2.2 古怪的二进制计数法

坦率地说，我们要在这一节里讨论如何数数。比如，要是我问在图2.5中一共有几棵树，那么所有人都会说是十二棵。

很简单，是吗？问题是，为什么我们要把十二写成“12”，而不是“#%”或者其他别的符号呢？老实说，就像对待电的问题一样，我们经常习惯于适应和被动接受，而不是问个为什么。

把十二棵树记做“12”，我们平时使用的这种方法叫十进制记数法。十进制计数法只有十个符号：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，但是却可以表示任意的数，比如一年有“365”天、月亮距离地球“384000”千米、珠穆朗玛峰的高度为“8844.43”米，等等。很显然，十进制记数法的奥秘在于组合，也就是用上面所列的10个符号来拼凑出各种不同的数。

十进制有10个符号，“9”是最大的。当要表示更大的数，比如十只烤鸭时，因为没有更多的符号可用，只能将“9”变成“0”，然后向左进一位，所以烤鸭的数量就可以记做“10”。如图2.6所示，当满十的时候就向前进位，这就是十进制记数法的由来。

2050年的一天，我在互联网上看到了一则报道，说是在神农架真的发现了野人。这个消息不胫而走，轰动一时，从那以后到神农架的人络绎不绝，为的都是一睹野人风采。

神农架位于湖北省西部靠近四川的位置，那里以神秘的原始森林著称，据说还有野人。但野人到底是什么样子，以前谁也没有真正见过。受好奇心的驱使，同时也因为那里离我的老家不远，我决定约我北京的朋友董宇和我一起前往神农架探个究竟。

正如网上所报道的，神农架里真的有野人部落存在。令人遗憾的是，由于这里每天都有数不清的旅游者，受他们的影响，我们已经看不到野人的原始生活状态了。

“感谢你们，”一个叫张三的“野人”对我们说，“在你们的帮助下，我们已经学会了外面的语言。但是有一个问题让我非常烦恼，你们俩能帮帮我吗？”

我们当然愿意为他提供帮助。在张三说明情况之后，我们才明白是怎么回事儿。原来他们尽管学会了汉语，但是对于计数一窍不通。

“我们现在是这样计数的，”张三说，“邻居李四前天来向我借米，我借给他了，账在这里。”说着他从一堆绳子里拿出一根来，指着上面的疙瘩，又拿起一只碗向我们晃了晃。

“他们是在用绳结计数，”董宇解释说，“绳子上打了5个结，他的意思是李四借了他5碗米。当然，如果米还了，他会把这些结解开。我认为我们应该帮帮他们，否则再这样下去，他就不用再待在这里，而是到武汉这样的大城市开绳子铺了。”

帮助人的确能够令人感到快乐，既然我们有能力做到这些，同时又能融入他们中间，那何乐而不为呢！

“野人”们的悟性真好啊，我只花了很少的时间就让他们明白了0和1。我在地上画一个圆圈，对他们说它的意思是“什么也没有”；然后又画一竖，说它代表的是一碗米。

这是一个非常好的开端，按照我的想法，用不了多久，“野人”们就能学会我们的计数方法。可是当我指着两碗米，在地上画了个“2”的时候，他们不干了。他们七嘴八舌，说是照这样下去，他们将不得不记住比碗里面的米粒还要多的符号。

“用不了那么多，你们只需要记住很少的几个就行了。”我对他们说道。同时挥挥手企图让他们平静下来，但根本无济于事。

这时董宇将我拉到一边，对我说：“你不要这样，这没有用。他们根本不会听你的，他们都是刚刚从蒙昧中走出来的人。他们不是已经知道0和1了吗？那么你就用这两样东西帮他们吧，我认为这应该是行得通的。”

这的确是行得通的，因为早在很多年前，我就曾接触过一种叫做二进制的记数方法。不像十进制，在这种方法里，只有0、1两个符号，如图2.7所示。为了同十进制有所区别，通常管这两样东西叫做“零”和“幺”。

既然是数数，那么任何记数方法都必须能表示“什么也没有”，或者“没有任何东西”。二进制也不例外，要是你把神农架的树都砍光了（你有没有这个胆量，这不是我们现在讨论的话题），这光秃秃的地方还会有多少棵树呢？我们这样表示（图2.8）。

紧接着，张三种了一棵树，于是，现在神农架有了幺棵树（图2.9）。

这意味着，“幺”比“零”在数量上大一个级别。

要是张三又种了一棵树，那么，神农架现有的树木在十进制里就是“2”。不过，这种表示方法对于二进制来说行不通，因为它只有0和1，没有更多的符号。像十进制一样，二进制通过将1恢复到0，并向左进位来解决这个问题（图2.10）。

于是，神农架当前的树木总数为（图2.11）。

注意，你要让头脑中的十进制思维暂时回避一下，不要被它干扰，这里是“幺零”，不是“十”。另外，很明显，这是“逢二进一”的，当计数到“2”的时候立即向左进位，这就是“二进制”的由来。

接着再种一棵树。这回，图2.11中的0增加到1，于是现有的树木可以表示为（图2.12）。

既然是通过种树来学习数数，继续种下去也无妨，那就再种一棵。种树容易，麻烦的是我们又遇到“逢二进一”的情况了。和前面一样，先是最右边的1回到0，向左进位。但是左边原来就有个1，它接受这个进位，也同样“逢二进一”，把自己恢复到0，然后继续向左进位。由于左边是空白，所以直接把进位放在空白处（图2.13）。

同样的方法，只需要细心点，再加上点儿耐心，再多的树也能数得过来（图2.14）。

以上就是我要向“野人”们传授的二进制记数法。不在现场，你都不知道我的处境。总之，整整一天，我都在竭尽全力地使他们明白这种记数方法，最要命的是根本不能按照我们平时的概念去向他们解释这一切，这让我感到非常费劲儿。好在他们非常聪明，很快就学会了这种记数方法。

尽管二进制记数法只有两个符号，但是却可以有无穷无尽的组合。可以这么说，任何一个十进制数，都有一个唯一的二进制数与之相对应。比如，月亮和地球之间的距离是384000千米，对应的二进制数就是1011101110000000000。问题是，你是怎么知道的呢？这里有一个笨办法和一个好办法。

笨办法需要大量的时间，而且容易出错，就是从0开始推演，推演到三十八万四千次的时候，结果就出来了。好办法呢，就是用一个公式，在十进制和二进制之间来回换算，既快又准确。关于这套公式，互联网上有很多相关的教程，书店里也有很多讲述二进制的书籍，这里就不做介绍了。表2.1给出了一些常见的十进制—二进制数对照表，这对于顺利阅读本书来说已经足够了。