2.3 PID调节器的阶跃响应和频率特性

2.3.1 PID调节器的阶跃响应

上面讨论的PID电路的阶跃响应可利用其传递函数通过拉普拉斯反变换求得，但在已有PI和PD电路阶跃响应图2-4及图2-7的条件下，直接近似地给出，其物理概念反而清楚易记。我们知道，微分作用的效果主要出现在阶跃信号输入的瞬间，而积分作用的效果则是随时间而增加的。若积分时间Ti比微分时间Td大得多，那么在阶跃信号刚加入的一段时间内，微分将起主要作用，而积分分量很小，可以忽略不计；但随着时间的推移，积分分量越来越大，微分分量越来越小，最后可以完全忽略。这样，微分和积分可以分阶段考虑，PID调节器的阶跃响应如图2-10所示。

图2-10中输出曲线的初始一段与图2-7相同，输出曲线的后面一段与图2-4相同。整个曲线可看成由比例项、积分项及有限制的微分项三部分相加而得的，由于微分增益Kd为有限值，限制了输出曲线在初始瞬间跳变的幅度；而积分增益Ki的有限性，则限制了积分输出的最终幅度。

这样的阶跃响应表明，当调节器输入端出现偏差信号时，首先由微分和比例作用产生跳变输出，迅速做出反应；此后如果偏差仍未消失，那么随着微分作用的衰减，积分效果与时俱增，直到静差消除为止。当然在实际生产过程中，偏差总是不断变化的，因此比例、积分、微分作用在任何时候都是协调配合地工作的。

2.3.2 PID调节器的频率特性

虽然PID调节器具体电路和结构有各种各样，但其传递函数总可表示为式（2-16）的形式。其频率特性不难由此传递函数导出。为了便于掌握主要概念，可先忽略干扰系数的作用，即假定F=1，这样，式（2-16）可表示为

式中，P为调节器的比例度；Ti、Td分别为积分时间和微分时间；Ki、Kd分别为积分增益和微分增益。

将s=jω代入式（2-19），两边取对数、且乘以20，求其对数幅频特性为

考虑到实际参数值Ki≫1，Kd＞1，Ti＞Td，对数幅频特性可分段近似作出。

在低频段，因Tdω≪1，微分项可忽略，式（2-20）可近似为

当频率很低，即时，式（2-21）可近似为

即在频率很低时，L（ω）为一个常数，对数幅频特性为一条水平直线。

当时，式（2-21）可近似为

随着ω的增加，幅频特性L（ω）是以每十倍频程20分贝的斜率下降。在，L（ω）的近似值为。

当时，若微分项仍可忽略，则

即L（ω）又成为常数，幅频特性成为水平直线。

在高频段，因，式（2-20）中可忽略积分项而近似为

当频率很高，时，

即在频率很高的一段，对数幅频特性为水平直线。

当时，

这是一条随ω增高，以每十倍频程20分贝斜率上升的斜线。

在时，若积分作用的项仍可忽略，则

即L（ω）又成为与频率无关的水平线。它在ω=1/Td和ω=1/Ti处分别与幅频特性的上升段和下降段相接。

通过这样的分析，可以绘出实际的PID调节器的对数幅频特性，如图2-11实线所示，它由两段斜线和三段水平线组成，四个转折频率分别为ω1=1/KiTi，ω2=1/Ti，ω3=1/Td，ω4=Kd/Td。其相应的相频特性可由最小相位系统的幅特性与相特性的关系推出，如图2-11中曲线φ（ω）所示。该图中，还用虚线给出了式（2-5）表示的“数学上理想”PID运算装置的对数幅频特性和相频特性。

由图2-11可知，作为通用型串联校正装置的PID调节器加入控制系统后，依靠积分作用，可使系统闭环传递函数在低频段的增益大大提高，从而把调节静差减小到接近于零。在高频段，依靠微分作用，可在系统截止频率附近增加正相移，改善系统的稳定性，并展宽频带，提高调节动作的快速性。在使用中，根据不同的控制对象，可选择合适的PID参数，满足绝大多数控制系统的要求。由于使用方便，概念清晰，获得极为广泛的应用。