第二章 转化与化归法

第一节 ★化归为一法

一、题型评述

如果试题当中没有涉及某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计算。这种方法又被称为“设1法”或者“设1思想”。

我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等诸多问题当中使用“化归为一法”。

二、破题密钥

在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分数，简化计算。

三、例题精析

【例1】（山西、四川2014—54）某钢铁厂生产一种特种钢材，由于原材料价格上涨，今年这种特种钢材的成本比去年上升了20%。为了推销这种钢材，钢铁厂仍然以去年的价格出售，这种钢材每吨的盈利下降了40%，不过销售量比去年增加了80%，那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少？（）

A.4%

B.8%

C.20%

D.54%

[解析]假设原来每吨盈利为10，销量也为10，则总盈利为100；今年每吨盈利下降了40%，变成了6，销量增加了80%，变成了18，则总盈利变为6×18=108，比原来的100增加了8%。

【例2】（江苏2013C—30）现需要购买A、B两种调料加工成一种新调料，两种调料的单价分别为20元/千克、30元/千克。假设购买这两种调料所花费的钱数额一样，则由A、B两种调料混合后的新调料每千克的成本是（）。

A.23元

B.24元

C.25元

D.26元

[解析]设购买两种调料所花费的钱均为60元，则第一种调料买了3千克，第二种材料买了2千克，所以每千克新调料的成本为（60+60）÷（3+2）=24（元）。

【例3】（浙江2013—49）某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多25%出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少？（）

A.6%

B.8%

C.10%

D.12%

[解析]设这两件商品成本价格均为100元，则售价分别为125元、87元。总成本为100+100=200（元），总售价为125+87=212（元），则利润率为（212-200）÷200=6%。

【例4】（上海2014B—67）某水果店新进一批时令水果，在运输过程中腐烂了，卸货时又损失了，剩下的水果当天全部售出，计算后发现还获利10%，则这批水果的售价是进价的（）。

A.1.6

B.1.8

C.2

D.2.2

[解析]假设一共购进20千克水果，进价为1元/千克，总进价为20元，因为获利10%，所以总收入应该是22元。运输中腐烂了（千克），卸货损失了（千克），所以只售出20-5-4=11（千克），售价为22÷11=2（元/千克），是进价的2倍。

[点睛]本题为利润问题，题干当中没有涉及重量、单价或者总价的任何一个量的具体大小，所以可以挑选其中两个量，大胆假设，这样不会影响结果。

【例5】（国考2015—64）甲、乙、丙、丁四人共同投资一个项目，已知甲的投资额比乙、丙二人的投资额之和高20%，丙的投资额是丁的60%，总投资额比项目的资金需求高。后来丁因故临时撤资，剩下三人的投资额之和比项目的资金需求低，则乙的投资额是项目资金需求的（）。

A.

B.

C.

D.

[解析]假设四人的投资额分别为x、y、z、w，令项目的资金需求为12，则：

。

【例6】（河北2013—48）小王收购了一台旧电视机，然后转手卖出，赚取了30%的利润。1个月后，客户要求退货，小王和客户达成协议，以当时交易价格的90%回收了这台电视机，后来小王又以最初的收购价格将其卖出。问小王在这台电视机交易中的利润率为（）。

A.13%

B.17%

C.20%

D.27%

[解析]假设小王收购时的价格为100，那么转手卖出的价格为130，再次收回的价格为130×0.9=117，再次卖出的价格为100，第一次赚30，第二次亏17，小王在这台电视机交易中所获利润为30-17=13，所以利润率为13%。

【例7】（重庆2013—90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯中盐水的质量是乙杯的2倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯浓度的多少倍？（）

A.

B.

C.

D.

[解析]我们假设甲、乙杯中的盐水质量分别为200、100克，浓度分别为10%、20%，易得混合之后浓度为，那么。

【例8】（新疆2013—44）甲和乙两家高科技公司合并，持有甲公司30%股份的陈先生在合并后持有新公司股份的12%，赵先生拥有甲公司15%的股份和乙公司5%的股份，他在合并后的公司中拥有多少比例的股份？（）

A.9%

B.10%

C.11%

D.12%

[解一]假设甲公司价值为100，那么陈先生股份的价值为100×30%=30，那么新公司的价值应该为30÷12%=250，所以乙公司的价值为250-100=150，那么赵先生的价值为100×15%+150×5%=22.5，占新公司的比重为22.5÷250=9%。

[解二]两家公司合并后，持有甲公司股份的陈先生股份低于原来的一半，说明乙公司的价值高于甲公司。赵先生拥有15%的甲公司股份和5%的乙公司股份，合并后乙的股份权重更大，所以赵先生在新公司的股份比例更接近5%而不是15%。

【例9】（贵州2012—40）某调查队男、女队员的人数比是3∶2，分别为甲、乙、丙三个调查小组。已知甲、乙、丙三组的人数比是10∶8∶7，甲组中男、女队员的人数比是3∶1，乙组中男、女队员的人数比是5∶3，则丙组中男、女队员的人数比是（）。

A.4∶9

B.5∶9

C.4∶7

D.5∶7

[解析]设甲、乙、丙三组的人数分别为20人、16人、14人，那么总共是50人，再根据男女比例可知：男总数30人，女总数20人。很容易得到甲队中男15人，女5人；乙队中男10人，女6人。所以，丙组中男5人，女9人。

【例10】（广州2013—30）某社区服务中心每个月均对居民进行“社区工作满意度”调查。经对比发现，2月份的居民满意度是85分，比1月份上升了20%,3月份的居民满意度又比2月份下降了20%。则3月份的居民满意度和1月份相比（）。

A．两个月持平

B.3月份比1月份高4%

C.1月份比3月份高4%

D.3月份比1月份低4%

[解析]因为提问只涉及满意度分数的相对大小，所以具体分值不重要，可以忽略原来的数字“85分”，直接假设1月份为100分，那么2月应该是100×1.2=120（分）,3月应该是120×0.8=96（分），比1月下降了4%。

第二节 ★比例假设法

一、题型评述

我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。

然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法”。

二、破题密钥

尽管假设数字可能会与已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设其为某一个数字，然后看看推出的矛盾双方之间的倍数关系，按比例放大或者缩小即可。

三、例题精析

【例1】（国考2015—63）某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙3个不同的工厂实习。去甲厂实习的毕业生占毕业生总数的32%，去乙厂实习的毕业生比去甲厂实习的少6人，且占毕业生总数的24%。问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数（）。

A．少9人

B．多9人

C．少6人

D．多6人

[解析]如下表所示：假设总人数为100，那么按照比例计算得到甲为32人，乙为24人，因此丙应该是100-32-24=44（人），所以乙比甲少8人，丙比甲多12人。但实际上，乙比甲应该少6人，是假设量“8人”的，所以实际上丙比甲多（人）。

[点睛]“设1法”的关键是题目当中某一类量的大小是不确定的，从头到尾不涉及这一类量的大小。而“比例假设法”的背景是不一样的，“某一类量”的大小其实是确定的，但这一类量在题干中只出现了1次。譬如本题中的人数，题干当中出现了“少6人”这样一个条件，说明各种人数实际上并不是可以随意假定的。在使用“比例假设法”的时候，有两个关键点一定要注意：（1）像“少6人”这样的条件，不能用于推导假设量，只能用于和假设量进行倍数比较；（2）像“人数”这样的条件，题干中只能出现一次，譬如这里的“少6人”，一旦出现了两个“人数”的条件，“比例假设法”是不能使用的。

【例2】（广东2014—38）一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车的行驶速度之比为4∶3。两车相遇后，客车的行驶速度减少10%，货车的行驶速度增加20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站还有17千米。东、西两个车站的距离是（）千米。

A.59.5

B.77

C.119

D.154

[解析]假设两个车站的距离为7千米，两车的速度分别为4千米/小时、3千米/小时，很显然，1小时后两车相遇，相遇地点离东站4千米，离西站3千米。相遇之后，客车速度变为4×（1-10%）=3.6（千米/小时），货车速度变为3×（1+20%）=3.6（千米/小时），两车速度变成一样，所以当客车走3千米到达西站的时候，货车也走了3千米，离东站还有4-3=1（千米），但实际上货车离东站还有17千米，是假设量的17倍，所以两个车站的距离应该是7千米的17倍，即119千米。

【例3】（春季联考2014—50）某有色金属公司四种主要有色金属总产量的为铝，为铜，镍的产量是铜和铝产量之和的，而铅的产量比铝多600吨。问该公司镍的产量为多少吨？（）

A.600

B.800

C.1000

D.1200

[解析]如下表所示：假设总量为15吨，那么根据题干已知的比例，我们可以得到铝为3吨，铜为5吨，那么镍是前两者的，即2吨，剩下5吨为铅，所以铅比铝多2吨。但实际上，铅比铝多600吨，是假设量的300倍，所以实际上镍也应该是假设量2吨的300倍，即600吨。

【例4】（国考2014—62）老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价5%的交易费用后，发现与买进时相比赚了7万元。问老王买进该艺术品花了多少万元？（）

A.84

B.42

C.100

D.50

[解析]假定进价是100万，依下表推导，得盈利14万，实际值为7万，是假设量的一半，所以进价也应该是假设量100万元的一半，即50万元。

【例5】（北京2013—72）一本书有100多页，小王每天看固定的页数，看了18天后，发现未看的页数正好是已看页数的，又看了7天后发现未看的页数正好比已看的页数少100页。问这本书共有多少页？（）

A.180

B.160

C.150

D.120

[解析]假设小王每天看1页，那么18天一共看了18页，而未看的页数正好是已看的，所以未看的页数应该是（页），总共是18+12=30（页）。又看了7天后，总共看了18+7=25（页），未看12-7=5（页），未看的页数比已看的页数少25-5=20（页），而实际上这个差是100页，所以实际值应该是5倍，所以总共有5×30=150（页）。

【例6】（天津2013—8）甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑车速度比公交慢50%，如果一个人坐公交从甲地到乙地，再从乙地步行回甲地一共用了一个半小时，则该人骑车从甲地到乙地需要多长时间？（）

A.10分钟

B.20分钟

C.30分钟

D.40分钟

[解析]假设骑车速度为4，那么步行速度为1，公交速度为8。再假设甲、乙距离为8，那么坐公交去耗时为1，步行回来耗时为8，总耗时为9，而实际上花了1.5小时，是假设值9的，所以甲、乙实际距离应该是，那么骑车耗时为（小时）。

【例7】（上海2013A—60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车30元/辆、中型车15元/辆、小型车10元/辆。某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是5∶6，中型车与小型车的数量比是4∶11，小型车的通行费总数比大型车的多270元，这天的收费总额是（）。

A.7280元

B.7290元

C.7300元

D.7350元

[解析]假设中型车数量为12辆，那么易得大型车应该是10辆，小型车应该是33辆。大、中、小三种车型的总通行费分别为：10×30=300（元）、12×15=180（元）、33×10=330（元），总共为810元，小型车的通行费总数比大型车多330-300=30（元），而实际上这个差是270元，所以实际值应该是假设值的9倍，所以收费总额为810×9=7290（元）。

【例8】（江苏2013B—87）甲、乙、丙三人同去商城购物，甲花的钱的等于乙花的钱的，乙花的钱的等于丙花的钱的，结果丙比甲多花93元，则三人一共花的钱是（）。

A.432元

B.422元

C.429元

D.430元

[解析]鉴于题干的设置，我们先假设丙花的钱为7，容易算得乙花的钱为，再推算出甲花的钱为。由于分数不好计算，我们把三个数字分别乘以9，得到甲、乙、丙三个人花的钱分别为32、48、63，总量为143，丙比甲多31。而实际值丙比甲多93元，是假设量的3倍，所以三人花钱总量的实际值应该是143的3倍，即429元。上述推导过程可参见下表。

【例9】（浙江2013—57）一个总额为100万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来完成，甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为，请问甲分到的项目额为多少万？（）

A.35万

B.40万

C.45万

D.50万

[解析]鉴于四个公司的比例为，我们不妨假设四个公司的项目额就是这四个分数。由于题目问的是甲分到的项目额，我们还可以假设甲的项目额为1，于是我们把上面四个分数同时乘以2，得到1、、、，总量为2.5。而实际值是100，是假设量的40倍，所以甲的实际值应该是40万。

[点睛]把四个比例分别乘以2，是为了使题目要求的甲的假设量恰好为1，这样可以简化一定的计算，但这个不是必要的，直接按照第一次假设量来计算，也是完全可以的。

【例10】（上海2011A—64）A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A城市每立方米水的水费是（）元。

A.2

B.2.5

C.3

D.3.5

[解析]假设A、B两城市的水费分别为5元、4元，那么交水费20元在A、B两城市分别可以使用4和5立方米，只相差1立方米，而题目要求相差2立方米，这要求价格便宜为原来的一半，即分别是2.5元、2元。

[点睛]使用“比例假设法”本质上必须要求下面两个量之间有比例关系：①假设量；②矛盾量。本题中假设量是水价，矛盾量是用水量，这两者之间是反比例而不是正比例关系，所以最后计算比例的时候跟其他题目是一个相反的形式。当然，如果假设量和矛盾量之间没有比例关系，这种方法是不可以使用的。

【例11】（新疆2013—47）某类型灯泡按功率大小划分为不同的型号，不同型号灯泡的功率和平均使用寿命成反比，如果20瓦灯泡的平均使用寿命正好比30瓦灯泡长2400小时，问45瓦灯泡的平均使用寿命比50瓦的灯泡长多少小时？（）

A.240

B.320

C.480

D.1200

[解析]因为“功率和寿命成反比”，说明“功率×寿命”为定值，我们假定这个定值为四个功率的最小公倍数900，那么20、30、45、50瓦的灯泡寿命分别为45、30、20、18，其中20瓦比30瓦寿命长45-30=15，而实际值为2400，是假设值的160倍。在假设条件下，45瓦比50瓦寿命长20-18=2，实际应该长2×160=320。

【例12】（北京2015—77）甲、乙两工厂接到一批成衣订单，如一起生产，需要20天时间完成任务，如乙工厂单独生产，需要50天时间才能完成任务。已知甲工厂比乙工厂每天多生产100件成衣，则订单总量是多少件成衣？（）

A.8000

B.10000

C.12000

D.15000

[解析]假设总量为1000件（四个选项的最大公约数），那么甲、乙的效率和为1000÷20=50（件/天），乙单独效率为1000÷50=20（件/天），所以甲单独效率为50-20=30（件/天），甲每天比乙多生产10件。实际上，甲每天比乙多生产100件，是假设值的10倍，所以实际总量应该是1000件的10倍。

第三节 ★工程问题

一、题型评述

工程问题研究工作量和工作时间、工作效率之间的关系，是近年来考题中最重要、最常考的重点题型之一。

二、破题密钥

基础公式：工作量=工作时间×工作效率；

核心思想：化归为一法（设“1”法）、比例假设法。

三、例题精析

● 题型一：基础计算型

【例1】（天津2013—9）某项工程计划300天完工，开工100天后，由于施工人员减少，工作效率下降了20%，问完成该项工程比原计划推迟了多少天？（）

A.40

B.50

C.60

D.70

[解析]设总工作量为300，则开始时工作效率为1，后来的效率为0.8，先开工100天，完成100个工作量，剩下200个工作量，效率为0.8，需要200÷0.8=250（天），即晚了50天。

【例2】（浙江2013—55）某工厂原来每天生产100个零件，现在工厂要在12天内生产一批零件，只有每天多生产10%才能按时完成工作。第一天和第二天由于部分工人缺勤，每天只生产了100个，那么以后10天平均每天要多生产百分之几才能按时完成工作？（）

A.12%

B.13%

C.14%

D.15%

[解析]每天多生产10%可按时完成，说明总的工作量是100×（1+10%）×12=1320（个）。前两天已经生产了200个，则剩余1120个。剩余的1120个零件要10天完成，则每天做112个，即每天多生产（112-100）÷100=12%，才可以按时完成。

【例3】（安徽2011—9）某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少小时完成？（）

A.1.4

B.1.8

C.2.2

D.2.6

[解析]设工作总量为72，则原效率为8，甲乙或丙丁单独互换后效率均为9，提高1，因此一起互换后效率提高2，变为10，于是完成时间为72÷10=7.2（小时），可提前9-7.2=1.8（小时）。

● 题型二：同时合作型

【例4】（江苏2014B—40）有一项工程，甲、乙、丙分别用10天、15天、12天可独自完成。现三人合作，在工作过程中，乙休息了5天，丙休息了2天，甲一直坚持到工程结束，则最后完成的天数是（）。

A.6

B.9

C.7

D.8

[解析]设工程总量为60，则甲、乙、丙的效率分别为6、4、5。设总天数是x，则：6x+4（x-5）+5（x-2）=60，解得x=6。

【例5】（秋季联考2014—41）A、B、C、D四个工程队修建一条马路，A、B合作可用8天完成，A、C或B、D合作可用7天完成，问C、D合作能比A、B合作提前多少天完成？（）

A.

B.

C.

D.2

[解析]设工作总量=56，则效率A+B=7，效率A+C=B+D=8，得到效率C+D=（A+C）+（B+D）-（A+B）=8+8-7=9；所以C、D合作需要的时间为：，比A、B合作提前 （天）。

【例6】（青海2014—62）某项工程若由甲、乙两队合作需105天完成，甲、丙两队合作需60天，丙、丁两队合作需70天，甲、丁两队合作需84天。问这四个工程队的工作效率由低到高的顺序是什么？（）

A．乙丁甲丙

B．乙甲丙丁

C．丁乙丙甲

D．乙丁丙甲

[解一]设四队效率分别为x、y、z、w，令总工程量为420，则：

，所以由低到高是：乙、丁、甲、丙。[点睛]假设总工程量为420，是因为420是四个时间的最小公倍数。

[解二]我们可以利用下面的表格，来分析四队工作效率的大小关系：

【例7】（山东2013—61）2台大型收割机和4台小型收割机在一天内可收完全部小麦的310 ,8台大型收割机和10台小型收割机在一天内可收完全部小麦。如果单独用大型收割机和单独用小型收割机进行比较，要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用多少台？（）

A.8

B.10

C.18

D.20

[解析]设麦子的总量为100，大型收割机工作效率为x，小型收割机工作效率为y，结合题意可得，解得, 。要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多 （台）。

● 题型三：先后合作型

【例8】（广州2014—36）有一项工程，甲公司花6天，乙公司再花9天可以完成；或者甲公司花8天，乙公司再花3天可以完成。如果这项工程由甲公司或乙公司单独完成，则甲公司所需天数比乙公司少（）天。

A.15

B.18

C.24

D.27

[解析]假设甲、乙效率分别为x、y，令这项工程总量为1，则：

，所以甲、乙单独分别需要9、27天，甲比乙少18天。

【例9】（江西2012—113）某项工程，甲单独完成需要8天，乙需要4天，甲做一半换乙，乙做剩余一半又换甲，甲又做剩余一半再换乙完成，问整个工程花费（）天。

A.5.5

B.6

C.6.5

D.7

[解析]设工作总量为8，那么两人效率分别为1、2。甲、乙交替分别完成4、2、1、1，甲工作总量为5，需要时间为5，而乙工作总量为3，需要时间为1.5天，总共为6.5天。

● 题型四：交替合作型

【例10】某项工程项目由甲项目公司单独完成需要15天，由乙项目公司单独完成需要18天，由丙项目公司单独完成需要12天。现因某种原因改为：首先由甲项目公司做1天，其次由乙项目公司做1天，最后由丙项目公司做1天，然后再由甲项目公司做1天……如此循环往复，则完成该工程项目共需（）天。

A.

B.

C.

D.

[解析]设工程总量为180，则甲、乙、丙的效率分别为12、10、15，合作1轮可完成的工作量为12+10+15=37，合作4轮（12天）可完成的工作量为148，剩余32，不足一轮。甲工作一天后还剩32-12=20，乙再工作一天后还剩20-10=10，此时丙还需要（天）。所以总共需要 （天）。

【例11】（春季联考2014—53）工厂需要加工一批零件，甲单独工作需要96小时完成，乙需要90小时，丙需要80个小时。现在按照第一天甲乙合作，第二天甲丙合作，第三天乙丙合作的顺序轮班工作，每天工作8小时。当全部零件完成时，甲工作了多少小时？（）

A.16 B.

C.32

D.

[解析]设工程总量为96,90,80的最小公倍数：1440=180×8；由此可知甲、乙、丙的效率分别为15、16、18。那么，甲乙一天工作量：（15+16）×8=31×8；甲丙一天工作量：（15+18）×8=33×8；乙丙一天工作量：（16+18）×8=34×8。前三天可以完成：（31+33+34）×8=98×8，剩余82×8；第4天甲乙完成31×8，第5天甲丙完成33×8，剩下18×8由乙丙一天之内可以完成。在整个过程中，甲做了4天，即32小时。

● 题型五：撤出加入型

【例12】（江苏2014A—39）甲乙两个工程队共同修建一段长为2100千米的公路，甲队每天比乙队少修50千米，甲队先单独修3天，余下的路程与乙队合修6天完成，则乙队每天所修公路的长度是（）。

A.135千米

B.140千米

C.160千米

D.170千米

[解析]设乙的效率为x千米/天，则甲的效率为（x-50）千米/天，则：（x-50）×3+（x-50+x）× 6=2100，得x=170（千米/天）。

【例13】（国考2015—61）某农场有36台收割机，要收割完所有的麦子需要14天时间。现收割了7天后增加4台收割机，并通过技术改造使每台机器的效率提升5%。问收割完所有的麦子还需要几天？（）

A.3

B.4

C.5

D.6

[解析]设每台收割机每天的效率为1，则工作总量为36×14，现剩余工作量36×7；增加4台收割机，每台机器效率提升5%后，总效率为：（36+4）×（1+5%）=42。所需时间为：36×7÷42=6（天）。

【例14】（山西、四川2014—53）甲、乙两辆型号不同的挖掘机同时挖掘一个土堆，连续挖掘8小时即可将土堆挖平。现在先由甲单独挖，5小时后乙也加入挖掘队伍，又过了5小时土堆被挖平。已知甲每小时比乙能多挖35吨土，则如果土堆单独让乙挖，需要多少个小时？（）

A.10

B.12

C.15

D.20

[解析]假设甲、乙效率分别为x、y，令工程总量为A，则：

。

[点睛]本题条件既涉及了时间，又涉及了效率的数字“35吨土”，所以如果使用“设1法”任意假设工程总量，或者任一效率的话，一般就会与原数据冲突。不过，本题“35吨土”其实是多余的条件，所以即使假设与之矛盾，也不影响结果的正确。

【例15】（江苏2014C—31）甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们工作5天后完成工程的一半，接着丙退出，甲、乙继续工作3天后又完成剩下工程的一半，然后乙也退出，甲独自工作5天后完成全部工程。若乙单独完成该工程，则需要的天数为（）。

A.20

B.30

C.40

D.60

[解析]假设三人效率分别为x、y、z，令工程总量为4，则：

。

● 题型六：两项工程型

【例16】（黑龙江2014—8）甲乙两个水池大小形状完全相同但排水口径不同，将两个装满水的水池内的水匀速排空分别需要2小时和3小时，早晨5点半两个装满水的水池同时开始排水，到什么时候乙水池中剩余的水量正好是甲水池剩余水量的2倍？（）

A.7点

B.7点半

C.8点

D.6点半

[解析]假设两个水池的容量都是6，那么其排水速度分别为3和2。设h小时之后满足题目条件，那么：（6-3h）×2=6-2h，得h=1.5，所以应该是7点整。

【例17】（山东2014—60）A、B、C三支施工队在王庄和李庄修路，王庄要修路900米，李庄要修路1250米。已知A、B、C队每天分别能修24米、30米、32米，A、C队分别在王庄和李庄修路，B队先在王庄，施工若干天后转到李庄，两地工程同时开始同时结束。问B队在王庄工作了几天？（）

A.9

B.10

C.11

D.12

[解析]总工程量为900+1250=2150（米），总效率为24+30+32=86（米/天），总耗时为2150÷ 86=25（天），那么A队的工程总量为24×25=600（米），所以B队在王庄的工程量为900-600=300（米），耗时300÷30=10（天）。

【例18】（浙江2014—56）夏天干旱，甲、乙两家请人来挖井，阴天时，甲家挖井需要8天，乙家需要10天，晴天时，甲家工作效率下降40%，乙家工作效率下降20%，两家同时开工并同时挖好井，问甲家挖了几个晴天？（）

A.2天

B.8天

C.10天

D.12天

[解析]假设两口井的工程量都为40，那么甲、乙阴天的工作效率分别为5、4，而晴天时分别变为3、3.2。假设一共有x个晴天，y个阴天，则：。

【例19】（山西、四川2014—65）甲、乙、丙三个工厂承接A和B两批完全相同的加工订单，如果甲厂和乙厂负责A订单而丙厂负责B订单，则丙厂要比甲厂和乙厂晚15天完成；如果在上述条件下甲厂分配13的生产资源或者乙厂分配15的生产资源用于B订单的生产，则A、B两个订单同时完成。问如果合并三个工厂的生产能力，第几天可以完成A订单的生产任务？（）

A.22

B.24

C.25

D.26

[解析]令两个订单总量都为1，三厂的工作效率分别为x、y、z，则：

，第26天完成。

【例20】（秋季联考2014—42）一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完A列火车的货物所需的时间是B列火车的2倍。他们从上午10点开始工作，全组人先一起卸载A列火车的货物，到12:30时，分出一半人去卸载B列火车的货物，下午14点时，A列火车的货已卸载完，B列火车剩下的货物需要14人共同工作1小时才能卸载完。如该组工人每人的工作效率相同，则该组工人一共有多少人？（）

A.28

B.24

C.20

D.16

[解析]令每人每小时的工作效率为1，假设总人数为2n人，分析如下表：

● 题型七：三项工程型

【例21】（国考2012—77）某项工程由A、B、C三个工程队负责施工，他们将工程总量等额分成了三份同时开始施工。当A队完成了自己任务的90%, B队完成了自己任务的一半，C队完成了B队已完成任务量的80%，此时A队派出的人力加入C队工作。问A队和C队都完成任务时，B队完成了其自身任务的（）。

A.80%

B.90%

C.60%

D.100%

[解析]设工作总量为300，每一份都是100，则A队完成90时，B队完成50, C队完成40。说明三队的效率之比为90∶50∶40，不妨假设三队分别有90、50、40人，每人每天的效率都是1。A队派出的人力（60人）加入C队后，三队人数变成30、50、100。A队完成剩下工作需要（天）, C队完成剩下工作需要60÷100=0.6（天），说明A、C队都完成显然是0.6天之后，这段时间B队又完成了0.6× 50=30，总共完成了50+30=80，即80%。

本章习题训练

[习题01]（春季联考2012—62）某网店以高于进价10%的定价销售T恤，在售出23后，以定价的8折将余下的T恤全部售出，该网店预计盈利为成本的（）。

A.3.2%

B．不赚也不亏

C.1.6%

D.2.7%

[习题02]（国考2012—71）2010年某种货物的进口价格是15元/公斤，2011年该货物的进口量增加了一半，进口金额增加了20%。问2011年该货物的进口价格是多少元/公斤？（）

A.10

B.12

C.18

D.24

[习题03]（新疆兵团2013—55）甲、乙两个水池中分别有一定量的水，两个水龙头以相同的速度往两个水池中放水。1小时后，甲水池中的水是乙水池的4倍，又过了一个小时后，甲水池中的水是乙水池的3倍。此时如关闭甲水池上的水龙头，那么，再经过多少小时后，甲、乙两个水池中的水相等？（）

A.4

B.3

C.8

D.6

[习题04]（秋季联考2012—50）某街道常住人口与外来人口之比为1∶2，已知该街道下辖的甲、乙、丙三个社区人口比为12∶8∶7。其中，甲社区常住人口与外来人口比为1∶3，乙社区为3∶5，则丙社区常住人口与外来人口比为（）。

A.2∶3

B.1∶2

C.1∶3

D.3∶4

[习题05]（广东2012—8）某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝每小时为52名男员工35名女员工量体。几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还有24名男员工没有量体。若男女员工的比例为11∶7，则该企业共有多少名员工？（）

A.720

B.810

C.900

D.1080

[习题06]（北京2012—75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54元。问该商品原来的售价是多少元？（）

A.324

B.270

C.135

D.378

[习题07]（新疆2013—48）三个小组，如果抽调A组人数的到C组，则A组剩余人数是C组的，如果抽调C组人数的到B组，则C组剩余人数是B组的，已知A组人数比B组多10人，问三组共有多少人？（）

A.130

B.140

C.150

D.160

[习题08]（国考2011—78）某城市共有A、B、C、D、E五个区，A区人口是全市人口的,B区人口是A区人口的,C区人口是D区和E区人口总数的,A区比C区多3万人。全市共有多少万人？（）

A.20.4

B.30.6

C.34.5

D.44.2

[习题09]（江苏2012B—86）小李乘公共汽车去某地，车行过一半路程时，小李把座位让给一位老人后一直站着，离终点还剩3千米时，他又坐下，在这次乘车过程中，他站的路程是坐着的路程的三分之一，则小李这次乘车的全程为（）。

A.8千米

B.9千米

C.12千米

D.14千米

[习题10]（北京2013—83）小张和小赵从事同样的工作，小张的效率是小赵的1.5倍。某日小张工作几小时后小赵开始工作，小赵工作了1小时之后，小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。再过几个小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍？（）

A.1

B.1.5

C.2

D.3

[习题11]（重庆2013—99）甲、乙、丙三人共同完成一项工程用了6小时，如果甲与乙的效率之比为1∶2，乙与丙的效率之比为3∶4，则乙单独完成这项工程需要多少小时？（）

A.10

B.17

C.24

D.31

[习题12]（浙江2013—60）一口水井，在不渗水的情况下，甲抽水机用4小时可将水抽完，乙抽水机用6小时可将水抽完。现用甲、乙两台抽水机同时抽水，但由于渗水，结果用了3小时才将水抽完。问在渗水的情况下，用乙抽水机单独抽，需几小时抽完？（）

A.12小时

B.13小时

C.14小时

D.15小时

[习题13]（深圳2012—12）如果甲、乙、丙三个水管同时向一个空水池灌水，1小时可以灌满。甲、乙两个水管一起灌水，1小时20分钟灌满。丙单独灌满这一池的水需要（）小时。

A.3

B.4

C.5

D.6

[习题14]（春季联考2012—65）一项工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天，甲、乙、丙三人共同完成该工程需（）。

A.10天

B.12天

C.8天

D.9天

[习题15]（贵州2012—31）甲、乙、丙三个工程队完成一项工作的效率比为2∶3∶4。某项工程，乙先做了后，余下交由甲与丙合作完成，3天后完成工作。问完成此工程共用了多少天？（）

A.6

B.7

C.8

D.9

[习题16]（秋季联考2010—94）单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间？（）

A.13小时40分钟

B.13小时45分钟

C.13小时50分钟

D.14小时

[习题17]（四川2013—60）建筑公司安排100名工人去修某条路，工作2天后抽调30名工人，又工作了5天后再抽走20名工人，总共用时12天修完。如果整条路希望在10天内修完，且中途不得增减人手，则要安排多少名工人？（）

A.80

B.90

C.100

D.120

[习题18]（新疆2013—43）水池有A、B、C三个进水口，其中A为主进水口，进水速度是另外两个之和的2倍，而单独开B口需要50小时加满空的水池，如B、C两口同时打开10小时后再打开A口，则还需要5小时加满，问如A、C两口同时打开，需要几个小时加满空的水池？（）

A.5

B.5.5

C.9

D.10

[习题19]（北京2012—85）某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3∶4∶5。甲队单独完成A工程需要25天，丙队单独完成B工程需要9天。现由甲队负责B工程，乙队负责A工程，而丙队先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮助乙队工作多少天？（）

A.6

B.7

C.8

D.9

[习题20]（春季联考2013—50）早上7点两组农民开始在麦田里收割麦子，其中甲组20人，乙组15人。8点半，甲组分出10人捆麦子；10点，甲组将本组所有已割的麦子捆好后，全部帮乙组捆麦子；如果乙组农民一直在割麦子，什么时候乙组所有已割的麦子能够捆好？（假设每个农民的工作效率相同）（）

A.10:45

B.11:00

C.11:15

D.11:30

[习题21]（国考2014—75）甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。已知甲队单独完成A项目需13天，单独完成B项目需7天；乙队单独完成A项目需11天，单独完成B项目需9天。如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务？（）

A.天

B.天

C.天

D.天

[习题22]（上海2012A—57）某车间三个班组共同承担一批加工任务，每个班组要加工100套产品。因为加工速度有差异，一班组完成任务时二班组还差5套产品没完成，三班组还差10套产品没完成。假设三个班组加工速度都不变，那么二班组完成任务时，三班组还剩（）套产品未完成。

A.5

B.

C.

D.

本章习题训练详解

[习题01]D [简析]假设进价为10，则利润为1，定价为11，假设销量为3，则可得，最终的收入为2×11+11×0.8=30.8，总成本为30，所以最终的利润率为0.8÷30=2.7%。

[习题02]B [简析]假设进口量从2公斤增加到了3公斤，原来的金额为2×15=30（元）,2011年的金额变成了30×（1+20%）=36（元），那么新的单价为36÷3=12（元/公斤）。

[习题03]D [简析]设水龙头注水速度为1，甲、乙水池原有水量分别为x、y。那么：

，此时两个水池水量分别为9、3，相差6。

[习题04]D [简析]设甲、乙、丙社区分别有12、8、7人，则街道总人数为27人。根据已知比例，常住人口与外来人口分别有9人和18人。甲社区常住人口与外来人口分别有3人和9人，乙社区常住人口与外来人口分别有3人和5人，则丙社区常住人口与外来人口分别有9-3-3=3（人）和18-9-5=4（人），比例为3∶4。

[习题05]A [简析]男女员工的比例为11∶7=55∶35，假设企业有男员工55人，女员工35人，等到量完所有女员工尺寸时，男员工剩余3人没有量体，实际上是24人没有量体，所以实际值是假设值的8倍。该企业共有员工8×（55+35）=720（人）。

[习题06]D [简析]假设进价为10元，那么原来售价为14元，新的售价为12元，降低了2元。实际上降低了54元，说明实际值是假设值的27倍，那么原来售价应该是14×27=378元，选择D。

[习题07]C [简析]根据题意，我们假设“抽调A组人数的到C组”后，A、C组分别为9人、11人，那么A组抽调之前应该是12人，C组之前为8人。如果“抽调C组人数的到B组”，那么C组少2人，变成6人，由于“C组剩余人数是B组的”，说明B组新人数为12人，原人数为10人。综上，三组原有人数分别为12、10、8人，总共是30人。在我们的假设下，A比B多2人，而实际上A比B多10人，是假设值的5倍，所以实际总人数为30×5=150，选择C。

[习题08]D [简析]根据条件，我们假设全市人口为17万，其中A区占5万，那么B区占2万，还剩下10万是C、D、E区的总和。C∶（D+E）=5∶8，说明C占“C、D、E总和”的。为避免分数计算，我们重新假设：全市为17×13万，那么A区5×13万，B区2×13万，C、D、E区总和10×13万（前面得到的数字统一乘以13即可），而C占其，为万。所以A比C多5×13-50=15万。但实际上只多了3万，所以所有数字应该除以5才是实际值，全市应该有17×13÷5=44.2（万人）。

[习题09]C [简析]因为小李站的路程是坐着的路程的，说明全程的他是站着的，是坐着的。如果全程总共4千米，那么小李应该坐了3千米，车行一半路程已经坐了2千米，那么需要离终点1千米时重新坐下，而实际值是3千米，3倍关系，说明全程应该是4×3=12（千米）。

[习题10]C [简析]假设小张、小赵工作效率分别为3、2，当小赵工作了1小时之后，其工作总量为2，小张的工作量是其9倍，应该为18。假设t小时为所求，那么18+3t=（2+2t）×4，解得t=2，选择C。

[习题11]B [简析]根据题设，我们假设乙的效率为6，那么甲的效率应该是3，丙的效率应该是8，所以工程总量应该为6×（6+3+8）=102，说明乙单独完全需要102÷6=17（小时），选择B。

[习题12]A [简析]设水井水量为12，则甲的效率为12÷4=3，乙的效率为12÷6=2。甲、乙加上渗水的总效率为12÷3=4，易得渗水的效率为1，那么乙单独工作需要12÷（2-1）=12（小时），选择A。

[习题13]B [简析]题目已知两个时间分别是60、80分钟，所以我们假设工作总量为240，那么甲、乙、丙的工作效率之和为：240÷60=4，甲、乙效率之和为240÷80=3，那么丙的效率应该是1，单独灌满需要240÷1=240（分钟），即4小时，选择B。

[习题14]A [简析]假设工作量为90，那么甲效率=90÷30=3，甲效率+乙效率=90÷18=5，乙效率+丙效率=90÷15=6，易知三人效率分别为3、2、4，则三人合作需要：90÷（3+2+4）=10（天），选择A。

[习题15]A [简析]设甲、乙、丙工作效率分别为2、3、4，甲和丙3天可以完成（2+4）×3=18，说明工作总量为，乙完成了9，需要时间为3天，所以总共需要6天，选择A。

[习题16]B [简析]假设工作总量为48，那么甲、乙的效率分别应该为3、4，甲、乙一个周期下来可以完成工作量7，那么六个周期（12小时）可以完成工作量42，此时剩余工作量6，还需要甲完成1小时（工作量3）、乙完成45分钟（工作量3）。因此，总完成时间为13小时45分钟。

[习题17]A [简析]设每名工人的工作效率为1，则这条路的工作量为100×2+70×5+50×5=800，若工作时间为10天，则工作效率为800÷10=80，即需要安排80人。

[习题18]D [简析]假设水池可以容纳的水量为100，那么B口每小时的进水量为2，设C口每小时的进水量为x，那么A口进水速度为（2x+4），根据题意有：100=（x+2）×10+（2x+4+x+2）× 5，解得x=2，那么A口每小时的进水量为2×（2+2）=8，若A、C两口同时打开，所求时间为100÷（8+2）=10（小时）。

[习题19]B [简析]假设甲、乙、丙工作效率分别为3、4、5，则A工程的工作量为25×3=75; B工程为5×9=45。工作总量为120，而工作效率总和为12，所以一共需要10天。10天里，乙完成了A工程的10×4=40，还剩75-40=35是丙帮忙完成的，丙用了35÷5=7（天），选择B。

[习题20]B [简析]假设每个农民割麦子的效率为1，由题意，甲组割麦子的总量为20×1.5+10× 1.5=45，故每个农民捆麦子的效率为45÷（1.5×10）=3。设从10点之后经过x小时，乙组的麦子全部捆好，那么乙组割麦子的总量为15×（3+x），捆麦子总量为20×3×x，二者应该相等，解得x=1。所以，11:00时麦子可以全部捆好，选择B。

[习题21]D [简析]根据效率分析，甲完成B项目、乙完成A项目比较有优势。7天之后，甲完成了B项目，乙完成了A项目的。说明此时A项目还剩，那么两队共同完成还需要 （天），即天，选择D。

[习题22]D [简析]方法一：一班组完成100套时，二班组、三班组分别完成95套、90套，可以假设他们的效率分别为100、95、90。那么二班组完成任务还需要（天），这段时间三班组还能完成，还剩余（套），选择D。

方法二：二班组还差5套时，三班组还差10套。由于二班组比三班组速度要快，所以二班组完成最后5套的时间，三班组完成量应该低于5套，所以其剩余量应该高于5套，选择D。