第4章 雅格布·伯努利

世界著名的大数学家欧拉与伯努利家族关系很好。伯努利家族在世界家族史上创了一项纪录：数学世家。

在数学与物理数学领域中，伯努利随处可见，比如说伯努利数列、伯努利—莱布尼茨诡论、伯努利方程。

数学史上，有一个历经2000多年才被解决的难题，此题形式简单：求自然数1，2，3，一直到几的任意次方（自然数次方）之和。写成公式就是求Sk1k+2k+3k+……+nk，K为自然数。

当K=1时，公元前6世纪的毕达哥拉斯学派求出了答案，即S1=1+2+3+……+n，可得S-1=1/2（n+1）。后来，公元前200多年的阿基米德求出S2=2/6（n+1）（2n+1）。公元1世纪的尼扣马克求出了S3，但S4直到1000年后才由公元11世纪时的阿拉伯数学家解出。

对于任意自然数K，彻底解决了这个问题的是17世纪的雅格布·伯努利。

雅格布·伯努利1655年出生，是伯努利家族的后裔。这个家族近一半人天资聪明，他们几乎都是杰出的学者、教授、政治家和艺术家等等。这个家族在发展微积分理论上，起着突出的作用。他们为近代数学的发展做出了家族贡献。

伯努利家族祖居荷兰，他们信奉新教。因此受到天主教会的迫害。1583年，为了逃避天主教徒的大屠杀和残酷迫害，伯努利家族迁居到瑞士，在著名的巴塞尔城住下来。刚搬到巴塞尔，便与当地一位富商联上姻亲，始祖尼古拉·伯努利与富商的女儿结了婚，后来便成了统治整个巴塞尔缄商人贵族集团的重要成员之一。

雅格布·伯努利是迁至巴塞尔的家族第二代人。他的两个弟弟是尼古拉第一和约翰第一。

他们三人在微积分上贡献非凡，享有盛誉。

17世纪末，雅格布·伯努利发展了莱布尼茨的微积分学，创立了变分法，提出并解决了部分等周问题和切线问题。

据不完全统计，伯努利家族祖孙四、五代12人中，至少有10名数学家。

雅格布·伯努利还提出中等数学中有名的题目，若一个等差数列前两项为正月，互不相同，而这两项与一个等比数列的前两项相同，则这个等差数列所有以后各项都小于相应的等比数列的各项。

雅格布·伯努利又叫雅格布第一。他自幼聪明勤奋，自学了笛卡尔的著作，后来结识了莱布尼茨、惠更斯等著名数学家。

伯努利家族的数学家从雅格布开始，大都担任巴塞尔大学的数学教授。1686年，雅格布成为伯努利家族第一位巴塞尔大学教授。他详细彻底地研究了悬链线问题。雅格布·伯努利证明，给定长度的绳子，如果两头悬挂它，悬链线的重心最低。现在的悬桥和高压输电线应用原理由此而来。

雅格布第一的墓志铭上镌刻着一反一正两条对数螺线，这是他晚年的发现。对数螺线无论是放大还是缩小，只要它的位置有所改变，其形状不会改变。所以碑文上被刻上了“尽管改变，我仍将要实现”的字样。

雅格布·伯努利的弟弟尼古拉和约翰都是数学家。尼古拉后来在圣彼得堡从事数学研究。

他去世时，叶卡杰琳娜女皇为他举行了国葬。约翰于1705年接任兄长的巴塞尔大学数学教授的职务。欧拉就是受约翰的指导和教育而成长起来的。

约翰是微积分学上有着重要地位的数学家。牛顿晚年解答的那道著名的题就出自约翰之手。有关“最速降线”的解答，约翰、雅格布、莱布尼茨、洛比塔、牛顿等人做出了努力，成为早期变分学的研究者。

伯努利家族的几位数学家均是先开始学习医学或法学、哲学，都取得最高的学位，而后转向自己兴趣爱好之所在数学，他们家族是一个典型的自然科学学者型家族。

约翰的儿子是丹尼尔，他出生在荷兰的格罗宁根。

1695年，莱布尼茨指出，力要区分“死力”和“活力”，“死力”是指静力学的力，“活力”是指动力学的力。莱布尼茨的观点有很大影响，丹尼尔·伯努利于1738年出版了《流体动力学》。书中将微积分的方法运用于流传动力学和气体动力学的研究之中，建立了一个理论性的体系，就是伯努利方程，也称伯努利原理。

丹尼尔是数学物理方法的开拓者和奠基人。

丹尼尔的弟弟约翰第二及几位堂兄弟，也是数学家。

伯努利家族是瑞典乃至欧洲的一个著名望族。后来，他们在彼得堡科学院工作过，也推荐了欧拉。

虚功原理就是约翰第二与丹尼尔讨论中提出的，记载于父子俩的信件中。