上午 数量关系与资料分析
学习任务一：数量关系——常见秒杀技巧
目标分值 3.6分
学习时间 1.5小时
任务清单 4种技巧 7个考点 13道真题 4份微信作业
思维导图
解题思路
题干特征：题干中有分数、百分数、比例、倍数等特征；
题型属性：题型为多位数问题、余数问题、多元方程、多次方程等题型；
方法核心：选项必须是可用的，直接使用或间接使用；
技巧提升：代入选项时往往使用数字特性，结合居中代入、最值代入、最简代入等技巧快速解题。
考点1：多位数问题
特征：题干中出现“多位数”特征，如出现“三位数”、“末两位”、“自然数”等字眼时，往往认为是多位数问题，直接使用代入法。
【例题1】（2014广东）一名顾客购买两件均低于100元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是（ ）元。
A.42
B.63
C.85
D.96
【解析】直接代入选项，代入A选项，原价42，看错后为24，少付的金额为42-24=18 （元），不符合题意，答案选择A。
【例题2】（2014河北政法）在一个两位数前面写上3，所组成的三位数比原两位数的7倍多24，则这个两位数是（ ）。
A.28
B.36
C.46
D.58
【解析】解法一：直接代入选项，发现只有C选项满足要求。
解法二：设这个两位数为x，写上3之后的三位数为300+x，进而得到：7x+24=300+x，解得x=46。答案选择C。
思维小结
多位数问题的解法一般有两种：一是利用代入法解题；二是利用多位数表示的方法，如三位数
。
数量关系题目的解题思路是：先思考选项是否可用，若不可用则再考虑其他解法。
考点2：余数问题
特征：题干中出现“除以”、“除”、“余数”、“商”、“平均分成”等字眼。
【例题3】（2014天津）在一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，第一只猴子起来偷吃了一个，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了一会儿，第二只猴子起来也偷吃了一个，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡觉，第三、四、五只猴子也都依次这样做。问那堆桃子最少有多少个？（ ）
A.4520
B.3842
C.3121
D.2101
【解析】根据第一个条件，吃掉1个剩下的平均分成5份，我们可知答案应该减1可以被5整除，排除A、B两个选项。再根据题目的问法“最少有多少个”可知，所以我们应从最小的开始进行代入，先看D选项，2101-1=2100，被5整除后得到的是420，用2100-420=1680，1680-1=1679，不能再被5整除，排除D选项。答案选择C。
【例题4】（2014天津）有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人。如果按每横行排4人编队，最后少3人；如果按每横行排3人编队，最后少2人；如果按每横行排2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人？（ ）
A.1045
B.1125
C.1235
D.1345
【解析】解法一：直接代入最小的选项A，需满足加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数。只有A选项满足要求。答案选择A。
解法二：本题其实相当于队伍人数除以4余1，除以3余1，除以2余1，即余数相同，则队伍人数可以表示为12n+1，当n=87时，12×87+1=1045，结果最小。
思维小结
余数问题的核心等式为：被除数=除数×商+余数，0≤余数<除数；
余数类口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期。
考点3：年龄问题
特征：题干出现年龄问题的相关字眼。
【例题5】（2015北京）四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30岁，四人年龄之乘积能被2700整除且不能被81整除。则四人中最年长者是多少岁？（ ）
A.30
B.29
C.28
D.27
【解析】直接代入选项。A选项，四人年龄乘积为30×29×28×27，其中30×27能被81整除，排除；
B选项，四人年龄乘积为29×28×27×26，尾数不为0，不能被2700整除，排除；
D选项，四人年龄乘积为27×26×25×24，其中27×24能被81整除，排除。
选择C。
思维小结
年龄问题常见的解法有两种，一是代入法，二是方程法；
年龄问题的核心在于：年龄差永远不变，年龄的倍数逐渐减少；
方程法在使用时经常会用到列表分析的技巧。
考点4：赋值法
特征：题干中有分数、百分数，或者比例特征，或者“不变量”特征。
【例题6】（2014联考上）某钢铁厂生产一种特种钢材，由于原材料价格上涨，今年这种特种钢材的成本比去年上升了20%。为了推销这种钢材，钢铁厂仍然以去年的价格出售，这种钢材每吨的盈利下降了40%，不过销售量比去年增加了80%，那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少？（ ）
A.4%
B.8%
C.20%
D.54%
【解析】总盈利=每吨赢利×销量，数据都是百分数，采用赋值法。设去年每吨盈利为10，则今年为6；设去年销量为10，则今年为18。去年的总盈利为10×10=100，今年的总盈利为6×18=108。那么今年的盈利比去年增加了（108-100）÷100=8%。答案选择B。
【例题7】（2014联考上）某有色金属公司四种主要有色金属总产量的
为铝，
为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的
，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨？
A.600
B.800
C.1000
D.1200
【解析】题干数据只有一种单位。设总产量为15份，其中铝为3份，铜为5份，镍为2份，则铅为5份。铅比铝多2份，而实际上铅比铝多600吨，所以1份对应的实际量为300吨，即镍的实际产量为2×300=600（吨）。答案选择A。
思维小结
赋值法的核心在于赋值只是简化了计算过程，并不影响结果；
赋值法的技巧一般是赋整数，通过最小公倍数来实现；
当题干中数据有单位时，一般通过赋“份数”来解决单位的干扰。
考点5：十字交叉法
特征：题干中出现“两个量，以及混合量”，且满足Aa+Bb=（A+B）r。
【例题8】（2014广东）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（ ）。
A.48
B.45
C.43
D.40
【解析】平均数混合问题，利用十字交叉法，方法如下：
得到男∶女=7∶8，即总人数为15份，人数是15的倍数，只有45满足要求。答案选择B。
【例题9】（2014联考上）学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。由于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少？（ ）
A.4∶5
B.5∶6
C.6∶5
D.5∶4
【解析】解法一：设购买足球x个，篮球y个，则可以得到25% ×80x+20% ×100y=22%（80x+100y），化简可得：2.4x=2y，即x∶y=5∶6.答案选择B。
解法二：设购买足球x个，篮球y个，利用十字交叉法：
即可以得到
，化简得x∶y=5∶6。
【点睛】折扣混合类十字交叉法得到的比例为总定价之比，而不是数量之比。
思维小结
很多同学无法理解十字交叉后的比例是哪些量的比值，可记忆如下：
平均数混合：得到的比例为人数之比；
增长率混合：得到的比例为基期值的比例；
浓度混合：得到的比例为溶液质量或体积之比；
利润率混合：得到的比例为进价或成本之比；
折扣混合：得到的比例为原总售价之比。
考点6：奇偶特性
特征：题干中出现了“已知和（差）求差（和）”或偶数的倍数，或者出现了ax+by=c时，往往可以使用奇偶特性。
【例题10】（2009联考上）一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。售货员说：“您应该付39元才对。”请问书比杂志贵多少钱？（ ）
A.20
B.21
C.23
D.24
【解析】因为书和杂志的价钱和为奇数，所以他们的差为奇数，从而排除A、D两项。再假设B项正确，代入得到书的定价为30，杂志为9元，不符合条件。答案选择C。
【例题11】（2010江苏A）有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余各盒被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小钱取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（ ）。
A.17个，44个
B.24个，38个
C.24个，29个，36个
D.24个，29个，35个
【解析】小钱取走的乒乓球数是小李的2倍，一定是偶数，排除A、C两项，代入B项，如果小钱取走的乒乓球数为24个、38个，则总和为62个，那么小李拿走的是31个，题干中不存在31个乒乓球。答案选择D。
思维小结
奇偶特性的核心法则为：
奇±奇=偶数，奇±偶=奇，即加减法不改变结果的奇偶属性，只改变结果的大小；
奇×奇=奇，奇×偶=偶。
考点7：整除特性
特征1：题干中出现了“数字和”或特殊数字的整除（3或9）；
特征2：题干中出现了比例关系a∶b=m∶n或形式
。
特征3：题干中出现了周期余数特征。
【例题12】（2015北京）甲、乙两个班各有40多名学生，男女生比例甲班为5∶6，乙班为5∶4。则这两个班的男生人数之和比女生人数之和（ ）。
A.多1人
B.多2人
C.少1人
D.少2人
【解析】根据甲班男女比为5∶6可知甲班人数为11的倍数，又知甲、乙两班都是40多人，故甲班人数为44人，其中男生20人，女生24人；乙班男女比为5∶4，可知乙班总人数为9的倍数，为45，其中男生25人，女生20人。故两班男生人数和为20+25=45（人），女生人数和为24+20=44（人），男生比女生人数多1人。答案选择A。
【例题13】（2014广东）在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下40名女员工。该公司员工总数为（ ）。
A.446
B.488
C.508
D.576
【解析】解法一：分析题干可知，总数减去8人，是12的倍数，代入选项只有B选项满足。
解法二：设两种分组方式的组数为x、y，则根据题意列方程得到：
解得y=32，即总数为14×32+40=488（人）。答案选择B项。
思维小结
特殊数字整除判定：
2（5）整除：观察数字的末位数字能否被2（5）整除；
4（25）整除：观察数字的末两位数能否被4（25）整除；
8（125）整除：观察数字的末三位数能否被8（125）整除；
3（9）整除：观察各位数字之和能否被3（9）整除。
分数比例形式整除：
若a∶b=m∶n（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数；
若
（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数；
若
（m、n互质），则
（a+b）。
微信作业
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学习任务二：估算法+直除法
目标分值 15×80% ×0.8=9.6分
学习时间 1小时
任务清单 2种方法 7道真题
考点1：估算法
特征：选项差别大或计算复杂时使用估算法。
题型：多用于增长量计算、基期比重计算等题型。
方法精讲
所谓估算，就是在精度要求不太高的情况下，进行粗略估值的速算方法。基本操作步骤：
1.估算法是为了简化计算而采用的近似取整计算，对待计算数据进行取整时要结合选项，一般选择保留前三位有效数字即可。
2.除法估算的原则是数据同变大同变小，乘法估算的原则是数据一变大另一变小。
3.分析估算的结果与真实值之间的关系，通过分析变大或变小的幅度来判断估算值比真实值是偏大还是偏小。
如计算A×B的结果时两个数都在取整过程中变大，那么速算的结果一定比真实值略大，在选项中选择比较接近又略小的即可。
4.除法运算中，为了保证计算的精度，估算时一般采取按比例放缩的方法。
经典例题
【例题1】5461÷14831=（ ）。
A.31.1%
B.33.2%
C.36.8%
D.38.9%
【解析】选项差别不是很大，但是选项的前两位都是不同的，可以将两个数据同时变大近似处理，即
。选择C选项。
【点睛】除法的估算，可以通过按比例放缩，实现估算误差的最小化。如
=
，2是1的2倍，如果它们的增加量或减少量均是2倍的关系，则一定不会影响结果的精确性。在本题中，14831约是5461的3倍，分子加39，那么分母加100+，结果一定是相对准确的，
，在本题中答案略大于36.7%。选择C选项。
【例题2】3390.5×12.73%=（ ）。
A.402
B.432
C.452
D.472
【解析】乘法运算，一个变大，另一个变小会抵消误差，所以3390.5×12.73%≈3400×12.5%=3400÷8=425，选择最接近的，选择B选项。
【点睛】在进行估算法时，一般有两步：第一步，小数点平移，将数据变成大小相近的两个数，如本题将3390.5→33.905，12.73%→12.73，变化之后倍数关系约为2.5倍。第二步，按比例放缩，将12.73→12.5，小了0.2，则33.9应变大0.5，即33.9→34.4。那么题目变为3440÷8=430，选择最接近的选项B。
【例题3】2011年1—9月，全国造船完工5101万载重吨，同比增长18.3%；新承接出口船舶订单规模2162万载重吨，占新接订单的74.5%。
2011年1—9月，新承接出口船舶订单在全国造船完工总量中的比重约为多少？（ ）
A.50.2%
B.15.5%
C.74.5%
D.42.4%
【解析】本题考核比重的计算。2011年1—9月，新承接出口船舶订单在全国造船完工总量中的比重为
，选择最接近的D选项。
【点睛】除法的估算，可以通过按比例放缩，实现估算误差的最小化。如在本题中，5101约是2162的2倍，分子加38，那么分母加76+，结果一定相对准确，
≈42.3%，在本题中答案略大于42.3%，选择D选项。
【例题4】（2011吉林）2009年全国R&D人员318.4万人，其中大学本科及以上学历人员占48.9%；女性人员78.9万人，占24.8%。
2009年全国R&D人员中大学本科及以上学历人员有（ ）。
A.229.1万人
B.155.7万人
C.318.4万人
D.78.9万人
【解析】2009年全国R&D人员318.4万人，其中大学本科及以上学历人员占48.9%，则大学本科及以上学历人员约为
（万人），选择B选项。
考点2：直除法
特征：选项首位不同或首两位不同。
题型：多用于基期量、增长率、比重、平均数的计算。
方法精讲
所谓直除法，就是指通过截位直接相除的方式得到商的首位或首两位，从而结合选项判定答案的方法。
直除法常见形式：
1.若选项首位不同，通过计算首位便可得出答案；
2.若选项首两位不同，且分母（除数）的首位数字是4或4以上，则分母（除数）保留前两位进行计算；
3.若选项首两位不同，且分母（除数）的首位数字是1或2或3，则分母（除数）保留前三位进行计算。
经典例题
【例题5】改革开放以来，广东省社会消费品零售总额迅猛增长，1985、1995、2005年的值分别为289、2478、7883亿元人民币。那么，1995年值为1985年值的（ ）倍，2005年值为1995年值的（ ）倍。
A.9.1 3.2
B.8.6 3.2
C.9.1 2.9
D.8.6 2.9
【解析】通过分析选项得知，本题可以通过首位判断来确定答案。
，采用直除法速算，商的首位一定是8，排除A、C选项；
，采用直除法速算，商的首位一定是3，排除D选项。选择B选项。
【例题6】“十一五”期间，我国农村居民人均纯收入由2005年的3255元提高到2010年的5919元，增加2664元。
“十一五”期间，我国农村居民人均纯收入的增长率约为（ ）。
A.58.2%
B.63.7%
C.74.5%
D.81.8%
【解析】根据计算公式，我国农村居民人均纯收入的增长率为
，选项首位均不相同，采用直除法速算，首位为8，选择D选项。
【例题7】2011年，全国旅游总收入168.15亿元，同比增长27.20亿元。
2011年，全国旅游总收入同比增长（ ）。
A.16.2%
B.17.8%
C.18.0%
D.19.3%
【解析】2011年全国旅游总收入同比增长率为
，采用直除法速算，得到：
商的第二位是9，因此，选择D选项。