，正应力与线应变正比，此即虎克定律，用式子表示为

式中：比例常数E称为弹性模量，它表示材料抵抗变形的能力，其数值随材料的不同而异。

由于σ=FN/A，ε=Δl/l，故拉杆的轴向变形Δl可表示为

式（2-12）是虎克定律的另一种表达式。乘积EA称为杆截面的抗拉（压）刚度。显然，在一定轴向载荷作用下，抗拉（压）刚度愈大，杆的轴向变形愈小。

弹性模量E与泊松比μ都是材料的弹性常数，可通过实验测定。对于各向同性材料，E和μ之值均与方向无关。几种常用材料的E和μ值如表2-1所示。

六、材料在拉伸和压缩时的力学性能

材料的力学性能是指材料受外力时，在强度和变形方面表现出的性能。它是研究强度和变形问题的依据。这里所介绍的材料的力学性能是在常温和静载条件下由实验测定的。

1.低碳钢在拉伸时的力学性能

拉伸试验是确定材料力学性能的基本试验，试件的尺寸由国家统一规定，常用的圆截面标准试件如图2-10所示，其中l为试件工作长度，称为标距，标距与直径之比为l=10d或l=5d，分别称为10倍试件或5倍试件。

拉伸试验在万能试验机上进行。试件装夹好后，缓慢加载，直至断裂。把试验过程中对应的F和变形Δl绘制成曲线，称为F-Δl曲线。F-Δl曲线与试件的尺寸有关。为消除尺寸影响，将载荷F、变形Δl分别除以试件的原始截面积A和标距l，便可得到如图2-11所示的正应力σ与线应变ε之间的关系曲线（σ-ε曲线），称为应力—应变曲线。

低碳钢在工程中使用最广，且它在拉伸实验中表现出的力学性能较全面。所以通常选择低碳钢为典型材料，研究其拉伸时的力学性能。从低碳钢σ-ε曲线可知，低碳钢的拉伸过程分为四个阶段。

（1）弹性阶段

图2-11所示Oa段为斜直线，它表明应力σ与应变ε成正比，即满足虎克定律σ=Eε。直线Oa的斜率为弹性模量E的大小，即tan α=σ/ε=E。Oa段的最高点a所对应的应力σp称为比例极限。显然，只有应力低于比例极限时，应力才与应变成正比，材料才服从虎克定律。

超过比例极限后，图上的ab段已不是直线，虎克定律不再适用，但当应力值不超过b点所对应的应力值时，如将外力卸去，试件的变形也随之全部消失。这种变形称为弹性变形，σe称为弹性极限。

σp和σe虽然含义不同，但两者数值非常接近，工程上对这两者不作严格区分，因此可以说材料在弹性范围内服从虎克定律。

（2）屈服阶段

当应力超过弹性极限σe以后，试件应变的增长逐渐加快，甚至出现应力基本上不变，应变却急剧增加的现象。这种现象称为材料的屈服或流动（图2-11中的bc段）。材料屈服时的最低应力σs称为材料的屈服点。低碳钢σs=220~240MPa。

在屈服阶段，光滑试件的表面将出现与其轴线成的45°条纹，称为滑移线，如图2-12a所示。表明沿最大切应力面（45°斜截面），材料晶粒间发生相对滑移，产生了塑性变形（卸载后不能消失的变形）。工程上不允许过大的塑性变形。所以屈服强度σs是衡量材料强度的重要指标。

（3）强化阶段

屈服阶段过后，要增加变形就必须增加拉力，材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化。在图2-11中，ce段为强化阶段。强化阶段中的最高点e所对应的应力σb是材料所能承受的最大应力，称为抗拉强度（强度极限）。它是衡量材料强度的另一重要指标。

应注意的是，若把试件拉伸到强化阶段内任一点d处逐渐卸去载荷，应力和应变关系将沿着dd′回到d′点，dd′近似地平行于Oa。这说明在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化，这一规律称为卸载定律。其中d′g为恢复的弹性应变，Od′代表残余的塑形应变。卸载后，如在短期内再加载，则应力和变形关系将沿着卸载时的曲线dd′上升到d点，以后沿原应力—应变曲线变化，直至拉断。

由此可知：卸载后再加载，材料的比例极限σp有所提高，但塑性下降，这一现象称为材料的冷作硬化。工程上常利用冷作硬化来提高材料在弹性阶段的承载能力。例如建筑用钢筋和起重钢索，常用冷拔工艺来提高其强度；对某些机械零件表面进行喷丸处理以提高其强度等。另一方面，零件初加工后表面变硬，给下道工序加工造成困难，往往需要在工序间安排退火，以消除冷作硬化的影响。

（4）颈缩阶段

在应力达到抗拉强度之前，沿试件的长度变形是均匀的。到达抗拉强度后，试件在某一局部范围内横向尺寸突然缩小，形成颈缩现象（图2-12b）。颈缩部分的急剧变形引起试件迅速伸长；颈缩部位截面面积快速减小，试件承受的拉力明显下降，到f点试件被拉断。

试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形得以保留，其大小可用来衡量材料的塑性性能。常用的塑性指标有两个：

伸长率δ

式中：l为试件标距原长度；l1为试件拉断后的标距长度。

断面收缩率ψ

式中：A为试验前试件的横截面面积；A1为试件断口处最小横截面面积。

δ、ψ大，说明材料断裂时产生的塑性变形大，塑性好。工程上通常将δ≥5%的材料称为塑性材料，如钢、铜、铝等；将δ＜5%的材料称为脆性材料，如铸铁、玻璃、陶瓷等。

综上所述，通过低碳钢的拉伸试验，可以获得材料的弹性模量E、两个塑性特征值δ、ψ以及四个强度特征值σp、σe、σs、σb。其中，屈服强度σs和抗拉强度σb是衡量材料强度的两个重要指标。

2.其他材料在拉伸时的力学性能

工程上常用塑性材料的拉伸试验和低碳钢拉伸试验的方法相同，图2-13a给出了几种塑性材料拉伸时的σ-ε曲线。由图2-13a可见，有些材料（如合金钢Q345）和低碳钢一样，有明显的四个阶段，而有些材料（如锰钒钢）没有屈服阶段。对于没有明显屈服阶段的塑性材料，工程上常采用屈服强度σ0.2作为其强度指标。σ0.2又称名义屈服强度，是试件产生0.2%塑性应变的应力值，如图2-13b所示。

铸铁是工程上广泛应用的脆性材料，它在拉伸时的σ-ε曲线是一段微弯的曲线（图2-13c），它表明应力与应变的关系不符合虎克定律，但在应力较小时，应力—应变曲线与直线近似，故近似符合虎克定律。由图可以看出，铸铁在较小的应力下就被突然地拉断，没有屈服和颈缩现象，拉断前变形很小，伸长率通常只有0.5%～0.6%，是典型的脆性材料，它拉断时的最大应力σb是衡量强度的唯一指标。

3.材料压缩时的力学性能

金属材料的压缩试件一般制成短圆柱，以免被压弯。圆柱高度约为直径的1.5～3倍。

低碳钢压缩试件的σ-ε曲线（图2-14中实线）与其拉伸的σ-ε曲线（图2-14中虚线）相比，在屈服阶段以前，两曲线基本重合。这说明压缩时的比例极限σp、弹性模量E以及屈服点σs与拉伸时基本相同。屈服阶段以后，试件越压越扁，曲线不断上升，无法测出强度极限。因此，对于低碳钢一般不做压缩实验。

铸铁压缩时的σ-ε曲线如图2-15所示。试件在较小的变形下突然破坏，破坏断面的法线与轴线的夹角大致成45°～55°。比较图2-13c与图2-15可见，铸铁的抗压强度比其抗拉强度要高出4～5倍。其他脆性材料也具有这样的性质。

通过分析低碳钢、铸铁在拉伸与压缩时的力学性能，可以得出塑性材料和脆性材料力学性能的主要区别是：

（1）塑性材料在断裂时有明显的塑性变形；而脆性材料在变形很小时突然断裂，无屈服现象。

（2）塑性材料在拉伸时的比例极限、屈服点和弹性模量与压缩时相同，说明它的抗拉与抗压强度相同；而脆性材料的抗拉强度远远小于抗压强度。因此，脆性材料通常用来制造受压构件。

七、应力集中的概念

等截面构件受到轴向拉伸和压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。实际上，由于结构和工艺方面的需要，构件的形状常常是比较复杂的。如机器中的轴常开有油孔、键槽、螺纹、退刀槽等，或将轴制成阶梯轴，因而使截面尺寸发生突然变化。在截面尺寸发生突变处的截面上，应力分布是不均匀的，在孔、槽附近的局部范围内应力将显著增大，如图2-16所示。这种由于截面的尺寸、形状突然变化而产生的局部应力显著增大的现象，称为应力集中。

试验结果表明：截面尺寸变化越大、圆角及孔尺寸越小则应力集中程度越严重。因此，构件上应尽可能地避免带尖角的孔和槽；在阶梯轴的轴肩处要用圆弧过渡，而且在结构允许的范围内尽量使圆弧半径大一些。

各种材料对应力集中的敏感程度是不同的。塑性材料具有缓和应力集中的性能，故用塑性材料制成的构件在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响；脆性材料对应力集中敏感，即使在静载荷作用下，也应考虑应力集中对构件强度的削弱（但像灰铸铁这样的内部组织不均匀的脆性材料对外在应力集中的敏感性并不十分显著）。但是，当受到周期性变化的应力作用或冲击载荷作用时，无论何种材料制成的构件都必须考虑应力集中对强度的影响。

八、拉（压）杆的强度计算

1.极限应力和许用应力

试验表明，当塑性材料构件的工作应力达到屈服点σs时，将产生显著的塑性变形；而当脆性材料构件的工作应力达到强度极限σb时，会产生断裂。工程中，一般不允许构件产生破坏，即出现较大的塑性变形或断裂。通常将塑性材料的屈服点σs和脆性材料的强度极限作为应力的极限值，统称为材料的极限应力，用σ0表示。若构件的最大工作应力（由分析计算获得）不超过极限应力σ0，则构件安全，否则构件将发生破坏。

考虑到各种不准确的因素的影响，为确保构件安全正常地工作，应使构件具有适当的强度储备。一般将材料的极限应力σ0除以一个大于1的数S作为构件工作应力的最大允许值，称为许用应力，以[σ]表示，即

式中的S称为安全系数。安全系数的大小由多种因素决定，其大小的选取直接关系到设计的安全性和经济性。在一般的静强度计算中，塑性材料的安全系数Ss通常取为1.5～2.2；因为断裂比塑性变形更加危险，故脆性材料的安全系数Sb通常取为3.0～5.0，甚至更大。各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或设计手册中查到。

2.拉（压）杆的强度条件

根据以上分析，为了保证拉（压）杆安全正常地工作，不至于因强度不够而破坏，必须使杆的最大工作应力σmax不得超过材料的许用应力σ，即要求

式（2-16）称为拉（压）杆的强度条件。

利用强度条件，可以解决工程中的三类强度计算问题：

（1）校核强度 当已知杆件的截面尺寸、许用应力和所受外力时，通过式（2-16）进行强度验算，可以判断该杆在所受外力作用下能否安全工作。拉（压）杆上正应力最大的横截面称为危险截面。强度校核就是判断危险截面的上应力是否满足式（2-16），若满足，则整个杆件的强度够，否则强度不足。

（2）设计截面尺寸 如果已知拉（压）杆所受外力和许用应力，根据强度条件可以设计该杆所需的最小横截面面积，设计计算式为

（3）确定许可载荷 如果已知拉（压）杆的截面尺寸和许用应力，根据强度条件可以确定该杆所能承受的最大轴力FN，其值为

然后通过静力平衡条件可求出结构所能承受的最大载荷，称为许可载荷。

【任务实施】

1.求A端约束反力

以FAx代替固定端A对杆的约束（图2-17b），由杆的平衡条件∑Fx=0得

FAx=F1-F2=30kN-10kN=20kN

2.用截面法分段求轴力FN1、FN2

A B段FN1=FAx=20kN（拉力）

BD段FN2+F2=0，FN2=-F2=-10kN，（压力）

3.作杆的轴力图

轴力图如图2-17c所示。

4.求杆的轴向变形量

可分段运用公式（2-12）求出各段杆的轴向变形量，再求出它们的代数和，即为全杆的轴向变形量。

计算结果为负值，表明杆的总长缩短了0.015mm，可见杆的轴向变形很小。

5.校核钢杆的强度

AB段的正应力

BC段的正应力

CD段的正应力

计算结果说明，AB段上各横截面的正应力的绝对值最大，故AB段上的横截面为危险截面。

因为σmax=σ1=40MPa<[σ]，故该阶梯钢杆的强度足够。

【能力提高】

图2-18a所示为简易旋臂式吊车，斜杆由两根5号等边角钢（50×50×5）组成，水平杆由两根10号槽钢组成。材料都是Q235钢，许用应力[σ]=120MPa。整个三角架能绕O1O1轴转动，电动葫芦能沿水平杆移动，两杆自重略去不计。求当电葫芦在图示位置时的最大起吊重量[F]（包括电葫芦自重）。

【解答】

1.受力分析

A B、A C两杆的两端可简化为铰链连接，吊车的计算简图如图2-18b所示。

取节点A为研究对象，其分离体受力图如图2-18c所示。图中设A C杆受拉力FN1，A B杆受压力FN2。由平面汇交力系的平衡条件

∑Fx=0，FN2-FN1cos30°=0

∑Fy=0，FN1sin30°-F=0

得

2.计算最大轴力

由型钢表查得5号等边角钢横截面面积为4.8×102mm2，10号槽钢横截面面积为12.74×102mm2。

斜杆A C由两根角钢组成，则其横截面面积A1=2×4.8×102mm2，斜杆允许承担的最大轴力为

[FN1]=A1[σ]=2×4.8× 102×120N=115.2×103N

水平杆A B由两根槽钢组成，其横截面面积A2=2×12.74×102mm2，则水平杆允许承担的最大轴力为

[FN2]=A2[σ]=2×12.74×102×120N=305.8×103N

3.确定承载能力

令FN1=[FN1]，可得到按斜杆强度计算的许用载荷[F1]

[F1]=[FN1]/2=115.2× 103/2=57.6×103N

令FN2=[FN2]，可得到按水平杆强度计算的许用载荷[F2]

为保证整个吊车的强度安全，取上述两个许用载荷中之较小者。故最大起吊重量为[F]=57.6kN

课题二 计算构件的剪切与挤压强度

【能力目标】

1.掌握剪切与挤压的概念。

2.能应用剪切与挤压强度条件进行构件的强度计算。

【知识要点】

杆件剪切、挤压概念，剪切与挤压强度条件。

【任务引入】

图2-19所示为用四个铆钉连接两块钢板的铆接结构。钢板与铆钉的材料相同。铆钉直径d=16mm，钢板的尺寸为b=100mm，板厚为t=10mm，F=90kN，铆钉的许用切应力[τj]=120MPa，许用挤压应力[σjy]=300MPa，钢板的许用拉应力[σ]=120MPa。试校核铆钉接头的强度。

【任务分析】

铆钉与两钢板之间采用过盈配合连接，铆钉孔与铆钉之间紧密接触，为抵抗外部载荷，铆钉与钢板承受剪切与挤压作用。其作用力与轴向力表现不同，不是简单的沿横截面方向均匀分布。计算在剪切与挤压作用力下构件的强度必须了解剪切与挤压的概念与变形特点。

【相关知识】

一、剪切与挤压的概念

工程实际中，常采用铰制孔用螺栓、键、销等连接件将构件连接起来。这些连接件在承受横向的工作载荷时，便会产生剪切变形与挤压变形。

如图2-20a所示，两块钢板用铆钉连接。当钢板受外力作用后，铆钉就受到钢板传来的两个等值、反向、作用线平行，且相距很近的力的作用。铆钉在这一对力的作用下，沿两构件的结合处的截面m-n处发生相对错动变形，如图2-20b所示，铆钉的这种变形称为剪切变形。产生相对错动的截面m-n称为剪切面。若外力过大，铆钉将被剪断，发生剪切破坏。

构件在发生剪切变形的同时，往往还受到挤压作用。例如在铆钉连接中，铆钉受到剪切力作用的同时，铆钉与被连接件在孔壁接触面处还受到较大的压力作用，产生局部塑性变形，这种变形称为挤压变形，接触面称为挤压面（一般垂直于外力的作用线），如图2-21b所示。挤压力过大时，将会出现挤压破坏（明显的挤压变形或者压陷）。

为避免构件发生剪切和挤压破坏，必须进行剪切与挤压强度计算。

二、剪切与挤压的实用计算

1.剪切的实用计算

计算剪切强度必须先求出剪切面上上的内力。采用截面法将构件沿剪切面截开，任取一部分为研究对象，如图2-20c所示。为与外力F平衡，剪切面上须有一个与F等大、反向的内力，此内力称为剪力，用FQ表示，剪力是剪切面上分布内力的合力。剪切面上分布内力的集度称为切应力，以τ表示，如图2-20d所示。

由于切应力在剪切面上分布的情况比较复杂。为便于计算，工程中通常采用实用计算，即根据构件的实际破坏情况，作出粗略的、简单的、但基本符合实际情况的假设，作为强度计算的依据。实用计算中假设切应力在剪切面内均匀分布，于是切应力的大小为

式中：FQ为作用在剪切面上的剪力，Aj为剪切面的面积。

为保证构件不发生剪切破坏，构件的切应力应小于材料的许用切应力[τj]，即剪切强度条件为

[τj]可由手册查出，一般塑性材料的许用切应力[τj]约为许用拉应力[σ]的0.6～0.8倍。大量实践结果表明，剪切的实用计算能满足工程实际的要求。

2.挤压的实用计算

挤压面上的压力称为挤压力Fjy，由挤压引起的应力称为挤压应力σjy。挤压面上的挤压应力分布也较复杂，如图2-21c所示。为了简化计算，工程中同样采用实用计算法，即假设挤压应力在挤压面上是均匀分布的。则挤压强度条件为

式中：Ajy为挤压面面积，当挤压面为平面时，挤压面积取实际接触面积；对于螺栓、销等圆柱状连接件，挤压面为半圆柱面，则挤压面积取为实际接触面积的正投影面积，如图2-21d所示，Ajy=td。[σjy]为材料的许用挤压应力，可由手册查出。一般塑性材料的许用挤压应力[σjy]约为许用拉应力[σ]的1.7～2倍；脆性材料的[σjy]约为[σ]的0.9～1.5倍。

如果相互挤压的两构件材料不同，应对其中许用挤压应力较低的材料进行挤压强度校核。

应注意，挤压与压缩的概念是不同的。压缩变形是指杆件的整体变形，其任意横截面上的应力是均匀分布的；挤压时，挤压应力只发生在构件接触的局部表面，一般并不均匀分布。

【任务实施】

图2-19（或图2-22a）所示的铆接头的破坏方式有三种可能：（1）铆钉沿其横截面剪断；（2）铆钉或钢板被挤压坏；（3）钢板被拉断。因此，为了校核铆接头的强度，应针对这三种破坏可能进行计算。

1.铆钉的剪切强度

因为铆钉是对称布置，故可认为每一铆钉承受F/4的力，于是铆钉受剪面上的剪力为：

则切应力

2.铆钉的挤压强度

因为铆钉与钢板的材料相同，故只需校核铆钉或钢板的挤压强度：

3.钢板的拉伸强度

钢板的受力及其轴力图分别如图2-22b、c所示。显然对n-n截面应进行强度校核；截面m-m的轴力虽比截面n-n的小，但m-m截面被两个钉孔削弱，故对m-m截面也应作强度校核：

可见整个铆接接头的强度足够。

【能力提高】

电机车挂钩的销钉连接如图2-23a所示，已知挂钩厚度t=8mm，销钉材料的[τj]=60MPa，[σjy]=200MPa，电机车的牵引力F=20kN，试选择销钉的直径。

【解答】

1.按剪切强度计算直径

销钉受力情况如图2-23b所示，钉受双剪，故每个剪切面上的剪力为FQ=F/2。剪切面面积Aj=πd2/4

由式（2-20）可得

有

取d=15mm。

2.按挤压强度条件计算直径

由图2-23b可知，销钉上、下部挤压面上的挤压力，挤压面面积Ajy=td，由式（2-21）得

即

选d=15mm，可同时满足挤压和剪切强度的要求。

课题三 计算圆轴的扭转强度和刚度

【能力目标】

1.了解扭转的实例，掌握扭转的概念。

2.能准确分析杆件中的扭矩并画出扭矩图。

3.掌握圆轴扭转时应力与变形的特点。

4.能进行圆轴扭转强度计算。

【知识要点】

扭矩和扭矩图，扭转应力与变形，抗扭截面系数，扭转强度，扭转刚度。

【任务引入】

如图2-24所示，有一减速器传动轴，直径d=45mm，转速n=300r/min，主动齿轮A的输入功率PA=36.7kW，从动齿轮B、C、D的输出功率分别为PB=14.7kW、PC=PD=11kW，轴的材料为45钢，材料的切变模量G=8×104MPa，许用切应力为[τ]=40MPa，许用单位长度扭转角[θ]=2°/m，试校核轴的扭转强度和刚度。

【任务分析】

轴受到扭矩作用时会产生扭转变形。在计算受轴的扭转强度时，必须分析轴横截面上的内力—扭矩，以建立扭矩图为基础，计算截面上的最大切应力，并校核强度。轴的刚度用“单位长度扭转角”来衡量。

【相关知识】

一、扭转的概念

在工程实际中，人们经常会遇到一些受到扭转作用的杆件。例如，图2-25a所示的汽车传动轴AB，轴的左端受发动机的主动力偶作用，轴的右端受到传动齿轮的阻力偶作用，两个转动方向相反的力偶对轴产生了扭转作用。又例如，2-25b所示的汽车方向盘的转向轴，司机在转向时通过双手将力偶（F，F′）施加在方向盘上，转向器下端有阻力偶T，于是转向轴也受到扭转作用。

由上述实例可看出，杆件扭转时的受力特点是：在垂直于杆轴线的两个平行平面内分别作用一对大小相等、方向相反的外力偶。当杆件受到扭转作用时，会产生扭转变形，其特点是：杆件的任意两横截面绕轴线产生相对转动，但杆的轴线位置和形状保持不变。以扭转变形为主要变形的杆件称为轴。实践中受扭转作用的杆件很多，但本模块仅涉及工程中常见的圆轴扭转问题。

二、圆轴扭转时的内力

1.外力偶矩的计算

轴扭转时所受的外力偶矩是分析轴内力的依据。工程中一般不会直接给出外力偶矩，而是给出轴所传递的功率和轴的转速，因此，外力偶矩可由下式计算

式中：T为作用于轴上的外力偶矩（N.m）；P为轴所传递的功率（kW）；n为轴的转速（r/min）。

轴所承受的外力偶矩与传递的功率成正比，与轴的转速成反比。当轴所传递的功率相同时，则高速轴所受外力偶矩较小，低速轴所受外力偶矩较大。因此，在同一传动系统中，低速轴的轴径要大于高速轴轴径。轴上输入力偶矩为主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；轴上输出力偶矩是阻力偶矩，其转向与轴的转向相反。

2.扭矩的计算

当轴的外力偶矩确定后，便可运用截面法分析圆轴扭转时内力。如图2-26所示圆轴A B，在其两端垂直于杆轴线的平面内，作用有一对反向力偶矩，该轴处于平衡状态。用一假想截面m-m将轴一分为二，任取一段（如取左段）为研究对象。要想使左段平衡，m-m截面上必定作用有一个与外力偶矩T等大、反向的内力偶矩Mn，Mn称为截面m-m的扭矩。Mn可由平衡条件求得，即

∑M=0，Mn-T=0，Mn=T

如果取轴的右段研究，会得到同一截面上与Mn大小相等、但方向却相反的扭矩, 与Mn其实是一对作用力与反作用力。为了使无论取左段还是取右段为研究对象时，所求得的同一截面上的扭矩正负符号一致，对扭矩的正负号作出如下规定：以右手四指顺着扭矩方向握住圆轴的轴线，伸直大拇指的指向与横截面的外法线方向一致时扭矩为正，反之为负，如图2-27所示。按此规定，同一截面的扭矩符号是一致的。在图2-26中，扭矩Mn与均为正。

由平衡关系可知，圆轴扭转时任意截面上的扭矩等于该截面一侧所有外力偶矩的代数和，即Mn=∑Ti。计算时，一般可以先假设扭矩为正，外力偶矩Ti的符号规定为：与扭矩同方向为负，反方向为正。这样计算出扭矩的结果若为正值，表示扭矩的实际方向与假设正方向相同；若计算出扭矩的结果为负值，则表示扭矩的实际方向与假设正方向相反。

3.扭矩图

当轴上作用有多个外力偶矩时，为便于准确找到危险截面从而进行强度计算，需要画出能形象地表达轴上各截面扭矩大小和符号的变化情况的扭矩图。扭矩图以直角坐标绘制，将平行于轴线的直线作为横坐标轴x，其上各点表示轴上横截面的位置；扭矩的大小以纵坐标轴y表示；按照选定的比例尺，正扭矩画在纵轴正向，负扭矩画在负向。

三、圆轴扭转时的应力和强度条件

1.圆轴扭转时的切应力

为了分析圆轴扭转时横截面上应力的分布情况，取一等直圆轴，事先在圆轴表面画上若干平行于轴线的纵向线和垂直于轴线的圆周线形成矩形格子，然后在圆轴两端分别作用一外力偶矩T，使圆轴发生扭转变形，如图2-28所示。

观察圆轴扭转后的变形（图2-28b），可看到以下现象：（1）各圆周线形状、大小以及相邻圆周线之间距离均未改变，只是绕轴线转过了一定的角度；（2）各纵向线都倾斜了同一角度γ，轴表面的矩形格子在扭转后变成了平行四边形。

根据上述现象，可以提出平面假设：圆轴的横截面变形前为平面，变形后仍保持为平面，并且垂直于轴线，其大小和形状不变，且半径仍为直线。按此平面假设，圆轴扭转时，各截面都像刚性的平面一样绕轴线作相对转动。把任意两个横截面相对转过的角度称为扭转角。

由平面假设可以推知：（1）由于相邻横截面的间距不变，所以横截面上没有正应力；（2）由于相邻横截面发生绕周线的相对错动，即出现了剪切变形，因此横截面上必然存在切应力；又因其横截面大小和形状不变，故沿半径方向无切应力作用，切应力方向与半径垂直。

2.切应力分布规律

经推导（推导过程略），可得出圆轴扭转时横截面上切应力τ的分布规律为：横截面上任一点的切应力大小与该点到圆心的距离成正比，并沿垂直于半径方向呈线性分布，如图2-29所示。

此规律可用下式表示

式中：τρ为半径为ρ处的切应力（MPa）；Mn为所求横截面上的扭矩（N.mm）；ρ为截面上任一点到圆心的距离（mm）；IP为横截面对圆心的极惯性矩（mm4），它是一个仅与截面几何形状与尺寸有关的几何量。

从式2-23可知，圆心处（即ρ=0）的切应力为零，圆轴表面处（即ρ=ρmax）的切应力为最大，同一圆周上各点切应力相等。

圆轴扭转时横截面上最大切应力计算公式为

上式中，R和IP均为与截面尺寸有关的几何量，可令WP=IP/R，则有

式中：WP称为抗扭截面系数（mm3），当WP越大时，τmax就越小，因此WP是表示横截面抵抗扭转破坏的截面几何量。应注意的是，式（2-23）和式（2-24）只适用于圆截面轴，且截面上的最大切应力不得超过材料的剪切比例极限。

工程上，圆轴的横截面形状通常采用实心圆和空心圆两种，如图2-30所示。它们的IP、WP的计算公式如下：

（1）直径为d的实心圆截面

极惯性矩

抗扭截面系数

（2）外径为D、内径为d，直径比α=d/D的空心圆截面

极惯性矩

抗扭截面系数

3.强度条件

圆轴扭转时的强度条件为：圆轴危险截面上的最大工作切应力τmax不超过材料的许用切应力[τ]。对于等直圆轴，最大切应力出现在最大扭矩截面的边缘处，则

对于各段扭矩不等的阶梯轴来说，则要综合考虑和变化规律来确定τmax，其强度条件可表述为

四、圆轴的扭转变形和刚度计算

1.剪切虎克定律

在构件的剪切部位截取一微小正六面体（单元体），在与剪力相应的切应力τ的作用下，单元体的右面相对于左面产生相对错动，使得单元体的直角发生微小的改变（图2-31），直角的改变量γ称为切应变（或角应变），以弧度（rad）度量。

试验表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力与切应变成正比，这就是剪切虎克定律，即

式中：比例常数G称为材料的剪切弹性模量，它表示材料抵抗剪切变形的能力，单位与弹性模量E相同，其数值由试验测定，钢材的G值约为80 GPa（吉帕，1GPa=1000MPa）。

对于各向同性材料，材料的剪切弹性模量G、弹性模量E、泊松比μ之间的关系是

可见，G、E、μ这三个弹性常数中，只要知道其中任意两个，另一个便可计算求出。因此，一般可以通过拉伸试验测定E、μ值，再按式2-32计算出G，而不必做剪切试验。

2.圆轴的扭转变形

圆轴扭转时，各截面将绕轴线产生转动，两个截面间的相对扭转角φ就是圆轴的扭转变形。如图2-32所示，其单位是rad（弧度）。

由理论分析可证明，扭转角φ与扭矩Mn以及两截面间的距离成正比，而与材料的剪切弹性模量G及轴横截面的极惯性矩Ip成反比，即

式中：GIp称为抗扭刚度，它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，GIp越大，圆轴抵抗扭转变形的能力就越强。当两截面之间的扭矩、直径有变化时，需分别计算各段的扭转角，然后将这些扭转角代数和作为整个轴的扭转角。扭转角的正负号与扭矩相同。

从式（2-33）中可看出，扭转角φ的大小与距离l有关。为消除l的影响，工程上常用“单位长度扭转角θ”来表示其变形的程度，计算公式如下

式中：θ为单位长度扭转角（rad/m），由于工程中常用（°/m）作为的单位，因此θ一般用下式来计算

3.刚度条件

圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角θmax不超过许用的单位长度扭转角[θ]，即

传动轴单位长度扭转角的许用值一般根据机械的精度要求来确定，可在有关设计手册中查到，表2-2列出其一般值供参考。

【任务实施】

1.计算外力偶矩

2.画扭矩图，确定最大扭矩

用截面法在BA、A C、CD段分别取截面1-1、2-2、3-3，并根据平衡条件求出相应的扭矩及正负号如下

Mn1=-TB=-468N·m

Mn2=TA-TB=（1168-468）=700N·m

Mn3=TD=350N·m

绘出扭矩图如图2-33所示，则最大扭矩在AC段

Mnmax=Mn2=700N·m

3.校核强度

轴的极惯性矩

抗扭截面系数

最大切应力

因此轴的强度足够。

4.校核刚度

轴的最大单位长度扭转角

所以轴的刚度也足够。

【能力提高】

【实例】由无缝钢管制成的汽车传动轴A B（图2-34），外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45钢，许用切应力[σ]=60MPa，工作时最大扭矩T=1.5kN.m。（1）试校核AB轴的强度。（2）如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。（3）比较实心轴和空心轴的重量。

【解答】

1.校核AB轴的强度

由已知条件得

故

所以，AB轴满足强度要求。

2.确定实心轴的直径

若实心轴与空心轴的强度相同，在相同条件下必然得出两轴的WP相等。如设实心轴的直径为D1，则有

解得

3.比较实心轴和空心轴的重量

因为轴的材料和长度相同，它们的重量比就等于面积比，设A1为实心轴的截面面积，A2为空心轴的截面面积，则有

计算结果说明，满足同样强度要求时，空心轴的重量仅为实心轴重量的31%。空心轴减轻重量、节省材料的效果是明显的，这是因为截面上的切应力沿半径呈线形分布，圆心附近处应力较小，材料未能发挥作用，改为空心时相当于把轴心处的材料移向边缘，从而提高了轴的强度。

课题四 计算直梁的弯曲强度

【能力目标】

1.熟练掌握梁的剪力和弯矩的计算。

2.能够准确画出剪力图和弯矩图。

3.能够利用强度条件进行强度计算。

【知识要点】

平面弯曲的概念及实例，受弯杆件的简化，剪力图和弯矩图，纯弯曲时梁横截面上的正应力，弯曲强度条件。

【任务引入】

图2-35所示为矩形截面简支梁。已知：F=5kN，a=180mm，b=30mm，h=60mm。试分别求将截面竖放和横放时梁横截面上的最大正应力。

【任务分析】

对产生弯曲的构件进行强度计算，首先要根据受力简图计算构件横截面上的内力（剪力和弯矩），然后建立内力方程并作出剪力图和弯矩图，最后找到危险截面进行强度校核。构件的摆放方式是影响构件的弯曲强度的因素之一。

【相关知识】

一、平面弯曲的概念

弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。图2-36所示的起重机大梁、火车轮轴、车床刀具等的变形都是弯曲变形的实例。这些构件共同的受力特点是，在通过构件轴线的平面内，受到力偶作用或受到垂直于轴线的外力（即横向力）作用。而它们的变形特点是，构件的轴线被弯成一条曲线，这种变形称为弯曲变形。在外力作用下产生弯曲变形或以弯曲变形为主的构件称为梁。

工程上使用的梁一般为直梁，其横截面形状主要有圆形、矩形、T字形等（图2-37），它们大都有一个纵向对称轴，因而整个梁有一个包含轴线的纵向对称面，如图2-38所示。若梁上所有外力、外力偶都作用在纵向对称平面内，则梁变形后其轴线也将在此平面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲，它是弯曲问题中最基本的情况。本课题主要介绍直梁的平面弯曲。

二、梁的简化和梁的类型

1.梁的简化

工程上梁的截面形状、载荷及支承情况一般都比较复杂，为便于分析和计算，必须对梁进行简化。这种简化包括梁的形状、载荷和支座的简化。

对梁形状的简化，不管梁的形状多么复杂，均可将其可简化为一直杆并用梁的轴线来表示，如图2-36所示。

对梁支座的简化，应根据支座对梁约束的不同特点，将支座简化为静力学中提到的三种约束形式：固定端、固定铰支座、活动铰支座。支座约束符号及支座反力的表示可参见静力学中相关内容。

梁受到的外力包括载荷和支座反力，外力可简化为集中力、集中力偶、分布载荷三种形式，如图2-38所示。

2.梁的类型

工程实际中常见的直梁分为三种类型：

（1）简支梁：一端是活动铰支座、另一端是固定铰支座的梁，如图2-36a所示。

（2）外伸梁：一端或两端伸出支座之外的简支梁，如图2-36b所示。

（3）悬臂梁：一端为固定端约束、另一端自由的梁，如图2-36c所示。

如果上述三种类型的梁在承受载荷后，其支座反力均可由静力平衡方程完全确定，则这些梁称为静定梁。如梁的支座反力的数目大于静力平衡方程的数目，应用静力平衡方程无法确定全部支座反力，这种梁称为超静定梁。

三、梁的内力——剪力和弯矩

构件的内力分析是进行强度和刚度计算的基础。平面弯曲的梁在其横截面上的内力包括剪力和弯矩。求取梁的内力的方法依然是截面法。

1.截面法求内力

作用于梁上的外力以及支承对梁的约束反力都是梁的外载荷。在外载荷已知的情况下，梁的内力可由截面法求出。

以图2-39a所示的悬臂梁为例说明梁的内力的求法。悬臂梁AB在A端受到外载荷F的作用并处于平衡状态，根据静力平衡条件，可先求出梁的固定端约束反力FB=F和MB=Fl，如图2-39b所示。

为了求出横截面m-m上的内力，在m-m处将梁截开，取梁的左段为研究对象，如图2-39c所示。该段梁上除了作用有外力F外，还有梁的右段作用在梁左段截面上的内力。要使左段梁处于平衡，则在m-m横截面上必有一个切向内力FQ和一个在梁的纵向对称平面内的内力偶M。FQ和M的大小可由平衡方程可求得，即

∑Fy=0, F-FQ=0，

得FQ=F

∑MC（F）=0, M-Fx=0，

得M=Fx

FQ称为横截面m-m上的剪力，它是该截面上切向分布内力的合力；M称为是横截面m-m上的弯矩，它是该截面上法向分布内力的合力偶矩。这里的矩心C是横截面的形心（均质物体的几何中心）。

如取右段为研究对象，同样可以求得横截面m-m上的剪力和弯矩，如图2-39d所示。梁的左、右两段在横截面m-m上的内力是作用力和反作用力的关系。

2.内力符号的规定

为了使取梁的左段或右段为研究对象时，求得的同一截面上的剪力或弯矩不仅数值相同，而且正负符号一致，对剪力和弯矩的正负符号作如下规定：

在梁的横截面内侧取一微段，凡使该微段产生左上右下相对错动（或对所取微段内任一点的力矩是顺时针转向）的剪力为正，反之为负（如图2-40a、b所示）；凡使微段产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负（如图2-40c、d所示）。

按照这样的符号规定，联系上述截面法求内力的分析过程和结果，可以总结出常用的计算梁弯曲时截面内力的方法：截面上的剪力等于该截面左段（或右段）梁上所有外力的代数和；截面上的弯矩等于该截面左段（或右段）梁上所有外力对该截面形心的力矩的代数和，即

这样，在计算梁某横截面上的内力时，不必再画分离体受力图、列平衡方程求解，而是根据该截面左段或右段上的外力按式（2-36）和（2-37）直接进行计算。但应注意以下规定：

（1）求剪力时，若取梁的左段为研究对象，则截面左侧向上的外力为正，反之为负；若取梁的右段为研究对象，则截面右侧向下的外力为正，反之为负。

（2）求弯矩时，若取梁的左段为研究对象，则截面左侧对截面形心的外力矩（或外力偶）顺时针时为正，反之为负；若取梁的右段，则截面右侧对截面形心的外力矩（或外力偶）逆时针时为正，反之为负

（3）利用式（2-36）和（2-37）计算内力时，一般先假定内力的方向为正，若计算结果为正值，表明内力的实际方向与假定的正向相同；若计算结果为负值，则表明内力的实际方向与假定的正向相反。

3.剪力图和弯矩图

梁横截面上的剪力和弯矩是随截面位置而发生变化的，若以横坐标x表示横截面的位置，则梁内各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数，即

上述两式即为梁的剪力方程和弯矩方程。在列剪力方程和弯矩方程时，应根据梁上载荷的分布情况分段进行，集中力（包括支座反力）、集中力偶的作用点和分布载荷的起、止点均为分段点。

为了表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的分布情况，通常按FQ=FQ（x）和M=M（x）绘制出函数图形，这种图形分别称为剪力图和弯矩图。利用剪力图和弯矩图，很容易确定梁的最大剪力和最大弯矩，以及梁的危险截面的位置。所以画剪力图和弯矩图往往是梁的强度和刚度计算中的重要步骤。

4.剪力、弯矩和载荷集度之间的关系

可以证明（证明过程略），剪力、弯矩和载荷集度（分布载荷）之间存在以下关系：弯矩方程的一阶导数等于剪力方程，而剪力方程的一阶导数等于载荷集度（分布载荷），即

根据这样的关系，可以得出梁上载荷、剪力图和弯矩图之间的一些关系：

（1）梁段上没有分布载荷时，剪力图为一水平直线；弯矩图为一斜直线。

（2）梁段上作用均布载荷q时，剪力图为一斜直线，弯矩图为二次曲线（抛物线），且在剪力等于零的截面弯矩存在极值。

（3）集中力F作用的截面，剪力图发生突变，从截面左侧往右侧看，剪力突变的方向与集中力的作用方向一致；弯矩图出现一个尖角。

（4）在集中力偶MO作用处，剪力图不受影响，弯矩图出现突变。从截面左侧往右侧看，MO逆时针时，弯矩图由上向下突变；MO顺时针时，弯矩图由下向上突变。

利用上述规律可检查剪力、弯矩图是否正确。对一些简单的载荷作用，也可根据此规律直接绘制剪力图和弯矩图，而不必建立剪力方程和弯矩方程。以上规律总结在表2-3中。

四、梁的弯曲强度计算

在确定了梁横截面上的内力之后，需进一步分析横截面上的应力分布规律，找到应力与内力的定量关系，从而建立弯曲变形的强度计算条件。

1.纯弯曲和横力弯曲

如图2-41所示，两个大小相等的集中载荷F作用在简支梁A B的C、D处，A C和BD的长度相等，该简支梁的剪力图和弯矩图如图2-41b、c所示。从剪力图和弯矩图可以看出，在梁的CD段的横截面上，仅有弯矩而无剪力；而在梁的A C、BD段的横截面上，既有剪力又有弯矩。

梁在剪力为零、弯矩为常量情况下发生的弯曲称为纯弯曲，在既有剪力又有弯矩情况下发生的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。由于剪力是横截面上切应力τ的合力，弯矩是横截面上正应力的合成所形成合力偶，所以梁在纯弯曲时，横截面上只有正应力σ而无切应力τ；而在横力弯曲时，横截面上同时存在σ和τ两个应力。

实验表明，当梁比较细长时，正应力σ是决定梁是否破坏的主要因素，而切应力τ则是次要因素，切应力的影响可以忽略。为研究方便，一般针对纯弯曲梁分析横截面上的正应力分布规律，再将所得结论推广至横力弯曲梁。

2.正应力分布规律

取一矩形截面等直梁，在其表面上画上横向线m-m、n-n和纵向线、b-b（图2-42a），然后在梁的纵向对称面内施加一对大小相等，方向相反的力偶M，使梁产生纯弯曲变形，这时可以观察到图2-42b所示的变形现象：

（1）纵向线都变成了弧线，轴线以上的纵向线aa缩短，轴线以下的纵向线bb伸长。

（2）横向直线m-m和n-n仍保持为直线，且仍然与变形后的轴线正交，只是相对旋转了一个角度θ。

（3）在纵向线的缩短区，梁的宽度增大；在纵向线的伸长区，梁的宽度减小。

根据以上现象，可以推想梁的内部变形与表面相同，于是可作出如下平面假设：梁的横截面在变形后仍保持为平面，并垂直于变形后的轴线，只是绕一垂直于纵向对称面的轴转过了一个微小的角度θ。

在平面假设基础上，若设想梁由多层无数条纵向纤维组成，则梁弯曲变形时，内凹一侧的纤维缩短，外凸一侧的纤维伸长，由于变形的连续性，沿梁的高度必定有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴，如图2-43所示。弯曲梁的横截面是绕中性轴旋转的。由于梁有一纵向对称面，载荷也作用在该对称面内，故变形必对称于该纵向对称面，中性轴一定与该纵向对称面垂直。

在小变形条件下，纤维之间的挤压作用可以忽略不计，即认为各纤维都只受单向拉伸或单向压缩作用。由于梁的材料是连续均匀的，所以纵向纤维由伸长到缩短也是连续变化的。由几何分析可知，梁的纵向纤维变形的应变与纤维到中性轴的距离y成正比。而当弯曲正应力不超过材料的比例极限时，纵向纤维上的正应力与线应变服从虎克定律。由此可知，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y成正比，即正应力沿横截面高度按线性规律分布，在梁的上、下边缘处正应力值达到大，而中性轴上的正应力为零，如图2-44所示。

3.正应力的计算

经推导（推导过程略），纯弯曲梁横截面上任意一点正应力的计算公式为

式中：M为横截面上的弯矩；y为横截面上所求应力点到中性轴的距离；Iz为横截面对中性轴z的惯性矩，Iz是一个仅与横截面形状和尺寸有关的几何量，可以通过理论计算来求得（详见知识链接），常用截面惯性矩可直接查表使用。

在用式（2-38）计算正应力时，M和y均以绝对值代入，而正应力的正负号则可由弯矩图中弯矩的正负直接判断或由梁的变形情况来确定，即梁内凹侧受压，正应力为负值；外凸侧受拉，正应力为正值。

在截面的上、下边缘处，y达到最大值ymax，因此，梁横截面上的最大弯曲正应力发生在此处，其值为

式中：Wz=Iz/ymax称为横截面对于中性轴z的抗弯截面系数。与惯性矩Iz一样，Wz也是一个只与截面形状和尺寸有关的几何量。

常见截面的轴惯性矩和抗弯截面系数计算公式见表2-4。

4.横力弯曲时梁横截面上的正应力

当梁的跨度l与横截面的高度h之比大于5时，横截面上的切应力对弯曲正应力分布规律的影响甚小，其误差不超过1%，所以仍然可根据式（2-38）、（2-39）来计算横力弯曲时的正应力，其精度足以满足工程上的强度要求。

但横力弯曲时，各截面上的弯矩M不再是常量，要随横截面的位置而变化。因此，对于等截面梁来说，其最大正应力应发生在弯矩最大的截面的上、下边缘处。计算公式为

5.梁的弯曲强度条件

对于等截面、且截面形状以中性轴为对称轴（如矩形、圆形、工字形、箱形、圆环形等）的梁，由于Wz为常数，最大弯矩所在的截面上将有最大正应力，该截面称为危险截面。危险截面上最大应力所在的点称作危险点，梁的破坏首先从危险点开始。因此，等截面梁的弯曲强度条件是

对于变截面梁，最大弯矩所在的截面不一定是危险截面，最大比值M/Wz处的截面为危险截面，故变截面梁的弯曲强度条件是

式（2-41）、（2-42）适用于抗拉强度和抗压强度相同的材料（比如钢制梁），此时梁的凸侧和凹侧应力大小相等，所以只需计算一侧应力即可。式中，[σ]为材料的许用应力。

对于抗拉强度和抗压强度不同的脆性材料（比如铸铁）梁，或梁的截面形状不以中性轴为对称轴（如槽形、T字形、角形截面等）的情况，梁的凸侧和凹侧应力大小不相等，因此应按拉、压两种情况分别进行强度计算，计算公式如下

式中：y+和y-分别为受拉侧和受压侧截面边缘到中性轴的距离；[σ+]、[σ-]分别为材料的许用拉应力和许用压应力。

弯曲强度条件同样可以用来解决强度校核、截面尺寸设计和确定最大许可载荷三方面的强度问题。

五、提高梁的弯曲强度的措施

对于工程中大多数梁来说，弯曲正应力强度条件是设计梁的主要依据。提高梁的强度，就是在材料消耗量最低的基础上，提高梁的承载能力，从而达到既安全又经济的要求。具体措施可从降低最大弯矩和提高抗弯截面系数这两方面着手。

1.降低最大弯矩值

（1）合理布置梁的支座

图2-45a所示为一受均布载荷作用的简支梁，跨中截面的最大弯矩，若将两端支座各向中间移动0.2l（图2-45b），则最大弯矩将减小为Mmax=ql2/40，梁的承载能力可大大提高。工程上将许多受弯构件的支座都向里移动，如图2-46所示的龙门吊车等，目的就是降低构件的最大弯矩。

（2）适当增加支座

由于梁的最大弯矩与梁的跨度有关，所以适当增加梁的支座，可以减小梁的跨度l，从而降低最大弯矩值。例如，图2-47所示的简支梁在两个支座中间又增加了一个支座，则最大弯矩Mmax=ql2/32，仅是加支座前梁的最大弯矩值的1/4。

（3）改善载荷的布置情况

如图2-48a所示，简支梁中点处作用的集中载荷将使梁承受较大的弯矩。因此在可能的条件下，应将集中载荷作用点靠近支座（图2-48b），或将载荷分散作用（图2-48 c），或用均布载荷代替集中力，都会降低最大弯矩值。

2.选择合理的截面形状

（1）根据抗弯截面系数与截面面积的比值Wz/A 选择截面

梁的承载能力与抗弯截面系数Wz成正比，而用料的多少又与截面面积A成正比，所以合理的截面形状应该是在截面积相同的情况下具有较大的抗弯截面系数。也就是说应选择比值Wz/A大的截面形状。几种常用截面Wz/A值见表2-5。

由表2-5可知，槽钢和工字钢截面最佳，圆形截面最差。所以工程结构中抗弯构件的截面常为槽形、工字型或箱形截面等。

（2）根据应力分布规律选择截面

从正应力分布规律可知，当离中性轴最远处的σmax达到许用应力时，中性轴上及其附近处的正应力分别为零和很小值，材料没有充分发挥作用。为了充分利用材料，应尽可能地把材料放置到离中性轴较远处，如实心圆截面改成空心圆截面；对于矩形截面，则可把中性轴附近的材料移置到上、下边缘处而形成工字型截面；采用槽形或箱形截面也是同样道理。

（3）根据材料特性选择截面

对于抗拉强度与抗压强度相等的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，如矩形、工字形和圆形等截面，使截面上、下边缘处的最大拉应力和最大压应力相等。对于抗拉强度和抗压强度不相等的脆性材料，最好选择形心偏于受拉一侧的截面形状，如T字形截面，使截面受拉、受压的边缘到中性轴的距离与材料的抗拉、抗压的许用应力成正比。

3.采用变截面梁

对于等截面梁而言，梁的截面尺寸是由最大弯矩按强度条件来确定的。除了危险截面以外，其余截面上的最大应力都未达到许用应力，材料未得到充分利用且增加了自重。为了节省材料，工程中常采用变截面梁，它们的截面尺寸随截面上弯矩的大小而变化，如图2-49所示的实例。各个横截面上最大正应力都相等且接近许用应力的变截面梁称为等强度梁。等强度梁制造成本高，一般不予采用。

【知识链接】

一、中性轴位置的确定

截面中性轴必通过截面的形心，确定中性轴的位置实际是确定截面形心的位置。所谓形心就是几何形状的中心。均质物体的形心与重心重合。

均质物体截面的形心，可利用均质薄板重心积分公式求得，即

具有对称轴、对称中心的截面，其形心位于对称轴、对称中心。截面若为组合图形，则可将截面划分为几个简单图形，在知道这些简单图形的面积Ai和形心坐标（xi，yi）后，整个图形的形心坐标可利用公式（2-45）中的求和等式求出。

二、惯性矩的计算

在直角坐标系中，微面积dA与其到x轴距离y平方的乘积y2dA，称为微面积dA对x轴的惯性矩，整个截面上所有的微面积对x轴惯性矩的总和（代数和）称为截面对x轴的惯性矩，记为Ix，由积分的定义可知

同理，截面对y轴的惯性矩为

对于圆形、矩形等简单截面，可按上述定积分公式计算出截面对中性轴的惯性矩，结果可见表2-4。

对于相对于中性轴不对称的截面，其对某轴x的惯性矩可借助平行移轴公式求得：设截面面积为A，形心坐标轴xc与坐标轴x平行，距离为a，若已知截面对形心轴的惯性矩为Ixc，则该截面对任意轴x轴的惯性矩为

对于组合截面，其对某轴x的惯性矩等于各个简单形状截面对同一轴x惯性矩之和，即

【任务实施】

1.求支座反力

∑Fy=0，FAy+FBy-2F=0

∑MA=0，-Fa-F（l+a）+FB（y l+2a）=0

得FAy=FBy=F=5kN

2.列剪力方程和弯矩方程

建立坐标轴x如图2-50所示。在离原点为x的截面处切开梁，取截面左段为研究对象。

由FQ=∑F求横截面上的剪力，由M=∑MC求横截面上的弯矩。

当0≤x≤a时：

FQ（x）=FAy=5kN

M（x）=FAyx=Fx，M|x=a=Fa

当a<x≤l+a时：

FQ（x）=FAy-F=0，M（x）=FAyx-F（x-a）=Fa=900N·m

当l+a<x≤l+2a时：

FQ（x）=FAy-F-F=-F=- 5kN

M（x）=FAyx-F（x-a）-F（x-l-a）=F（2a+l-x）

M|x=a+l=Fa, M|x=2a+l=0

3.作剪力图和弯矩图

按照剪力方程和弯矩方程，分段画出剪力图和弯矩图，如图2-41b、c所示。

4.求梁竖放和横放时横截面上的最大正应力

由弯矩图可知梁的最大弯矩Mmax=900N·m，且最大弯矩在梁的纯弯曲段CD段。竖放时，查表2-4，得到抗弯截面系数Wz=bh2/6，故最大正应力为

横放时，查表2-4，得到抗弯截面系数Wy=hb2/6，故最大正应力为

通过以上计算可以看出，矩形截面梁的横截面放置方位不同，其最大正应力值也不同，矩形截面梁竖放时比横放时的弯曲强度高。

【能力提高】

【实例1】图2-51a所示简支梁，在全梁上受集度为q的均布载荷。试作此梁的剪力图和弯矩图。

【解答】

1.求支座反力

由∑MA=0，及∑MB=0得

2.列剪力方程和弯矩方程

取A为坐标轴原点，并在截面x处切开取左段为研究对象（图2-51b），则

3.画剪力图和弯矩图

剪力方程表明，剪力FQ是x的一次函数，所以剪力图是一斜直线

弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图是一条抛物线。

曲线顶点为（, ），开口向下。

剪力图与弯矩图分别为图2-51c、d。由图可知，剪力最大值在两支座A、B内侧的横截面上，FQmax=ql/2，梁中点处的剪力为零；弯矩的最大值在梁的中点处，Mmax=ql2/8。

【实例2】图2-52a所示外伸梁，承受均布载荷q、集中载荷F和集中力偶Me作用，其中F=qa, Me=qa2，试作梁的剪力、弯矩图。

【解答】

1.计算支反力

由平衡方程∑MC=0与∑MB=0分别计算得B处、C端支反力

∑MC=0，2qa×a-FBy2a-Me+F×3a=0 FBy=2qa

∑MB=0，FCy·2a-2qa×a-Me+F×a=0 FCy=qa

方向如图2-52a所示。

2.建立剪力、弯矩方程

选坐标x1、x2如图2-52a所示，可得梁A B段、CB段剪力、弯矩方程分别为

FQ1=-qa （0<x1<a）

M1=-qax1 （0≤x1<a）

FQ2=-q（a-x2） （0<x2 <2a）

M2=qx2（2a-x2）/2 （0≤x2<2a）

3.画剪力、弯矩图

根据上述方程可画出剪力、弯矩图分别如图2-52b与图2-52c所示，其中在梁BC段中点D截面上，FQD=FQ2（a）=-q（a-a）=0，弯矩取极值。

【实例3】T型铸铁悬臂梁的受力和截面尺寸（单位为mm）分别如图2-53a、c所示，已知材料的许用拉应力[σ]+=40MPa，许用压应力[σ]-=160MPa，试校核梁的强度。

【解答】

1.作梁的弯矩图

由力平衡方程∑F=0，∑MB=0可解出固定端B处的反力为

FB=15kN（方向向上），MB=-30kN·m

写出弯矩方程：M1=15x1（0<x1<1），M2=15x2-30（0≤x2<3），据此可画出2-53b所示的弯矩图。

2.计算T形截面对中性轴的惯性矩

（1）求中性轴的位置

建立2-53c所示的直角坐标系（y轴为对称轴），T形截面可视为上下两个矩形构成的组合图形，这两个矩形的面积为分别为Ah和Al，各自形心的纵坐标分别为yh=215mm和yl=100mm，则T形截面形心C的纵坐标为

yc即为T形截面中性轴的纵坐标。

（2）计算截面对中性轴z的惯性矩

查表2-4，矩形截面对自身中性轴的惯性矩为bh3/12，则T形截面上下两个矩形的惯性矩分别为Ih=4.5×105mm4，Ih=2×107mm4，两矩形中性轴到T形截面中性轴z的距离分别为ah=215-157.5=57.5mm，al=157.5-100=57.5mm，由式（2-48）得

Ihz=4.5×105+57.52×30×200=2029×104mm4

Ilz=2×107+57.52×200×30=3984×104mm4

由式（2-49）得

Iz=Ihz+Ilz=6013×104mm4

3.校核截面最大拉应力

在A截面上，弯矩MA为正，梁发生上凹下凸变形，最大拉应力发生在该截面的下边缘各点处，其值为

在B截面上，弯矩MB为负，梁发生上凸下凹变形，最大拉应力发生在该截面的上边缘各点处，其值为

代入数据可知，MAy1 > MBy2 ，即σ+max(A)>σ+max(B)。因此最大拉应力应发生在A截面下边缘各点处。于是可得全梁的最大拉应力为：

故满足强度要求。

4.校核最大压应力

通过分析可知，全梁最大压应力发生在B截面的下边缘各点处。则

故也满足强度要求。

课题五 计算组合变形构件的强度

【能力目标】

1.能够识别两种基本的组合变形。

2.能够熟练掌握组合变形构件的强度计算。

3.了解四种强度理论。

【知识要点】

组合变形的概念，拉伸（压缩）与弯曲组合变形构件的强度计算，应力状态和强度理论，弯曲与扭转组合变形构件的强度计算。

【任务引入】

图2-54a所示为简易起重机，其最大起重量G=15.5 kN，横梁A B为工字钢，许用应力[σ]=170MPa，α=30°。若梁的自重不计，试按正应力强度条件选择横梁工字钢型号。

【任务分析】

在本模块前几个课题的介绍中，构件单纯受到拉压、扭转、剪切作用，其变形和应力状态都非常简单。然而在许多实际应用中，构件往往要受到多种力的复合作用，如拉伸和弯曲、扭转和弯曲等等，此时构件会产生组合变形，且处于复合应力状态。对于组合变形下的构件强度问题，必须根据实际情况采用相应的强度理论公式方可进行计算。

【相关知识】

一、组合变形的概念

大多数机器或结构中的构件，在工作中受外力作用，往往会产生两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为构件的组合变形。

例如，图2-55所示支架中的A B梁，力Ry、G和Ty使梁弯曲，力Rx和Tx使梁压缩，梁A B发生压缩和弯曲的组合变形。图2-56所示机械中的齿轮传动轴，在齿轮啮合力的作用下，同时发生扭转与弯曲的组合变形。图2-57所示反应釜中的搅拌轴，叶片在搅拌物料时既受到阻力矩的作用而发生扭转变形，同时还受到搅拌轴和桨叶的自重作用而发生轴向拉伸变形。

在小变形且材料服从虎克定律的条件下，每一种基本变形所产生的应力和变形将不受其他变形的影响。研究组合变形问题的关键在于：如何将组合变形分解为若干基本变形，并将基本变形下的应力和变形进行叠加。组合变形的种类较多，本课题主要研究工程中最常见的拉伸（压缩）与弯曲、扭转与弯曲的组合变形。其他形式的组合变形，可用同样的分析方法加以解决。

二、应力状态

1.点的应力状态

构件受外力作用产生变形时，其同一截面上的内力元素往往不是单一的，而且各点的应力随该点在截面上的位置也不尽相同；通过同一点的不同截面上，应力的大小和方向也随截面的方向而变化。受力构件内某一点在各个截面上的应力情况称为该点处的应力状态。在研究复杂受力时必须分析构件在一点处的应力状态。

2.点的应力状态的研究方法

一点的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（正六面体，以后称单元体）各侧面上的应力来表示，而单元体的方位是任意选取的。如图2-58a所示的螺旋桨轴，它既受拉又受扭，如在轴表层用纵、横截面切取单元体，其应力情况如图2-58b所示。

3.主平面和主应力

在分析点的应力状态时，一般将单元体上切应力等于0的平面称为主平面,此时该平面上正应力为极值，作用于主平面上的正应力称为主应力。经证明，过构件上任意一点总可以找到三个相互垂直的主平面组成的单元体，称为主单元体，相应的三个主应力分别用σ1、σ2、σ3表示，并按它们代数值大小顺序排列，即

4. 应力状态的分类

点的应力状态用点的三个主应力表示。只有一个主应力不等于0的应力状态称为单向应力状态（简单应力状态）；当两个主应力不为0时，称为二向应力状态，又称平面应力状态；当三个主应力均不为0时，称为三向应力状态。二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。

三、强度理论

1.强度理论的概念

在工程中，简单应力状态的强度条件是直接根据试验结果建立的。但当构件内的点处于复杂应力状态，即三个主应力全不为零（含两个主应力不为零）时，企图通过试验测得相应的应力极限值几乎是不可能实现的。因此只能采用判断推理的方法，提出一些假说，推测在复杂应力状态下材料破坏的原因，从而建立强度条件。

其中一种假说认为：材料在外力作用下的破坏不外乎几种类型（脆性断裂和屈服破坏），而同一类型的破坏则由同样因素引起的。按照这种假说，不论是简单应力状态，还是复杂应力状态，只要破坏的类型相同，则都是由同一个特定因素引起的，于是就可以利用轴向拉伸试验所获得的σs或σb值建立复杂应力状态下的强度条件。这种假说称为强度理论。

2.四种常见的强度理论

（1）第一强度理论（最大拉应力理论）

这一理论认为：不论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力σ1达到单向拉伸下的极限应力，材料就发生脆性断裂破坏。据此，材料的强度条件是

（2）第二强度理论（最大伸长线应变理论）

这一理论认为：最大伸长线应变是使材料发生脆性断裂的原因。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要最大伸长线应变达到单向拉伸下的极限应变值ε、μ，材料就发生脆性断裂破坏。经过推导，将应变转化成应力计算，可得第二强度理论的强度条件是

（3）第三强度理论（最大切应力理论）

这一理论认为：最大切应力是使材料产生塑性屈服破坏的原因。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要最大切应力达到单向拉伸下发生屈服破坏的最大切应力值，材料就发生屈服破坏。因此，第三强度理论的强度条件是

（4）第四强度理论（形状改变比能理论）

这一理论认为：形状改变比能是使材料产生塑性屈服破坏的原因。也就是说，不论材料处于何种应力状态，只要形状改变比能达到材料在单向拉伸下发生屈服破坏的形状改变比能的极限值，材料就发生屈服破坏。因此，第四强度理论的强度条件是

3.强度理论的选用

一般来说，对脆性材料如铸铁、混凝土等，用第一和第二强度理论；对塑性材料如低碳钢等，用第三和第四强度理论。

当塑性材料三个主应力同时存在时，第四强度理论由于比较综合地反映了主应力值对构件的强度影响，因而比第三强度理论更接近实际。但是第三强度理论在表述上比较简明又很好地解释了低碳钢沿与轴线成45°方向破坏的现象。第三、第四强度理论在机械制造业中均被广泛应用。

在不同情况下，如何选用强度理论，不单纯是个力学问题，而与有关工程技术部门长期积累的经验及根据这些经验制订的一整套计算方法和许用应力值[σ]有关。

四、组合变形强度计算

1.拉伸（压缩）与弯曲组合变形

拉伸（压缩）与弯曲组合变形在工程中比较常见，可以图2-59a所示压力机的立柱为例来分析此类组合变形的强度条件。用截面法将立柱沿m-m截面截开，取上半部分为研究对象（图2-59b），上半部分在外力FP及截面内力的作用下处于平衡状态，由平衡条件不难求得m-m截面上的轴向拉力FN和弯矩M的大小分别为

FN=FP

M=FPe

由于轴向拉力FN使立柱拉伸，而弯矩M使立柱弯曲，所以立柱产生拉伸和弯曲组合变形。拉伸和弯曲这两种基本变形在立柱截面m-m上均产生正应力，故在计算截面的总应力时，只需将这两种正应力进行代数相加即可，如图2-59c所示。其结果是，截面m-m左侧边缘处有最大拉应力，右侧边缘处有最大压应力，其值分别为

对于塑性材料，由于抗拉强度和抗压强度相同，所以只需按截面上最大应力进行强度计算，强度条件为

对于抗拉、抗压强度不同的脆性材料，则要分别按最大拉应力和最大压应力进行强度计算，故强度条件分别为

2.弯曲与扭转组合变形

弯曲与扭转的组合变形也是工程实际中常见的情况，一般发生纯扭转变形的轴很少见。下面以图2-60a所示曲拐为例说明构件在弯曲与扭转组合变形下的强度计算方法和步骤。

（1）外力分析 水平安装的曲拐，AB段为等直实心圆截面杆，在C点处受一个集中力F作用。将力F向AB杆的B截面形心简化，得到横向力F和附加力偶矩T=Fa（图2-60b）。力F使A B杆发生弯曲，附加力偶矩T使A B杆发生扭转，所以A B杆处于弯扭组合变形状态。

（2）内力分析 A B杆在力F的作用下产生弯曲变形，作出弯矩图，如图2-60c所示。附加力偶矩T使A B杆发生扭转，作出其扭矩图，如图2-60d所示。由弯矩图和扭矩图可知，固定端A 为危险截面，其上的弯矩值和扭矩值分别为M=FL和T=Fa。

（3）应力分析 从上面分析可知，固定端A 处弯矩最大，由弯矩M产生的正应力σ垂直横截面，且在上、下边缘最大；由扭矩T产生的切应力τ平行于横截面，且边缘最大。横截面A上应力分布如图2-60e所示，由该应力分布图可知，横截面A 的正上方k1点和正下方k2点应力达到最大值，是危险点。这两点的危险程度相同，可取其中任一点k1点来研究应力状态，如图2-60f所示。

（4）强度计算 由于在弯曲与扭转组合变形中，构件横截面上的切应力和正应力分别作用在两个互相垂直的平面内，不能采用简单应力叠加的方法，而要采用第三强度理论或第四强度理论进行计算。其强度计算公式如下：

运用第三强度理论的计算公式为

运用第四强度理论的计算公式为

对于塑性材料圆截面构件来说，σ=M/Wz，τ=T/Wp且Wp=2Wz，则

3.强度计算的步骤

组合变形时杆的强度问题通常按下列基本步骤加以解决：

（1）外力分析 将作用于杆件的外力沿由杆的轴线及横截面的两对称轴所组成的直角坐标系作等效分解，使杆件在每组外力作用下只产生一种基本变形。

（2）内力分析 用截面法计算杆件横截面上各个基本变形的内力，并画出内力图，由此判断危险截面的位置。

（3）应力分析 根据各基本变形在杆件横截面上的应力分布规律，运用叠加原理确定危险截面上危险点的位置及其应力值。

（4）强度计算 分析危险点的应力状态，结合杆件材料的性质，选择适当的强度理论进行强度计。

【任务实施】

1.分析横梁的外力

横梁可简化为简支梁，由静力分析可知，当电葫芦移动到梁跨中点时，梁处于最危险的状态。将拉杆BC的作用力FB分解为FBx和FBy，如图2-54b所示。列静力平衡方程可求得

力G、FAy、FBy沿A B梁横向作用使梁发生弯曲变形；力FAx与FBx沿A B梁的轴向作用使梁发生轴向压缩变形，所以梁AB发生压缩与弯曲的组合变形。

2.分析横梁的内力

当载荷作用于梁跨中点时，简支梁AB中点截面的弯矩值最大，其值为

横梁各截面的轴向压力为FN=FAx=17.57 kN。

3.初选工字钢型号

梁中间截面上具有最大弯矩，为危险截面，且上边缘具有最大的压应力，其强度准则为

其中，A和Wz均为未知数，不易确定，为简便起见，先不考虑压缩的影响，而按抗弯强度条件初选工字钢的型号，再按压缩与弯曲组合变形强度条件进行校核。

由

得

查型钢表（见附录），初选工字钢型号为14号工字钢，其横截面面积和抗弯截面系数分别为：A=21.5×102mm2，Wz=102× 103mm3。

4.校核横梁抗组合变形强度

横梁最大压应力出现在中点截面的上边缘各点处。由压弯组合变形的强度条件

选用14号工字钢作为横梁强度足够。倘若强度不满足，可将所选的工字钢型号放大一号再进行校核，直到满足条件为止。

【能力提高】

图2-61a所示为等直转轴，已知传动带拉力Ft1=5kN，Ft2=2kN，带轮直径D=160mm，齿轮的节圆直径d0=100mm，压力角α=20°，轴的许用应力[σ]=80MPa，试按第四强度理论设计轴的直径。

【解答】

1.外力分析

将传动带的拉力Ft1、Ft2、齿轮的圆周力Ft向轴线平移，并画轴的计算简图如图2-61b所示。由轴的转动平衡条件可知，传动带的两拉力平移后的附加力偶矩的合成结果与齿轮圆周力Ft平移后的附加力偶矩相等，即

由此求得齿轮圆周力的大小为

齿轮径向力的大小为

Fr=Fttan20 °=4.8×0.364kN=1.75kN

在简化结果中，铅垂方向的力Fr，、Ft1+Ft2及A、B处轴承的支反力使轴在xy平面内产生弯曲变形；水平方向的力Ft及轴承的支反力使轴在xz平面内产生弯曲变形；力偶M1和M2使轴产生扭转变形。轴A B产生双向弯曲与扭转的组合变形。

2.内力分析

将轴的计算简图向xy平面投影，求支反力并画该平面内的弯矩图，如图2-61 c、d所示。支反力为FAy=0.17kN，FBy=8.92kN。C、B截面的弯矩值分别为

MCz=FAy×0.2m=0.034kN·m=34N·m

MBz=（Ft1+Ft2）× 0.06m=0.42kN·m=420N·m

将轴的简图在水平面xz平面进行投影，求支反力并画该平面内的弯矩图，如图2-61e、f所示。支反力为FAz=FBz=2.4kN。C截面的弯矩值为

MCy=FAz×0.2m=2.4×0.2kN·m=480N·m

在M1和M2作用下，CD段内的转矩为

T=M1=0.24kN·m=240N·m

可以证明，圆轴在两相互垂直平面内同时承受平面弯曲变形，可以合成为另一平面内的平面弯曲变形，其合成弯矩M的大小为：，式中Mx和My为两相互垂直平面内的弯矩。

由弯矩图可见，轴的C截面具有最大的合成弯矩。其弯矩值为

3.设计轴的直径

由第四强度理论的强度条件式（2-55）得

故轴的直径取d=41mm

课题六 认识交变应力和疲劳失效

【能力目标】

了解交变应力和疲劳失效。

【知识要点】

动载荷，交变应力和疲劳失效，构件在交变应力作用下发生破坏的特点。

【任务引入】

分析图2-62所示火车轮轴的应力变化情况，说明这种应力变化的特点、可能会产生什么问题，应该怎样预防这样的问题？

【任务分析】

在工程实际中，很多构件都会受到交变应力的作用，由此会造成构件的疲劳失效（破坏）。相比静载荷作用下的失效，疲劳失效更具隐蔽性和突然性，其危害更为严重。认识交变应力和疲劳失效将有助于对零件寿命计算和设计的理解。

【相关知识】

一、交变应力的概念

先前课题讨论的是构件在静载荷（是指由零缓缓地增加到某一数值，以后就保持不变或变动不明显的载荷）作用下的应力计算问题，应力的大小和方向基本不会发生变化。但在工程实际中，一些构件内某一点的应力并非是一个恒定值，而是随时间作交替变化，这种应力就称为交变应力。交变应力的产生有两种情况：一种是构件在交变载荷下工作，如内燃机的连杆、齿轮的轮齿、气锤的锤杆等；另一种是载荷不变，但构件本身在运动，从而引起构件内部各处的应力发生交替变化，如电机轴和火车轮轴。

二、交变应力的描述

图2-63所示为构件横截面上一点的正应力随时间的变化曲线。为描述应力随时间的变化情况，定义如下术语：

（1）平均应力 最大应力σmax与最小应力σmin的代数平均值，用σm表示，即

（2）应力幅度 应力变化的幅度，用σa表示，即

（3）应力循环特征 应力循环中最小的应力与最大的应力的比值，用r表示，即

根据应力循环特征可将应力循环分为以下几种

①对称循环应力循环特征r=-1，此时σmax=-σmin，σm=0，σa=σmax。

例如，图2-62所示的车轮轴，当其转动时，其截面m-m上点A的弯曲正应力，就是对称循环的交变应力。

②脉动循环应力循环特征r=0，此时应力的数值随时间改变而应力的正负号不变，且σmin=0。

例如，一对作单向传动的齿轮，轮齿未进入啮合时齿根处一点的弯曲应力为零；进入啮合后应力很快增加到最大值；当轮齿退出啮合时应力再一次回零。齿轮每转一周，齿根处的应力就按以上规律变化一次，如图2-64所示。因此，齿根处该点的弯曲应力是脉动循环的交变应力。

③静应力应力循环特征r=1，此时应力不随时间而变化，σa=0，σm=σmax=σmin，这是交变应力的特例。

④非对称循环应力循环特征r≠-1。任何一种非对称循环的循环应力都可以表示成一个大小为σm的静荷载应力与一个应力幅为σa的对称循环应力的叠加。

以上所讨论的都是交变正应力。对于交变切应力，上述概念和公式也完全适用。

三、疲劳失效

构件在交变应力作用下丧失工作能力，称为疲劳失效或疲劳破坏，简称疲劳。疲劳是大多数机械设备失效的主要原因。

疲劳失效与静载荷作用下的强度破坏有着很大的差别。大量实验结果和实际构件的疲劳失效现象表明，构件在交变应力作用下发生疲劳失效时，具有以下明显的特征：

（1）即使交变应力的最大值小于材料的强度极限，甚至屈服点时，构件在经过一定次数的应力循环后，也会发生破坏；

（2）即使是塑性材料，破坏时也无显著变形，而是发生突然脆性断裂；

（3）疲劳破坏断口具有明显的光滑区和粗糙区，如图2-65所示。光滑区是裂纹扩展所致，粗糙区是裂缝前沿应力集中导致突然脆断所致。

以上现象可以通过疲劳破坏的形成过程加以说明。当循环应力的大小超过一定限度，并经历了足够多次的交替重复后，在构件内部应力最大或材质薄弱处，将产生细微裂纹，这种裂纹随着应力循环次数的增加而不断扩展，且逐渐形成为宏观裂纹。在扩展过程中，由于应力循环变化，裂纹两表面的材料时而互相挤压，时而分离，或时而正向错动，时而反向错动，从而形成断口的光滑区。另一方面，由于裂纹不断扩展，当达到临界长度时，构件将发生突然断裂，断口的粗糙区就是突然断裂造成的。因此，疲劳破坏的过程可以理解为疲劳裂纹萌生、逐步扩展和最后断裂的过程。

疲劳破坏往往是在没有明显预兆的情况下突然发生的，从而会造成严重事故。据统计，机械零件，尤其是高速旋转的构件，大部分属于疲劳破坏。因此，对于在循环应力作用下工作的构件，须进行疲劳强度计算。例如，我国钢结构设计规范（GBJ17.88）规定，当应力变化的循环次数≥105次时，应进行疲劳计算。

四、疲劳极限

材料在循环应力作用下破坏的性质与静荷载作用下是不同的，因此进行强度计算时不能以静载下的强度指标（屈服极限σs或强度极限σb）为依据，材料在循环应力作用下的强度指标应该重新确定。试验表明，在给定的循环应力下，必须经过一定次数的应力循环，才可能发生疲劳破坏。而且在同一循环特征下，应力循环中的最大应力愈小，则发生疲劳破坏时经历的应力循环次数N就愈多。当应力循环中的最大应力小于某一极限值时，试件可以经受无限多次应力循环而不发生破坏。这一极限应力值就称为材料的疲劳极限或持久极限，用σr表示。σr中的脚标r表示该疲劳极限值是在循环特征为r时测出的。

疲劳极限σr须经疲劳试验机做疲劳试验得到，试验结果被描成一条曲线，该曲线称为该种材料的疲劳曲线或σ-N曲线，它是在进行疲劳强度计算的依据。发生疲劳破坏的应力循环次数N往往称为疲劳寿命。

实际构件的疲劳极限不但与材料的疲劳极限有关，而且总是小于甚至于远小于材料的疲劳极限。其疲劳极限的确定依赖国家的相关规范，并查阅有关计算手册来确定。影响构件疲劳极限的因素有以下几点：

（1）构件外形（应力集中）的影响

在构件的截面突变处，如阶梯轴的过渡段、开口、切槽等处，会产生应力集中现象。在这些局部区域内，应力有可能达到很高的数值，不仅容易形成微裂纹，而且会使裂纹扩展，从而使疲劳极限降低。

（2）构件尺寸的影响

构件尺寸对疲劳极限有明显的影响。试验结果表明，当构件横截面上的应力非均匀分布时，构件尺寸越大，其疲劳极限越低。

（3）表面质量的影响

表面质量包括两个方面：一是表面粗糙度，二是表层强化。一般说，构件的表面愈是粗糙，其应力集中愈严重，故其疲劳极限亦愈低。另一方面，如果构件经过淬火、渗碳、氮化等热处理与化学处理，或经过滚压、喷丸等机械处理，都会使表层得到强化，因而其持久极限也会得到相应的提高。

五、对称应力循环下构件的疲劳强度计算

材料在对称循环下的疲劳极限为σ-1（或τ-1）。而构件在对称循环应力下的疲劳极限得考虑应力集中、构件尺寸以及加工表面质量的影响，其表达式为

式中：εσ是考虑构件尺寸影响的尺寸系数；β是考虑构件表面状况的表面质量系数；Kσ是考虑构件外形影响的有效应力集中系数，这三个系数可查相关规范和手册。

计算对称循环下的构件的疲劳强度时，应以构件的疲劳极限σ0-1为极限应力。考虑适当的安全系数后，得到构件的许用应力为

式中：n为规定的安全系数，其值根据有关的设计规范确定。

构件的强度条件为

【任务实施】

作用在火车轮轴上的外载荷恒定，但由于轮轴在转动，故轮轴其实受到交变应力的作用。容易判断，在外力F的作用下，轮轴AB段处于纯弯曲状态，其横截面上最外缘一点A（图2-66a）的正应力随轮轴转动而发生周期性变化，如图2-66b所示。当点A处于位置1时，正应力为零；当点A转到位置2时，正应力为最大拉应力σmax；当A点转到位置3时，正应力又为零；当到达位置4时，正应力为最大压应力σmin，如此周而复始。由于σmax=-σmin，故应力循环特征r=-1，轮轴受对称循环交变应力。

在循环应力作用下，轮轴容易产生疲劳裂纹，进一步发生疲劳破坏。因此，应按对称循环下构件的疲劳强度计算方法对轮轴进行强度设计，而在加工制造时，应严格保证工艺和加工质量。

思考与练习

1.指出下列概念的区别：

（1）内力与应力；（2）变形与应变；（3）弹性与塑性；弹性变形与塑性变形；（5）极限应力与许用应力。

2.低碳钢的拉伸过程分为哪四个阶段？各阶段的特点是什么？塑性材料和脆性材料的力学性能的主要区别是什么？

3.什么是应力集中？如何减小应力集中的影响？

4.材料的强度条件可以解决工程中哪三类强度计算问题?

5.如图所示结构中，若用铸铁制造杆1，低碳钢制造杆2，试问选材是否合理？为什么？若不合理，应如何解决？

6．相同尺寸的钢和橡皮在相同轴向拉力F作用下伸长，橡皮的伸长量比钢的伸长量大，由σ=Eε可知，橡皮横截面上的应力比钢横截面上的应力大。这个结论是否正确？为什么？

7.判断如图所示的各构件中，哪些构件属于轴向拉伸或轴向压缩构件。

8.两根不同材料的等截面直杆，它们的截面积和长度都相等，承受相等的轴力，试说明：

（1）两杆的绝对变形和相对变形是否相等；（2）两杆横截面上的应力是否相等；（3）两杆的强度是否相等。

9.剪切变形的受力特点和变形特点是怎样的？

10.分析图示结构中，各构件的剪切面和挤压面。

11.杆件扭转时的受力与变形特征是什么？图中哪个轴发生了扭转变形？

12.分析图示各圆轴横截面上的扭转切应力分布是否正确。

13.什么是平面弯曲？什么情况下梁发生平面弯曲?纯弯曲和横力弯曲的区别又是什么？

14.平面弯曲梁的内力符号是如何规定的？

15.在集中力与集中力偶作用处，梁的剪力、弯矩图各有何特点？

16.提高梁的弯曲强度的措施有哪些？

17.强度理论有哪几种？如何选用强度条件？

18.交变应力的概念是什么？如何描述交变应力？

19.什么是疲劳失效？疲劳失效的特点是什么？

20.试计算图示各杆截面1-1、2-2、3-3上的轴力，并作杆的轴力图。

21.受拉伸作用的圆杆，其直径d=25mm，受到正应力σ=240MPa的拉伸，材料的弹性模量E=210GPa，泊松比μ=0.3。试求其直径改变量Δd。

22.如图所示的简易吊车中，A B为钢杆，BC为木杆。木杆BC的横截面面积A1=3×104mm2，许用应力[σ1]=3.5MPa；钢杆AB的横截面面积A2=600mm 2，许用应力[σ2]=140MPa，试求许用载荷[G]。

23.有一连接如图所示，已知a=30mm，b=80mm，c=10mm，F=120kN，许用切应力[τ]=80MPa，许用挤压应力[σjy]=200 MPa，试校核构件的剪切强度和挤压强度。

24.如图所示，冲床的最大冲力为80kN，冲头材料的许用应力[σ]=200MPa，钢板的剪切强度极限τb=320MPa，试确定该冲床能冲剪的最小直径d和板的最大厚度t。

25.图示为铆钉连接。设钢板与铆钉材料相同，许用拉应力[σ]=160MPa，许用切应力[τj]=100MPa，许用挤压应力[σjy]=300MPa，钢板厚度t=2mm，宽度b=25mm，铆钉直径d=4mm。试计算该连接所允许的横向工作载荷。

26.如图所示的传动轴，转速n=200r/min,主动轮A输入的功率P1=60kW，两个从动轮B、C的输出功率分别为P2=20kW，P3=40kW。（1）试作轴的扭矩图；（2）轮子如何布置比较合理？并求出这种方案的Tmax。

27.如图所示的传动轴，已知MA=1500N·m，MB=500N·m，MC=1000N·m，轴的直径d=65mm，[τ]=40MPa，[θ]=0.5°/m，G=80GPa，试校核轴的强度和刚度。

28.一受扭圆轴，最大工作切应力τmax为许用切应力[τ]的1.5倍，为了使轴能安全可靠地工作，将轴的直径由原来的d1增加到d2，试确定d2是d1几倍？

29.图示为一阶梯轴，A C段直径d1=80mm，CB段直径d2=60mm，MA=1kN·m，MB=0.6kN·m，MD=0.4kN·m，材料的许用切应力[τ]=60MPa，试校核该轴的强度。

30.试求图示各梁指定截面的剪力和弯矩，设q、F、a均为已知。

31.试作图示各梁的剪力图与弯矩图，并求出剪力和弯矩的最大值，设F、q、a、l均已知。

32．铸铁梁如图所示，若许用拉应力[σ+]=40MPa，许用压应力[σ-]=80MPa, F1=12kN, F2=6kN，截面尺寸如图示，试校核此梁的强度。图中尺寸单位均为mm。

33.空心管梁受载如图所示，已知[σ]=150MPa，管外径D=60mm。在保证安全的条件下，求内径d的最大值。

34.由工字钢制成的外伸梁如图所示，在外伸端C处作用集中载荷F，已知梁外伸端的长度为2m,材料的许用应力[σ]=160MPa，截面对形心轴z的抗弯截面系数为Wz=250cm3，求最大许可载荷[F]。

35.如图所示，钻床立柱由铸铁制成，直径d=130mm，e=400mm，材料的许用拉应力[σ+]=30MPa。试求许可压力[F]。

36.如图所示，绞车的最大载重量W=0.8kN，鼓轮的直径D=380mm，绞车材料的许用应力[σ]=80MPa，试按第三强度理论确定绞车轴径d。

37.如图所示，传动轴的轴径d=50mm，轴上的C、D轮直径分别为dC=150mm，dD=300mm，作用于C轮的圆周力FC=10kN，轴材料的许用应力[σ]=120MPa，试按第三强度理论校核该传动轴的强度。

38.如图所示，直轴传递的功率P=8kW，转速n=50r/min，带轮A的拉力沿水平方向，带轮B的拉力沿垂直方向，两轮的直径均为D=1m，重力G=5kN，松边拉力Ft=2kN，轴的直径d=70mm，材料的许用应力[σ]=90MPa。试按第四强度理论校核轴的强度。