第四章 方程与不等式

第一节 ★基本方程思想

一、题型评述

方程与方程组，是解答文字应用题的重要工具。尽管数学运算的很多试题不需要也不应该使用方程的方法来解答，因为那样可能会耗去大量的精力，但仍然有着相当一大部分问题，采用方程法才是最简单的。如果论及数学运算“第一重要的方法”, “方程法”当之无愧。

二、破题密钥

数学运算的大部分题型，都可以使用“方程法”来解答。其中，“盈亏问题”、“鸡兔同笼问题”和“和差倍比问题”一般都应该使用“方程法”；除此之外，“经济利润问题”、“浓度问题”、“年龄问题”、“行程问题”、“等差数列”、“平均数问题”、“容斥问题”、“工程问题”等题型当中的相当一部分试题也需要利用方程来求解。

三、例题精析

● 题型一：基础列方程

【例1】（北京2015—76）某条道路安装了60盏功率相同的路灯，如将其中24盏的灯泡换为200瓦的节能灯泡，则所有路灯的耗电量将比之前节约20%。如将所有灯的灯泡换为150瓦的节能灯泡，则耗电量能比之前节约多少？（）

A.62.5%

B.50%

C.75%

D.64%

[解析]设原路灯的功率为x，则有：24×200+36x=（1-20%）×60x，解得x=400，若换为150瓦的灯泡，可节约（400-150）÷400=0.625，即62.5%。

【例2】（秋季联考2014—37）三个学生各购买一批课外书，小明和小强的购买课外书数量总和比小军的3倍多4本，小明和小军购买的课外书数量总和比小强的2倍少2本，若小明给小军3本课外书，则两人购买的课外书一样多，问小明买了多少本课外书？（）

A.9

B.10

C.11

D.12

[解析]假设小明、小强、小军购书分别为x、y、z本，则：。

● 题型二：巧设未知数

【例3】（上海2014A—75）年初，甲、乙两种产品的价格比是3∶5，年末，由于成本上涨，两种产品的价格都上涨了9元，价格比变成了2∶3，则年初时乙的价格比甲高出（）元。

A.9

B.18

C.27

D.36

[解析]设年初时甲、乙两种商品的价格为3x、5x，进而得到（3x+9）∶（5x+9）=2∶3，解得x=9，则年初时价格高出2x=2×9=18（元）。

【例4】（国考2014—70）8位大学生打算合资创业，在筹资阶段，有2名同学决定考研而退出，使得剩余同学每人需要再多筹资1万元；等到去注册时，又有2名同学因找到合适工作而退出，那么剩下的同学每人又得再多筹资几万元？（）

A.3

B.4

C.1

D.2

[解析]从最开始的8人到后来的6人，再到最后的4人，我们不妨假设总筹资金额为24x万元，那么开始每人需要3x万元，2名同学离开之后每人应该筹资4x万元，比原来多x万元，所以x=1。最后只剩4人时每人需筹资6x万元，得再多筹6x-4x=2x=2（万元）。

【例5】（北京2013—80）某服装如果降价200元之后再打8折出售，则每件亏50元。如果直接按6折出售，则不赚不亏。如果销售该服装想要获得100%的利润，需要在原价的基础上加价多少元？（）

A.90

B.110

C.130

D.150

[解析]根据“直接按6折销售，则不赚不亏”，可以假设服装原价为10x，成本为6x。根据题意：（10x-200）×80%=6x-50，解得x=55，所以成本6x=330，原价10x=550，想要获得100%的利润，则定价应该为660，需要在原价的基础上加110元。

【例6】（上海2013A—58）某公司针对A、B、C三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B岗位的人数等于只能胜任C岗位人数的2倍，而只能胜任A岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（）。

A.10人

B.11人

C.12人

D.13人

[解析]我们把所有人分成四类：只能胜任A岗位、只能胜任B岗位、只能胜任C岗位、能兼任别的岗位。如图所示，第四类包括图中间四个小部分的总和。根据“只能胜任B岗位的人数等于只能胜任C岗位人数的2倍”，我们假设“只能胜任C岗位”为x人，那么“只能胜任B岗位”为2x人。又根据“只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A岗位”，知道“只能胜任A岗位”的人数为3x。再根据“只能胜任A岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人”，知道“能兼职别的岗位”一共有（3x-1）人。于是把这四个部分加起来，得到：9x-1=35，解得x=4，所以“能兼职别的岗位”应该是3x-1=11（人）。

[点睛]别看我写了这么长一段解析，其实你照着图来做，过程很简单的。

【例7】甲、乙、丙、丁共有48本书，若在他们原有基础上做如下变动：甲增加3本，乙减少3本，丙增加到原来的3倍，丁减少为原来的，此时四人的书一样多，则原有书本最多的人有（）本书。

A.18

B.24

C.27

D.36

[解析]我们假设那个相等的中间量为x，则：，那么甲、乙、丙、丁原来分别有6、12、3、27本书，最多的有27本。

【例8】（山西、四川2014—60）在一场篮球比赛中，甲、乙、丙、丁共得125分，如果甲再多得4分，乙再少得4分，丙的分数除以4，丁的分数乘以4，则四人得分相同。问甲在这场比赛中得了多少分？（）

A.24

B.20

C.16

D.12

[解析]设该相同分数为n，逆推可得甲得分为（n-4），乙得分为（n+4），丙得分为4n，丁得分为，进而得到。解得n=20，故甲得分为n-4=16。

【例9】（上海2012A—64）某农场有一批大米需运往市中心的超市销售，现只租到一辆货运卡车，第一次运走了总数的五分之一还多60袋，第二次运走了总数的四分之一少60袋，最后还剩220袋没有运走，则这批大米一共有（）袋。

A.400

B.450

C.500

D.640

[解析]我们假设这批大米一共有x袋，那么：，两个60正负抵消，两边同时乘以20，把分母消去：4x+5x+4400=20x⇒x=400。

【例10】（甘肃2013—30）甲、乙、丙练习投篮，一共投了150次，共有64次没投进。已知甲和乙一共投进48次，乙和丙一共投进69次，乙投进多少次？（）

A.28

B.31

C.30

D.33

[解析]设甲、乙、丙分别投进x、y、z次，则：，三个未知数当中，y是我们关心的，于是我们想办法消掉x和z。前两个式子加起来，减去第三个式子，得到：y=31。

【例11】（北京2013—79）一项工程如果交给甲、乙两队共同施工，8天能完成；如果交给甲、丙两队共同施工，10天能完成；如果交给甲、丁两队共同施工，15天能完成；如果交给乙、丙、丁三队共同施工，6天就可以完成。如果甲队独立施工，需要多少天完成？（）

A.16

B.20

C.24

D.28

[解析]假设工程总量是120，进而可以得到甲、乙、丙、丁的效率满足：

。

本题关心的是甲队的效率，我们要想办法把乙、丙、丁消去，前三式相加再减去第四式，得到：3×甲=15，甲=5，所以甲队独立施工，需要120÷5=24（天）。

【例12】（上海2013B—59）某大学音乐系学生在学校礼堂举行音乐会，第一场音乐会前三排位置的座位票价是每张10元，其他座位的票价是每张6元，全场的营业收入为2040元；第二场音乐会第四排位置的座位票价也被提升到每张10元，全场的营业收入为2120元。如果两场音乐会都满座，而且每一排的座位数量也都一样，那么该礼堂一共有（）座位。

A.300个

B.320个

C.480个

D.500个

[解析]假设礼堂一共有N排座位，每排座位有a个，那么：

。

这个方程组比较特别的是含有N和a的乘积项，不再是一个一次方程组。于是，我们直接令两式做差，消去Na，得到：4a=80，所以a=20，代入易得N=15，所以礼堂一共有Na=300（个）座位。

【例13】（秋季联考2013—44）甲购买了A、B、C三种书籍各若干本捐赠给希望小学。其中B书籍比C书籍少3本，比A书籍多2本；B书籍的单价比A书籍低4元，比C书籍高4元。其购买B书籍的总开销与C书籍相当，比A书籍少4元。问甲购买三种书籍一共用了多少元？（）

A.724

B.772

C.940

D.1084

[解析]假设B书籍购买了x本，那么A、C种书籍分别购买了（x-2）、（x+3）本；再假设B书籍单价为y元，那么A、C书籍单价分别为（y+4）、（y-4）元，结合条件可知：

。

易知三本书分别购买了13、15、18本，单价分别为28、24、20元，算得总价为1084元。

[点睛]本题虽然含有xy这样的乘积项，但化简之后仍然是一个简单的二元一次方程组。

【例14】（国考2014—66）某单位原有45名职工，从下级单位调入5名党员职工后，该单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点。如果该单位又有2名职工入党，那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少？（）

A.50%

B.40%

C.70%

D.60%

[解析]设该单位原有党员x名，结合题干可以得到：，则最终党员为18+5+2=25（人），比重为25÷50×100%=50%。

[点睛]本题的特征是，两个分子分别为x和x+2，差是常数。

【例15】（江苏2014B—34）有甲、乙两瓶盐水，其浓度分别为16%和25%，质量分别为600克和240克，若向这两瓶溶液中加入等量的水，使他们的浓度相同，则需要向这两瓶盐水中分别加入的水量为（）。

A.320克

B.360克

C.370克

D.377克

[解析]设加入的水量为x克，则：

。

[点睛]本题的特征是，两个分母分别为600+x和240+x，差是常数。

【例16】（江苏2013A—35）有一类分数，每个分子与分母的和是100，如果分子减K，分母加K，得新的分数约分后等于，其中K是正整数，则该类分数中分数值最小的是（）。

A.

B.

C.

D.

[解析]假设分数分子为N，那么其分母为100-N，得到：

。

因为K为正整数，所以N比40大即可，在A、B、C项当中挑选最小的。

[点睛]本题的特征是，第一个分数的分子、分母之和为常数100。实际上，因为原来分数的分子、分母之和为100，分子减K、分母加K之后，分子、分母之和仍然是100，约分之后得到，那么很容易知道约分之前应该是，大家如果可以这样心算，也可以避免列方程了。

● 题型四：整体解方程

【例17】（秋季联考2014—32）某火车站有一、二、三号三个售票窗口，某天一号以外的窗口卖出了746张票，二号以外的窗口卖出了726张票，三号以外的窗口卖出了700张票。问当天该站共售车票多少张？（）

A.1086

B.988

C.986

D.980

[解析]设三个窗口卖出的票分别为x、y、z张，则：，三个方程加起来得到：2（x+y+z）=2100+72，所以：x+y+z=1086。

[点睛]如果要求三个未知数的大小，用三数之和，分别减去上面三个方程即可。

【例18】（深圳2014—52）一个长方体形状的玻璃鱼缸，从鱼缸内侧量，它的2个相邻的侧面及底面的面积分别是5、6、7.5平方分米，则这个玻璃鱼缸最多可以装（）立方分米的水。

A.12

B.15

C.16

D.18

[解析]设三边长分别为a、b、c，则：。

【例19】有5箱苹果，若两箱两箱称，其重量（公斤）分别为：111、112、113、114、115、116、117、118、119、121。问最重的一箱是多少公斤？（）

A.58

B.62

C.64

D.72

[解析]这类题目我们往往分三步来解答：①两箱两箱称了10次，每箱苹果称了4次，所以10个重量加起来应该是总重量的4倍，那么总重量应该是（111+112+113+114+115+116+117+118+119+121）÷4=289（公斤）; ②我们还知道，111公斤是最轻的两箱苹果之和，121公斤是最重的两箱苹果之和，那么重量在正中间（第3重）那箱苹果的重量应该是289-111-121=57（公斤）; ③119一定是最重的苹果和第3重的苹果之和，那么最重的苹果重量为119-57=62（公斤）。

[点睛]本题看似复杂，但做题步骤机械固定，并没有特别的难度，但有三个地方需要特别注意：①本题解题的关键是求得5箱苹果的总和，虽然没有列出方程，但其过程本质上仍然跟“整体解方程”是一样的；②解析中第一步需要把10个数字相加，我们注意到前9个数字是连续的自然数，所以可以直接用中间那个数乘以9来代表其和。而对于其他一般的情况，我们应该选一个基准来求和，比如本题可以以110为基准，10个数字的总和应该是10个110再加上各个数字比110多的部分；③10个数字中，最大的数字121一定是最重的两箱苹果重量之和，次大的数字119一定是最重和第三重的苹果重量之和，但第三大的数字118是不能确定的，可能是最重和第四重的苹果重量之和，也可能是第二和第三重的苹果重量之和。

第二节 ★不定方程（组）

一、题型评述

在我们的解题过程中，经常会遇到含有1个未知数的方程，也可能遇到含有2个未知数、2个方程的方程组，或者3个未知数、3个方程的方程组，这些方程或者方程组一般都有确定的解。然而，我们还可能遇到2个未知数只有1个方程等式，或者3个未知数只有2个方程等式等等，我们把这样的形式称为“不定方程”或者“不定方程组”，这种题型的考查能够突出体现应试者对数字把控的逻辑素质，因此成为最新考题的一大热点。

二、破题密钥

多元不定方程组：特值代入法；

二元不定方程：代入试值法。

三、例题精析

● 题型一：多元不定方程组

【例1】去超市购物，如果买9件A商品，5件B商品，1件C商品，一共需要98元。如果买13件A商品，7件B商品，1件C商品，一共需要126元。若A、B、C三种商品各买2件，共需要多少钱？（）

A.76

B.84

C.98

D.108

[解一] （1）×6-（2）×4⇒2×（A+B+C）=84。

[解二]假定A为已知：。

[解三]我们假设u=A+B+C，代入原方程组（消掉C）：

。

[点睛]本题只给出了2个方程，但含有3个未知数，说明这些未知数肯定不能全部求解出来。上述三种解法从形式上看非常完美，但第一种解法找系数非常复杂，第二、三种解法计算量偏大，都不是考场上的最优解法。既然这些未知数是不确定的，我们不妨假设其中一个量为0，从而简化计算。因此，下面这种解法才是考场上的最佳有效方法。

[解四]由于A的系数最为复杂，我们令A=0：

。

【例2】（深圳2011—11）小刚买了3支钢笔、1个笔记本、2瓶墨水，花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔，1个笔记本，3瓶墨水花去52元钱，则买1支钢笔、1个笔记本、1瓶墨水共需（）元。

A.9

B.12

C.15

D.18

[解析]设钢笔、笔记本、墨水的价格分别为x、y、z元，由题意得：

,令x=0，解得，所以x+y+z=18（元）。

[点睛]同时，我们还可以假设y=0或者z=0，得到的最终结果肯定是一样的。

【例3】（浙江2012—50）某班级去超市采购体育用品时发现买4个篮球和2个排球共需560元，而买2个排球和4个足球则共需500元。问如果篮球、排球和足球各买1个，共需多少元？（）

A.250元

B.255元

C.260元

D.265元

[解析]这里三种球的价格都不知道，但只给了我们两个条件，显然不可能把三个价格都确定，所以我们可以用“特值法”来求解。我们假设排球价格为0元，易知1个篮球需要140元，而1个足球需要125元，那么三个球各1个需要140+0+125=265（元）。

[点睛]我们还可以假设篮球价格是0元，那么排球价格为280元，足球价格为-15元，加起来仍然是265元。在这种方法中，我们即使得到了负数价格，也没有关系，直接计算并不影响结果。

【例4】（春季联考2013—43）一个班有50名学生，他们的名字都是由2个或3个字组成的。将他们平均分为两组之后，两组的学生名字字数之差为10。此时两组学生中名字字数为2的学生数量之差为（）。

A.5

B.8

C.10

D.12

[解析]我们假设第一组25个人全部是3个字的名字，那么其名字字数为75，于是第二组名字字数应该为65，容易算得第二组应该是15个人名字为3个字、10个人名字为2个字，所以两组学生名字字数为2的学生数分别为0人、10人，相差为10。

[点睛]本题与上题，虽然没有列出来方程，但本质上仍然是不定方程（组）。本题两组人中名字字数为2的学生数都是未知的，但只给了一个条件“名字字数之差为10”，说明两个未知数都不能完全确定，于是我们选定任意一个特殊值，即可得到题目所求。

【例5】（江苏2013A—26）一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天完成，丙、丁合作12天完成。如果甲、丁合作，则完成这项工程需要（）天。

A.16

B.18

C.24

D.26

[解析]假设工作总量为36，则甲、乙、丙、丁的工作效率满足：甲+乙=3，乙+丙=4，丙+丁=3，三个方程包括四个未知数，我们可以令：甲=0，于是：乙=3，丙=1，丁=2，所以：甲+丁=2，甲、丁合作需要36÷2=18（天）。

[点睛]甲的数值到底是多少，这并不影响我们最终的结果，大家可以用其他值试试。

【例6】某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合作天数的a倍，乙队单独做所需天数是甲、丙两队合作天数的b倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合作天数的c倍，则的值是（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

[解析]很明显，a、b、c的数值是不能确定的，我们完全可以考虑一种最特殊的情况：三个队工作效率相同，则容易得到：a=b=c=2，进而得到结果为1。

● 题型二：二元不定方程

【例7】（广东2014—36）办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为（）个。

A.1、6

B.2、4

C.3、2

D.4、1

[解析]假设红、蓝文件袋分别有x、y个，则：7x+4y=29，代入可知，只有第三项满足。

[点睛]如果条件允许的话，直接将选项代入，这是解答不定方程最好的办法。

【例8】（浙江2014—49）某班有56名学生，每人都参加了a、b、c、d、e五个兴趣班中的其中一个。已知有27人参加a兴趣班，参加b兴趣班的人数第二多，参加c、d兴趣班的人数相同，e兴趣班的参加人数最少，只有6人，问参加b兴趣班的学生有多少个？（）

A.7个

B.8个

C.9个

D.10个

[解析]设参加b兴趣班的人数为x人，c、d兴趣班的人数为y人，则27+x+y+y+6=56，得到x+2y=23。x显然是奇数，排除B、D。代入A选项，x=7, y=8，不满足条件，也排除。

【例9】（吉林2014甲—54）某学校组织一次教工接力比赛，共准备了25件奖品分发给获得一、二、三等奖的职工，为设计获得各级奖励的人数，制定两种方案：若一等奖每人发5件，二等奖每人发3件，三等奖每人发2件，刚好发完奖品；若一等奖每人发6件，二等奖每人发3件，三等奖每人发1件，也刚好发完奖品，则获得二等奖的教工有多少人？（）

A.6

B.5

C.4

D.3

[解析]假设一、二、三等奖的职工数依次为x、y、z人，则：

，代入选项，B、C、D项都不满足。

[点睛]本题关注二等奖y，所以消元一定要留下y。若消去x的话，也是一样的结果。

【例10】（山东2014—59）某公司有29名销售员，负责公司产品在120个超市的销售工作。每个销售员最少负责3个，最多负责6个超市。负责4个超市的人最多但少于一半，而负责4个超市和负责5个超市的人总共负责的超市数为75个。问负责3个超市的人比负责6个超市的人多几个？（）

A.2

B.3

C.6

D.9

[解析]设负责3、4、5、6个超市的分别为a、b、c、d人，则：，负责4个超市的人数b最大，那么肯定超过平均数，最低为8，但又少于一半，说明最多是14，根据上面第三个方程得到：4b=5（15-c），说明b是5的倍数，那b只能取值为10，进而得到c=7。我们把b和c的值代回原来前两个方程，解得a=9, d=3，那么a-d=6。

【例11】（山东2013—54）某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐20元，该单位所有人员共捐款320元，已知该单位总人数超过10人，问该单位可能有几名部门领导？（）

A.1

B.2

C.3

D.4

[解析]假设该部门领导人数为x，普通员工人数为y，根据题意有50x+20y=320，即5x+2y=32。结合奇偶特性，x应该是偶数，排除A、C项。若领导人数为4，普通员工人数为6，则单位总人数为10人，不符合题意。

【例12】（秋季联考2013—39）现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍，此时箱子里共有22个球。最终甲箱中的球比乙箱（）。

A．多1个

B．少1个

C．多2个

D．少2个

[解析]设开始时，甲、乙、丙箱中分别有球x、y、z个，这三个数对应了1、2、3这三个数字，但顺序是不知道的，我们还知道这三个数字之和应该为6。根据题意：

。

很明显，y应该是偶数，所以y=2，从而算得x=3, z=1，最终甲箱比乙箱多1个球。

【例13】（国考2014—73）小王、小李、小张和小周4人共为某希望小学捐赠了25个书包，按照数量多少的顺序分别是小王、小李、小张、小周。已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。问小王捐赠了多少个书包？（）

A.9

B.10

C.11

D.12

[解析]设小周捐赠的书包数量为x，小张的为x+a，则可得数据如下：

结合题干求得四人捐赠的书包的总数：7x+4a=25。很明显，x为奇数，而且小于4。如果x=1，那么a不是整数，如果x=3，则a=1，满足条件，所以小王捐赠书包数为3x+2a=11（个）。

【例14】（北京2014—81）小张购买了2个苹果、3根香蕉、4个面包和5块蛋糕，共消费58元。如果四种商品的单价都是正整数且各不相同，则每块蛋糕的价格最高可能为多少元？（）

A.5

B.6

C.7

D.8

[解析]假设四种食品的单价分别为x、y、z、w，那么2x+3y+4z+5w=58。结合选项，从最大的数字开始代入，如果w=8，那么2x+3y+4z=18，显然y必须是偶数，尝试y=2，那么2x+4z=12，即x+2z=6，所以x只能是偶数，但不能是2，容易发现x=4, z=1是完全满足题目条件的。

【例15】（秋季联考2013—31）射箭运动员进行训练，10支箭共打了93环，且每支箭的环数都不低于8环。问命中10环的箭数最多能比命中9环的多几支？（）

A.2

B.3

C.4

D.5

[解析]设10环命中x支，9环命中y支，8环命中z支，则，消去z，可得2x+y=13，容易发现x最大值为6, y最小值为1，因此命中10环的箭数最多比命中9环的多5支。

[点睛]本题满足条件的解不止一组，但题目问的是“最多”。

【例16】（秋季联考2014—34）商店促销某种商品，一次购买不超过10件，每件5元；超过10件，超过部分每件3元。甲、乙两人分别购买此种商品，甲比乙多付19元，则甲、乙共买了多少件？（）

A.22

B.21

C.20

D.19

[解析]假设甲比乙多买的商品中，有x件是5元/件，有y件是3元/件，那么：5x+3y=19，试值可知，只有x=2、y=3这一组解，所以乙应该是8件，甲为13件，总共21件。

第三节 不等式

一、题型评述

不等式是方程的一种延伸，方程研究等量关系，而不等式研究不等关系。不等关系是我们日常生活当中经常遇到的，通过不等关系，我们可以确定变量变化的范围及其最大最小值。

二、破题密钥

直接求解不等式，得出其范围，找到满足题目要求的数值。

三、例题精析

【例1】（浙江2014—47）对分数进行操作，每次分母加15，分子加7，问至少经过几次这样的操作能使得到的分数不小于15?（）

A.46次

B.47次

C.48次

D.49次

[解析]设x次后满足条件，则：，所以最少48次。

【例2】（上海2013B—56）某县筹备县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧。已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆，则搭配方案共有（）。

A.3种

B.4种

C.5种

D.6种

[解析]假设A、B两种造型分别有x、（50-x）个，那么需要满足：

，很显然有3种方案。

【例3】（广州2013—32）某饼店一种成本为1.4元的点心卖2元一份，每天没卖完的点心会在晚上8点后半价促销，全部卖完。已知一个月30天中，平均有15天每天晚上8点前可卖出100份点心，而其余15天每天晚上8点前只能卖出60份。如果饼店每天做的点心数量相同，一个月能够获得的最大利润是（）元。

A.1080

B.1200

C.1320

D.1440

[解析]由题可知，晚上8点之前每个点心盈利0.6元，8点之后每个点心亏本0.4元，所以可设每天做的点心数量为x份（60≤x≤100），那么利润可表示为：x×0.6×15+[60×0.6+（x-60）×（-0.4）]× 15=900+3x，可知x=100时，盈利最多，为1200元。

【例4】（浙江2014—60）一门课程的满分为100分，由个人报告成绩与小组报告成绩组成，其中个人报告成绩占70%，小组报告成绩占30%。已知小明的个人报告成绩与同一小组的小欣的个人报告成绩之比为7∶6，小明该门课程的成绩为91分，则小欣的成绩最低为多少分？（）

A.78分

B.79分

C.81分

D.82分

[解析]因为个人报告成绩占70分，所以个人成绩在0—70分之间，而小组报告成绩在0—30分之间。假设两人的个人成绩分别为7x、6x（满足0≤x≤10），而小组成绩为y，那么小明的成绩为7x+y=91，而小欣的成绩应该为6x+y=（7x+y）-x=91-x≥91-10=81（分）。

【例5】（山东2014—63）某企业安排30名职工参加体检，其中男性职工的近视比例大于10%小于11%，女性职工的近视比例在20%—30%之间，问男性职工中不近视的人比女性职工中不近视的人多几人？（）

A.4

B.6

C.7

D.9

[解析]设男职工m人，其中近视为a人，则：，当a=0或1时，m无正整数解；当a=2时，m=19；当a=3时，m=28或29; a≥4时，m超过总人数30了。m=28或29时，女性职工应该为2或1人，那么其近视比例不可能在20%—30%之间，所以唯一解为：a=2, m=19，那么女性职工人数为11人，近视比例在20%—30%之间，只能是3人。所以男性不近视有19-2=17（人），女性不近视有11-3=8（人），前者比后者多9人。

【例6】（四川2013—58）某单位志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶，到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人。如果给每个老人分5盒，则剩下38盒；如果给每个老人分6盒，则最后一个老人不足5盒，但至少分得1盒，问该敬老院至少有多少名老人？（）

A.39

B.40

C.41

D.43

[解析]设敬老院的老人人数为x，则，解得40≤x≤43，所以至少有40名老人。

【例7】（江苏2014A—34）甲、乙、丙三种盐水，浓度分别为5%、8%、9%，质量分别为60克、60克、47克，若用这三种盐水配置浓度为7%的盐水100克，则甲种盐水最多可用（）。

A.49克

B.39克

C.35克

D.50克

[解析]设甲、乙、丙溶液质量分别取：0≤x≤60,0≤y≤60,0≤z≤47，则：

。

题目关心甲，所以我们保留x。如果消掉y，我们可以得到3x=100+z≤147，等号成立时，z=47, x=49，进而得到y=4，满足所有条件，所以甲最多可用49克。

如果我们保留x和y，消掉z，则：4x=200-y≤200，等号成立时，y=0, x=50，进而得到z=50，但z最大值只能为47，所以z只能取47，代入原方程可以得到x=49, y=4，满足所有条件，所以甲最多可用49克。

[点睛]当我们遇到两个方程、三个未知数，要求某个未知数的最大/小值的时候，我们有不同的消元方式，也许会得到不同的初步结果。但我们一定要代入原方程，看看我们得到的“最优点”是否满足所有条件。

【例8】（江苏2013B—94、浙江2012—47）已知，问X的整数部分是多少？（）

A.180

B.181

C.182

D.183

[解析]我们通过不等式“放缩法”来确定X的整数部分：

；

。

很明显，X的整数部分是182。

第四节 盈亏与鸡兔同笼问题

一、题型评述

盈亏问题与鸡兔同笼问题是数学运算题中相对基础简单的题型，是考生必答必会的题型。

二、破题密钥

这两类问题是小学奥数当中的经典题型，利用一定的设计和思维，可以进行奇妙的解答。但是，实际考试的时候，“列方程，解方程”才是最准确、最高效的方法。

方程法相对有两个最大的优点：（1）不需要进行方法设计上的思考，只需要进行机械的、固化的程序化答题；（2）计算不容易出错。所以希望各位考生抛弃那些“华而不实”的“奇思妙想”，踏实地把方程法掌握。

三、例题精析

● 题型一：盈亏问题

【例1】（深圳2014—53）甲乙两人各有一堆苹果，如果甲拿12个给乙，那么两个人的苹果数就一样多；如果乙拿12个给甲，那么甲的苹果数就是乙的2倍。则甲、乙共有（）个苹果。

A.120

B.144

C.148

D.154

[解析]设甲、乙分别有x、y个，则。

【例2】（春季联考2013—52）出租车队去机场接某会议的参会者，如果每车坐3名参会者，则需另外安排一辆大巴送走余下的50人；如每车坐4名参会者，则最后正好多出3辆空车。问该车队有多少辆出租车？（）

A.50

B.55

C.60

D.62

[解析]假设有出租车x辆，一共y人，则：。

【例3】（天津2013—7）一群人坐车去旅游，如果每辆车坐22人，还剩5人没有坐车；如果每辆车坐26人，则空出15个座位。问每辆车坐25人，空出多少个座位？（）

A.20

B.15

C.10

D.5

[解析]假设车有x辆，一共y人，则：。

● 题型二：鸡兔同笼问题

【例4】（北京2015—74）一扇玻璃门连门框玻璃共重80公斤，如果门框和玻璃的材质都不变但将玻璃厚度增加50%，重量将达到105公斤。则门框重多少公斤？（）

A.20

B.25

C.30

D.35

[解析]假设门框、玻璃原重分别为x、y公斤，则：。

【例5】（上海2014B—69）小张投资6万元买了甲、乙两个股票，一段时间后股票上涨，甲股票涨了45%，乙股票涨了40%，小张看行情好就想再等等。没想到后来股票下跌，甲股票跌了20%，乙股票跌了10%，小张马上卖出所有股票，最终获利11000元（不计交易费用）。那么在这两个股票中，小张投入较多的股票投资了（）元。

A.40000

B.42000

C.44000

D.46000

[解析]设甲、乙分别为x、y万元，则：。

【例6】（江苏2014A—37）甲、乙两种商品，其成本价共100元，如甲、乙商品分别按30%和20%的利润定价，并以定价的90%出售，全部售出后共获得利润14.3元，则甲商品的成本价是（）。

A.55元

B.60元

C.70元

D.98元

[解析]设甲、乙成本分别为x、y元，则：。

【例7】（黑龙江2014—3）甲乙两村共有9600头牛，如果两村分别卖出自己村40%的牛，甲村再赠送120头牛给乙村，这时两村的牛数量相等，问甲村原有多少牛？（）

A.5200

B.5400

C.5600

D.5000

[解析]设甲、乙分别原有x、y头牛，则：。

【例8】（山西、四川2014—59）某游乐园提供打折的团体门票。当团队人数低于50时，票价为10元/人；团队人数在51—100时，票价为8元/人；团队人数超过100时，票价为5元/人。某校甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付944元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付530元。问乙班有多少人？（）

A.46

B.47

C.48

D.49

[解析]因为530不是8的倍数，所以两个班加起来肯定超过100人了，并且总人数为：530÷5=106（人），假设两班分别有x、y人，则：。

【例9】（北京2015—80）某商店进了5件工艺品甲和4件工艺品乙，如将甲加价110%，乙加价90%出售，利润为302元；如将乙加价110%，甲加价90%出售，利润为298元。则甲的进价为每件多少元？（）

A.14

B.32

C.35

D.62.5

[解析]设甲、乙成本分别为x、y元，则：。

【例10】（广州2014—33）吴老师到商店买篮球和足球共56个。篮球每个定价90元，足球每个定价80元。由于购买的数量较多，该商店老板就给吴老师八折优惠，结果吴老师付的钱比按定价买少付了960元，那么他买了（）个篮球。

A.24

B.26

C.30

D.32

[解析]设购买篮球x个，足球y个，则：。

第五节 和差倍比问题

一、题型评述

和差倍比问题研究不同量之间的和、差、倍、比关系，这种题型也是数学运算试题中相对基础的题型，也是考生必答必会的题型，大家务必在速度和精度上多下工夫。

二、破题密钥

“列方程，解方程”，是最准确、高效的方法。

三、例题精析

【例1】（山西、四川2014—64）小明和小华计算甲、乙两个不同自然数的积（这两个自然数都比1大）。小明把较大的数字的个位数错看成了一个更大的数字，其计算结果为144，小华却把乘号看成了加号，其计算结果为28。问两个数的差为（）。

A.16

B.12

C.8

D.4

[解析]这两个数字的和是28，如果知道两个数字的差，这两个数就直接求出来了。代入四个选项，求出对应的两个数字：[22,6]、[20,8]、[18,10]、[16,12]，用144除以较小的数字，对应四组分别为24、18、14.4、12，显然只有第一组满足条件：24是22的个位数看错成一个更大的数字。

[点睛]实际上这两个数字的积肯定比144小，最后一步也可以这样判断。

【例2】（北京2015—75）某公司计划通过四周的市场活动为其官方微博拉升人气。第一周该公司微博的关注人数增加了300人，往后三周每周的关注人数增量都是上一周增量的两倍。活动结束时该公司微博的关注人数是活动之前的4倍。则该公司活动前微博的关注人数是多少？（）

A.1200

B.1500

C.1800

D.2100

[解析]四周关注人数增量分别为300,600,1200,2400，设活动前关注人数为x，则：x+300+600+1200+2400=4x，解得x=1500。

【例3】（山东2014—51）加油站有150吨汽油和102吨柴油，每天销售12吨汽油和7吨柴油。问多少天后，剩下的柴油是剩下的汽油的3倍？（）

A.9

B.10

C.11

D.12

[解析]设x天后满足条件，则：102-7x=3×（150-12x），得到x=12。

【例4】（江苏2014C—28）小王、小李和小周一共收藏了121本图画书，小王给小李和小周每人6本后，小王图画书的本数是小周的3倍，小李的2倍，则小周原有图画书的本数是（）。

A.14

B.15

C.16

D.22

[解析]设小王给完小李和小周后，小周的数量为x，则小王为3x，小李为1.5x，则：x+3x+1.5x=5.5x=121，解得x=22，那么小周原有数量为：22-6=16（本）。

【例5】（浙江2014—55）用a、b、c三种不同型号的客车送一批会议代表到火车站，用6辆a型车，5趟可以送完；用5辆a型车和10辆b型车，3趟可以送完；用3辆b型车和8辆c型车，4趟可以送完。问先由3辆a型车和6辆b型车各送4趟，剩下的代表还要由2辆c型车送几趟？（）

A.3趟

B.4趟

C.5趟

D.6趟

[解析]用a、b、c代表对应车型承载人数，令总人数为60，所求为T，则：

。

本章习题训练

[习题01]（深圳2012—11）举办排球比赛，选男员工的和12名女员工，剩余男员工是剩余女员工的2倍，总员工人数156人，问：男员工有多少人？（）

A.100

B.99

C.111

D.121

[习题02]（贵州2012—33）某次英语考试，机械学院有210人报名，建筑学院有130人报名。已知两个学院缺考的人数相同，机械学院实际参加考试的人数是建筑学院实际参加考试人数的。问建筑学院缺考的人数是多少？（）

A.2

B.4

C.9

D.12

[习题03]（江苏2013C—29）一项工程，甲、乙合作16天完成，乙、丙合作12天完成，丙、丁合作16天完成，如果甲、丁合作完成这项工程需要多少天？（）

A.21

B.24

C.26

D.27

[习题04]（黑龙江2010—44）有四个数，其中每三个数的和分别是45,46,49,52，那么这四个数中最小的一个数是多少？（）

A.12

B.18

C.36

D.45

[习题05]（国考2012—76）超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？（）

A.3

B.4

C.7

D.13

[习题06]（春季联考2012—64）甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个，乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个，甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时，且x、y皆为整数，两名工人一天加工的零件总数相差（）。

A.6个

B.7个

C.4个

D.5个

[习题07]（秋季联考2013—32）某单位为业务技能大赛获奖职工发放奖金，一、二、三等奖每人奖金分别为800、700和500元。11名获一、二、三等奖的职工共获奖金6700元，问有多少人获得三等奖（）。

A.3

B.4

C.5

D.6

[习题08]（江苏2013C—26）甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是（）。

A.12

B.13

C.16

D.18

[习题09]（上海2012A—58）某单位举行“庆祝建党90周年”知识抢答赛，总共50道抢答题。比赛规定：答对1题得3分，答错1题扣1分，不抢答得0分。小军在比赛中抢答了20道题，要使最后得分不少于50分，则小军至少要答对（）道题。

A.16

B.17

C.18

D.19

[习题10]（春季联考2011—42）某单位招待所有若干间房间，现要安排一支考察队的队员住宿，若每间住3人，则有2人无房可住；若每间住4人，则有一间房间不空也不满，则该招待所的房间最多有（）。

A.5间

B.4间

C.6间

D.7间

[习题11]（北京2012—78）一本书有100多页，小赵每天看6页，第31天看完，小张每天看7页，第26天看完。小周每天看2页，问第几天可以看完？（）

A.90

B.91

C.92

D.89

[习题12]（新疆兵团2013—52）某地实行分时电价政策，平时执行基础电价，每度电0.5元；高峰时段基础电价上浮60%；低谷时段按基础电价下调60%。某户居民某月用电恰好100度，应付电费38元。问该月该用户在低谷时段至少用电多少度？（）

A.40

B.50

C.60

D.70

[习题13]（江苏2013B—86）用一根绳子测量一口枯井的深度，如果绳子对折去量就多出4米，三折去量就多出1米，则该井的深度是（）。

A.6米

B.5米

C.4米

D.3米

[习题14]（广州2013—36）用混凝土铺设一条宽度为20米的马路，每两包水泥可以制造1立方米混凝土。使用现有的水泥，如果按照20厘米的混凝土厚度铺设马路，工程完成后剩余4600包水泥；如果按照50厘米的混凝土厚度铺设马路，就还缺5000包水泥。则这条马路长（）米。

A.800

B.850

C.920

D.1000

[习题15]（广州2012—74）某单位组织员工外出活动，所有员工刚好坐满10辆客车。已知大客车每辆坐50人，小客车每辆坐30人，大客车比小客车一共多坐了260人。则大客车有（）辆。

A.3

B.4

C.6

D.7

[习题16]（重庆2013—100）农场有大型和小型联合收割机7台，一台大型收割机每小时能收割14亩麦田，一台小型收割机每小时能收割10亩麦田，周一至周五两种收割机都工作8小时，周六和周日只有小型收割机每天工作4小时，正好一个星期内将全部3520亩麦田收割完毕，问该农场有小型收割机多少台？（）

A.3

B.4

C.5

D.6

[习题17]（河北2013—47）小伟参加英语考试，共50道题，满分为100分，得60分算及格。试卷评分标准为做对一道加2分，做错一道倒扣2分，结果小伟做完了全部试题但没及格。他发现，如果他少做错两道题就刚好及格了。问小伟做对了几道题？（）

A.32

B.34

C.36

D.38

[习题18]（北京2013—71）某工厂的两个车间共有120名工人，每名工人每天生产15件设备。如果将乙车间工人的调到甲车间，则甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件。问原来乙车间比甲车间多多少人？（）

A.12

B.24

C.36

D.48

[习题19]（广东2012—13）某公司举办年终晚宴，每桌安排7名普通员工与3名管理人员，到最后2桌时，由于管理人员安排完，便全部安排了普通员工，结果还差2名人才能刚好坐满，已知该公司普通员工人数是管理人员的3倍，则该公司有管理人员（）人。

A.24

B.27

C.33

D.36

[习题20]（上海2013A—56）农民刘大伯在某处工作，约定一年的报酬是8600元现金和一头牛。他从1月干到8月底因故离开时获得报酬3800元现金和一头牛，则这头牛的价格是（）。

A.4600元

B.5800元

C.6000元

D.6500元

[习题21]（春季联考2013—53）某单位今年一月份购买5包A4纸、6包B5纸，购买A4纸的钱比B5纸少5元；第一季度该单位共购买A4纸15包，B5纸12包，共花费510元；那么每包B5纸的价格比A4纸便宜（）。

A.1.5元

B.2.0元

C.2.5元

D.3.0元

[习题22]（秋季联考2013—41）A、B、C三辆卡车一起运输1次，正好能运完一集装箱的某种货物。现三辆卡车一起执行该种货物共40集装箱的运输任务，A运7次、B运5次、C运4次，正好运完5集装箱的量。此时C车休息，而A、B车各运了21次，又完成了12集装箱的量。问如果此后换为A、C两车同时运输，至少还需要各运多少次才能运完剩余的该种货物？（）

A.30

B.32

C.34

D.36

[习题23]（贵州2012—42）甲、乙、丙三人同乘飞机，飞机上每名乘客超过免费携带重量的行李按照单位重量计算费用。甲、乙二人未携带行李，而丙的行李重150公斤，需另付行李费500元。如果甲、乙、丙三人各携带50公斤行李，则三人共只需支付250元行李费。问每名乘客可以免费携带多少公斤的行李？（）

A.20

B.25

C.30

D.35

[习题24]（江苏2012B—91、C—33）为响应当今我国社会主义文化大发展大繁荣的号召，某小区准备为小区内每位老人准备40元文化基金，同时为每位儿童准备60元文化基金，已知该小区老人比小孩多100人，文化基金一共14000元，该小区老人与小孩共有多少人？（）

A.300

B.320

C.360

D.480

本章习题训练详解

[习题01]B [简析]假设男员工人数为11x，则剩余男员工为10x，剩余女员工人数为5x，进而可以得到11x+5x+12=156，计算可得11x=99。

[习题02]A [简析]设建筑学院参加考试人数为8x人，则机械学院的参考人数为13x人，根据题意，130-8x=210-13x，解得x=16，则130-8x=2。

[习题03]B [简析]假设总量为48，甲、乙、丙、丁工作效率分别为x、y、z、w，则：

。

题目关心的是甲和丁的工作效率之和，也就是x+w，我们需要想办法消去y和z，第一式加上第三式再减去第二式，得到：x+w=2，所以甲、丁合作需要48÷2=24（天）。

[习题04]A [简析]假设四个数分别为x、y、z、w，那么：

。

[习题05]D [简析]设用大盒x个，小盒y个，则12x+5y=99，试值法可得到两组解：x=7、y=3或x=2、y=15，第一组解不满足“十多个盒子”的条件，排除，所以相差13个。

[习题06]B [简析]两人加工的零件之和应该为：59=3x+6（8-x）+2y+7（8-y），即3x+5y=45。可以看出，x是5的倍数，并且介于0和8之间，所以x=0或者x=5，而当x=0时，y=9，超过了8，排除。所以x=5, y=6，易知两人分别加工33、26个，相差7个。

[习题07]D [简析]假设一、二、三等奖人数分别为x、y、z，则：

，

消去y，可得x=2z-10，因为x肯定是正整数，代入可排除A、B、C三项。

[习题08]C [简析]设购买甲、乙两种笔的数量分别为x, y，则7x+3y=60。总费用一定，要使得购买总数尽可能多，即甲种笔要尽量少。根据等式，x是3的倍数，即最小为3，那么y=13，总支数是16。

[习题09]C [简析]设答对x道，则答错20-x道，根据题意：3x-1×（20-x）≥50，解得x≥17.5，因此至少答对18道。

[习题10]A [简析]假设一共有N间房间，那么总共有3N+2人，再假设每间住4人后，最后一间房还剩x个空位，那么：1≤x≤3，则有：3N+2=4N-x，得到：N=x+2，所以3≤N≤5。

[习题11]B [简析]假设这本书一共有x页，从小赵可知：6×30+1≤x≤6×31；从小张可知：7× 25+1≤x≤7×26。解得：181≤x≤182，很明显，如果每天看2页，一定是91天看完。

[习题12]A [简析]容易算得高峰、平时、低谷电价分别为0.8元、0.5元、0.2元。假设低谷电为x度，高峰电为y度，那么基础电应该为100-x-y度，于是：0.8×y+0.5×（100-x-y）+0.2×x=38，得到x=y+40≥40。

[习题13]B [简析]假设绳子长x米，井深y米，则：。

[习题14]A [简析]设马路长x米，水泥y包：。

[习题15]D [简析]设大、小客车分别为x、y辆，则：。

[习题16]C [简析]假设大、小收割机分别有x、y台，则：

[习题17]D [简析]设做正确、错误分别为x、y题，则：。

[习题18]D [简析]假设甲、乙分别有x、y人，则：

。

[习题19]B [简析]假设之前既有普通员工又有管理人员的一共坐了x桌，那么管理人员共有3x人，普通员工有7x+18人，所以3×3x=7x+18，解得x=9，管理人员有27人。

[习题20]B [简析]假设大伯每月的报酬为x元，牛的价格为y元，则：

。

[习题21]C [简析]假设A4、B5纸单价分别为x, y元，则：

。

[习题22]D [简析]假设三车工作效率分别为x、y、z，则：，此后还剩下40-5-12=23（箱）, A、C还需要。

[习题23]C [简析]设每名乘客免费携带x公斤的行李，每公斤超重行李收y元，则：

。

[习题24]A [简析]假设这个小区有小孩n人，那么：40×（n+100）+60×n=14000⇒n=100，所以老人有200人，总共300人。