2.2 数控装置的插补原理

2.2.1 概述

1．插补（Interpolation）的概念

零件的轮廓形状是由各种线型（如直线、圆弧、螺旋线、抛物线、自由曲线等）构成的，其中最主要的是直线和圆弧。加工各种形状的零件轮廓时，必须控制刀具相对工件以给定的速度沿指定的路径运动，即控制各坐标轴按某一规律协调运动，数控装置的这一功能称为插补功能。平面曲线的运动轨迹需要两个运动来协调，空间曲线或立体曲面则要求三个以上的坐标产生协调运动。

用户在零件加工程序中，一般仅提供线型的起点、终点、加工方向，以及描述该线型所必需的相关参数，如对直线，提供其起点和终点；对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆，以及圆心相对于起点的位置。因此，为了实现轨迹控制，必须在运动过程中实时计算出满足线型要求的若干中间点（在起点和终点之间）。这就是数控技术中插补的概念。所谓插补就是根据给定的进给速度和轮廓线型的要求，在轮廓的起点和终点之间，插入一些中间点的方法，这种方法称为插补方法或插补原理。而对于每种方法（原理）又可能有不同的计算方法来实现，这种具体的计算方法称之为插补算法。

插补实质上是根据有限的信息完成“数据点的密化”工作。它有两层意思：一是用小线段逼近产生基本线型（如直线、圆弧等）；二是用基本线型拟和其他轮廓曲线。

轮廓控制系统正是因为有了插补功能，才能加工出各种形状复杂的零件。可以说插补功能是轮廓控制系统的本质特征。因此，插补算法的优劣，将直接影响CNC系统的性能指标。

2．插补算法的分类

目前常用的各种插补算法大致分为两类：

（1）脉冲增量插补（行程标量插补、基准脉冲插补）

这类插补算法是以脉冲形式输出，每插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动，每发出一个脉冲，工作台移动一个基本长度单位（脉冲当量），脉冲当量是脉冲分配的基本单位。

脉冲增量插补算法的特点如下。

① 每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个脉冲当量），以一个个脉冲的方式输出给步进电机。其基本思想是：用折线来逼近曲线（包括直线）。

② 由于脉冲增量插补的转轴的最大速度受插补算法执行时间限制，因而进给速度指标难以提高，当脉冲当量为10μm时，采用该插补算法所能获得最高进给速度是4～5m/min。

③ 脉冲增量插补的实现方法较简单，通常仅用加法和移位运算方法就可完成插补。因此它比较容易用硬件来实现，而且，用硬件实现这类运算的速度很快。随着计算机技术的迅猛发展，目前多采用软件完成这类算法。脉冲的累积值代表运动轴的位置，脉冲产生的速度与运动轴的速度成比例。

这类插补算法有逐点比较法、最小偏差法、数字积分法、目标点跟踪法、单步追踪法等。它们主要用在早期采用步进电机驱动的数控系统。由于此算法的速度指标和精度指标都难以满足现在零件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法了。

（2）数据采样插补（时间标量插补、数字增量插补）

这类算法插补结果输出的不是脉冲，而是标准二进制数。采用时间分割思想，根据编程的进给速度将轮廓曲线分割为每个插补周期的进给直线段（又称轮廓步长）进行数据密化，以此来逼近轮廓曲线。然后再将轮廓步长分解为各个坐标轴的进给量（一个插补周期的进给量），得到坐标轴相应的指令位置，与通过位置采样所获得的坐标轴现时的实际位置（数字量）相比较，求得跟随误差。位置伺服软件将根据当前的跟随误差算出适当的坐标轴进给速度指令，输出给伺服驱动装置，实现坐标轴的进给。

数据采样插补算法的特点如下。

① 插补程序以一定的时间间隔（插补周期）定时运行，在每个周期内根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量（数字量）。其基本思想是：用直线段（内接弦线，内外均差弦线，切线）来逼近曲线（包括直线）。

② 进给速度与插补运算速度无严格的关系。因而采用这类插补算法时，可达到较高的进给速度（一般可达到10m/min以上）。

③ 数字增量插补的实现算法较脉冲增量插补复杂，它对计算机的运算速度有一定的要求，不过现在的计算机均能满足它的要求。

这类插补方法有数字积分法（DDA）、二阶近似插补法、双DDA插补法、角度逼近插补法、时间分割法等。这些算法大多是针对圆弧插补设计的。这类插补算法主要用于交、直流伺服电机为伺服驱动系统的闭环、半闭环数控系统，也可用于以步进电机为伺服驱动系统的开环数控系统。目前所使用的CNC系统中，大多数都采用这类插补方法。

2.2.2 逐点比较法插补

逐点比较法是脉冲增量插补算法最典型的代表，它是一种最早的插补算法。它的基本原理是，在刀具按要求轨迹运动加工零件轮廓的过程中，不断比较刀具与被加工零件轮廓之间的相对位置，并根据比较结果决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向进给，且只有一个方向的进给。也就是说，逐点比较法每走一步都要和给定轨迹比较一次，根据比较结果来决定下一步的进给方向，周而复始，直到全部结束，使之趋近于加工轨迹。

逐点比较法又称区域判别法或醉步式近似法，可以实现直线和圆弧插补。逐点比较法的特点是运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，而且输出脉冲均匀，输出脉冲的速度变化小，调节方便，但不易实现两坐标以上的插补，因此主要在两坐标开环CNC系统中应用。

1．逐点比较法直线插补

（1）判别函数及判别条件

如图2-7所示，对XY平面第一象限直线段进行插补。直线段起点位于坐标原点O，终点位于A（Xe，Ye）。设点P（Xi，Yi）为任一动点。

若P点在直线OA上，则：XeYi-XiYe=0；

若P点在直线OA上方，则：XeYi-XiYe>0；

若P点在直线OA下方，则：XeYi-XiYe<0。

定义F=XeYi-XiYe偏差函数，则可得到如下结论。

① 当F=0时，加工点P落在直线上；

② 当F>0时，加工点P落在直线上方；

③ 当F<0时，加工点P落在直线下方。

（2）进给方向判别

① 当F>0时，应该向+X方向发一脉冲，使刀具向+X方向前进一步，以接近该直线。

② 当F<0时，应该向+Y方向发一脉冲，使刀具向+Y方向前进一步，以接近该直线。

③ 当F=0时，既可以向+X方向发一脉冲，也可以向+Y方向前进一步。但通常将F=0和F>0做同样的处理，即都向+X方向发一脉冲。

（3）迭代法偏差函数F的推导

为了减少计算量，通常采用迭代法计算偏差函数 F：即每走一步，新加工点的偏差用前一点的偏差递推出来。

① F≥0时，应向+X发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi，Yi）向+X方向前进一步，达到新加工点（Xi+1，Yi），则新加工点的偏差值为

Fi+1，i=XeYi-Xi+1Ye=XeYi-(Xi+1)Ye=XeYi-XiYe-Ye=F-Ye

② F<0时，应向+Y发出一进给脉冲，刀具从现加工点（Xi，Yi）向+Y方向前进一步，达到新加工点（Xi+1，Yi），则新加工点的偏差值为

Fi+1，i=XeYi+1-XiYe=Xe(Yi+1)-XiYe=XeYi-XiYe+Xe=F+Xe

（4）插补步骤

逐点比较法插补过程中每进给一步都要经过如下这四个节拍的处理，如图2-8所示。

① 偏差判别。判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏差情况，也就是说通过偏差符号来确定加工点处于规定轮廓的外面还是里面，并以此决定刀具的进给方向。

② 坐标进给。根据偏差判别结果，控制相应坐标轴进给一步，使加工点向规定轮廓靠拢，从而减小其间偏差。

③ 偏差计算。刀具进给一步后，计算新的加工点与规定轮廓之间新的偏差，作为下一步偏差判别的依据。

④ 终点判别。每进给一步都要修正总步数，并判别刀具是否到达被加工零件轮廓的终点，若到达则结束，否则继续循环以上四个节拍，直至终点为止。终点判别可采用两种方法，一是每走一步判断Xi-Xe≥0及Yi-Ye≥0是否成立，如成立，则插补结束否则继续；二是把每个程序段中的总步数求出来，即n=|Xe|+|Ye|，每走一步n-1，直到n=0为止。

（5）逐点比较法直线插补实例

例 设欲加工的直线位于XY平面的第一象限，直线的起点坐标为坐标原点，终点坐标为Xe=5，Ye=3。试用逐点比较法对该段直线进行插补，并画出插补轨迹。

解：插补运算过程见表2-1，表中Xe，Ye是直线终点坐标，n为总步数，n=|Xe|+|Ye|=8。插补进给过程如图2-9所示。

2．逐点比较法圆弧插补

（1）判别函数及判别条件

如图2-10所示为第一象限逆圆弧，圆心为原点，起点A（X0，Y0），终点B（Xe，Ye），圆弧半径为R，P（Xi，Yi）为任一加工点。其偏差函数为

根据加工点所在区域的不同，有下列三种情况。

① 当F=0时，加工点P落在圆弧上；

② 当F>0时，加工点P落在圆弧外侧；

③ 当F<0时，加工点P落在圆弧内侧。

（2）进给方向判别

① 当F>0时，应该向X轴发出一负方向运动的进给脉冲使刀具向圆弧内走一步；

② 当F<0时，应该向Y轴发出一正方向运动的进给脉冲，使刀具向圆弧外走一步；

③ 当F=0时，既可以向X轴方向发一负方向运动的进给脉冲，也可以向Y轴方向发一负方向运动的进给脉冲，但通常将F=0和F>0做同样的处理。

（3）迭代法偏差函数F的推导

① 设加工点P在圆弧外侧或圆弧上，则加工偏差F≥0，刀具需向X坐标负方向进给一步，即移动到新的加工点P（Xi+1，Yi）。新加工点的偏差为

② 设加工点P在圆弧内侧，则加工偏差F<0，刀具需向Y坐标正方向进给一步，即移动到新的加工点P（Xi，Yi+1）。新加工点的偏差为

（4）逐点比较法圆弧插补终点判别

和直线插补一样，逐点比较法圆弧插补除偏差计算外，还要进行终点判别。终点判别有两种方法。

① 插补运算开始前计算出两个坐标进给的总步数N，N=|Xe-X0|+|Ye-Y0|，在插补过程中，X或Y每走一步，就从总步数N中减1，当N=0时，表示到达终点。

② 插补前分别计算两个坐标进给的总步数Nx和Ny，其中Nx=|Xe-X0|，Ny=|Ye-Y0|，当X坐标进给一步时，计算Nx-1，当Y坐标进给一步时，计算Ny-1，两坐标进给的总步数均减为零时，表示到达终点。

（5）逐点比较法圆弧插补实例

例 现欲加工第一象限逆圆弧AB，如图2-11所示，圆弧的起点为A（10，0），终点为B（6，8），试用逐点比较法进行插补，并画出插补轨迹。

解：终点判别值为N=|XB-XA|+|YB-YA|=|6-10|+|8-0|=12，插补运算过程和刀具运动轨迹分别如表2-2和图2-11中折线所示。

3．坐标变换及自动过象限处理

（1）逐点比较法直线插补的象限与坐标变换

前面介绍的逐点比较法进行直线插补的原理、计算公式，只适用于第1 象限。对于不同的象限，要做不同的处理。对于1、3象限的直线，当F≥0时，都向X坐标发脉冲，当F<0时，都向Y坐标发脉冲，之间的差别只是发脉冲的方向不同。对于2、4象限的直线插补，不但要考虑分配脉冲的方向，还要考虑坐标轴的变换。表2-3为各个象限直线插补脉冲分配规律。

（2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换

各象限的顺、逆圆弧插补都可以采用第一象限逆圆弧的插补计算公式，至于沿着哪一个坐标轴进给，向哪一个方向进给可以根据圆弧所在的象限及其走向决定，表2-4所示为8种圆弧插补的脉冲分配规律。

（3）圆弧插补自动过象限处理

为了加工两个象限或两个以上象限的圆弧，圆弧插补程序必须具有自动过象限功能。自动过象限程序包括象限边界处理、过象限判断及数据处理等模块。

① 象限边界处理。在进行过象限判别之前，必须进行象限的边界处理。象限边界处理就是判别数值“0”的符号。对于逆时针圆弧（G03）：

如果X0为“0”，那么X0的符号与Y0的符号相反；

如果Xe为“0”，那么Xe的符号与Ye的符号相同；

如果Y0为“0”，那么Y0的符号与X0的符号相同；

如果Ye为“0”，那么Ye的符号与Xe的符号相反。

对于顺时针圆弧，数值“0”符号的判别规律与上述规律相反。

② 过象限判断。当X0与Xe的符号相反或Y0与Ye的符号相反时，表明起点和终点不在同一象限内，需要过象限处理。当X0与Xe、Y0与Ye的符号分别相同时，表明起点和终点在同一象限内。若要过象限则需过四次象限，此时可用表2-5进行判断。

③ 过象限处理。过象限处理就是对跨象限圆弧加工过程中边界点进行处理。所谓边界点就是指跨象限圆弧与坐标轴的交点。边界点的处理是把圆弧起点所在象限的边界点作为本段圆弧的插补终点，再把这一点作为下一象限圆弧插补的起点，其他边界点的处理可依次类推。

4．逐点比较法合成进给速度

刀具的进给速度是插补方法的重要性能指标，也是选择插补方法的依据。逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲，就进给一步，不是发向X轴，就是发向Y轴，如果fg为脉冲源频率（Hz），fx，fy分别为X轴和Y轴进给频率（Hz），则

而X轴和Y轴的进给速度（mm/min）为

v x=60 δf x v y=60 δf y

式中，δ 为脉冲当量（mm/脉冲）。

合成进给速度为

上式中若fx=0或fy=0时，也就是刀具沿平行于坐标轴的方向切削，这时对应切削速度最大，相应的速度称为脉冲源速度vg，脉冲源速度与程编进给速度相同。

v g=60 δf g

合成进给速度与脉冲源速度之比为

由上式可知，由编程进给速度确定了脉冲源频率 fg后，实际获得的合成进给速度v并不总等于脉冲源的速度vg，而与角α 有关。插补直线时，α 为加工直线与X轴的夹角；插补圆弧时，α 为圆心与动点的连线和X轴夹角。根据上式可作出v/vg随α而变化的曲线，如图2-12所示，v/vg=0.707～1，最大合成进给速度与最小合成进给速度之比为 vmax/vmin=1.414，对一般机床来讲可以满足要求，认为逐点比较法的进给速度是比较平稳的。